資源簡介

第04講 解三角形
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：基本定理公式 4
知識點2：相關應用 4
知識點3：實際應用 5
解題方法總結 6
題型一：正弦定理的應用 7
題型二：余弦定理的應用 8
題型三：判斷三角形的形狀 9
題型四：正、余弦定理的綜合運用 10
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用 11
題型六：解三角形的實際應用 13
題型七：倍角關系 16
題型八：三角形解的個數 17
題型九：三角形中的面積與周長問題 18
04 真題練習·命題洞見 20
05 課本典例·高考素材 21
06 易錯分析·答題模板 22
易錯點：忽視三角形三角間的聯系與范圍限制 22
答題模板：利用邊角關系解三角形 23
考點要求 考題統計 考情分析
（1）正弦定理、余弦定理及其變形 （2）三角形的面積公式并能應用 （3）實際應用 2024年I卷第15題，13分 2024年II卷第15題，13分 2024年甲卷第11題，5分 2023年I卷II卷第17題，10分 2023年甲卷第16題，5分 2023年乙卷第18題，12分 2022年I卷II卷第18題，12分 高考對本節的考查不會有大的變化，仍將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式的應用為主．從近五年的全國卷的考查情況來看，本節是高考的熱點，主要以考查正余弦定理的應用和面積公式為主．
復習目標： （1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題． （3）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
知識點1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常見變形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面積公式：
（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
【診斷自測】在△ABC中，若，則（ ）
A． B． C． D．
知識點2：相關應用
（1）正弦定理的應用
①邊化角，角化邊
②大邊對大角 大角對大邊
③合分比：
（2）內角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，內角成等差數列．
【診斷自測】（2024·四川眉山·三模）在中，分別是角所對的邊，若，則（ ）
A． B． C． D．
知識點3：實際應用
1、仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
2、方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．
3、方向角：相對于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
4、坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．
【診斷自測】（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過路口后轉向西北方向，圍繞道路打造了一個半徑為的扇形景區，現要修一條與扇形景區相切的觀光道，則的最小值為 ．
解題方法總結
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；
（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
題型一：正弦定理的應用
【典例1-1】（2024·浙江·模擬預測）在中，分別為角的對邊，若，，，則 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【典例1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對角；
（3）兩邊一對角，求第三邊．
【變式1-1】（2024·廣東東莞·模擬預測）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的值為 ．
【變式1-2】（2024·河南信陽·模擬預測）已知中，對應邊分別是，若，則 .
【變式1-3】（2024·湖北黃石·三模）若的三個內角，，所對的邊分別為，，，，，則（ ）
A． B． C． D．6
【變式1-4】（2024·高三·江西贛州·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-5】在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
題型二：余弦定理的應用
【典例2-1】在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且．若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2-2】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，其中，，角B= .
【方法技巧】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【變式2-1】已知分別為的內角的對邊，且.角 .
【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則 .
【變式2-3】（2024·江西宜春·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若，則角= .
題型三：判斷三角形的形狀
【典例3-1】（2024·河北秦皇島·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形 B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
【典例3-2】在中，內角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
【變式3-1】在中，若，則這個三角形是 ．
【變式3-2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【變式3-3】在△ABC中，，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【變式3-4】在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【變式3-5】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形 D．等腰直角三角形
題型四：正、余弦定理的綜合運用
【典例4-1】在中內角所對邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·山東·模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，則 ．
【方法技巧】
先利用平面向量的有關知識如向量數量積將向量問題轉化為三角函數形式，再利用三角函數轉化求解．
【變式4-1】（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
【變式4-2】（2024·新疆·一模）在中，角的對應邊是，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】 中，角所對的邊分別為，若，且，則角
【變式4-4】（2024·四川攀枝花·二模）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則 ．
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用
【典例5-1】已知向量.
(1)求的取值范圍；
(2)記，在中，角的對邊分別為且滿足，求函數的值域.
【典例5-2】（2024·浙江·模擬預測）已知函數．
（1）當時，求的取值范圍；
（2）已知銳角三角形的內角所對的邊分別為，且滿足，求的面積．
【方法技巧】
正、余弦定理與三角函數性質的結合應用，主要體現在解三角形問題中。通過利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的邊長和角度。同時，結合三角函數的性質，如和差化積、積化和差等，可以進一步簡化計算過程，提高解題效率。
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預測）已知函數，將的圖象橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位后得到的圖象，且在區間內的最大值為.
