資源簡介

平方差公式
一、課題：《14.2.1平方差公式》
二、教學內容分析：《平方差公式》一課是人教版義務教育課程標準實驗教材八年級上冊第14章第2節的乘法公式的第一課時教學內容。這一內容既是全章的重點,也是教學難點。《平方差公式》是在學習了有理數運算、一元一次方程及二元一次方程組、不等式、整式的加減及整式乘法等知識的基礎上,在學生已經掌握了多項式乘法之后,自然過渡到具有特殊形式的多項式的乘法,是從一般到特殊的認知規律的典型范例.對它的學習和研究,不僅給出了特殊的多項式乘法的簡便算法,而且為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數等內容奠定了基礎,同時也為完全平方公式的學習提供了方法.因此,平方差公式在初中階段的教學中具有很重要地位,是初中階段的一個典型公式.
三、教學目標分析:
學生經歷平方差公式的探索過程,會推導平方差公式,熟悉平方差公式的結構特征,理解公式的幾何背景,并能靈活運用公式進行運算。
在探索平方差公式的過程中,發展學生的符號感和推理能力,體會從特殊到一般,再從一般到特殊的認知規律;感悟數形結合的思想方法,培養學生歸納、概括等能力.
通過自主探索平方差公式,營造主動探究與合作交流的學習氛圍,培養學生主動探究,善于思考,積極進取的學習態度。
教學重點和教學難點：
教學重點:平方差公式的推導和運用；
教學難點:理解平方差公式的結構特征和靈活運用平方差公式進行計算.
教學手段和方法1.教學手段:多媒體 2.教學方法:啟發講授、合作探究
四、學生情況分析：
在前面的學習中，學生已經學習了有理數運算、整式的加減及整式乘法等知識，掌握了多項式乘法的法則，也經歷過對冪的乘法、多項式乘法的推導過程，有一定的邏輯思維，能夠有條理的分析問題。
五、教學過程:
（一）激趣導入
活動1.利用課前幾分鐘時間對學生進行一個速算演示：老師先出一個兩位數乘法；27×23，讓學生速算結果，當學生不能快速算出時。老師再讓學生出題：必須滿足兩位數的十位數字相同，個位數字之和為10，如：59×51，老師快速說出結果：3009。再讓學生出幾個，學生的學習欲望瞬間被點燃，這時老師不失時機的說：大家也可以進行速算，比如：102 、 202、302、1002，學生不以為然，乘勝追擊，升級運算：102×98，那通過今天的學習大家也可以像我一樣快速算出結果，而且也能搞清楚老師是怎么速算的。好，下邊開啟今天的探索之旅。
活動2. 溫故知新
回憶:多項式與多項式相乘的法則（多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加）.
用字母表示為:(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
追問1.我們學習過一種特殊運算：(x+3)(x+5)
追問2.那么當這兩項都相同或是有相反的話，會不會有特殊結果呢？
（二）探究新知
活動3. 探索公式
用多項式乘多項式的方法進行下列計算，看誰算得又對又快
(1)(x+1)(x-1) (2) (m+2)(m-2) (3) (2x+1)(2x-1)
想一想：
觀察上述算式，1.這幾個多項式有什么共同特點？
2.算出結果，又有什么共同特點？
3.你能用式子表示這個規律嗎？
規律:(a+b)(a-b)= a2–b2
追問1.你能用文字語言表述這個規律嗎？
意義：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差》.
活動4.驗證:(a+b)(a-b)= a2–b2
利用多項式乘法法則:
(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2
驗證猜想公式成立。
歸納公式:
平方差公式:(a+b)(a-b)= a2–b2
應用新知
小練習：填表（確定每個式子中的a和b）
(a+b)(a-b) a b a2-b2
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(a+b+c)(a+b-c)
思考：應用平方差公式進行計算的關鍵是什么呢？
平方差公式特征:
確定公式中的a和b；
同號的為a，異號的為b；
(3) 右邊是乘式中兩項的平方差，即(相同項)2-(互為相反項)2 。
活動5. 鞏固練習1
下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？
(1)（x+2)(x-2)=x2-2；
(2)（x+2)(-x-2)=9a2-4；
（發散思維）變式：你能再給（x+2）配一個平方差朋友嗎？
活動6.典例剖析
例1. 計算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ； (2)（-x+2y)(-x-2y).
第（1）老師領著示范，第（2）題學生說老師寫.
活動7（演板）.鞏固練習2.運用平方差公式計算下列各題:
(1) (a+3b)(a-3b); (2)(3+2a)(-3+2a) ; (3) (-2x2-y)(-2x2+y).
活動7.綜合應用
例2. 計算:
(1) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) ； (2)102×98;
活動8.鞏固練習3
2.計算:
(1) 51×49; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
變式：在(2)中，如果已知x=0,那么原式值為 .
（四）數形結合
活動9. 勇于探索
提問：你能用拼圖驗證平方差公式嗎？(a+b)(a-b)= a2–b2
（老師先引導學生分析由公式的左邊以及右邊分別聯想到圖形的什么知識？）
請大家拿出課前準備的邊長為a的正方形紙，以小組為單位動手拼圖，兩個學生代表黑板演示。
圖1.藍色部分長方形的面積為(a+b)(a-b)
圖2.藍色部分的面積為a2–b2
兩部分面積應該是相等的，即(a+b)(a-b)= a2–b2
歸納：利用圖形進行實證也是數學的一種重要方法。
（五）課堂小結：
依據本節課的學習以及參考黑板內容談一下自己有哪些收獲 （從知識到思想方法）或是還有什么疑惑？
（六）達標檢測：
1.下列運算中，可用平方差公式計算的是(　　)
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)
C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)
2.計算：
（1）(mn+9)(9-mn); (2)2x(x-1)-(2x+1)(1-2x)
3.計算： 20192 － 2018×2020.
（七）知舊迎新：前邊列表中有這個題：(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2，今天先算到這里，(a+b)2就是明天我們要學習的“完全平方式”。
六、板書
1.課題 2.目標 3.形4.例1. （演板） 5.例2.
七、反思
本節課依據《新課程標準》的要求，立足于學生的認知基礎上來確定適當的起點與目標。1.內容安排從“溫故知新”滲透“一般到特殊”即讓學生明白“乘法公式”是特殊的“多項式乘法”。2.在“探索公式”中又滲透了“特殊到一般”的探索過程，培養學生由具體到抽象的思維方法。3.在驗證平方差公式時還運用拼圖的知識加以論證，培養學生的數形結合思想。整節課圍繞著學生的邏輯思維層層展開，步步深入，這樣有助于訓練學生觀察、探究、發現、歸納的思維能力，使學生領會到學習數學的思想方法。在教學設計中利用多媒體輔助教學，動手拼圖，使學生體會到數學無處不在,很好的激發了學生的好奇心，培養了學生的創新能力，體現《新課標》的教學理念。
不足：1.在“溫故知新”滲透“一般到特殊”的思想時，可以再深入一下，由（a+b）（p+q）到（a+p）（a+q）再到（a+b）（a-b）是因為p+q=0即p與q互為相反數.
2.在運用拼圖的知識論證平方差公式時，可以邊解釋公式特征邊撕掉“邊長為b”的小正方形，這樣學生的觀察內容更清楚，目標更有指向性，拼圖會更順利。
a2-b2

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