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2025屆中考數學一輪復習備考知識清單：分式方程
知識梳理
一、分式方程的解法
分式方程：分母中含未知數的方程叫作分式方程.
分式方程 整式方程
區別 分母中含有未知數 分母中不含有未知數
聯系 分式方程可以轉化為整式方程
【規律方法】
判斷一個方程是否為分式方程，要掌握以下三點：①是方程；②方程中含有分母；③分母中含有未知數.
【易錯點津】
并不是含有分母的方程就是分式方程，必須是分母中含有未知數的方程才是分式方程.
解分式方程
基本思路 將分式方程化為整式方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊乘最簡公分母，這也是解分式方程的一般方法.
一般步驟 （1）去分母：方程兩邊同乘最簡公分母，把分式方程轉化為整式方程. （2）解整式方程：去括號、移項、合并同類項、系數化為1. （3）驗根：將整式方程的解代入最簡公分母，若最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的（我們稱之為增根）.
【拓展延伸】
（1）對增根產生的原因理解如下：增根是在解分式方程的第一步，即去分母時產生的，根據方程的同解原理，方程兩邊都乘（或除以）同一個不為0的數，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的兩邊同時乘0，那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根.
（2）解含字母的分式方程，需要注意的是，要找準哪個字母表示未知數，哪個字母表示已知數，同時還要注意題目中所給的限制條件.
【規律方法】
用分式方程中的最簡公分母同乘方程的兩邊，從而約去分母，但要注意用最簡公分母乘方程兩邊各項時，不要漏乘不含分母的項.
【易錯點津】
解分式方程可能產生使分式方程無解的情況，所以驗根是解分式方程的必要步驟.
二、分式方程的實際應用
列分式方程解決實際問題
列分式方程常用的等量關系 （1）行程問題： （2）利潤問題： （3）工程問題：總工作量=各個分工作量之和. （4）銷售問題：.
列分式方程解應用題的一般步驟 （1）審：審清題意，弄清已知量和未知量；找出已知的或隱含的等量關系，常用表格分析法. （2）設：設未知數（既可以設直接未知數，也可以設間接未知數）. （3）列：列出分式方程. （4）解：解這個方程. （5）驗：檢驗，既要檢驗所求得的根是不是所列分式方程的解，又要檢驗所求得的根是否符合實際意義. （6）答：寫出答案.
【拓展延伸】
（1）在實際問題中，有時題目中包含多個相等的數量關系，在列方程時一定要選擇一個能夠體現全部（或大部分）題意的等量關系.
（2）在檢驗過程中，不僅要檢驗所得的根是否為原分式方程的根，還要檢驗這個根在實際問題中是否具有實際意義，如時間非負，人數非負等.
（3）在一些實際問題中，有時直接設問題所求的量為未知數比較麻煩，所以可以間接地設未知數.
（4）設一個未知數不容易表示等量關系時，還可以設多個未知數，即設輔助未知數.
方法點撥
1.解分式方程
解分式方程的一般方法是通過去分母，將分式方程轉化為整式方程，進一步解這個整式方程，但解出的整式方程的解并不一定是分式方程的根，可能使分式方程的增根.因此，驗根是解分式方程不可缺少的步驟.
2.解分式方程有增根或無解問題
分式方程有增根與無解并非同一個概念，分式方程無解，可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解；分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根.
解分式方程有增根的問題時，雖然分式方程的增根不是分式方程的根，但它是去掉分母后的整式方程的根，于是將增根代入去分母后的整式方程，即可求出待定字母的值.而分式方程無解則需分類討論：①相應的整式方程無解；②整式方程的根式分式方程的增根.
3.由分式方程的解確定字母的取值范圍
對于給出分式方程的解的取值范圍求字母參數的取值范圍的題目，應先解分式方程求出未知數的值，然后根據的取值范圍和分母不等于0列出不等式組，解不等式組即可.
4.利用分式方程的增根求字母的值
根據分式方程有增根求字母參數的值的一般步驟：①把分式方程化為整式方程；②令最簡公分母為0，求出未知數的值；③把未知數的值代入整式方程，從而求出字母參數的值.
5.分式方程的無解問題
分式方程無解可能由兩種原因造成：①去分母后所轉化成的整式方程無解；②去分母后所轉化成的整式方程有解，但這個解使原分式方程的最簡公分母為0.因此在解決分式方程無解問題時，要注意分類討論，以免出現漏接的情況.

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