（1）求的值；
（2）在銳角中，若，求的取值范圍.
【變式5-2】已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【變式5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及單調遞減區間；
（2）已知銳角的內角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．
【變式5-4】（2024·北京·三模）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
題型六：解三角形的實際應用
【典例6-1】中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為 ．

【典例6-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角，點C的仰角，以及.從點C測得,已知山高，則山高 m.
【方法技巧】
根據題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關系，利用三角知識求解．
【變式6-1】（2024·寧夏銀川·三模）某同學為測量塔的高度，選取了與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得在點測得塔頂A的仰角為，則塔高 m.
【變式6-2】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，在山腳測得山頂的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走米到，在出測得山頂得仰角為，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值）
(2)求證;山高
【變式6-3】（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
【變式6-4】如圖所示，在同一個鉛垂面，在山腳測得山頂的仰角為，斜坡長為，在處測得山頂的仰角為，則山的高度為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-5】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點A處進行射擊訓練．已知點A到墻面的距離為，某目標點沿墻面的射擊線移動，此人為了準確瞄準目標點，需計算由點A觀察點的仰角的大小(仰角為直線與平面所成角)．若，，，則的最大值（ ）
A． B． C． D．
【變式6-6】（2024·廣東·二模）在一堂數學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A． B． C． D．
題型七：倍角關系
【典例7-1】記的內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)若，求的面積.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
【方法技巧】
解三角形中的倍角關系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個角的大小，來求解其兩倍角的大小所對應的三角函數值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。
【變式7-1】（2024·吉林長春·模擬預測）的內角所對的邊分別為，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【變式7-2】在中，角、、的對邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．
【變式7-3】（2024·福建三明·高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.
(1)證明：；
(2)若，證明：.
題型八：三角形解的個數
【典例8-1】設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【典例8-2】在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，且有唯一解，則的取值范圍是 .
【方法技巧】
三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．
【變式8-1】在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為 .
【變式8-2】在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是 ．
【變式8-3】在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是 ．
【變式8-4】若滿足，，的恰有一個，則實數k的取值范圍是 ．
題型九：三角形中的面積與周長問題
【典例9-1】（2024·重慶·模擬預測）已知的內角所對的邊分別為，滿足，，且，則邊 ．
【典例9-2】記的內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長
【方法技巧】
解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
【變式9-1】（2024·山東青島·三模）設三角形的內角、、的對邊分別為、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，邊上的高為，求三角形的周長．
【變式9-2】（2024·重慶·三模）已知函數的最小正周期為
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)已知的三邊長分別為a，b，c，其所對應的角為A，B，C，且，，，求該三角形的周長.
【變式9-3】（2024·西藏·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分線交于點，且，，求的面積．
【變式9-4】（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對邊分別為．
(1)求的大小；
(2)若，且邊上的中線長為，求的面積．
【變式9-5】（2024·安徽蕪湖·三模）已知分別為三個內角的對邊，且
(1)求；
(2)若的面積為，為邊上一點，滿足，求的長．
1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年北京高考數學真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
5．（2022年新高考浙江數學高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面積為，求b，c的值.
2．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
3．已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設，求證：
（1）三角形的面積；
（2）若r為三角形的內切圈半徑，則；
（3）把邊BC，AC，AB上的高分別記為,則，，.
4． 的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為，利用余弦定理證明，，
5．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.
易錯點：忽視三角形三角間的聯系與范圍限制
易錯分析： 在解答過程中易忽視三角形中三內角的聯系及三角形各內角大小范圍的限制，易使思路受阻或解答出現增解現象.
