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第02講 三角恒等變換
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：兩角和與差的正余弦與正切 4
知識點2：二倍角公式 4
知識點3：降次（冪）公式 5
知識點4：半角公式 5
知識點4：輔助角公式 5
解題方法總結 5
題型一：兩角和與差公式的證明 7
題型二：兩角和與差的三角函數公式 9
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形 10
題型四：利用角的拆分求值 11
題型五：給角求值 12
題型六：給值求值 13
題型七：給值求角 13
題型八：正切恒等式及求非特殊角 14
題型九：三角恒等變換的綜合應用 15
題型十：輔助角公式的高級應用 16
題型十一：積化和差、和差化積公式 17
04真題練習·命題洞見 17
05課本典例·高考素材 18
06易錯分析·答題模板 19
易錯點：不會應用輔助角公式 19
答題模板：三角關系式的化簡求值 20
考點要求 考題統計 考情分析
（1）基本公式 （2）三角恒等變換求值 （3）輔助角公式 2024年I卷第4題，5分 2024年II卷第13題，5分 2024年甲卷第8題，5分 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷II卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分 2021年甲卷第11題，5分 三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上，高考會側重綜合推理能力和運算能力的考查，體現三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數學中的應用． 這就需要同學熟練運用公式，進一步提高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的作用．
復習目標： （1）會推導兩角差的余弦公式 （2）會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式 （3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用 （4）能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換
知識點1：兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
【診斷自測】 .
知識點2：二倍角公式
①；
②；
③；
【診斷自測】已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
知識點3：降次（冪）公式
【診斷自測】已知函數．
(1)求的最小正周期和單調區間；
(2)若，，求的值．
知識點4：半角公式
【診斷自測】（2024·高三·河北·期末）已知，則的值為 ．
知識點4：輔助角公式
（其中）．
【診斷自測】當時，取最小值，求的值 .
解題方法總結
1、兩角和與差正切公式變形
；
．
2、降冪公式與升冪公式
；
．
3、其他常用變式
．
4、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
5、和化積公式
6、積化和公式
題型一：兩角和與差公式的證明
【典例1-1】閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有
①，
②，
由得 ③．
令，，則，，代入③得．
(1)利用上述結論，試求的值；
(2)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：．
【典例1-2】如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交于點，當時，以x軸非負半軸為始邊作角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，．
（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；
（2）利用兩角差的余弦公式與誘導公式．證明：．
（附：平面上任意兩點，間的距離公式
【方法技巧】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路．
【變式1-1】如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點，.
（1）請分別利用向量與的數量積的定義式和坐標式，證明：.
（2）已知（1）中的公式對任意的，都成立(不用證)，請用該公式計算的值，并證明：.
【變式1-2】在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：．
具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系內作單位圓，以為始邊作角．它們的終邊與單位圓的交點分別為．
則，由向量數量積的坐標表示，有．
設的夾角為，則，另一方面，由圖（1）可知，；
由圖（2）可知，于是．
所以，也有；
所以，對于任意角有：．
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關數據（圖中是的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：
（1）判斷是否正確？（不需要證明）
（2）證明：．
題型二：兩角和與差的三角函數公式
【典例2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·浙江·三模）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數表示的三角函數，在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．
【變式2-1】（多選題）下列選項中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（多選題）已知，且是方程的兩根，下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形
【典例3-1】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知，滿足，則 ．
【典例3-2】計算：＝ .
【方法技巧】
運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力．
【變式3-1】 ．
【變式3-2】（2024·江西·模擬預測）已知，，則 .
【變式3-3】已知，則 .
【變式3-4】設，，則 ．
題型四：利用角的拆分求值
【典例4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知，則 .
【典例4-2】已知，均為銳角，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
【變式4-1】（2024·山東·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】若α為銳角，且，則cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
題型五：給角求值
【典例5-1】（2024·重慶·模擬預測）式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】計算：（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）給角求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯系，從函數名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
【變式5-1】求值：（ ）
A．1 B． C． D．
【變式5-2】（2024·廣東汕頭·二模）若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】的值為（ ）
A． B． C． D．
題型六：給值求值
【典例6-1】（2024·廣西南寧·一模）已知，則 ．
【典例6-2】（2024·高三·吉林長春·開學考試）已知，則 .
