資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學學科
專項八：垂線與平行線（考點清單+易錯易混點+專練）
知識點一．概念：
直線：一根拉得很緊的線，就給我們以直線的形象，直線是直的，并且是向兩方無限延伸的．一條直線可以用一個小寫字母表示．
線段：直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段，這兩個點叫做線段的端點．一條線段可用它的端點的兩個大寫字母來表示．
射線：直線上一點和它一旁的部分叫做射線．這個點叫做射線的端點．一條射線可以用端點和射線上另一點來表示．
注意：
（1）線和射線無長度，線段有長度．
（2）直線無端點，射線有一個端點，線段有兩個端點．
2．直線、射線、線段區別：
直線沒有端點，兩邊可無限延長；
射線有一端有端點，另一端可無限延長；
線段，有兩個端點，而兩個端點間的距離就是這條線段的長度．
知識點二．兩點間線段最短與兩點間的距離
1．兩點之間，線段最短：在兩點之間連接出若干條折線、曲線和線段，其中線段的長度最小．
2．應用：當兩點在直線兩側時，直接連接兩點即可，而不必找對稱點；當兩點在直線同側時，需要作出其中一個點關于直線的對稱點．
知識點三．垂直與平行的特征及性質
1．垂線的定義：
兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直．其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足．
直線AB，CD互相垂直，記作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”），讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．
2．垂線的性質：
性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．
性質2：連結直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短．簡稱：垂線段最短．
3．垂直的判定：垂線的定義．
4．平行線的概念：
在同一個平面內，不相交的兩條直線叫做平行線．平行用符號“∥，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”．
5．平行線的判定方法：
（1）平行于同一條直線的兩直線平行．
（2）垂直于同一條直線的兩直線平行．
（3）平行線的定義．
知識點四．過直線上或直線外一點作直線的垂線
1、以直線外一點為圓心，以大于這點到直線的距離為半徑畫弧交直線于A、B兩點．
2、分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑畫弧在直線的兩側相交于兩點．
3、連結這一點和任意一個交點（或連結兩個交點）的直線就是已知直線的垂線．
知識點五．角的度量
1．角的度量：角度的測量是最基本的測量，最常用的工具是量角器．
2．角的度量單位通常有兩種，一種是角度制，另一種就是弧度制．
角度制，就是用角的大小來度量角的大小的方法．在角度制中，我們把周角的看作1度，那么，半周就是180度，一周就是360度．由于1度的大小不因為圓的大小而改變，所以角度大小是一個與圓的半徑無關的量．
弧度制，顧名思義，就是用弧的長度來度量角的大小的方法．單位弧度定義為圓周上長度等于半徑的圓弧與圓心構成的角．由于圓弧長短與圓半徑之比，不因為圓的大小而改變，所以弧度數也是一個與圓的半徑無關的量．角度以弧度給出時，通常不寫弧度單位，有時記為rad或R．
3．度量方法：
量角要注意兩對齊：量角器的中心和角的頂點對齊．
量角器的0刻度線和角的一條邊對齊．
做到兩對齊后看角的另一條邊對著刻度線幾，這個角就是幾度．
看刻度要分清內外圈．
知識點六．畫指定度數的角
三角板能畫出15、30、45、60、75、90、105、120、135、150、165、180度的角，是30°，45°，60°，90度的和差，因為通過三角尺只能作角的和差．其余的度數只能通過量角器畫角．
易錯點1:認為直線是可以度量的。
誤區點撥:
(1)因為經常看到用直線的一部分代表這條直線，所以誤認為直線就那么長，是可以度量的
(2)把線段的兩端無限延長，就成了一條直線，直線是沒有端點的，因而無法確定它的起點和終點，所以直線無限長，無法測量。
易錯點 2:量角或畫角時把內圈刻度和外圈刻度混淆，
誤區點撥:
(1)量角或畫角時很多時候都要用到量角器，量角器上有內、外兩圈刻度，在讀數時會選錯