【易錯題1】在中，，，，則角A的大小為（ ）
A． B．或 C． D．或
【易錯題2】在中，已知，，，則角__________．
答題模板：利用邊角關系解三角形
1、模板解決思路
如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理．
2、模板解決步驟
第一步：結合正弦定理、余弦定理將關系式中的角化邊或者邊化角．
第二步：化簡上一步所得的式子，結合已知條件和余弦定理與正弦定理來進一步求解．
【經典例題1】中，角，，的對邊分別為，，，若．
(1)求；
(2)若且的面積為，求邊長．
【經典例題2】中， 角A， B， C所對應的邊分別是a， b， c，且
(1)求A；
(2)若， 求BC邊上高的最大值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 解三角形
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：基本定理公式 4
知識點2：相關應用 5
知識點3：實際應用 6
解題方法總結 7
題型一：正弦定理的應用 8
題型二：余弦定理的應用 11
題型三：判斷三角形的形狀 14
題型四：正、余弦定理的綜合運用 17
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用 20
題型六：解三角形的實際應用 27
題型七：倍角關系 32
題型八：三角形解的個數 36
題型九：三角形中的面積與周長問題 38
04 真題練習·命題洞見 43
05 課本典例·高考素材 46
06 易錯分析·答題模板 49
易錯點：忽視三角形三角間的聯系與范圍限制 49
答題模板：利用邊角關系解三角形 50
考點要求 考題統計 考情分析
（1）正弦定理、余弦定理及其變形 （2）三角形的面積公式并能應用 （3）實際應用 2024年I卷第15題，13分 2024年II卷第15題，13分 2024年甲卷第11題，5分 2023年I卷II卷第17題，10分 2023年甲卷第16題，5分 2023年乙卷第18題，12分 2022年I卷II卷第18題，12分 高考對本節的考查不會有大的變化，仍將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式的應用為主．從近五年的全國卷的考查情況來看，本節是高考的熱點，主要以考查正余弦定理的應用和面積公式為主．
復習目標： （1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形． （2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題． （3）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題．
知識點1：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則
定理 正弦定理 余弦定理
公式 ； ； ．
常見變形 （1），，； （2），，； ； ； ．
（2）面積公式：
（r是三角形內切圓的半徑，并可由此計算R，r．）
【診斷自測】在△ABC中，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理得，即，解得.故選：A.
知識點2：相關應用
（1）正弦定理的應用
①邊化角，角化邊
②大邊對大角 大角對大邊
③合分比：
（2）內角和定理：
①
同理有：，．
②；
③斜三角形中，
④；
⑤在中，內角成等差數列．
【診斷自測】（2024·四川眉山·三模）在中，分別是角所對的邊，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，又由題知，
所以，整理得到，，
又由余弦定理，所以，所以，
又，所以.
故選：C.
知識點3：實際應用
1、仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．
2、方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．
3、方向角：相對于某一正方向的水平角．
（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉α到達目標方向（如圖③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉α到達目標方向．
（3）南偏西等其他方向角類似．
4、坡角與坡度
（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數（如圖④，角θ為坡角）．
（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．
【診斷自測】（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過路口后轉向西北方向，圍繞道路打造了一個半徑為的扇形景區，現要修一條與扇形景區相切的觀光道，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】如圖，設切點為，連接．由題意得，
設，
在中，
,
當且僅當時取等號．
設，則，
所以，
故
（當且僅當時取等號），
所以，
解得，所以的最小值為．
故答案為：.
解題方法總結
1、方法技巧：解三角形多解情況
在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：
A為銳角 A為鈍角或直角
圖形
關系式
解的個數 一解 兩解 一解 一解 無解
2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：
（1）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“角化邊”；
（2）若式子含有的齊次式，優先考慮正弦定理，“邊化角”；
（3）若式子含有的齊次式，優先考慮余弦定理，“角化邊”；
（4）代數變形或者三角恒等變換前置；
（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理使用；
（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．
3、三角形中的射影定理
在 中，；；．
題型一：正弦定理的應用
【典例1-1】（2024·浙江·模擬預測）在中，分別為角的對邊，若，，，則 （ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，根據進而求出，，
由可得，，
則，
由正弦定理可知，
又因為，解得，，
由正弦定理可得．
故選：B．
【典例1-2】（2024·江西九江·三模）在中，角所對的邊分別為，已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
由正弦定理，
因為，
展開化簡，
又.
故選:B.
【方法技巧】
（1）已知兩角及一邊求解三角形；
（2）已知兩邊一對角；
（3）兩邊一對角，求第三邊．
【變式1-1】（2024·廣東東莞·模擬預測）在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，，則的值為 ．
【答案】/
【解析】由，可得，
解得，所以為等邊三角形，
故外接圓直徑為
所以．
故答案為：.
