資源簡介

4.5.3函數模型的應用
課型 新授課 復習課□ 試卷講評課□ 其它課□
教學內容分析 函數模型及其應用是中學數學的重要內容之一,又是數學與生活實踐相互銜接的樞紐,特別在應用意識日益加深的今天，函數模型的應用實質是揭示了客觀世界中量的相互依存又相互制約的關系，因而函數模型的應用舉例有著不可替代的重要位置，又有重要的現實意義。本節課要求學生利用給定的函數模型或建立函數模型解決實際問題，并對給定的函數模型進行簡單的分析評價，體現了函數模型的應用價值。 由于數學實用性的認識不斷加強,這就給了函數應用這種課程很大的發揮空間,在考試中也是命題的熱點。 本節主要涉及的數學素養包括:數學建模、邏輯推理和數學運算等。
學情分析 通過前面函數知識的學習，在知識上，學生已經具備了一定的知識經驗和基礎;在能力上，學生已經初步具備了運用數形結合思想解決問題的能力，但數形結合的意識和思維的深刻性還有待進一步加強;在情感方面，多數學生對新內容的學習，有相當的學習興趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面發展的不均衡，不知道從何下手，仍需要創設民主和諧平等的課堂氣氛,加以調動。
學習目標 （1）通過根據表格和圖象提供的有關信息和數據，建立函數模型，并利用建立的數學模型解決實際問題； （2）通過對同一問題建立不同的函數模型并進行比較，擇優選擇，建立合適的數學模型。 重點：根據圖、表信息建立函數模型解決實際問題。 難點：將實際問題抽象為數學問題，完成從文字語言、圖表語言向符號語言的轉化，并建立函數模型。
評價任務 （1）問題情境及例題的分析過程中檢測學生目標1是否完成； （2）學生對于例2中函數模型的選擇用來檢測目標2是否達成。
教學評活動過程 教師活動學生活動環節一：創設情境，復習導入教師活動 某工廠引進先進生產技術，產品產量從2011年1月到2012年8月的20個月間翻了兩番，設月平均增長率為x，則有( ) (1+x)19=4 B.(1+x)20=3 C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4 追問1：要想解決這道題，你應該讀懂哪些關鍵詞？學生活動 “翻了兩番”，“月平均增長率”。 前者指的時翻了4倍，后者指的是每個月在上個月的基礎上增長的比例。 設計意圖：學生對單獨的函數是比較熟悉的，但是在利用函數解決生活中的實際問題時，往往因為對某些關鍵詞理解由困難導致做錯，無法往下做這種現象。所以在課堂中和平常的練習中注意引導學生去理解，熟知這些詞匯。此外，以問題的引入，讓學生感受指數函數在生活中的應用，提高學生的學習興趣，為接下來的學習作鋪墊。環節二：建立模型，解決問題 教師活動 情境1 人口問題是當今世界各國普遍關注的問題.認識人口數量的變化規律，可以為制定一系列相關政策提供依據.早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯(T.R.Malthus，766——1834）就提出了自然狀態下的人口增長模型 y=y0ert, （1）根據國家統計局網站公布的數據，我國1950年末，1959年末的人口總數分別為55196萬和67207萬，根據這些數據，用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在1950~1959期間的具體人口增長模型。 追問2：要建立這個模型，需要確定哪些參數？ 追問3：1950~1959期間的是多少？ 追問4：1950~1959年經歷了多少年？ （2）利用(1)中的模型計算1950~1959各年末的人口總數，查閱國家統計局公布的我國1950~1959各年末的實際人口總數，檢驗所得模型與實際人口數據是否相符。 追問5：如何檢驗所得模型與實際人口是否相符？ (3)以(1)中的模型作預測，那么大約在哪一年我國的人口數達到13億 情境2 2010年，考古學家對良渚古城水利系統中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進行碳14年代學檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的 追問6：什么是碳14年代學檢測？ 追問7：什么是“半衰期”？ 學生活動 追問2解答： 應該確定y0和t。 