資源簡介

第03講 三角函數的圖象與性質
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 4
知識點2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質 5
知識點3：與的圖像與性質 6
解題方法總結 8
題型一：五點作圖法 9
題型二：函數的奇偶性 11
題型三：函數的周期性 12
題型四：函數的單調性 14
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心） 16
題型六：函數的定義域、值域（最值） 18
題型七：三角函數性質的綜合應用 19
題型八：根據條件確定解析式 22
題型九：三角函數圖像變換 25
題型十：三角函數實際應用問題 27
04真題練習·命題洞見 30
05課本典例·高考素材 31
06易錯分析·答題模板 33
易錯點：三角函數圖象變換錯誤 33
答題模板：求三角函數解析式 34
考點要求 考題統計 考情分析
（1）正弦函數、余弦函數和正切函數的圖像性質 （2）三角函數圖像的平移與變換 （3）三角函數實際應用問題 2024年天津卷第7題，5分 2024年北京卷第6題，5分 2024年II卷第9題，6分 2023年甲卷第12題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年I卷第15題，5分 本節命題趨勢仍是突出以三角函數的圖像、周期性、單調性、奇偶性、對稱性、最值等重點內容展開，并結合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內容綜合考查，因此復習時要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應用意識．
復習目標： （1）理解正、余弦函數在區間內的性質．理解正切函數在區間內的單調性． （2）了解函數的物理意義，能畫出的圖像，了解參數對函數圖像的影響． （3）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數，會用三角函數解決一些簡單的實際問題．
知識點1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
【診斷自測】已知向量，向量，令．
0

(1)化簡，并在給出的直角坐標系中用描點法畫出函數在內的圖象；
(2)求函數的值域．
知識點2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
【診斷自測】（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．
C．函數在上單調遞增
D．方程的解為，
知識點3：與的圖像與性質
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．
（5）單調性．
假設．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少．
【診斷自測】（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數為偶函數，將圖象上的所有點向左平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標變為原來的，得到函數的圖象，若的圖象過點，則（ ）
A．函數的最小正周期為1
B．函數圖象的一條對稱軸為
C．函數在上單調遞減
D．函數在上恰有5個零點
解題方法總結
1、關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
2、與三角函數的奇偶性相關的結論
(1)若為偶函數，則；若為奇函數，則.
(2)若為偶函數，則；若為奇函數，則.
(3)若為奇函數，則.
題型一：五點作圖法
【典例1-1】已知函數，.
(1)在用“五點法”作函數在區間上的圖象時，列表如下：
0
將上述表格填寫完整，并在坐標系中畫出函數的圖象；

(2)求函數在區間上的最值以及對應的的值.
【典例1-2】某同學用“五點法”畫函數，在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
0
0 0
(1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數的解析式；
(2)當時，求不等式的解集．
【方法技巧】
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
【變式1-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）已知函數.
(1)完善下面的表格并作出函數在上的圖象：
0
1
(2)將函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，解不等式.
【變式1-2】設函數.
(1)列表并畫出，的圖象；

(2)求函數在區間上的值域.
題型二：函數的奇偶性
【典例2-1】若將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，且為奇函數，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·重慶·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位后，所得圖象關于坐標原點對稱，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
由是奇函數和是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：
（1）若為奇函數，則；
（2）若為偶函數，則；
（3）若為奇函數，則；
（4）若為偶函數，則；
若為奇函數，則，該函數不可能為偶函數．
【變式2-1】（2024·青海西寧·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的函數圖象關于軸對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·四川成都·一模）已知函數滿足：，函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【變式2-3】已知，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
題型三：函數的周期性
【典例3-1】（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
關于三角函數周期的幾個重要結論：
（1）函數的周期分別為，．
（2）函數，的周期均為
（3）函數的周期均．
【變式3-1】已知函數，則（　　）
A．2025 B．
C． D．
【變式3-2】已知函數，如果存在實數，使得對任意的實數，都有成立，則的最小值為
A． B． C． D．
【變式3-3】設函數（，，是常數，，）．若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為_______．
【變式3-4】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數，如圖是直線與曲線的兩個交點，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【變式3-5】（2024·遼寧·二模）A，B，C是直線與函數（，）的圖象的三個交點，如圖所示．其中，點，B，C兩點的橫坐標分別為，若，則（ ）
A． B．-1 C． D．2
題型四：函數的單調性
【典例4-1】（2024·全國·二模）已知函數，，則函數的單調遞減區間為 .
【典例4-2】（2024·高三·山東青島·期末）函數的單調減區間為 ．
【方法技巧】
三角函數的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．
如函數的單調區間的確定基本思想是吧看做是一個整體，
如由解出的范圍，所得區間即為增區間；
由解出的范圍，所得區間即為減區間．
若函數中，可用誘導公式將函數變為，則的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．
對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．
【變式4-1】函數在上的單調遞減區間為 .
【變式4-2】（2024·湖北·二模）將函數的圖象上每一點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數（ ）
A．在區間上單調遞減 B．在區間上單調遞增
C．在區間上單測遞減 D．在區間上單調遞增
【變式4-3】（2024·湖南長沙·二模）已知函數的最小正周期為，直線是圖象的一條對稱軸，則的單調遞減區間為（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式4-4】已知函數，若函數的圖象向左平移個單位長度后得到的函數的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式4-5】的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）
【典例5-1】（2024·上海松江·校考模擬預測）已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.
【典例5-2】寫出函數的一個對稱中心： .
【方法技巧】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得
，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
【變式5-1】（2024·高三·河南·期末）將函數圖象向右平移個單位，得到的圖象關于直線對稱，則的最小值為 .
【變式5-2】（2024·河南開封·模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為 ．
【變式5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函數的圖象關于對稱，且其相鄰對稱軸之間的距離為，則 ．
【變式5-4】（2024·四川成都·模擬預測）函數的圖象關于直線對稱，則
題型六：函數的定義域、值域（最值）
【典例6-1】實數滿足，則的范圍是___________.
【典例6-2】求的值域.