【變式1-2】（2024·河南信陽·模擬預測）已知中，對應邊分別是，若，則 .
【答案】2
【解析】因為，，
所以，即，
所以，由正弦定理得，
因為，
所以，
所以，即，
因為，
所以，
所以或，即或（舍）
所以.
故答案為：
【變式1-3】（2024·湖北黃石·三模）若的三個內角，，所對的邊分別為，，，，，則（ ）
A． B． C． D．6
【答案】B
【解析】在中，，所以，所以，
由正弦定理以及比例的性質可得：.
故選：B
【變式1-4】（2024·高三·江西贛州·期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以，
因為，所以．
故選：C.
【變式1-5】在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據正弦定理得，
所以，
因為為三角形內角，則，則.
故選：C.
題型二：余弦定理的應用
【典例2-1】在中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且．若，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】，
，
，．
，即．
，，即．
故選：D
【典例2-2】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，其中，，角B= .
【答案】
【解析】根據余弦定理：得，
即，
因為，所以，
所以，又，得，
故答案為：
【方法技巧】
（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．
（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，
若余弦值
【變式2-1】已知分別為的內角的對邊，且.角 .
【答案】
【解析】在中，由余弦定理得，，代入得，
則，即，
即，因為，但時上式不成立，
所以，所以，則.
故答案為：
【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則 .
【答案】
【解析】，
由余弦定理有：，
又，所以原式.
故答案為：
【變式2-3】（2024·江西宜春·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，
，或，
可得或．
故選：D．
【變式2-4】在銳角三角形中，角所對的邊分別為，若，則角= .
【答案】
【解析】因為，所以
所以，，
，．，．
故答案為：
題型三：判斷三角形的形狀
【典例3-1】（2024·河北秦皇島·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且，，則（ ）
A．為直角三角形 B．為銳角三角形
C．為鈍角三角形 D．的形狀無法確定
【答案】A
【解析】由，可得，
則，
，
，
即，
由，故只能為銳角，可得，
因為，所以，.
故選：A.
【典例3-2】在中，內角的對邊分別為若滿足，則該三角形為（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．不能確定
【答案】B
【解析】在中，已知
由正弦定理得，
所以即
又，則，則，
所以所以該三角形為等腰三角形.
故選：B.
【方法技巧】
（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．
【變式3-1】在中，若，則這個三角形是 ．
【答案】等腰或直角三角形/直角或等腰三角形
【解析】因為，
所以，，
，則，所以，，
即，所以，，
，即，
整理可得，即或，
因此，為等腰或直角三角形.
故答案為：等腰或直角三角形.
【變式3-2】（2024·陜西渭南·三模）已知中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若，且，則是（ ）
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】，
即，故，
，
因為，所以，故，
因為，所以，
故為等腰直角三角形.
故選：D
【變式3-3】在△ABC中，，則△ABC的形狀是（ ）
A．等腰三角形但一定不是直角三角形
B．等腰直角三角形
C．直角三角形但一定不是等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【答案】C
【解析】原式可化為，然后利用正弦定理、余弦定理進行邊角互化，得出，，的關系.由得：，且，
∴，且，
∴，
∴，
化簡整理得：，即，
∴或，又，
∴△ABC是直角三角形但一定不是等腰三角形.
故選：C.
【變式3-4】在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c若，則的形狀是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】在中，由及正弦定理得，而，
整理得，即，而，
則，因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故選：C
【變式3-5】（2024·內蒙古赤峰·一模）已知的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足，且，則的形狀為（ ）
A．等邊三角形 B．頂角為的等腰三角形
C．頂角為的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得，
因為，所以，
所以，即，
即，因為，所以，
所以，因為，所以，所以，
因為，所以，
所以，即，
即，因為，所以，所以，
因為.所以，
所以的形狀為頂角為的等腰三角形.
故選：B.
題型四：正、余弦定理的綜合運用
【典例4-1】在中內角所對邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據正弦定理得，
所以，
因為為三角形內角，則，則.
故選：C.
【典例4-2】（2024·山東·模擬預測）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以，所以，
即，由正弦定理可得，
所以，所以，
所以，
即，
因為，所以，所以.