【方法技巧】
給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數表示；②將已知條件轉化而推出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相互關系，并根據這些關系來選擇公式．
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知，則 ．
【變式6-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）若，，則 ．
【變式6-3】（2024·山西臨汾·模擬預測）已知為銳角，且，則 ．
題型七：給值求角
【典例7-1】（2024·貴州六盤水·模擬預測）設，，且，則 .
【典例7-2】已知為銳角，且，則 .
【方法技巧】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數圖像、誘導公式求角．
【變式7-1】已知，均為銳角，，，則 ， .
【變式7-2】若，且，，則 .
【變式7-3】已知，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】設，且，則（ ）
A． B． C． D．
題型八：正切恒等式及求非特殊角
【典例8-1】（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考期中）已知，滿足，則______．
【典例8-2】（2024·江蘇南通·高三校考期中）在中，若，則_________.
【方法技巧】
正切恒等式：當時，．
證明：因為，，所以
故．
【變式8-1】（2024·山東·高三濟寧市育才中學校考開學考試）若角的終邊經過點，且，則實數___________.
【變式8-2】（山西省臨汾市2023-2024學年高三11月期中數學試題）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
題型九：三角恒等變換的綜合應用
【典例9-1】在中，，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【典例9-2】（2024·天津·二模）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【方法技巧】
（1）進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）形如化為，可進一步研究函數的周期性、單調性、最值與對稱性．
【變式9-1】（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數
(1)求函數的對稱軸和對稱中心；
(2)當，求函數的值域．
【變式9-2】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知.
(1)求在上的單調遞減區間；
(2)若，求的值.
題型十：輔助角公式的高級應用
【典例10-1】已知的最大值為3，則 .
【典例10-2】設是一個三角形的三個內角，則的最小值為 .
【方法技巧】
（1）（其中，）．
（2），．
【變式10-1】（2024·高三·內蒙古赤峰·開學考試）已知，若，則的最大值為 ．
【變式10-2】的取值范圍是 ．
題型十一：積化和差、和差化積公式
【典例11-1】，則 .
【典例11-2】若，，則 結果用，表示.
【方法技巧】
三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)．
【變式11-1】設，，則 ．
【變式11-2】已知則的值為 .
【變式11-3】若，，則 ．
【變式11-4】（2024·安徽阜陽·一模）已知，則 ， .
1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
4．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
1．在中，已知是x的方程的兩個實根，求.
分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．
6．設.利用三角變換，估計在時的取值情況，進而猜想x取一般值時的取值范圍.
易錯點：不會應用輔助角公式
易錯分析：不能真正的理解輔助角公式，不明白角的三 角函數意義.
【易錯題1】若函數的最大值為，則實數 ．
【易錯題2】已知，則 .
答題模板：三角關系式的化簡求值
1、模板解決思路
對于要化簡求值的三角函數關系式，首先要化簡，盡可能化成最簡的形式，然后結合已知條件和待求問題進一步求值.
2、模板解決步驟
第一步：對已知條件中的三角函數式進行化簡.
第二步：將待化簡的三角函數式向第一步的化簡結果進行轉化.
第三步：求出最后的結果.