(2)在用量角器量角或畫角時都要做到“三個重合”，即量角器的中心和角的頂點重合，量角器的 0°刻度線與角的一條邊重合，量角器的刻度與另一條邊重合。如果這時量角器上 0°刻度線的“0”在右邊，就應該讀內圈的數，“0”在左邊，就讀外圈的數。
易錯點 3:對于垂直概念的理解。
誤區點撥:
(1)垂直概念中會把“相交成 90°”與“豎直”混淆。如:過點P畫已知直線的重線。
(2)垂直指的是兩條直線相交成直角時，這兩條直線的位置關系。而不能看其中一條直線是不是豎直的狀態。
易錯點 4:對于平行概念的理解。
誤區點撥:
(1)平行概念中常把“同一平面"和“直線"等關鍵詞語忽略，造成錯誤的判斷。
(2)判斷平行時，一定要注意兩條直線必須在“同一平面”內。如果不在同一平面，就有既不相交也不平行的情況存在
易錯點 5:對于過一點畫已知直線的平行線或垂線的錯誤畫法
誤區點撥:
(1)在過一點畫已知直線的平行線或垂線過程中，會出現“不過這個點”或者所畫直線與已知直線不平行或不垂直”等錯誤畫法。
(2)過一點畫已知直線的平行線或垂線，有兩個要點:一是所畫直線必須過這一點;二是所畫直線必須是符合要求的已知直線的平行線或垂線。
一、選擇題
1．放風箏比賽中，規定每只風箏要用30米長的線。當風箏線和地面成（ ）的角時，風箏飛得更高。
A．25° B．60° C．45° D．30°
2．經過不在一條直線上的4個點中的每兩個點最多可以畫（ ）條直線。
A．4 B．5 C．6 D．8
3．下面不能用一副三角板畫出的是（ ）。
A．70° B．120° C．135°
4．下面哪句話正確的？（ ）
A．如圖這樣測量跳遠成績，是因為點到直線的距離最短。
B．觀察一個長方體紙箱，一次最多能看到4個面。
C．把一條長8厘米的線段向一邊延長100厘米后，就成了一條射線。
5．在鐘面上，下列整時中，（ ）時整分針與時針成直角。
A．3 B．6 C．8 D．12
二、填空題
6．如圖，把一個正方形對折，再對折，打開后剪成一個五邊形，這個五邊形中有( )個鈍角，每個鈍角都是( )度。
7．比一比。
升毫升( )毫升 升( )升
分( )秒 個平角度數之和( )一個周角的度數
8．凌晨4時，時針和分針組成的較小夾角是( )°，下午3時30分，時針和分針組成的較小夾角是( )角（填“銳”“直”“鈍”）。21·世紀*教育網
9．量出下面每個角的度數。

∠1＝( )°。
∠2＝( )°，∠3＝( )°。
10．分針從12起旋轉一周，形成的角是( )°，這時時針轉動了( )°。
11．小明將一張圓形紙片連續對折兩次，折痕互相( )（填“平行”或“垂直”），再繼續對折一次，這時折成的角是( )角。
12．下圖中，如果∠1＝∠2，那么∠1＝( )；如果∠3＝∠4＝∠5，那么∠2＋∠3＋∠4＝( )。
13．在括號里填上“＞”“＜”或“＝”。
8060毫升( )8升 300÷25( )600÷50
35＋45×12( )（35＋45）×12 鐘面3時整，時針和分針所形成的角( )銳角
14．
圖中一共有( )個角,其中銳角有( )個,直角有( )個,鈍角有( )個,平角有( )個．
15．分針從12起走到3，形成的角是( )角；6時整,時針和分針組成的夾角是( )°。
三、判斷題
16．同一平面內，一組直線要么相交，要么平行。( )
17．射線向一端延長，直線向兩端延長，所以直線比射線長。( )
18．兩條互相平行的直線之間，只能畫一條垂線。( )
19．從3：00到6：00，鐘面上的時針順時針旋轉了90°。( )
20．從2：00到2：15，時針旋轉了90度。( )
四、計算題
21．已知，分別求出、、的度數。
五、作圖題
22．畫出一個80°和一個100°的角。
六、解答題
23．畫一畫．
（1）借助直尺或三角板等工具畫一個長為3厘米，寬為2厘米的長方形．
（2）過直線外一點A分別畫出直線的垂線和平行線．
24．實際操作與計算．
下圖表示一條主水管．
（1）如果從A點接一條水管與主水管連通，要使水管最短,應怎樣連接？請在圖上畫出來．
（2）如果圖的比例尺是1 : 10000,請計算出從A點到主水管的最短的實際距離．
25．下面是一張長方形紙折起來以后形成的圖形。已知∠1＝50°，∠2是多少度？
26．把一張正方形紙對折三次,打開后如下圖⑤,你能在圖⑤中標出哪個角是45°、90°、135°嗎 請你直接標出來．21教育網
27．如圖。

（1）畫出從A到B的最短的路線，量得它長（ ）。
（2）畫出從點B到直線MN最短的距離。
28．一天內（0～24時）時針與分針互相垂直的情況有很多，請畫出其中的兩種情況（只畫出整時），并寫出對應的時間。21cnjy.com
29．
（1）如圖1，已知：∠1=45°，求：∠2.