故答案為：
【方法技巧】
先利用平面向量的有關知識如向量數量積將向量問題轉化為三角函數形式，再利用三角函數轉化求解．
【變式4-1】（2024·四川綿陽·一模）中，角、、的對邊分別為a、b、c，若，則的周長為 ．
【答案】
【解析】因為，
所以，
即.，
由正弦定理可得：，
由余弦定理可得：，整理得：.
因為，
所以，整理得：，
則，
所以，
故答案為：.
【變式4-2】（2024·新疆·一模）在中，角的對應邊是，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以由余弦定理可得，
利用正弦定理邊化角得，
因為，所以，且，
由得，
所以，
整理得，
解得或，
所以或，
又，所以，所以.
故選：B
【變式4-3】 中，角所對的邊分別為，若，且，則角
【答案】
【解析】，，，
，，
，
，
，
，
因為，所以，
或（舍），，
因為，
即，，
，，
，.
故答案為：.
【變式4-4】（2024·四川攀枝花·二模）的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則 ．
【答案】
【解析】由，
由余弦定理得，
由正弦定理得，
因為，
即，
即，
因為，則，
因為，故.
故答案為：
題型五：正、余弦定理與三角函數性質的結合應用
【典例5-1】已知向量.
(1)求的取值范圍；
(2)記，在中，角的對邊分別為且滿足，求函數的值域.
【解析】（1）（1）因為，
可得
，
因為，所以.
（2）由題意得
，可得，
因為，由正弦定理得，
所以，所以，
又因為，則，且，所以，
因為，所以，所以，則，
則，所以函數的值域是.
【典例5-2】（2024·浙江·模擬預測）已知函數．
（1）當時，求的取值范圍；
（2）已知銳角三角形的內角所對的邊分別為，且滿足，求的面積．
【解析】（1）由題意得，．
∵，∴，
∴．
故當時，的取值范圍是．
（2）∵，
∴由（1）得，∴．
又，∴，∴．
∵，且，∴，
∴，
∴由正弦定理得，，
∴．
【方法技巧】
正、余弦定理與三角函數性質的結合應用，主要體現在解三角形問題中。通過利用正弦定理和余弦定理，可以方便地求解三角形的邊長和角度。同時，結合三角函數的性質，如和差化積、積化和差等，可以進一步簡化計算過程，提高解題效率。
【變式5-1】（2024·浙江·模擬預測）已知函數，將的圖象橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位后得到的圖象，且在區間內的最大值為.
（1）求的值；
（2）在銳角中，若，求的取值范圍.
【解析】（1）將函數的圖象橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再向左平移個單位后得到的圖象，
則，
，，
當，即時，最大值，所以，；
（2），
，則，所以，，所以，，
，
是銳角三角形，由，解得，
所以，，，則.
【變式5-2】已知函數.
(1)求函數的單調遞減區間；
(2)在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，求的取值范圍.
【解析】（1）
令，則
所以，單調減區間是.
（2）由得：
，即，
由于，所以.
在中，，
，
于是，則，，
，所以.
【變式5-3】（2024·高三·北京昌平·期末）已知，，
（1）求的最小正周期及單調遞減區間；
（2）已知銳角的內角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．
【解析】（1）
．
的最小正周期為：；
當時，
即當時，函數單調遞減，
所以函數單調遞減區間為：；
（2）因為，所以
，，
，．
設邊上的高為，所以有，
由余弦定理可知：，
，，
（當用僅當時，取等號），所以，
因此邊上的高的最大值.
【變式5-4】（2024·北京·三模）已知函數的最小正周期為.
(1)求的值；
(2)在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.c為在上的最大值，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求的取值范圍.條件①：；條件②：；條件③：的面積為S，且.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個條件計分.
【解析】（1）由題意可知：，
因為函數的最小正周期為，且，所以.
（2）由（1）可知：，
因為，則，
可知當，即時，取到最大值3，即.
若條件①：因為，
由正弦定理可得，
又因為，
可得，且，則，
可得，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若條件②；因為，
由正弦定理可得：，
則，
因為，則，
可得，
即，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為；
若選③：因為，則，
整理得，且，所以，
由正弦定理可得，可得，
則
，
因為銳角三角形，則，解得，
可得，則，可得
所以的取值范圍為.