【典型例題1】化簡 ．
【典型例題2】化簡求值：+ ．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 三角恒等變換
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：兩角和與差的正余弦與正切 4
知識點2：二倍角公式 4
知識點3：降次（冪）公式 5
知識點4：半角公式 5
知識點4：輔助角公式 6
解題方法總結 7
題型一：兩角和與差公式的證明 8
題型二：兩角和與差的三角函數公式 12
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形 14
題型四：利用角的拆分求值 16
題型五：給角求值 18
題型六：給值求值 20
題型七：給值求角 23
題型八：正切恒等式及求非特殊角 26
題型九：三角恒等變換的綜合應用 28
題型十：輔助角公式的高級應用 30
題型十一：積化和差、和差化積公式 33
04真題練習·命題洞見 35
05課本典例·高考素材 37
06易錯分析·答題模板 40
易錯點：不會應用輔助角公式 40
答題模板：三角關系式的化簡求值 41
考點要求 考題統計 考情分析
（1）基本公式 （2）三角恒等變換求值 （3）輔助角公式 2024年I卷第4題，5分 2024年II卷第13題，5分 2024年甲卷第8題，5分 2023年II卷第7題，5分 2023年I卷II卷第8題，5分 2022年II卷第6題，5分 2021年甲卷第11題，5分 三角恒等變換位于三角函數與數學變換的結合點上，高考會側重綜合推理能力和運算能力的考查，體現三角恒等變換的工具性作用，以及會有一些它們在數學中的應用． 這就需要同學熟練運用公式，進一步提高運用聯系轉化的觀點去處理問題的自覺性，體會一般與特殊的思想、換元的思想、方程的思想等數學思想在三角恒等變換中的作用．
復習目標： （1）會推導兩角差的余弦公式 （2）會用兩角差的余弦公式推導出兩角差的正弦、正切公式 （3）掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會簡單應用 （4）能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進行簡單的恒等變換
知識點1：兩角和與差的正余弦與正切
①；
②；
③；
【診斷自測】 .
【答案】/
【解析】.
故答案為：
知識點2：二倍角公式
①；
②；
③；
【診斷自測】已知，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
故選：D．
知識點3：降次（冪）公式
【診斷自測】已知函數．
(1)求的最小正周期和單調區間；
(2)若，，求的值．
【解析】（1）因為，
可得的最小正周期；
令，解得；
令，解得；
所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.
（2）因為，即，
且，則，
可得，
所以.
知識點4：半角公式
【診斷自測】（2024·高三·河北·期末）已知，則的值為 ．
【答案】
【解析】（法一）
．
（法二）因為，所以，
則
．
故答案為：．
知識點4：輔助角公式
（其中）．
【診斷自測】當時，取最小值，求的值 .
【答案】/
【解析】由，
其中，，
又當時，取最小值，
則，且，
所以
故答案為：．
解題方法總結
1、兩角和與差正切公式變形
；
．
2、降冪公式與升冪公式
；
．
3、其他常用變式
．
4、拆分角問題：①；；②；③；
④；⑤．
注意：特殊的角也看成已知角，如．
5、和化積公式
6、積化和公式
題型一：兩角和與差公式的證明
【典例1-1】閱讀下面材料：根據兩角和與差的正弦公式，有
①，
②，
由得 ③．
令，，則，，代入③得．
(1)利用上述結論，試求的值；
(2)類比上述推證方法，根據兩角和與差的余弦公式，證明：．
【解析】（1）；
（2）證明：根據兩角和與差的余弦公式，有
①，
②，
由得 ③．
令，，則，，代入③得．
【典例1-2】如圖，設單位圓與x軸的正半軸相交于點，當時，以x軸非負半軸為始邊作角，，它們的終邊分別與單位圓相交于點，．
（1）敘述并利用上圖證明兩角差的余弦公式；
（2）利用兩角差的余弦公式與誘導公式．證明：．
（附：平面上任意兩點，間的距離公式
【解析】（1）兩角差的余弦公式為：.
證明：作角的終邊與單位圓相交于點
連接，
若把扇形繞著點旋轉角，則點分別與點重合.
根據圓的旋轉對稱性可知，與重合，
從而，所以.
根據兩點間的距離公式，得
化簡得.
當時，容易證明上式仍然成立.
（2）證明：由誘導公式可知，.
而
，
故.
即證結論.
【方法技巧】
推證兩角和與差公式就是要用這兩個單角的三角函數表示和差角的三角公式，通過余弦定理或向量數量積建立它們之間的關系，這就是證明的思路．
【變式1-1】如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度為半徑的圓上有兩點，.
（1）請分別利用向量與的數量積的定義式和坐標式，證明：.
