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認識無理數（2）學案 （濱河初中：肖玲）
1．無理數
(1)無理數的概念
無限不循環小數叫做無理數．
學習無理數應把握住無理數的三個特征：①無理數是小數；②無理數是無限小數；③無理數是不循環小數．判斷一個數是否是無理數對照這三個特征一個也不能少．
(2)有理數與無理數的區別
事實上，有理數總可以用有限小數或無限循環小數來表示；反過來，任何有限小數或無限循環小數也都是有理數．如3可看做3.0這樣的有限小數，也可以化為這樣的分數形式；無限循環小數都可以化為分數，如：3.14可化為3.
有理數與無理數的主要區別：①無理數是無限不循環小數，有理數是有限小數或無限循環小數；②任何一個有理數都可以化為分數的形式，而無理數不能．
【例1】 下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？
3．141 592 6，－，2.，6.751 755 175 551 7…(相鄰7,1之間5的個數逐次加1),0，，－5.2，－.
分析：有理數指有限小數或無限循環小數，整數和分數都是有理數，無理數指無限不循環小數．
解：有理數有：3.141 592 6，－，2.，0，，－5.2；
無理數有：6.751 755 175 551 7…(相鄰7,1之間5的個數逐次加1)，－.
2．無理數近似值的估算方法
要估算無理數的近似值，第一步應確定被估算無理數的整數取值范圍；第二步以較小整數逐步開始加0.1(或以較大整數逐步開始減0.1)，并求其平方，確定被估算數的十分位；…；如此繼續下去，可以求出無理數的近似值．
【例2】 面積為7的正方形的邊長為x，請你回答下列問題．
(1)x的整數部分是多少？
(2)把x的值精確到十分位是多少？精確到百分位呢？
(3)x是有理數嗎？請簡要說明理由．
解：令正方形的面積為S，則S＝x2＝7，當2＜x＜3時，4＜x2＜9，當2.6＜x＜2.7時，6.76＜x2＜7.29；
當2.64＜x＜2.65時，6.969 6＜x2＜7.022 5；
當2.645＜x＜2.646時，6.996 025＜x2＜7.001 316；
…
則有：
(1)x的整數部分為2.
(2)精確到十分位時，x≈2.6，精確到百分位時，x≈2.65.
(3)x不是有理數．因為沒有一個整數的平方
等于7，也沒有一個分數的平方等于7，另由計算可知，x是無限不循環小數．
釋疑點 如何四舍五入
利用四舍五入法取近似值時要比精確到的位數多考查一位．
3．無理數的常見類型
判斷一個數是不是無理數，關鍵就是看它能不能寫成無限不循環的小數，無理數常見的形式主要有三種：
(1)一般的無限不循環小數，如1.414 213 56…是無理數．
看似循環而實質不循環的小數，如0.101 001 000 1…(相鄰兩個1之間0的個數逐次增加1)是無理數．
(2)圓周率π以及含π的數，如π，2π，π＋5，都是無理數．
(3)開方開不盡的數(下一節學到)．
【例3】 下列各數，哪些是有理數？哪些是無理數？
0，，－4,0.，－，1.112 111 211…(相鄰兩個2之間1的個數逐次加1)，3.141 592 7.
分析：1.112 111 211…(相鄰兩個2之間1的個數逐次加1)為無限不循環小數，為含π的數，兩者都為無理數.0，－4為整數，是有理數；0.，－，3.141 592 7為分數或可化為分數，是有理數．
解：有理數為0，－4,0.，－，3.141 592 7；無理數為，1.112 111 211…(相鄰兩個2之間1的個數逐次加1)．
辨誤區 π與3.141 592 7的區別
3．141 592 7屬于有限小數，不是π，要注意區分．
4．無理數的應用
無理數的估算用的是“夾逼法”，要注意掌握其應用特征．估算無理數的近似值，應先確定被估算無理數的整數取值范圍；再以較小整數逐步開始加0.1(或以較大整數開始逐步減0.1)，并求其平方確定被估算數的十分位；…；如此繼續下去，可以求估算無理數的近似值．
注：誤差小于0.1與精確到0.1是不同的兩個概念．在處理有關問題時要看清要求，再著手處理．
【例4】 如圖所示，要從離地面5 m的電線桿上的B處向地面C處拉一條鋼絲繩來固定電線桿，要固定點C到A處的距離為3 m，求鋼絲繩BC的長度(精確到十分位)．
分析：這是現實生活中的一個常見問題，解決這個問題首先要用到勾股定理，再利用“夾逼法”估算BC的長．
解：由勾股定理，得BC2＝AB2＋AC2＝34.
當5＜BC＜6時，25＜BC2＜36；
當5.8＜BC＜5.9時，33.64＜BC2＜34.81；
當5.83＜BC＜5.84時，33.988 9＜BC2＜34.105 6；
…
故當精確到十分位時，BC約為5.8 m.

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