（2）如圖2，已知：∠1=90°，∠2=30°求：∠3等于多少度？
（3）如圖3，已知：∠1=135°求：∠2、∠3、∠4各等于多少度？
30．下圖中兩條平行線之間的距離是2厘米。
（1）以點A和點B為頂點，畫出兩個不同的三角形，要求畫出的第三個頂點都在l1。
（2）量一量：畫出的三角形的高都是（ ）厘米。
（3）能在平行線之間畫出高是3厘米的三角形嗎？在□里打√。
能□ 不能□
參考答案：
1．B
【分析】
如圖所示，因為線的長度是固定的都是30米，所以誰與地面的夾角接近90°，誰的高度就高，由此判斷。
【詳解】60°＞45°＞30°＞25°
當風箏與地面成60°時，風箏飛得最高。
故答案為：B
2．C
【分析】經過兩點可以畫1條直線；經過不在一條直線上的3個點中的每兩個點最多可以畫1＋2＝3條直線；經過不在一條直線上的4個點中的每兩個點最多可以畫1＋2＋3＝6條直線，經過不在一條直線上的5個點中的每兩個點最多可以畫1＋2＋3＋4＝10條直線，據此即可解答。21·cn·jy·com
【詳解】根據分析可知，經過不在一條直線上的4個點中的每兩個點最多可以畫6條直線。
故答案為：C。
【點睛】找出點數與直線條數的關系是解答本題的關鍵。
3．A
【分析】一副三角板有兩個三角尺，一個三角尺的三個角的度數分別為：90°、45°、45°，另一個三角尺的三個角的度數分別為：90°、30°、60°；只要其中的兩個角相加或者相減后能得出的角都可以用一副三角尺拼出，據此解答。21世紀教育網版權所有
【詳解】A．不能拼成70°的角；
B．90°＋30°＝120°，能拼成120°的角；
C．90°＋45°＝135°，能拼成135°的角。
故答案為：A
【點睛】本題考查了學生用一副三角尺拼成角度情況的掌握，能用一副三角尺畫出的角都是15°的整數倍。
4．A
【分析】（1）為數學知識的應用，由實際出發，測量跳遠成績的依據是垂線段最短，即測量后腳印與起跳線間的垂直距離即為跳遠成績；【來源：21·世紀·教育·網】
（2）觀察一個長方體時，當眼睛在長方體的一個頂點時，能看到的面最多，最多只有3個面；
（3）線段有2個端點，不能向兩端無限延伸，能測量長度；直線沒有端點，可以向兩端無限延伸，不能測量長度；射線有1個端點，可以向一端無限延伸，不能測量長度。
【詳解】A．如上圖這樣測量跳遠成績，是因為點到直線的距離最短，原題說法正確；
B．觀察一個長方體紙箱，一次最多能看到3個面，原題說法錯誤；
C．把一條長8厘米的線段向一邊延長100厘米后，還是一條線段，原題說法錯誤。
故答案為：A
【點睛】此題涉及的知識點較多，但都比較簡單，屬于基礎題，只要認真，容易完成，注意平時基礎知識的積累。www-2-1-cnjy-com
5．A
【分析】時鐘上12個數字把鐘面平均分成12個大格，每個大格的度數是30度，整時，分針指向12，當時針指向3或9時，夾角是90度，據此解答。【版權所有：21教育】
【詳解】A．3時整，分針指向12，時針指向3，3×30°＝90°，是直角；
B．6時整，分針指向12，時針指向6，6×30°＝180°，是平角；
C．8時整，分針指向12，時針指向8，4×30°＝120°，是鈍角；
D．12時整，分針和時針均指向12，不是直角。
故答案為：A
【點睛】此題主要考查鐘面整點時的指針特點和角的分類。
6． 2 135
【分析】觀察上圖可知，剪掉部分是一個直角三角形，兩個銳角都是45°，所以剩下的五邊形有3個直角，2個鈍角，鈍角的度數為180°－45°＝135°，據此即可解答。