【方法技巧】
求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設，化為一次函數在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設，化為二次函數在閉區間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設，則，故，故原函數化為二次函數在閉區間上的最值求解．
（5）與，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于或的函數求解釋務必注意或的范圍．
（6）導數法
（7）權方和不等式
【變式6-1】設，則的最小值為__________.
【變式6-2】（2024·上海崇明·二模）已知實數滿足：，則的最大值是 ．
【變式6-3】已知函數，該函數的最大值為__________．
【變式6-4】函數的值域為 .
【變式6-5】函數在區間上的最大值與最小值之和是 .
【變式6-6】（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
【變式6-7】已知向量，函數.
(1)求；
(2)若把的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，求在上的值域.
【變式6-8】函數的值域為_____________．
題型七：三角函數性質的綜合應用
【典例7-1】（多選題）（2024·貴州六盤水·三模）已知函數，若函數圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為，為函數圖象的一條對稱軸，則（　　）
A．
B．
C．點是函數圖象的對稱中心
D．將函數的圖象向左平移個單位長度后所得函數的圖象關于軸對稱
【典例7-2】（多選題）（2024·安徽·三模）已知函數，則（ ）
A．是偶函數 B．的最小正周期是
C．的值域為 D．在上單調遞增
【方法技巧】
三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因為對稱性奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖像關于軸對稱，則函數為偶函數）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調性（在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）
【變式7-1】（多選題）（2024·廣東廣州·三模）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-2】（多選題）（2024·黑龍江佳木斯·三模）關于函數，則下列說法正確是（ ）
A．是函數的一個周期 B．在上單調遞減
C．函數圖像關于直線對稱 D．當時，函數有40個零點
【變式7-3】函數的部分圖象如圖所示．

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的最大值和最小值；
(3)若關于的方程在上有兩個不等實根，求實數的取值范圍．
【變式7-4】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數．
(1)若，求的值域；
(2)若關于x的方程有三個連續的實數根，，，且，，求a的值．
【變式7-5】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數.
(1)若時，恒成立，求實數的取值范圍；
(2)將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數的圖象.若，函數有且僅有4個零點，求實數的取值范圍.
題型八：根據條件確定解析式
【典例8-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）函數的圖象如圖所示.將的圖象向右平移2個單位長度，得到函數的圖象，則的解析式為（ ）

A．
B．
C．
D．
【典例8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函數的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
根據函數必關于軸對稱，在三角函數中聯想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調性來求解．
【變式8-1】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）函數的部分圖像如圖所示，把函數的圖像向右平移得到，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-2】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數的部分圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（2024·高三·北京東城·開學考試）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為 ，若將的圖象向右平移個單位后，得到新函數解析式為 .

【變式8-4】已知函數（，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得函數圖象的解析式為 ．
【變式8-5】（2024·河北保定·一模）函數，（，，）的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點，且M在y軸上，則下說法正確的是（ ）
A．函數的最小正周期是
B．函數在上單調遞減
C．函數的圖象向左平移個單位后關于直線對稱
D．若圓C的半徑為，則函數的解析式為
題型九：三角函數圖像變換
【典例9-1】（2024·高三·廣東湛江·期末）已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【典例9-2】（2024·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【方法技巧】
由函數的圖像變換為函數的圖像．
方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
的圖像的圖像
的圖像
的圖像
【變式9-1】為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點的（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，直線和為函數圖象的兩條相鄰對稱軸，為了得到函數的圖象，則將函數的圖象至少（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【變式9-3】將函數的圖象平移后所得的圖象對應的函數為，則進行的平移是（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
【變式9-4】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知曲線，則下面結論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
題型十：三角函數實際應用問題
【典例10-1】已知大屏幕下端B離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位觀眾眼睛離地面1.5米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值） 米．
【典例10-2】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近位置進倉，轉一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【方法技巧】
（1）研究的性質時可將視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題．
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負數）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過分鐘后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好開始入水 D．恰好開始出水
【變式10-2】摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要.
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；
(2)求游客甲在開始轉動后距離地面的高度；
(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.
（參考公式與數據：；；.）
【變式10-3】某興趣小組對小球在堅直平面內的勻速圓周運動進行研究，將圓形軌道裝置放在如圖1所示的平面直角坐標系中，此裝置的圓心距離地面高度為，半徑為，裝置上有一小球（視為質點），的初始位置在圓形軌道的最高處，開啟裝置后小球按逆時針勻速旋轉，轉一周需要．小球距離地面的高度（單位：）與時間（單位：）的關系滿足．
(1)寫出關于的函數解析式，并求裝置啟動后小球距離地面的高度；
(2)如圖2，小球（視為質點）在半徑為的另一圓形軌道裝置上，兩圓形軌道為同心圓，的初始位置在圓形軌道的最右側，開啟裝置后小球以角速度為順時針勻速旋轉．兩裝置同時啟動，求兩球高度差的最大值．
【變式10-4】（2024·廣東珠海·模擬預測）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）．某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙（如圖2）．開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙．摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．

(1)經過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足（其中，），求摩天輪轉動一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，首次距離地面的高度恰好為30米？
1．（2024年天津高考數學真題）已知函數的最小正周期為．則在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2024年北京高考數學真題）設函數.已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）當時，曲線與的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2023年天津高考數學真題）已知函數的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）對于函數和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
1．已知周期函數的圖象如圖所示，
（1）求函數的周期；
（2）畫出函數的圖象；
（3）寫出函數的解析式.
2．在直角坐標系中，已知是以原點O為圓心，半徑長為2的圓，角x（rad）的終邊與的交點為B，求點B的縱坐標y關于x的函數解析式，并畫出其圖象
3．已知函數，
（1）求的最小正周期；
（2）求在區間上的最大值和最小值.
4．已知函數是定義在R上周期為2的奇函數，若，求的值.
5．容易知道，正弦函數是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經學過的正弦函數性質解釋上述現象嗎？對余弦函數和正切函數，討論上述同樣的問題
6．設函數.