（2）已知（1）中的公式對任意的，都成立(不用證)，請用該公式計算的值，并證明：.
【解析】（1）證明：根據兩個向量的數量積公式可得
，
再根據兩個數量積的定義
，
.
（2）由（1）可得
.
，即證.
【變式1-2】在推導很多三角恒等變換公式時，我們可以利用平面向量的有關知識來研究，在一定程度上可以簡化推理過程．如我們就可以利用平面向量來推導兩角差的余弦公式：．
具體過程如下：如圖，在平面直角坐標系內作單位圓，以為始邊作角．它們的終邊與單位圓的交點分別為．
則，由向量數量積的坐標表示，有．
設的夾角為，則，另一方面，由圖（1）可知，；
由圖（2）可知，于是．
所以，也有；
所以，對于任意角有：．
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關系，稱為差角的余弦公式，簡記作．有了公式以后，我們只要知道的值，就可以求得的值了．
閱讀以上材料，利用圖（3）單位圓及相關數據（圖中是的中點），采取類似方法（用其他方法解答正確同等給分）解決下列問題：
（1）判斷是否正確？（不需要證明）
（2）證明：．
【解析】（1）因為對于非零向量是方向上的單位向量，又且與共線，
所以正確；
（2）因為為的中點，則，
從而在中，，
又
又M是AB的中點
，
所以，化簡得，．
結論得證.
題型二：兩角和與差的三角函數公式
【典例2-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，即，
即，所以.
故選：B.
【典例2-2】（2024·浙江·三模）若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因為，
所以，
即，
即，
兩邊同除可得，
所以.
故選：C
【方法技巧】
兩角和與差的三角函數公式可看作是誘導公式的推廣，可用α，β的三角函數表示的三角函數，在使用兩角和與差的三角函數公式時，特別要注意角與角之間的關系，完成統一角和角與角轉換的目的．
【變式2-1】（多選題）下列選項中，值為的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】選項A：，故選項A不符合題意；
選項B：，故選項B符合題意；
選項C：，故選項C符合題意；
選項D：，故選項C符合題意.
故選：BCD.
【變式2-2】（多選題）已知，且是方程的兩根，下列選項中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】是方程的兩根，又，
解得，
，A選項正確；
，B選項錯誤；
，C選項錯誤；
，，則，有，
，
，D選項正確.
故選：AD.
題型三：兩角和與差的三角函數公式的逆用與變形
【典例3-1】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知，滿足，則 ．
【答案】
【解析】因為，
即，整理得，即，
所以．
故答案為：．
【典例3-2】計算：＝ .
【答案】
【解析】由題意．
故答案為：．
【方法技巧】
運用兩角和與差的三角函數公式時，不但要熟練、準確，而且要熟悉公式的逆用及變形．公式的逆用和變形應用更能開拓思路，增強從正向思維向逆向思維轉化的能力．
【變式3-1】 ．
【答案】/
【解析】因為，
故答案為：.
【變式3-2】（2024·江西·模擬預測）已知，，則 .
【答案】
【解析】因為，，
所以，
所以，
所以.
故答案為：.
【變式3-3】已知，則 .
【答案】
【解析】由，
可得，
兩式平方相加，可得：，
即，
又由，可得，所以，所以
因為，且，所以.
故答案為：.
【變式3-4】設，，則 ．
【答案】1
【解析】由，
，
，得，
所以，
故．
故答案為：1
題型四：利用角的拆分求值
【典例4-1】（2024·遼寧·模擬預測）已知，則 .
【答案】/
【解析】因為，則.
故答案為：.
【典例4-2】已知，均為銳角，，，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，均為銳角，即，所以，，
又，，
所以，，
所以
，
故選：B.
【方法技巧】
常用的拆角、配角技巧：；；；；；等．
【變式4-1】（2024·山東·模擬預測）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，
所以，
所以.
故選：B
【變式4-2】已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，
所以，
所以，
又，
所以，
故選：C.