題型六：解三角形的實際應用
【典例6-1】中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點處（，，三點共線）測得建筑物頂部，鸛雀樓頂部的仰角分別為和，在處測得樓頂部的仰角為，則鸛雀樓的高度約為 ．

【答案】74
【解析】由題設及圖知：，則，
在中m.
故答案為：74
【典例6-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，為測量山高，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點，從點A測得點M的仰角，點C的仰角，以及.從點C測得,已知山高，則山高 m.
【答案】
【解析】在中，因為，所以，
在中，因為，，可得，
因為，所以，
在直角中，可得.
故答案為：.
【方法技巧】
根據題意畫出圖形，將題設已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關系，利用三角知識求解．
【變式6-1】（2024·寧夏銀川·三模）某同學為測量塔的高度，選取了與塔底B在同一水平面內的兩個測量基點與，現測得在點測得塔頂A的仰角為，則塔高 m.
【答案】
【解析】因為在中，，，，
所以，
由正弦定理得，即，解得，
在中，，所以，
故塔高.
故答案為：.
【變式6-2】（2024·寧夏銀川·二模）如圖，在山腳測得山頂的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走米到，在出測得山頂得仰角為，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度與水平寬度的比值）
(2)求證;山高
【解析】（1）坡面的坡比為
（2）在中,
在中,根據正弦定理
所以山高為
【變式6-3】（2024·陜西西安·模擬預測）在高的樓頂處，測得正西方向地面上兩點與樓底在同一水平面上）的俯角分別是和，則兩點之間的距離為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意，
而，
所以.
故選：D
【變式6-4】如圖所示，在同一個鉛垂面，在山腳測得山頂的仰角為，斜坡長為，在處測得山頂的仰角為，則山的高度為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
因為，，
所以，
則，
在中，由正弦定理得，
，
則，
得，
在直角三角形中，，
得.
故選：D
【變式6-5】如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點A處進行射擊訓練．已知點A到墻面的距離為，某目標點沿墻面的射擊線移動，此人為了準確瞄準目標點，需計算由點A觀察點的仰角的大小(仰角為直線與平面所成角)．若，，，則的最大值（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由勾股定理可得，，過作，交于，連結，
則，設，則，
在中，，，所以，
則，可得，
所以，
當，即時，取得最大值為.
故選：D.
【變式6-6】（2024·廣東·二模）在一堂數學實踐探究課中，同學們用鏡而反射法測量學校鐘樓的高度.如圖所示，將小鏡子放在操場的水平地面上，人退后至從鏡中能看到鐘樓頂部的位置，此時測量人和小鏡子的距離為，之后將小鏡子前移，重復之前的操作，再次測量人與小鏡子的距離為，已知人的眼睛距離地面的高度為，則鐘樓的高度大約是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下圖，設鐘樓的高度為，
由，可得：，
由，可得：，
故，
故，
故選：D.
題型七：倍角關系
【典例7-1】記的內角的對邊分別為，已知.
(1)證明：；
(2)若，求的面積.
【解析】（1）證明：由及正弦定理得：，
整理得，.
因為，
所以，
所以或，
所以或（舍），
所以.
（2）由及余弦定理得:，
整理得，
又因為，可解得，
則，所以△是直角三角形，
所以△的面積為.
【典例7-2】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.
（1）求證：；
（2）若，求.
【解析】（1）證明：因為，由正弦定理，得，
所以，所以.
又因為，，所以或.
若，又，所以，與a，b，c互不相等矛盾，
所以.
（2）由（1）知，所以.
因為，所以，則，
可得.
又因為
所以.
因為，所以，所以，
所以，
解得，
又，得.
【方法技巧】
解三角形中的倍角關系，主要涉及到正弦、余弦等三角函數的倍角公式。這些公式允許我們通過已知的一個角的大小，來求解其兩倍角的大小所對應的三角函數值，從而在解三角形問題時提供更多的信息和靈活性。
【變式7-1】（2024·吉林長春·模擬預測）的內角所對的邊分別為，則（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】A
【解析】因為，
所以，故，
由正弦定理可得，
所以，又，
所以，又，
所以，，
故
由勾股定理可得，
所以，
故選：A.
【變式7-2】在中，角、、的對邊分別為、、，若．
(1)求證：；
(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．
【解析】（1），
，
或
當時，，，即，
綜上
（2），，，
，
，
設，，，，
在中：
，
【變式7-3】（2024·福建三明·高三統考期末）非等腰的內角、、的對應邊分別為、、，且.