（1）求函數的最小正周期；
D．把曲線上各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位
答題模板：求三角函數解析式
1、模板解決思路
求三角函數解析式就是求其中參數，的值，根據各參數的幾何意義，結合所給的圖象，然后求出各參數的值即可，一般先求A，，然后求，最后求．
2、模板解決步驟
第一步：求A，，借助函數圖象的最高點、最低點來確定參數A，的值．
第二步：求，根據周期公式確定參數的值．
第三步：通過代入法求．
第四步：確定函數解析式．
【典型例題1】已知函數（，，）的部分圖象如圖所示，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【典型例題2】若函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 三角函數的圖象與性質
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖 4
知識點2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質 5
知識點3：與的圖像與性質 7
解題方法總結 10
題型一：五點作圖法 10
題型二：函數的奇偶性 15
題型三：函數的周期性 18
題型四：函數的單調性 22
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心） 27
題型六：函數的定義域、值域（最值） 30
題型七：三角函數性質的綜合應用 35
題型八：根據條件確定解析式 42
題型九：三角函數圖像變換 50
題型十：三角函數實際應用問題 53
04真題練習·命題洞見 60
05課本典例·高考素材 63
06易錯分析·答題模板 65
易錯點：三角函數圖象變換錯誤 65
答題模板：求三角函數解析式 67
考點要求 考題統計 考情分析
（1）正弦函數、余弦函數和正切函數的圖像性質 （2）三角函數圖像的平移與變換 （3）三角函數實際應用問題 2024年天津卷第7題，5分 2024年北京卷第6題，5分 2024年II卷第9題，6分 2023年甲卷第12題，5分 2023年天津卷第5題，5分 2023年I卷第15題，5分 本節命題趨勢仍是突出以三角函數的圖像、周期性、單調性、奇偶性、對稱性、最值等重點內容展開，并結合三角公式、化簡求值、平面向量、解三角形等內容綜合考查，因此復習時要注重三角知識的工具性，以及三角知識的應用意識．
復習目標： （1）理解正、余弦函數在區間內的性質．理解正切函數在區間內的單調性． （2）了解函數的物理意義，能畫出的圖像，了解參數對函數圖像的影響． （3）了解三角函數是描述周期變化現象的重要函數，會用三角函數解決一些簡單的實際問題．
知識點1：用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
【診斷自測】已知向量，向量，令．
0

(1)化簡，并在給出的直角坐標系中用描點法畫出函數在內的圖象；
(2)求函數的值域．
【解析】（1），
0
圖像如下圖：
（2），，，
，，故函數值域為.
知識點2：正弦、余弦、正切函數的圖象與性質
函數
圖象
定義域
值域
周期性
奇偶性 奇函數 偶函數 奇函數
遞增區間
遞減區間 無
對稱中心
對稱軸方程 無
注：正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸之間的距離是；正（余）弦曲線相鄰兩個對稱中心的距離是；
正（余）弦曲線相鄰兩條對稱軸與對稱中心距離；
【診斷自測】（多選題）（2024·湖南衡陽·三模）已知函數的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為
B．
C．函數在上單調遞增
D．方程的解為，
【答案】ABD
【解析】對于A，由圖可知，函數的最小正周期為，故A正確；
對于B，由，所以，
因為，則，則，
因為，則，所以，故B正確；
對于C，，由，得，
而，即時，沒有意義，故C錯誤；
對于D，，則，
方程，得，
即，即，
所以或，因為，，
所以或，解得或，故D正確.
故選：ABD.
知識點3：與的圖像與性質
（1）最小正周期：．
（2）定義域與值域：，的定義域為R，值域為[-A，A]．
（3）最值
假設．
①對于，
②對于，
（4）對稱軸與對稱中心．
假設．
①對于，
②對于，
正、余弦曲線的對稱軸是相應函數取最大（小）值的位置．正、余弦的對稱中心是相應函數與軸交點的位置．
（5）單調性．
假設．
①對于，
②對于，
（6）平移與伸縮
由函數的圖像變換為函數的圖像的步驟；
方法一：．先相位變換，后周期變換，再振幅變換，不妨采用諧音記憶：我們“想欺負”（相一期一幅）三角函數圖像，使之變形．
方法二：．先周期變換，后相位變換，再振幅變換．
注：在進行圖像變換時，提倡先平移后伸縮（先相位后周期，即“想欺負”），但先伸縮后平移（先周期后相位）在題目中也經常出現，所以必須熟練掌握，無論哪種變化，切記每一個變換總是對變量而言的，即圖像變換要看“變量”發生多大變化，而不是“角”變化多少．
【診斷自測】（多選題）（2024·山東菏澤·模擬預測）已知函數為偶函數，將圖象上的所有點向左平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標變為原來的，得到函數的圖象，若的圖象過點，則（ ）
A．函數的最小正周期為1
B．函數圖象的一條對稱軸為
C．函數在上單調遞減
D．函數在上恰有5個零點
【答案】AC
【解析】由函數為偶函數，得，而，則，
因此，，
由，得，于是，解得，則，
對于A，函數的最小正周期為，A正確；
對于B，，函數圖象關于不對稱，B錯誤；
對于C，當時，，而余弦函數在上單調遞減，
因此函數在上單調遞減，C正確；
對于D，由，得，解得，
由，解得，因此函數在上恰有6個零點，D錯誤.
故選：AC
解題方法總結
1、關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
2、與三角函數的奇偶性相關的結論
(1)若為偶函數，則；若為奇函數，則.
(2)若為偶函數，則；若為奇函數，則.
(3)若為奇函數，則.
題型一：五點作圖法
【典例1-1】已知函數，.
(1)在用“五點法”作函數在區間上的圖象時，列表如下：
0
將上述表格填寫完整，并在坐標系中畫出函數的圖象；

(2)求函數在區間上的最值以及對應的的值.
【解析】（1）在用“五點法”作函數在區間上的圖象時，列表如下：
0
0
0 2 0
描點，連線，可得圖象如下：
（2）因為，可得，
故當時，即時，取最大值，
當時，即時，取最小值.