【變式4-3】若α為銳角，且，則cos2α＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
則．
故選：A．
題型五：給角求值
【典例5-1】（2024·重慶·模擬預測）式子化簡的結果為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】原式
.
故選：B.
【典例5-2】計算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為
，所以原式
故選：C
【方法技巧】
（1）給角求值問題求解的關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，借助角之間的聯系尋找轉化方法．
（2）給角求值問題的一般步驟
①化簡條件式子或待求式子；
②觀察條件與所求之間的聯系，從函數名稱及角入手；
③將已知條件代入所求式子，化簡求值．
【變式5-1】求值：（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】原式
，
故選：D.
【變式5-2】（2024·廣東汕頭·二模）若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知可得
.
故選：A.
【變式5-3】的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原式.
故選：A
題型六：給值求值
【典例6-1】（2024·廣西南寧·一模）已知，則 ．
【答案】
【解析】由題意，，且，故.
故
.
故，.
故答案為：
【典例6-2】（2024·高三·吉林長春·開學考試）已知，則 .
【答案】/
【解析】由，所以，
所以，所以，即，
因為，，所以，
即，聯立得.
故答案為：.
【方法技巧】
給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題關鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關系，解題的基本方法是：①將待求式用已知三角函數表示；②將已知條件轉化而推出結論，其中“湊角法”是解此類問題的常用技巧，解題時首先要分析已知條件和結論中各種角之間的相互關系，并根據這些關系來選擇公式．
【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知，則 ．
【答案】/
【解析】，，
化簡得，
又，故．
故答案為：
【變式6-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）若，，則 ．
【答案】/
【解析】因為，，
所以，
因為
所以，
所以，，
所以，
所以，
故答案為：
【變式6-3】（2024·山西臨汾·模擬預測）已知為銳角，且，則 ．
【答案】
【解析】因為，
即，
且為銳角，則，
可知，則，
可得，
所以.
故答案為：.
題型七：給值求角
【典例7-1】（2024·貴州六盤水·模擬預測）設，，且，則 .
【答案】
【解析】因為，
所以，即
又，，所以，
則可得，則故.
故答案為：.
【典例7-2】已知為銳角，且，則 .
【答案】/
【解析】因為，
，
又，
所以，所以，即，
因為，所以，所以，所以.
故答案為：.
【方法技巧】
給值求角：解此類問題的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函數值，再確定“所求角”的范圍，最后借助三角函數圖像、誘導公式求角．
【變式7-1】已知，均為銳角，，，則 ， .
【答案】
【解析】因為，
所以，
又因，均為銳角，所以，則，
所以，所以，，
又因，所以，
則，
所以.
故答案為：；.
【變式7-2】若，且，，則 .
【答案】
【解析】因為，所以，
，所以，所以，
所以，，
所以，
因為，，則，
，，所以
所以
，
所以.
故答案為：.
【變式7-3】已知，，，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，，
則，
可知，，則，
又因為，
可得，
所以.
故選：D.
【變式7-4】設，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以．
因為，所以，
所以，則．
故選：B.
題型八：正切恒等式及求非特殊角
【典例8-1】（2024·陜西商洛·高三陜西省山陽中學校聯考期中）已知，滿足，則______．
【答案】
【解析】∵，
即，
∴，即，
∴．
故答案為：.
【典例8-2】（2024·江蘇南通·高三校考期中）在中，若，則_________.
【答案】
【解析】因為，
所以，，
由題意可得，
若，則，不妨設為銳角，則，
則，不合乎題意，
所以，，故，因此，.
故答案為：.
【方法技巧】
正切恒等式：當時，．
證明：因為，，所以
故．
【變式8-1】（2024·山東·高三濟寧市育才中學校考開學考試）若角的終邊經過點，且，則實數___________.
【答案】
【解析】因為角的終邊經過點，
所以
因為，，
所以角是第一象限的角，
所以，
不妨取，則，
所以
，
所以，
所以，
所以，
故答案為：
【變式8-2】（山西省臨汾市2023-2024學年高三11月期中數學試題）已知，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
即，
故，
所以，
所以，
因為，，
所以，
因為，所以，
故，解得.