(1)證明：；
(2)若，證明：.
【解析】（1）由正弦定理，得，
，由，
則.
（2）由，則為銳角，，
則，去分母得，
則，由則.
由（1）有，得.
解方程組，消元，
則，可得，
要證，即證，
只需證，
即證，
即證，由，此不等式成立，得證.
另令，，又，
求導得，則在遞增，
則，得證.
題型八：三角形解的個數
【典例8-1】設在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由正弦定理，即，所以，
因為不唯一，即有兩解，所以且，即，
所以，所以，即；
故選：A
【典例8-2】在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若，且有唯一解，則的取值范圍是 .
【答案】或
【解析】由正弦定理得，
因為有唯一解，當時，即，
唯一，符合題意，得；
當時，有兩個值，不唯一，不合題意；
當時，，
所以，唯一，符合題意，得.
所以的取值范圍為或.
故答案為：或.
【方法技巧】
三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．
【變式8-1】在中，已知，，若有兩解，則邊的取值范圍為 .
【答案】
【解析】
由圖可得，要使有兩解，則，即，解得.
故答案為：.
【變式8-2】在中，，若該三角形有兩解，則x的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由可得
因為，所以
要使三角形有兩解，所以且
所以，即，解得，
故答案為：
【變式8-3】在中，已知，，，若存在兩個這樣的三角形，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由正弦定理，要使有兩解，則，即，
所以，即的取值范圍是.
法二：由正弦定理可得，
由題意可知：關于的方程：在有兩解，
在同一坐標系內分別作出曲線，和水平直線，
因為它們有兩個不同的交點，所以，所以.
故答案為：
【變式8-4】若滿足，，的恰有一個，則實數k的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】已知，則由正弦定理，則，
又，當時，有兩解；
當或時，有唯一解，故．
故答案為：
題型九：三角形中的面積與周長問題
【典例9-1】（2024·重慶·模擬預測）已知的內角所對的邊分別為，滿足，，且，則邊 ．
【答案】
【解析】因為，由正弦定理可得：，
所以，由余弦定理可得：，
因為，所以，
因為，所以，
由正弦定理可得：，，
所以，即
故答案為：
【典例9-2】記的內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若，的面積為，求的周長
【解析】（1）由
又得
其中
化簡得
又得.
即
因為是三角形的內角，所以.
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，得，
所以的周長為．
【方法技巧】
解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．
【變式9-1】（2024·山東青島·三模）設三角形的內角、、的對邊分別為、、且．
(1)求角的大小；
(2)若，邊上的高為，求三角形的周長．
【解析】（1）因為，，為的內角，所以，
因為，所以可化為：，
即，即，
因為，解得：，即．
（2）由三角形面積公式得，代入得：，
所以，由余弦定理得：，
解得：或舍去，即，
所以的周長為.
【變式9-2】（2024·重慶·三模）已知函數的最小正周期為
(1)求函數的單調遞增區間；
(2)已知的三邊長分別為a，b，c，其所對應的角為A，B，C，且，，，求該三角形的周長.
【解析】（1）由函數的最小正周期為，
所以，即，所以，
令，解得，
所以函數的單調遞增區間為.
（2）因為，所以，
因為，可得，所以，解得，
因為，所以，
由余弦定理，可得，
所以，所以，
則的周長為
【變式9-3】（2024·西藏·模擬預測）已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若的平分線交于點，且，，求的面積．
【解析】（1）由正弦定理及，得，
所以，
整理，得．
因為，所以，即．
因為，所以．
（2）因為為的平分線，所以，
即，
化簡，得，
由，得，
所以
．
【變式9-4】（2024·安徽滁州·三模）在中，角的對邊分別為．
(1)求的大小；
(2)若，且邊上的中線長為，求的面積．
【解析】（1），
由余弦定理得，
化簡得．
；
（2）由（1）可得①，
又②，
取的中點，連接，
在中，③，
由②③得④，
由①④得，解得或（舍去），
，
.