【典例1-2】某同學用“五點法”畫函數，在某一個周期內的圖象時，列表并填入了部分數據，如下表：
0
0 0
(1)請將上表數據補充完整，并直接寫出函數的解析式；
(2)當時，求不等式的解集．
【解析】（1）由表可知，
所以，所以，
又，所以，
所以，
表格如下：
0
0 0
（2），即，
所以，解得，，
又因，所以，即不等式的解集為．
【方法技巧】
（1）在正弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
（2）在余弦函數，的圖象中，五個關鍵點是：．
【變式1-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）已知函數.
(1)完善下面的表格并作出函數在上的圖象：
0
1
(2)將函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，解不等式.
【解析】（1）表格如下：
0
0
0 1 0
函數在上的圖象如下：
（2）將函數的圖象向右平個單位后再向上平移1個單位得到的圖象，
則，
所以，即，
則，
得，
所以不等式的解集為.
【變式1-2】設函數.
(1)列表并畫出，的圖象；

(2)求函數在區間上的值域.
【解析】（1）
列表：
0
x 1 4 7 10
y 0 2 0 0
作圖：
（2）由已知
，
由已知，
∴，
∴，
∴函數在區間上的值域是.
題型二：函數的奇偶性
【典例2-1】若將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，且為奇函數，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
則，
因為為奇函數，所以，
所以，
即，
所以，，
所以，
所以最小值為，
故選：D
【典例2-2】（2024·重慶·模擬預測）將函數的圖象向右平移個單位后，所得圖象關于坐標原點對稱，則的值可以為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為向右平移個單位后解析式為，
又圖象關于原點對稱，
時，，
故選：B.
【方法技巧】
由是奇函數和是偶函數可拓展得到關于三角函數奇偶性的重要結論：
（1）若為奇函數，則；
（2）若為偶函數，則；
（3）若為奇函數，則；
（4）若為偶函數，則；
若為奇函數，則，該函數不可能為偶函數．
【變式2-1】（2024·青海西寧·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，得到的函數圖象關于軸對稱，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函數的圖象向右平移個單位長度得，
又的圖象關于軸對稱，所以，
解得，當時，取得最小值．
故選：A．
【變式2-2】（2024·四川成都·一模）已知函數滿足：，函數，若，則（ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】B
【解析】依題意，
所以
所以.
故選：B
【變式2-3】已知，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】，則
.
故.
故選：A
題型三：函數的周期性
【典例3-1】（2024·江西·南昌縣蓮塘第一中學校聯考二模）將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，若對滿足的，總有的最小值等于，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函數的周期為，
將函數的圖象向右平移個單位長度后得到函數的圖象，
可得，
由可知，兩個函數的最大值與最小值的差為2，且，
不妨設，則，即在時取得最小值，
由于，此時，不合題意；，此時，
當時，滿足題意.
故選：C.
【典例3-2】函數的最小正周期為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以的最小正周期．
故選：C．
【方法技巧】
關于三角函數周期的幾個重要結論：
（1）函數的周期分別為，．
（2）函數，的周期均為
（3）函數的周期均．
【變式3-1】已知函數，則（　　）
A．2025 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由
得，
所以，
所以
故選：B.
【變式3-2】已知函數，如果存在實數，使得對任意的實數，都有成立，則的最小值為
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因為，設的最小正周期為，則，所以的最小值為，故選C.
【變式3-3】設函數（，，是常數，，）．若在區間上具有單調性，且，則的最小正周期為_______．
【答案】/
【解析】在區間上具有單調性，區間的長度為，
區間的長度為，
由于，
所以的一條對稱軸為，其相鄰一個對稱中心為，即，
所以.
故答案為：
【變式3-4】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數，如圖是直線與曲線的兩個交點，，則（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】設，由可得，
由可知，或，，由圖可知，
當時，，即，；
當時，，即，；
綜上：；
因為同一圖象對應的解析式是一樣的，所以此時不妨設，則，
因為，
則，解得，
所以，
．
故選：C.
【變式3-5】（2024·遼寧·二模）A，B，C是直線與函數（，）的圖象的三個交點，如圖所示．其中，點，B，C兩點的橫坐標分別為，若，則（ ）
A． B．-1 C． D．2
【答案】A
【解析】由，可得，
因為，且點A在圖像的下降部分，所以，
故，
因為，所以是直線與的圖像的三個連續的交點；
由點橫坐標，即，解得，，
解得，，所以．
因為，所以，所以，所以，
則．
故選：A．
題型四：函數的單調性
【典例4-1】（2024·全國·二模）已知函數，，則函數的單調遞減區間為 .
【答案】
【解析】由題意知，，
由，得，
令，得，令，則，
即函數的單調遞減區間為.
故答案為：
【典例4-2】（2024·高三·山東青島·期末）函數的單調減區間為 ．
【答案】；
【解析】因為，
則函數的單調減區間為:，
解得：.
故答案為：.
【方法技巧】
三角函數的單調性，需將函數看成由一次函數和正弦函數組成的復合函數，利用復合函數單調區間的單調方法轉化為解一元一次不等式．
如函數的單調區間的確定基本思想是吧看做是一個整體，
如由解出的范圍，所得區間即為增區間；
由解出的范圍，所得區間即為減區間．
若函數中，可用誘導公式將函數變為，則的增區間為原函數的減區間，減區間為原函數的的增區間．
對于函數的單調性的討論與以上類似處理即可．
【變式4-1】函數在上的單調遞減區間為 .
【答案】
【解析】由題意知，.
即，，因為，所以，
所以在中，，
所以在上的單調遞減區間為.
故答案為：
【變式4-2】（2024·湖北·二模）將函數的圖象上每一點的橫坐標變為原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數（ ）
A．在區間上單調遞減 B．在區間上單調遞增
C．在區間上單測遞減 D．在區間上單調遞增
【答案】B
【解析】函數的圖象上每一點的橫坐標變為原來的得，
再向右平移個單位長度得，
即，
由，得增區間為，．
當時，一個增區間為，而，所以B正確.
