資源簡介

4.5.1函數的零點與方程的解
課型 新授課 復習課□ 試卷講評課□ 其它課□
教學內容分析 本節主要內容是函數零點的概念，函數零點與相應方程根的關系，函數零點存在定理。 本節課是為“用二分法求方程的近似解”打基礎，函數零點的概念與函數零點存在定理是二分法的必備知識。 方程與函數的關系從來是重要且無法回避的，所以將本節內容直接編入教材很有必要，本節課不僅為二分法習做準備，而且為方程與函數提供了零點這個連接點，從而揭示了兩者之間的本質聯系，這種聯系正是“函數與方程思想”的理論基礎。用函數的觀點研究方程，本質上是將局部的問題放在整體中研究，將靜態的結果放在動態的過程中研究，這為今后進一步學習函數與不等式等其他知識的聯系奠定了堅實的基礎。 從研究方法而言,函數零點概念的形成和函數零點存在定理的發現，符合從特殊到一般的認識規律，有利于培養學生的概括歸納能力,也為數形結合思想提供了廣闊的平臺。
學情分析 通過前面的學習，學生已經了解一些基本初等函數模型，具備一定的看圖識圖能力，這為本節課利用函數圖象判斷方程根的存在性提供了一定的知識基礎。方程是初中數學的重要內容，用所學的函數知識解決方程問題，擴充方程的種類，這是學生樂于接受的。 高一學生在函數的學習中,常表現出不適，主要是數形結合與抽象思維尚不能勝任，具體表現為將函數孤立起來，認識不到函數在高中數學中的核心地位。例如一元二次方程根的分布問題，學生自然會想到韋達定理，而不是想到二次函數的圖象與方程的根之間的聯系。函數應用意識的初步樹立，就成了本節課必須承載的任務。 從方程根的角度理解函數的零點,學生并不會覺得困難，而用函數來確定方程根的個數和大致范圍，則需要適應。換而言之,函數零點存在定理的獲得與應用,必須讓學生從一定量的具體案例中操作感知，通過更多的舉例來驗證。
學習目標 （1）能夠結合具體方程（如一元二次方程），說明方程的根、函數的零點、函數圖象與x軸的交點三者之間的關系，能利用函數圖象和性質判斷某些函數零點的個數及所在區間； （2）知道函數零點存在定理只是函數存在零點的一個充分條件，清楚函數零點可能不止一個。 重點：函數零點的概念，函數零點與相應方程根的求法，函數零點存在定理。 難點：函數零點存在定理的理解，數形結合思想、轉化與化歸思想的應用。
評價任務 （1）學生能否完成例1中求函數零點問題檢測目標1是否達成； （2）學生能否完成例2、例3中函數零點個數求解檢測目標2是否達成。
教學評活動過程 教師活動學生活動環節一：創設情境，復習導入教師活動 二次函數的零點 求二次函數的零點 學生活動 一般地，對于二次函數我們把使的實數x叫做的零點。 令解得.所以函數的零點是2，10.設計意圖：學生對二次函數的零點有一定了解，但是在學習這部分內容時，主要是應用零點幫助解一元二次方程，所以這里可以設置一個問題讓學生利用方程來求零點，幫助學生雙向理解零點與方程的等價關系。環節二：觀察歸納，概念形成教師活動 1.一般函數的零點 一般地，對于一般函數我們把使的實數x叫做的零點 2.函數的零點與方程根的關系 函數y=f(x)有零點 方程f(x)=0有實數解 函數y=f(x)與x軸有公共點 3.零點的存在性定理 對于無法直接求零點的函數，我們可以先解決以下問題： 函數是否有零點； 如果有零點，會有幾個零點呢？ 問題1：你可以用什么方式去研究函數是否有零點？ 問題2：判斷函數有零點的方法有哪些？ 問題3：請同學畫出幾個沒有零點的函數，同時也畫出幾個有零點的函數（連續的曲線）。觀察這些圖象，你發現有零點的圖象與沒零點的圖象有什么區別？ 函數零點存在性定理 如果函數 y=f(x)在區間[a, b]上的圖象是連續不間斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函數y=f(x) 在區間(a, b)內至少有一個零點, 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 這個c也就是方程f(x) = 0的根。 