【詳解】根據分析可知，把一個正方形對折，再對折，打開后剪成一個五邊形，這個五邊形中有2個鈍角，每個鈍角都是135度。21教育名師原創作品
【點睛】本題主要考查學生對角的度量和角的分類知識的掌握。
7． ＜ ＞ ＜ ＝
【分析】（1）（3）把高級單位化成低級單位，乘單位間的進率即可。
（2）單位相同時，直接比較數值的大小即可。
（4）根據“平角＝180°，周角＝360°”解答即可。
【詳解】（1）升毫升＝3050毫升
3050＜3500
（2）1400＞4
（3）6分＝360秒
360＜600
（4）180°＋180°＝360°
360°＝360°
【點睛】此題考查了容積單位和時間單位換算以及角的度數問題，關鍵是明確：1升＝1000毫升；1分＝60秒；平角＝180°，周角＝360°。【出處：21教育名師】
8． 120 銳
【分析】因為鐘表上的刻度是把一個圓平均分成了12等份，每一份是30°，4時整時，時針指向4，分針指向12，時針和分針之間相差的4個大格數，用大格數4乘30°即可；
下午3時30分時，時針指向3和4的中間，分針指向6，中間有2個半大格，所以時針與分針之間的夾角為：30°÷2＋30°×2，進行計算后再根據角的分類：大于0°小于90°的角，叫做銳角，等于90°的角叫做直角，大于90°小于180°的角，叫做鈍角；進行判斷即可。
【詳解】4×30°＝120°
30°÷2＋30°×2
＝15°＋60°
＝75°
凌晨4時，時針和分針組成的較小夾角是120°，下午3時30分，時針和分針組成的較小夾角是銳角。
9． 30 115 25
【分析】量角時先把量角器的中心與角的頂點重合，0刻度線與角的一條邊重合。再看角的另一邊所對的量角器上的刻度，就是這個角的度數。www.21-cn-jy.com
【詳解】

10． 360 30
【分析】根據題意可知分針從12起旋轉一周，形成的周角。分針轉一圈時針轉一大格。
【詳解】分針從12起旋轉一周，形成的角是360°，這時時針轉動了30°。
【點睛】此題考查學生對分針時針旋轉關系的認識，對角分類的認識。
11． 垂直 銳
【分析】把一張圓形紙片對折兩次后展開，兩條折痕相交成90度，所以這兩條折痕互相垂直，再繼續對折一次，這時折成的角是45°，是銳角。2·1·c·n·j·y
【詳解】根據分析可知，小明將一張圓形紙片連續對折兩次，折痕互相垂直（填“平行”或“垂直”），再繼續對折一次，這時折成的角是銳角。21*cnjy*com
【點睛】本題主要考查學生對垂直的定義和角的分類知識的掌握。
12． 45° 165°
【分析】一個平角是180度，一個直角是90度；從圖中可知，∠1＋∠2＝90°，當∠1＝∠2時，用90°÷2即可求出∠1、∠2的度數；因為∠3＝∠4＝∠5，用180°÷3即可求出∠3、∠4、∠5的度數，據此解答。
【詳解】90°÷2＝45°，∠1＝∠2＝45°；
180°÷3＝60°，∠5＝∠4＝∠3＝60°，45°＋60°＋60°＝165°，所以∠2＋∠3＋∠4＝165°；
【點睛】熟練掌握平角、直角的定義是解答此題的關鍵。
13． ＞ ＝ ＜ ＞
【分析】1000毫升＝1升，高級單位換算成低級單位，乘進率即可。鐘面3時整，時針和分針所形成的角是直角，直角大于銳角。再根據整數四則混合運算法則計算出算式的結果即可比較大小。
【詳解】8升＝8000毫升，8060毫升＞8升；