故選：B
【變式4-3】（2024·湖南長沙·二模）已知函數的最小正周期為，直線是圖象的一條對稱軸，則的單調遞減區間為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由于的圖象是將的圖象在x軸下方部分翻折到x軸上方，
且僅有單調遞增區間，
故和的最小正周期相同，均為，
則，即，
又直線是圖象的一條對稱軸，則，
即，結合，得，
故，令，則，
即的單調遞減區間為，
故選：B
【變式4-4】已知函數，若函數的圖象向左平移個單位長度后得到的函數的部分圖象如圖所示，則不等式的解集為（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】設函數的圖象向左平移單位長度后得到的函數圖象對應的函數為，由圖可知，函數的圖象的最小正周期為，
所以，
所以，
由，得，，，
所以，，取，得，
所以，所以，
所以由，得，即，
所以，，即，，
所以不等式的解集為（），
故選：C
【變式4-5】的部分圖像如圖所示，則其單調遞減區間為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圖可得，即，
結合圖象可得到在區間中，為最高點，對應的橫坐標為，
軸右側第一個最低點為，對應的橫坐標為，
故函數的單調遞減區間為
故選：B
題型五：函數的對稱性（對稱軸、對稱中心）
【典例5-1】（2024·上海松江·校考模擬預測）已知函數的對稱中心為，若函數的圖象與函數的圖象共有6個交點，分別為，，…，，則__________.
【答案】6
【解析】顯然函數的圖象關于點成中心對稱，
依題意，函數的圖象與函數的圖象的交點關于點成中心對稱，
于是，所以.
故答案為：6
【典例5-2】寫出函數的一個對稱中心： .
【答案】
【解析】
，
令或，
則或，
令，則，所以函數的一個對稱中心是.
故答案：(答案不唯一，橫坐標符合()即可)
【方法技巧】
關于三角函數對稱的幾個重要結論；
（1）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（2）函數的對稱軸為，對稱中心為；
（3）函數函數無對稱軸，對稱中心為；
（4）求函數的對稱軸的方法；令，得；對稱中心的求取方法；令，得
，即對稱中心為．
（5）求函數的對稱軸的方法；令得，即對稱中心為
【變式5-1】（2024·高三·河南·期末）將函數圖象向右平移個單位，得到的圖象關于直線對稱，則的最小值為 .
【答案】
【解析】，
的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象，
由題意的圖象關于直線對稱，
所以，所以，
又，則當時，.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·河南開封·模擬預測）已知函數的圖象關于點對稱，那么的最小值為 ．
【答案】
【解析】的圖象關于點對稱，，即，令，可得的最小值為．
故答案為：
【變式5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函數的圖象關于對稱，且其相鄰對稱軸之間的距離為，則 ．
【答案】
【解析】函數的圖象相鄰對稱軸之間的距離為，
則有，得，所以，則，
又函數圖象關于對稱，則，且，所以．
故答案為：.
【變式5-4】（2024·四川成都·模擬預測）函數的圖象關于直線對稱，則
【答案】
【解析】，
顯然函數的最小正周期，
又為對稱軸，
設在右側附近的一個對稱中心為，
故，解得，故的一個對稱中心為，
，解得.
故答案為：
題型六：函數的定義域、值域（最值）
【典例6-1】實數滿足，則的范圍是___________.
【答案】
【解析】.故令，.
則原式，故.
故答案為：.
【典例6-2】求的值域.
【解析】由可得，
即，
由三角函數輔助角公式可得，
（為輔助角），
則，解得，
故函數的值域為.
【方法技巧】
求三角函數的最值，通常要利用正、余弦函數的有界性，一般是通過三角變換化歸為下列基本類型處理．
（1），設，化為一次函數在上的最值求解．
（2），引入輔助角，化為，求解方法同類型（1）
（3），設，化為二次函數在閉區間上的最值求解，也可以是或型．
（4），設，則，故，故原函數化為二次函數在閉區間上的最值求解．
（5）與，根據正弦函數的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求最值，更可用數形結合法求最值．這里需要注意的是化為關于或的函數求解釋務必注意或的范圍．
（6）導數法
（7）權方和不等式
【變式6-1】設，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】設，由，得，
又由，得，
所以，
令，，
當時，時，即當時，
原函數取到最小值.
故答案為：.
【變式6-2】（2024·上海崇明·二模）已知實數滿足：，則的最大值是 ．
【答案】6
【解析】因為
故令，且，
因為，
所以，
所以
，僅當時等號成立.
【變式6-3】已知函數，該函數的最大值為__________．
【答案】
【解析】由題意，函數，
令且，則，
從而， 令，解得或，
當時，；當時，；
當時，，
所以在上單調遞減；在上單調遞增；在上單調遞減．
因為，，所以的最大值為.
故答案為：.
【變式6-4】函數的值域為 .
【答案】
【解析】由正弦函數的性質可知，當，
當時，；當或時，，故值域為.
故答案為：
【變式6-5】函數在區間上的最大值與最小值之和是 .
【答案】
【解析】由函數，
令，則，即，
所以，
又因為，且，可得，
則，
又由在是增函數，
當時，；當時，，
所以.
故答案為：
【變式6-6】（2024·江蘇蘇州·高三統考開學考試）設角、均為銳角，則的范圍是______________．
【答案】
【解析】因為角、均為銳角，所以的范圍均為，
所以，
所以
因為，
所以，
，
當且僅當時取等，
令，，，
所以.
則的范圍是：.
故答案為：
【變式6-7】已知向量，函數.
(1)求；
(2)若把的圖象向右平移個單位長度可得的圖象，求在上的值域.
【解析】（1）由題意，得，
∴.
（2）由題意，得，
∵，∴，∴，，，
∴在上的值域為.
【變式6-8】函數的值域為_____________．
【答案】
【解析】令，，
則，即，
所以，
又因為，所以，
即函數的值域為．
故答案為：.
題型七：三角函數性質的綜合應用
【典例7-1】（多選題）（2024·貴州六盤水·三模）已知函數，若函數圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為，為函數圖象的一條對稱軸，則（　　）
A．
B．
C．點是函數圖象的對稱中心
D．將函數的圖象向左平移個單位長度后所得函數的圖象關于軸對稱
【答案】ABD
【解析】因為函數圖象的相鄰兩個對稱中心之間的距離為，所以，，
因為直線為函數圖象的一條對稱軸，
所以，，則，，
因為，所以，故AB正確；
所以，因為，故C錯誤；
將函數的圖象向左平移個單位長度后所得函數為
，圖象關于軸對稱，故D正確.
