資源簡介

用二分法解方程的近似解
課型 新授課 復習課□ 試卷講評課□ 其它課□
教學內容分析 用二分法求方程的近似解體現了本套教材的數學應用意識,所以,數學應用意識的培養與數學思想的滲透是本節教學的重要任務。 通過建立函數模型以及運用模型解決問題，體會二分法在生活中運用的巧妙性與實用性。 根據具體的函數，借助計算器用二分法求相應方程的近似解，溝通了函數、方程、不等式等高中知識,體現了二分法的工具性和實用性，同時也滲透了函數與方程思想、數形結合思想、算法思想和逼近思想。 本節內容所涉及的主要核心素養有:數學抽象、直觀想象和數學運算等。
學情分析 高一學生對函數知識的主要印象是抽象的,他們最想問的問題可能就是“函數知識有什么用 ”。所以盡管他們經歷了初中和高一前期對函數的學習,具備了一定的抽象理解能力，但在數學應用意識和應用能力方面仍然有待提高。同時,計算能力和準確表述解答過程的能力也需要進一步加強。這些都是進行本節教學必須考慮到的學生因素。
學習目標 （1）通過具體實例，歸納出二分法的概念及其適用條件，明確二分法是求方程近似解的常用方法； （2）能借助計算工具、信息技術用二分法求方程的近似解。 重點：用二分法求方程的近似解。 難點：二分法原理的理解。
評價任務 學生能否利用二分法求出例2中方程的近似解檢測目標1、2是否完成。
教學評活動過程 教師活動學生活動環節一：創設情境，復習導入教師活動 函數的零點存在性定理 唯一性定理 學生活動 如果函數 y=f(x)在區間[a, b]上的圖象連續,并且有f(a)·f(b)<0（變號）, 那么, 函數y=f(x) 在區間(a, b)內至少有一個零點。即存在c∈(a, b),使f(c)=0, 這個c也就是方程f(x) = 0的根。 若函數y=f(x)在區間[a,b]內單調，連續，變號，則函數有且僅有一個零點。 設計意圖：學生函數的零點存在性定理和唯一性定理已經有一定的了解，但是本節課的理論基礎是函數的存在性定理，為了防止學生遺忘，教師應該引導學生復習，激活學生的知識結構，提升學生繼續學習的信心。環節二：觀察歸納，概念形成教師活動 我們已經知道在區間（2，3）內有一個零點，進一步的問題是：如何求這個零點呢？ 當我們無法求解這個零點的精確值時，可以退而求其次，求這個零點的近似值。 問題1：如果給定精確度0.5，那么你能找出在區間（2，3）內零點的一個近似值嗎？ 問題2：同樣給定精確度0.5，3是該零點的近似值嗎？ 問題3：給定精確度0.01，你能找到零點一個近似值嗎？ 問題4：你覺得區間縮小到多小一定能找到滿足精確度0.01的近似值？ 為了更加清晰的觀察，我們可以利用計算工具，列出表格并作出圖形。 可以發現，當精確度為0.01時，因為|2.539 0625-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，所以區間(2.531 25，2.539 062 5)內任意一點都可以作為零點的近似值，也可以將x =2.53125作為函數f(.x )=ln x+2x-6零點的近似值，也即方程ln x+2x-6=0的近似解.學生活動 問題1解答： 可以取（2，3）的中點2.5，2.5到精確值的距離一定小于0.5，所以2.5可以作為零點的一個近似值。 問題2解析： 我們可以計算f(2.5),觀察它的正負，根據函數零點存在定理，如果f(2.5)f(3)<0,則零點在區間（2.5，3）內，3到精確值的距離小于0.5，所以3可以作為零點的一個近似值。 問題3解析： 再取區間(2.5,3)的中點2.75,用計算器算得f(2.75)≈0.512.因為f(2.5)f(2.75)<0，所以零點在區間 (2.5，2.75)以內。把零點所在區間的區間一步步縮小。 問題4解析： 縮小到區間長度小于0.01時，區間中任何一個值到零點的距離都小于0.01，所以任何一個值都可以作為零點的近似值。 二分法的定義 對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection). 設計意圖：二分法的思路是一個比較難的知識點，學生往往知道大概步驟，但是并不理解二分法的思想，所以由舊到新設計多個問題，環環相扣，層層遞進，帶領學生理解背后的思維，提升學生的數學運算素養。環節三：概念深化，探索新知教師活動 問題5:請你結合前面的學習和二分法的定義歸納用二分法求函數零點的步驟 學生活動 給定精確度，用二分法求函數y=f(x )零點x0的近似值的一般步驟如下: 1.確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0. 2.求區間(a,b)的中點c. 3.計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間: (1）若f(c)=0（此時x0=c)，則c就是函數的零點﹔ (2)若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b=c ; (3）若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a=c. 4.判斷是否達到精確度 :若|a-b |< ,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟2～4.設計意圖：二分法的定義和步驟都是比較繁瑣的，學生大概明白其含義，但是很難按條理一一羅列，所以先讓學生去講解，再通過追問，提問等方式幫助學生理清思路，培養學生的算法思想，進一步提升學生數學運算核心素養。環節四：運用知識，強化練習教師活動 例1 (1)確定方程函數f(x)=2x+3x-7的零點所在區間（ ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) (2)用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精確度為0.1）學生活動 學生板演例2設計意圖：二分法求方程的近似解是一個比較繁瑣的過程，所以設計第（1）小題作為過渡，減小學生心理壓力，增強學生的自信心，使學生有勇氣繼續往下研究。第（2）小題的設計進一步體驗二分法，鞏固應用二分法的方法與技巧及注意事項。環節五：歸納小結，強化思想教師活動 1.知識清單 2.學生反思 （1）通過這節課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？學生活動 學生自主總結，學生間補充完善。 設計意圖：加強對本節課所學知識的記憶，加深對數學思想方法的理解，養成總結的好習慣。
板書設計 4.5.2用二分法求方程的近似解 （1）二分法的定義 對于在區間[a，b]上圖象連續不斷且f(a)f(b)<0的函數y=f(x)，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法(bisection). （2）給定精確度，用二分法求函數y=f(x )零點x0的近似值的一般步驟如下: ①確定零點x0的初始區間[a，b]，驗證f(a)f(b)<0. ②求區間(a,b)的中點c. ③計算f(c)，并進一步確定零點所在的區間: i若f(c)=0（此時x0=c)，則c就是函數的零點﹔ ii若f(a)f(c)<0(此時x0∈(a，c))，則令b=c ; iii若f(c)f(b)<0(此時x0∈(c，b))，則令a=c. ④判斷是否達到精確度 :若|a-b |< ,則得到零點近似值a(或b);否則重復步驟2～4.
作業與拓展學習設計 教材第155頁習題4.5第4、5題
特色學習資源分析、技術手段的應用說明 多媒體課件
教學反思與改進 (1)要更加重視學生的學習體驗，突出他們的主體地位，訓練他們用從特殊到一般再由一般到特殊的思維方式解決問題的能力，不斷加強他們的轉化類比思想； (2)要更注重將用二分法求方程的近似解的方法與現實生活中案例聯系起來讓學生體會數學方法來源于現實生活又可以解決生活中的問題； (3)要更注重學生參與知識的形成過程動手、動口、動腦相結合，使他們“聽”有所思，“學”有所獲，增強學習數學的信心體驗學習數學的樂趣； (4)注重師生之間、同學之間互動，注重他們之間的相互協作共同提高。

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