300÷25＝12，600÷50＝12，300÷25＝600÷50；
35＋45×12
＝35＋540
＝575
（35＋45）×12
＝80×12
＝960
35＋45×12＜（35＋45）×12
鐘面3時整，時針和分針所形成的角是直角，直角＞銳角。
【點睛】本題考查了學生對容積的大小比較、角的大小比較和整數的大小比較的掌握與理解。
14． 10 4 3 2 1
【詳解】略
15． 直 180
【解析】略
16．√
【詳解】根據同一平面內，兩條直線的位置關系可知：同一平面內，兩條直線要么相交，要么平行；
故答案為：√
17．×
【分析】根據直線、射線、線段的含義：直線無端點，可以向兩端無限延伸，不能測量；射線有一個端點，只能向一端無限延伸，不能測量；線段有兩個端點，不能向兩端延伸，可以測量；由此判斷即可。2-1-c-n-j-y
【詳解】根據直線和射線的含義可知：直線和射線都無限長，不能測量，無法比較長短，所以原題的說法錯誤。
故答案為：×
18．×
【分析】因為兩條互相平行的直線可以無限延長，所以兩條相互平行的直線之間可以畫無數條垂線。
【詳解】
如圖：，所以兩條互相平行的直線之間，能畫無數條垂線。原題表述錯誤。
故答案為：×
19．√
【分析】3：00時，時針指著3，分針指著12，如下圖：
6：00時，時針指著6，分針指著12，如下圖：
時針從3走到了6，走了3個大格。一個大格對應著30°，那么3個大格對應著90°，所以時針旋轉了90°。
【詳解】由分析可知：從3：00到6：00，鐘面上的時針順時針旋轉了90°。
故答案為：√
20．×
【分析】鐘面上有12大格，一大格對應的夾角是30度，時針走一大格是1小時，從2：00到2：15，只有15分鐘，不到1小時，也就是時針沒走到一大格，時針旋轉的度數小于30度，據此即可解答。
【詳解】根據分析可知，從2：00到2：15，時針旋轉的度數小于30度，原說法錯誤。
故答案為：×
【點睛】本題主要考查學生對角的度量的掌握和靈活運用。
21．∠2＝130°；∠3＝50°；∠4＝40°
【分析】∠2與∠1的和是180°，180°減∠1的度數即可求出∠2的度數；∠3與∠2的和是180°，180°減∠2即可求出∠3的度數。∠3與90°及∠4的度數和是180°，180°減∠3的度數，再減90°即可求得∠4的度數。
【詳解】∠2＝180°－∠1＝180°－50°＝130°；
∠3＝180°－∠2＝180°－130°＝50°；
∠4＝180°－∠3－90°＝180°－50°－90°＝130°－90°＝40°。
22．見詳解
【分析】畫角的步驟：先畫一條射線，使量角器的中心和射線的端點重合，0刻度線和射線重合；在量角器上找到所畫角的度數的地方點一個點；以畫出的射線的端點為端點，通過剛畫的點，再畫一條射線，據此畫角。
【詳解】
【點睛】此題考查用量角器畫角，使用量角器時要注意量角器的中心點與射線端點重合，0刻度和射線重合。確定量角器的內圈和外圈的刻度是關鍵。
23．（1）
（2）
【詳解】試題分析：（1）畫一個直角，在兩條直角邊上分別取3cm，2cm，然后分別過這兩點作這兩條邊的平行線，據此可畫圖；
（2）把三角板的一條直角邊與已知直線重合，沿直線移動三角板，使三角板的另一條直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊，向已知直線畫直線即可．