故選：ABD.
【典例7-2】（多選題）（2024·安徽·三模）已知函數，則（ ）
A．是偶函數 B．的最小正周期是
C．的值域為 D．在上單調遞增
【答案】AC
【解析】對于A，由于的定義域為，且，
故是偶函數，A正確；
對于B，由于，，故，這說明不是的周期，B錯誤；
對于C，由于
，
且，故.
而對，有，，故由零點存在定理知一定存在使得.
所以的值域為，C正確；
對于D，由于，，故在上并不是單調遞增的，D錯誤.
故選：AC.
【方法技巧】
三角函數的性質（如奇偶性、周期性、單調性、對稱性）中，尤為重要的是對稱性．
因為對稱性奇偶性（若函數圖像關于坐標原點對稱，則函數為奇函數；若函數圖像關于軸對稱，則函數為偶函數）；對稱性周期性（相鄰的兩條對稱軸之間的距離是；相鄰的對稱中心之間的距離為；相鄰的對稱軸與對稱中心之間的距離為）；對稱性單調性（在相鄰的對稱軸之間，函數單調，特殊的，若，函數在上單調，且，設，則深刻體現了三角函數的單調性與周期性、對稱性之間的緊密聯系）
【變式7-1】（多選題）（2024·廣東廣州·三模）已知函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】，
對于A，由，所以，故A正確；
對于B，當時，，由正弦函數可知，在上單調遞減，
又的對稱軸為，所以，由，則，故B正確；
對于C，令，，所以的對稱中心為，，
若成立，則則關于點對稱，
令，解得，故C錯誤；
對于D，因為的周期為，，，，，，，，
所以
.故D正確.
故選：ABD.
【變式7-2】（多選題）（2024·黑龍江佳木斯·三模）關于函數，則下列說法正確是（ ）
A．是函數的一個周期 B．在上單調遞減
C．函數圖像關于直線對稱 D．當時，函數有40個零點
【答案】ABD
【解析】對于A，，故是函數的一個周期，故A正確；
對于B， 當時，，
則，
因為，，
所以在恒成立，
即函數在上單調遞減，故B正確；
對于C，因為，故C錯誤；
對于D，因為，
所以函數為偶函數，
又因為，
所以函數關于對稱，
所以，
故函數的最小正周期為.
又因為
由B選項知，函數在上單調遞減，
由對稱性，則函數在上單調遞增，
且，，
當時，恒成立，
由對稱性，，恒成立.
故函數在一個周期內有兩個零點，
則函數在內共40個零點，故D正確.
故選：ABD.
【變式7-3】函數的部分圖象如圖所示．

(1)求函數的解析式；
(2)將函數的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數的圖象，求在上的最大值和最小值；
(3)若關于的方程在上有兩個不等實根，求實數的取值范圍．
【解析】（1）由函數的部分圖象可知，
，，，又，
，解得，由可得，
；
（2）將向右平移個單位，得到，
再將所有點的橫坐標縮短為原來的，得到，
令，由，可得，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又，，，
可得，；
（3）因為關于的方程在上有兩個不等實根，
即與的圖象在有兩個交點.
由圖象可知符合題意的的取值范圍為.
【變式7-4】（2024·吉林長春·模擬預測）已知函數．
(1)若，求的值域；
(2)若關于x的方程有三個連續的實數根，，，且，，求a的值．
【解析】（1）
因，令，則，
因在上單調遞增，在上單調遞減，
而，故．
則，的值域為．
（2）如圖，因的最小正周期為，
當時，易得，不滿足，故舍去，
當時，依題意：，代入得：．
由，，可得，．
由，，代入，解得，．
，，
當時，，；
當時，，，
故的值為．
【變式7-5】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知函數.
(1)若時，恒成立，求實數的取值范圍；
(2)將函數的圖象的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變，再將其向右平移個單位，得到函數的圖象.若，函數有且僅有4個零點，求實數的取值范圍.
【解析】（1）因為，
當時，可得，
當，即時，取得最小值，
因為時，恒成立，所以，
即實數的取值范圍為.
（2）由圖象的橫坐標縮小為原來的，可得：，
再將其向右平移，可得：，
即函數，
因為，所以，在給定區間的正弦函數的零點是，
再由函數有且僅有4個零點，則滿足，
解得，所以實數的取值范圍.
題型八：根據條件確定解析式
【典例8-1】（2024·陜西渭南·模擬預測）函數的圖象如圖所示.將的圖象向右平移2個單位長度，得到函數的圖象，則的解析式為（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由題意可知的周期滿足，得，
即，得，
所以，
因為點是圖象的一個點，
所以，，
則，又，所以，
所以，
將的圖象向右平移2個單位長度，
得到函數.
故選：D.
【典例8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函數的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個單位長度后，得到的函數圖象解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由圖可得，又，故，，故，
則，又，故，
，即，，
故，，又，故，
則，將的圖象向右平移個單位長度后，
可得，
故選：A.
【方法技巧】
根據函數必關于軸對稱，在三角函數中聯想到的模型，從圖象、對稱軸、對稱中心、最值點或單調性來求解．
【變式8-1】（2024·內蒙古呼和浩特·一模）函數的部分圖像如圖所示，把函數的圖像向右平移得到，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據圖像可知，可得，即；
又，可得，
解得，由可知；
即可得，
把函數的圖像向右平移得到；
即.
故選：A
【變式8-2】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）如圖所示的曲線為函數的部分圖象，將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，再將所得曲線向左平移個單位長度，得到函數的圖像，則的解析式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由圖象可知，
則的一個最低點為，
的最小正周期為，則，
，即，
所以，
又因為，所以，
所以，
將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍，
得的圖象，
再將所得曲線向左平移個單位長度，
得，
故，
故選：D.
【變式8-3】（2024·高三·北京東城·開學考試）函數的部分圖象如圖所示，則函數的解析式為 ，若將的圖象向右平移個單位后，得到新函數解析式為 .