注意①：零點存在 圖像連續與f(a)·f(b)<0 缺一不可 注意②：零點存在定理不可逆用！即函數y=f(x)在區間 (a,b) 內有零點不能得到 f(a)·f(b)<0 注意③: 零點存在定理只判斷是否存在零點，而零點個數不確定。 學生活動 問題1解答： 描點作圖. 問題2解答：判斷函數是否有零點的方法 ㈠代數法:①令f(x)=0②解方程f(x)=0 ③寫出零點 ㈡幾何法：圖像與X軸交點的橫坐標即為零點 問題3解答： 在零點附近，函數圖象是“穿過”x軸的。所以零點左右函數值的正負是剛好相反的。設計意圖：函數的零點存在性定理是一個比較難以理解的知識點，由特殊到一般，引出函數零點存在定理，所以應該引導學生深入理解其中涉及的細節，尤其是3個注意。環節三：概念深化，探索新知教師活動 問題4：觀察我們畫的有零點的3個圖，你發現函數什么時候只有一個零點？ 函數零點存在性定理推論 如果函數y=f(x)在區間[a, b]上的圖象是連續不間斷的一條曲線,并且區間[a, b]上具有單調性，且有f(a)·f(b)<0, 那么, 函數y=f(x)在區間(a, b)內有一個零點。 問題5：如果函數不具有單調性，我們應該如何研究它的零點個數？學生活動 當函數是單調遞增或者單調遞減的時候。 先找到函數的單調區間，在每個區間分別去找它的零點。設計意圖： 學生如果只會判斷函數的零點存在，而不知道如何判斷函數有幾個零點，知識體系是不夠完整的，所以在此處補充函數零點存在性定理的推論，完善學生知識體系。環節四：運用知識，強化練習教師活動 例1 求下列函數的零點： 例2 求方程的實數解的個數。 例3已知函數y=f(x)的圖像是連續不斷的，有如下表所對應值： x1234567f(x)239-711-5-12-26
那么函數y=f(x)在區間[1,7]上的零點至少有_____個。 學生活動 例1 學生思考、板演 分析： 函數y=f(x)的零點 方程f(x)=0的實數解 函數y=f(x)與x軸交點的橫坐標 例2 引導學生思考 分析：通過畫圖，我們已經知道函數是有零點 的。所以函數單 調遞增，函數只有一個零點。 例3 學生口答 設計意圖：通過這三個例題的解答，培養學生對函數零點求法的掌握，提升利用函數圖象判斷方程的根及其個數的能力，加深對函數零點存在定理的理解。環節五：歸納小結，強化思想教師活動 1.知識清單 2.學生反思 （1）通過這節課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？學生活動 學生自主總結，學生間補充完善。 設計意圖：加強對本節課所學知識的記憶，加深對數學思想方法的理解，養成總結的好習慣。
板書設計 4.5.1函數的零點與方程的解 1.零點的概念 3.函數零點存在性定理 一般地，對于一般函數我們把 如果函數 y=f(x)在區間[a, b]上的圖象是使的實數x叫做的零點。 連續不間斷的一條曲線,并且有f(a)·f(b)<0, 那 2. 函數的零點與方程根的關系 么, 函數y=f(x) 在區間(a, b)內至少有一個零點, 函數y=f(x)有零點 即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 這個c也就是方程f(x) 方程f(x)=0有實數解 = 0的根。 函數y=f(x)與x軸有公共點
作業與拓展學習設計 教材第144頁練習第1、2題
特色學習資源分析、技術手段的應用說明 多媒體課件
教學反思與改進 緊密結合教材，采用探究學習的模式,使學生能夠很快掌握概念。但還可以從以下幾個方面適當展開： （1）教學過程中要多舉例子,強化學生對方程的根與函數零點的關系的理解； （2）在例題的選取中要選取的更有代表性； （3）教學中要多讓學生進行自主探究。

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