把三角板的一條直角邊與已知直線重合，用直尺靠緊三角板的另一條直角邊，沿直尺移動三角板，使三角板的原來和已知直線重合的直角邊和A點重合，過A點沿三角板的直角邊畫直線即可．
解：（1）據分析畫圖如下：
（2）
【點評】本題考查了學生平行線和垂線的作法，培養學生的作圖能力；用的知識點：長方形的特征及畫長方形的方法．
24．（1）
（2）100米
【詳解】（1）思路分析：本題考查的是點到線的距離，從直線外一點到這條直線所有連線中，垂線段最短．
名師解析：從A點畫出這條水管的垂線段，注意標垂直符號．
易錯提示：實際問題，水管只要接到第一條線上即可，不用畫到第二條線，畫完不標垂直符號不正確．
（2）思路分析：先量出所畫垂線段的長度，再按比例尺求出實際距離．
名師解析：垂線段長為1厘米，則實際距離為10000厘米=100米
易錯提示：測量不準導致計算錯誤，不會利用比例尺求實際距離．
25．65°
【分析】
由題意得，將長方形紙折起來后，∠3和∠2同樣大，這兩個角和∠1合起來組成了一個平角。∠1＝50°，直接用180°減去∠1的度數即可算出∠3和∠2的度數之和，再除以2即可算出∠2的度數。【來源：21cnj*y.co*m】
【詳解】180°－50°＝130°
∠2＝130°÷2＝65°
答：∠2是65°。
26．(答案不唯一)
【詳解】略
27．（1）圖見詳解；18毫米
（2）圖見詳解
【分析】（1）兩點之間線段最短，把A、B兩點用線段連接起來，然后用直尺量出線段的長度。
（2）直線外一點與直線上各點的連線中，垂線段最短，從B點作直線MN的垂線段即可。
【詳解】（1）如下圖，線段AB長18毫米。

（2）圖見（1）
【點睛】本題主要考查了線段和垂線的特征，要熟練掌握。
28．見詳解
【分析】在同一平面內，如果兩條直線相交成直角，這兩條直線互相垂直，其中一條直線是另一條直線的垂線。鐘面有12個大格，每一大格是30°，30°×3＝90°，當時針與分針之間夾角是3個大格時，時針與分針互相垂直。21*cnjy*com
【詳解】
29．135°；60°；135°，45°，45°
【詳解】試題分析：（1）∠1和∠2組成的是平角，
（2）∠1、∠2和∠3組成的是平角，
（3）∠1和∠3組成平角，∠1和∠4組成的是平角，∠2和∠3組成的是平角．
解：（1）∠2=180°﹣∠1=180°﹣45°=135°
（2）∠3=180°﹣∠1﹣∠2=180﹣90°﹣30°=60°
（3）∠3=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°
∠4=180°﹣∠1=180°﹣135°=45°
∠2=180°﹣∠3=180°﹣45°=135°
30．（1）見詳解
（2）2
（3）不能
【分析】（1）在l1上任取一點，分別連接這一點和A、B兩點，即可畫出三角形。
（2）平行線間的距離處處相等，畫出的三角形的高都是這兩條平行線之間的距離。
（3）這兩條平行線之間的距離是2厘米，且AB的長度也不是3厘米，所以不能畫出高是3厘米的三角形。
【詳解】（1）
（2）量一量：畫出的三角形的高都是（2）厘米。
（3）能在平行線之間畫出高是3厘米的三角形嗎？在□里打√。
不能
【點睛】此題考查的是三角形的畫法，理解平行線間的距離處處相等是解題關鍵。
考點清單
易錯易混點
專項練習
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世教育網(www.1cnjy.com)

展開更多......

收起↑