【答案】
【解析】根據圖象知，，
將點代入，得，
，又，則，
，
將的圖象向右平移個單位后，得到新函數解析式為．
故答案為：，．
【變式8-4】已知函數（，）的部分圖象如圖所示，將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得函數圖象的解析式為 ．
【答案】
【解析】由題知，函數（，）的部分圖象如圖所示，
所以，即
所以，
所以，
因為圖象經過點，
所以，
所以，
因為，
所以，
所以，
將函數圖象上所有的點向左平移個單位長度，
得，
再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
得，
所以所得函數圖象的解析式為，
故答案為：
【變式8-5】（2024·河北保定·一模）函數，（，，）的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓C與的圖象交于M，N兩點，且M在y軸上，則下說法正確的是（ ）
A．函數的最小正周期是
B．函數在上單調遞減
C．函數的圖象向左平移個單位后關于直線對稱
D．若圓C的半徑為，則函數的解析式為
【答案】D
【解析】由函數圖象，可得點的橫坐標為，
所以函數的最小正周期為，所以A不正確；
又由，且，即，
根據五點作圖法且，可得，解得，
因為，可得，
結合三角函數的性質，可得函數在是先減后增的函數，所以B錯誤；
將函數的圖象向左平移個單位后，得到，
可得對稱軸的方程為，即，
所以不是函數的對稱軸，所以C錯誤；
當時，可得，即,
若圓的半徑為，則滿足，即，
解得，所以的解析式為，所以D正確.
故選：D.
題型九：三角函數圖像變換
【典例9-1】（2024·高三·廣東湛江·期末）已知函數，要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【解析】，
，
故將的圖象向右平移個單位長度可得，即為的圖象.
故選：D
【典例9-2】（2024·全國·模擬預測）為了得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】A
【解析】因為，
所以只需將函數的圖象向左平移個單位長度.
故選：A
【方法技巧】
由函數的圖像變換為函數的圖像．
方法：先相位變換，后周期變換，再振幅變換．
的圖像的圖像
的圖像
的圖像
【變式9-1】為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有的點的（ ）
A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變
B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變
C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變
D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變
【答案】B
【解析】因為把函數的圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，就能得到函數的圖象.
故選：B
【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數，直線和為函數圖象的兩條相鄰對稱軸，為了得到函數的圖象，則將函數的圖象至少（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向左平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度
【答案】A
【解析】由題可得，
由直線和為函數圖象的兩條相鄰對稱軸可得，
函數的最小正周期，得，
所以，
則，
故將函數的圖象至少向左平移個單位長度可得到的圖象.
故選：A．
【變式9-3】將函數的圖象平移后所得的圖象對應的函數為，則進行的平移是（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位
【答案】A
【解析】對于A：向左平移個單位可得到，符合；
對于B：向右平移個單位可得到，不符合；
對于C：向右平移個單位可得到，不符合；
對于D：向左平移個單位可得到，不符合；
故選：A.
【變式9-4】（2024·安徽合肥·模擬預測）已知曲線，則下面結論正確的是（ ）
A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2
C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2
D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2
【答案】C
【解析】曲線，
把上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得的圖象；
再把得到的曲線向左平移個單位長度，可以得到曲線的圖象.
故選：C.
題型十：三角函數實際應用問題
【典例10-1】已知大屏幕下端B離地面3.5米，大屏幕高3米，若某位觀眾眼睛離地面1.5米，則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值） 米．
【答案】
【解析】如圖所示：
由題意知：，，設，
則，，
所以，
由于，當且僅當，即時取等號，
所以，因為，
所以當時，可以獲得觀看的最佳視野.
故答案為：
【典例10-2】（2024·四川涼山·三模）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色．某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近位置進倉，轉一周大約需要30min．某游客坐上摩天輪的座艙10min后距離地面高度約為（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【答案】A
【解析】設座艙距離地面的最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示，
設函數表示游客離底面的高度，
因為摩天輪的最高點距離地面為，直徑為，且轉一周大約需要，
周期，，所以，
即，
當時，游客在點，其中以為終邊的角為，
所以，
當時，可得
所以，摩天輪的座艙后距離地面高度約為.
故選：A.
【方法技巧】
（1）研究的性質時可將視為一個整體，利用換元法和數形結合思想進行解題．
（2）方程根的個數可轉化為兩個函數圖象的交點個數．
（3）三角函數模型的應用體現在兩方面：一是已知函數模型求解數學問題；二是把實際問題抽象轉化成數學問題，利用三角函數的有關知識解決問題．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，一個筒車按逆時針方向轉動．設筒車上的某個盛水筒到水面的距離為（單位：米）（在水面下，則為負數）．若以盛水筒剛浮出水面時開始計算時間，與時間（單位：分鐘）之間的關系為．某時刻（單位：分鐘）時，盛水筒在過點（為筒車的軸心）的豎直直線的左側，且到水面的距離為5米，則再經過分鐘后，盛水筒（ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好開始入水 D．恰好開始出水
【答案】B
【解析】由題意，，
可得，或（舍去）．
所以，
所以再經過分鐘，可得，所以盛水筒在水面上．
在判斷時，可以采用放縮法更為直接，過程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故選：B．
【變式10-2】摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為，轉盤直徑為，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要.
(1)游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動后距離地面的高度為，求在轉動一周的過程中，關于的函數解析式；
(2)求游客甲在開始轉動后距離地面的高度；
(3)若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關于的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.
（參考公式與數據：；；.）
【解析】（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點，以軸心為原點，與地面平行的直線為軸建立直角坐標系.
設時，游客甲位于點，
以為終邊的角為；根據摩天輪轉一周大約需要，可知座艙轉動的角速度約為，由題意可得，
（2）當時，
.
所以，游客甲在開始轉動后距離地面的高度約為.
（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點，表示，則，
經過后甲距離地面的高度為，
點相對于點始終落后，
此時乙距離地面的高度為
則甲、乙距離地面的高度差
利用，
可得，.
當（或），即（或22.8）時，的最大值為.
所以，甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為.