【變式9-5】（2024·安徽蕪湖·三模）已知分別為三個內角的對邊，且
(1)求；
(2)若的面積為，為邊上一點，滿足，求的長．
【解析】（1）由正弦定理有，
因為，
所以，
化簡得，
由有，可得，
因為，
所以，則．
（2）由有
又可得，
聯立解得，所以為正三角形，
所以，
在中，由余弦定理得．
故的長為.
1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）在中,內角所對的邊分別為，若，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，則由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根據正弦定理得，
所以，
因為為三角形內角，則，則.
故選：C.
2．（2023年北京高考數學真題）在中，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以由正弦定理得，即，
則，故，
又，所以.
故選：B.
3．（2023年高考全國乙卷數學（文）真題）在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
4．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
【答案】
【解析】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
5．（2022年新高考浙江數學高考真題）我國南宋著名數學家秦九韶，發現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
【答案】.
【解析】因為，所以．
故答案為：.
1．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.
(1)求A；
(2)若a=2，的面積為，求b，c的值.
【解析】（1）由及正弦定理得
.
因為，
所以.
由于，
所以.
又，故.
（2）由題得的面積，故①.
而，且，故②，
由①②得.
2．為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量，A，B，M，N在同一個鉛垂平面內（如示意圖），飛機能夠測量的數據有俯角和A，B間的距離，請設計一個方案，包括：①指出需要測量的數據（用字母表示，并在圖中標出）；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.
【解析】
要求長度，需要測量的數據有：點到，點的俯角，最后通過正弦定理得到最終結果.
①需要測量的數據有：點到，點的俯角；
點到，的俯角；，的距離 ……….
②第一步：計算. 由正弦定理　；
第二步：計算. 由正弦定理　；
第三步：計算. 由余弦定理
3．已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設，求證：
（1）三角形的面積；
（2）若r為三角形的內切圈半徑，則；
（3）把邊BC，AC，AB上的高分別記為,則，，.
【解析】證明：（1）根據余弦定理的推論得，
則，代入，
得
又，
所以，
代入可得；
（2）因為，所以三角形的周長，
又三角形的面積，其中r為內切圓半徑，
所以；
（3）根據三角形的面積公式，
得.
同理可證，.
4． 的三邊分別為a，b，c，邊BC，CA，AB上的中線分別記為，利用余弦定理證明，，
【解析】證明：根據余弦定理得，
所以，
所以，
同理可得，.
5．一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向東.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B（AB與河的方向垂直）的正西方向并且與B相距的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，求合速度的方向，并求此時小貨船航行速度的大小.
【解析】如圖
，
，
，
∴合速度的方向與水流的方向成150°的角.
設小貨船的速度為，水流速度為，合速度為，則，
∴小船航行速度的大小為.
易錯點：忽視三角形三角間的聯系與范圍限制
易錯分析： 在解答過程中易忽視三角形中三內角的聯系及三角形各內角大小范圍的限制，易使思路受阻或解答出現增解現象.
【易錯題1】在中，，，，則角A的大小為（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】
由正弦定理可得，
，
，
故或，
則或
故選
【易錯題2】在中，已知，，，則角__________．
【答案】
【解析】，，，
由正弦定理，
可得：，
，A為銳角，
可得：，
故答案為：
答題模板：利用邊角關系解三角形
1、模板解決思路
如果遇到的式子含角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子含角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理．
2、模板解決步驟
第一步：結合正弦定理、余弦定理將關系式中的角化邊或者邊化角．
第二步：化簡上一步所得的式子，結合已知條件和余弦定理與正弦定理來進一步求解．
【經典例題1】中，角，，的對邊分別為，，，若．
(1)求；
(2)若且的面積為，求邊長．
【解析】（1）中，，
由正弦定理得，
又，
所以，
由于，，有，
所以，又，則，所以.
（2）由（1），
而，
由正弦定理有，從而，，
由三角形面積公式可知，的面積可表示為，
由已知的面積為，可得，所以.
【經典例題2】中， 角A， B， C所對應的邊分別是a， b， c，且
(1)求A；
(2)若， 求BC邊上高的最大值.
【解析】（1）因為
由正弦定理得，
因為,
所以，
所以
因為，
所以，
所以，所以，
因為
所以，.
（2）因為，，
由余弦定理得： ，即，
因為即，即，
，
設中BC邊上高為，則，所以，
即BC邊上高的最大值為.
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