追問3解答： y0指的是1950年末的人口總數為55196萬。 追問4解答： 經歷了9年，也就是t等于4。 追問5解答： 方法一：用模型估計出來的值與實際值進行比較，看差距大小；方法二：把實際人口數據畫出散點圖，再畫出函數模型圖象，看這些點是否分布再函數圖象周圍。 上網了解，還有哪些人口模型，它們與我們所學的函數有什么關系？ 追問6解答： 碳14年代學檢測是根據碳14的衰變程度來計算出樣品的大概年代的一種檢測方法，這一原理通常用來測得古生物化石的年代.因為死亡生物機體內碳 14的初始量按確定的衰減率衰減，屬于指數衰減，所以選擇函數建立函數模型. 追問7解答： 我們在指數函數的概念一節的問題2中涉及過“半衰期”的問題．當生物死亡后，它機體內原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率)，大約每經過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.設計意圖：學生對數學建模的步驟尚且不熟悉，所以進行適當地引導，讓學生感受確定參數，計算求解，驗證模型的過程。而且在搜集信息，計算推理方面，學生能力都還有待提高，所以給予學生足夠的時間，由簡到難，激發學生自信心。碳14年代學檢測這個背景并不是第一次遇到，學生可能會看以前學過的內容，使用以前的結論，在這里可以鼓勵學生進行思考，體會建立模型的過程，培養學生分析問題、解決問題的能力。環節三：運用知識，強化練習教師活動 例1假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下: 方案一:每天回報40元; 方案二:第一天回報 10 元,以后每天比前一天多回報10元; 方案三:第一天回報 0.4 元,以后每天回報比前一天翻一番。 請問，你會選擇哪種投資方案 例2某公司為了實現1000萬元利潤的目標,準備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案:在銷售利潤達到10萬元時，按銷售利潤進行獎勵，且獎金y(單位:萬元)隨銷售利潤x(單位:萬元)的增加而增加，但獎金總數不超過5萬元,同時獎金不超過利潤的25%.現有三個獎勵模型：其中哪個模型能符合公司的要求 學生活動 例1分析: 我們可以先建立三種投資方案所對應的函數 模型,再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方 案提供依據. 例2分析： 本例提供了三個不同增長方式的獎勵模型,按要求選擇其中一個函數作為刻畫獎金總數與銷售利潤的關系.由于公司總的利潤目標為1000萬元,所以銷售人員的銷售利潤一般不會超過公司的總利潤.于是,只需在區間[10,1 000]上，尋找并驗證所選函數是否滿足兩條要求:第一,獎金總數不超過5萬元,即最大值不大于5;第二,獎金不超過利潤的 25%,即.不妨先畫出函數圖象，通過觀察函數圖象,得到初步的結論,再通過具體計算確認結果。設計意圖：利用表格、圖象，根據不同函數的增長快慢解決實際問題，提升學生的知識運用能力；通 過借助 函數解決函數模型的優化選擇問題，培養學生的數學運算素養。環節四：歸納小結，強化思想教師活動 1.知識清單 2.學生反思 （1）通過這節課，你學到了什么知識？ （2）在解決問題時，用到了哪些數學思想？學生活動 學生自主總結，學生間補充完善。 設計意圖：加強對本節課所學知識的記憶，加深對數學思想方法的理解，養成總結的好習慣。
板書設計 4.5.3函數模型的應用 數學建模的主要步驟： （1）理解問題 （2）簡化假設 （3）數學建模 （4）求解模型 （5）檢驗模型 （6）評價與應用
作業與拓展學習設計 教材第154頁練習第1、2題
特色學習資源分析、技術手段的應用說明 多媒體課件
教學反思與改進 本節課是比較難上的一節課，對于學生和教師來說都是如此。應用性比較強，計算的冗長可能會影響學生對整體問題思路的把握，需要做好課堂教學的整體規劃。另外應用計算機畫圖必須熟練，否則課堂上就會分散學生的注意力,要讓學生真正從計算機畫圖中認識直線上升、指數爆炸、對數增長等不同函數模型的增長的含義，認識數學的應用價值，認識數學與現實生活、與其他學科的密切聯系,從而體會數學的實用價值,享受數學的應用美。

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