【變式10-3】某興趣小組對小球在堅直平面內的勻速圓周運動進行研究，將圓形軌道裝置放在如圖1所示的平面直角坐標系中，此裝置的圓心距離地面高度為，半徑為，裝置上有一小球（視為質點），的初始位置在圓形軌道的最高處，開啟裝置后小球按逆時針勻速旋轉，轉一周需要．小球距離地面的高度（單位：）與時間（單位：）的關系滿足．
(1)寫出關于的函數解析式，并求裝置啟動后小球距離地面的高度；
(2)如圖2，小球（視為質點）在半徑為的另一圓形軌道裝置上，兩圓形軌道為同心圓，的初始位置在圓形軌道的最右側，開啟裝置后小球以角速度為順時針勻速旋轉．兩裝置同時啟動，求兩球高度差的最大值．
【解析】（1）由題意，半徑為m，，
根據小球轉一周需要需要6，可知小球轉動的角速度，
所以關于的函數解析式為，，
當時，，
所以圓形軌道裝置啟動1min后小球距離地面的高度為m．
（2）根據題意，小球的高度關于的函數解析式為
，，
則，兩點高度差為，，
當，即時，的最大值為2，
所以,兩球高度差的最大值為2m．
【變式10-4】（2024·廣東珠海·模擬預測）摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢的往上轉，可以從高處俯瞰四周的景色（如圖1）．某摩天輪的最高點距離地面的高度為90米，最低點距離地面10米，摩天輪上均勻設置了36個座艙（如圖2）．開啟后摩天輪按逆時針方向勻速轉動，游客在座艙離地面最近時的位置進入座艙，摩天輪轉完一周后在相同的位置離開座艙．摩天輪轉一周需要30分鐘，當游客甲坐上摩天輪的座艙開始計時．

(1)經過t分鐘后游客甲距離地面的高度為H米，已知H關于t的函數關系式滿足（其中，），求摩天輪轉動一周的解析式；
(2)游客甲坐上摩天輪后多長時間，首次距離地面的高度恰好為30米？
【解析】（1）（其中，，，
由題意知：，
，故，
，，
又，，
，
故解析式為：，,；
（2）令，則，即，
因為,，則，
所以或，解得或，
故游客甲坐上摩天輪5分鐘時，首次距離地面的高度恰好為30米．
1．（2024年天津高考數學真題）已知函數的最小正周期為．則在的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】，由得，
即，當時，，
畫出圖象，如下圖，
由圖可知，在上遞減，
所以，當時，
故選：A
2．（2024年北京高考數學真題）設函數.已知，，且的最小值為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，
則，即，
且，所以.
故選：B.
3．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）當時，曲線與的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因為函數的的最小正周期為，
函數的最小正周期為，
所以在上函數有三個周期的圖象，
在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數圖象有6個交點.
故選：C
4．（2023年天津高考數學真題）已知函數的圖象關于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函數的解析式考查函數的最小周期性：
A選項中，B選項中，
C選項中，D選項中，
排除選項CD，
對于A選項，當時，函數值，故是函數的一個對稱中心，排除選項A，
對于B選項，當時，函數值，故是函數的一條對稱軸，
故選：B.
5．（多選題）（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）對于函數和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
【答案】BC
【解析】A選項，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，
顯然零點不同，A選項錯誤；
B選項，顯然，B選項正確；
C選項，根據周期公式，的周期均為，C選項正確；
D選項，根據正弦函數的性質的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.
故選：BC
1．已知周期函數的圖象如圖所示，
（1）求函數的周期；
（2）畫出函數的圖象；
（3）寫出函數的解析式.
【解析】（1）.
（2）把向左平移一個單位得的圖象，即如圖所示
（3）
所以.
2．在直角坐標系中，已知是以原點O為圓心，半徑長為2的圓，角x（rad）的終邊與的交點為B，求點B的縱坐標y關于x的函數解析式，并畫出其圖象
【解析】三角函數定義可得，
0 2 0 -2 0
描點連線，再向兩邊延伸得圖象如圖所示：
3．已知函數，
（1）求的最小正周期；
（2）求在區間上的最大值和最小值.
【解析】（1）最小正周期為.
（2），
.
即在區間上的最大值為，最小值為.
4．已知函數是定義在R上周期為2的奇函數，若，求的值.
【解析】由題意可得，
.
.
5．容易知道，正弦函數是奇函數，正弦曲線關于原點對稱，即原點是正弦曲線的對稱中心，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心嗎？如果有，那么對稱中心的坐標是什么？另外，正弦曲線是軸對稱圖形嗎？如果是，那么對稱軸的方程是什么？你能用已經學過的正弦函數性質解釋上述現象嗎？對余弦函數和正切函數，討論上述同樣的問題
【解析】由正弦函數的周期性可知，除原點外，正弦曲線還有其他對稱中心，它們的坐標為，正弦曲線是軸對稱圖形，對稱軸的方程為.
能.
由余弦函數和正切函數的周期性可知，余弦曲線的對稱中心坐標為，對稱軸的方程是，
正切曲線的對稱中心坐標為，正切曲線不是軸對稱圖形.
6．設函數.
（1）求函數的最小正周期；
（2）求函數在上的最大值.
【解析】（1）由輔助角公式得，
則，
所以該函數的最小正周期;
（2）由題意，
，
由可得，
所以當即時，函數取最大值.
易錯點：三角函數圖象變換錯誤
易錯分析： 函數中，參數的變化引起圖象的變換：的變化引起圖象中振幅的變換；的變化引起橫向伸縮變換；的變化引起左右平移變換；的變化引起上下平移變換．圖象平移遵循的規律為：“左加右減，上加下減”．
【易錯題1】要得到函數，的圖象，只需將函數，的圖象（ ）
A．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變
B．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變
C．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變
D．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變
【答案】C
【解析】將函數的圖象上各點橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變，
得的圖象.
故選：C.
【易錯題2】已知曲線，，若想要由得到，下列說法正確的是（ ）
A．把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位
B．把曲線上各點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再向右平移個單位
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依題意，由圖象中最值可知，
周期滿足，又，則，故，
所以，又點在的圖象上，
所以，即，
所以，即，
而，所以，
所以.
故選：C.
【典型例題2】若函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如圖：
易知：，，即.
由，，
時，.
所以：.
故選：C
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