故選：C
題型九：三角恒等變換的綜合應用
【典例9-1】在中，，.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
【解析】（1）在中，，，
設，則，，
，
解得，
；
（2）由（1）得，，，
由正弦定理得，即，
解得.
（3），，是銳角，且，
，
，
.
【典例9-2】（2024·天津·二模）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
【解析】（1）因為，所以，又，
所以由正弦定理可得：，即，解得
（2）因為，，，
化簡可得：，解得(負值舍去)，
（3）因為，，
因為，為銳角，可得，
所以
【方法技巧】
（1）進行三角恒等變換要抓住：變角、變函數名稱、變結構，尤其是角之間的關系；注意公式的逆用和變形使用．
（2）形如化為，可進一步研究函數的周期性、單調性、最值與對稱性．
【變式9-1】（2023·陜西咸陽·校考二模）已知函數
(1)求函數的對稱軸和對稱中心；
(2)當，求函數的值域．
【解析】（1）因為，
令，解得；
令，解得；
所以函數的對稱軸為，對稱中心.
（2）因為，則，
當，即時，函數取到最大值；
當，即時，函數取到最小值；
所以函數的值域為.
【變式9-2】（2023·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習）已知.
(1)求在上的單調遞減區間；
(2)若，求的值.
【解析】（1），
由，解得，
又，
函數在上的單調遞減區間為.
（2）由（1）知，
又，
，
，
.
題型十：輔助角公式的高級應用
【典例10-1】已知的最大值為3，則 .
【答案】
【解析】，
由輔助角公式可得的最大值，
化簡得，即，解得，
所以，.
故答案為：.
【典例10-2】設是一個三角形的三個內角，則的最小值為 .
【答案】
【解析】
，
令，
所以，
要想有最小值，顯然為鈍角，即，
于是有，
設，
因為，
所以
令，即，
當時，，函數單調遞增，
當時，，函數單調遞減，
因此當時，函數有最大值，
所以的最小值為，
此時，，
即存在，顯然存在，使得，
即的最小值為，
故答案為：
【方法技巧】
（1）（其中，）．
（2），．
【變式10-1】（2024·高三·內蒙古赤峰·開學考試）已知，若，則的最大值為 ．
【答案】
【解析】將視為的函數，故，其中，，
所以當時的最大值為1，
設，當時，取得最大值，所以的最大值為.
故答案為：
【變式10-2】的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】
由，得，
令，則，則，
所以，當且僅當，即時取等號，
且，當且僅當，即時取等號，
所以的取值范圍為.
故答案為：
題型十一：積化和差、和差化積公式
【典例11-1】，則 .
【答案】
【解析】由得
由于，故兩式相除可得
故答案為：
【典例11-2】若，，則 結果用，表示.
【答案】
【解析】由和差化積公式得：，
，
，
，
故，
故.
故答案為：.
【方法技巧】
三角函數式的化簡要注意觀察條件中角之間的聯系(和、差、倍、互余、互補等)．
【變式11-1】設，，則 ．
【答案】
【解析】，
．
故答案為：.
【變式11-2】已知則的值為 .
【答案】
【解析】，
所以，
，
所以．
故答案為：．
【變式11-3】若，，則 ．
【答案】
【解析】，
，
，即，
，
故答案為：
【變式11-4】（2024·安徽阜陽·一模）已知，則 ， .
【答案】
【解析】由可得，即，
由可得，即，
兩式相加可得，
即，解得；
因為，
，
所以，
所以．
故答案為：；.
1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以，，
所以，
故選：B.
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，
而，所以，
故即，
從而，故，
故選：A.
3．（2023年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，而，因此，
則，
所以.
故選：B
4．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知為銳角，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，而為銳角，
解得：．
故選：D．
1．在中，已知是x的方程的兩個實根，求.
【解析】是x的方程，
即的兩個實根.
，
.
由于.
2．你能利用所給圖形，證明下列兩個等式嗎？
；
.
【解析】證明：線段AB的中點M的坐標為.過點M作垂直于x軸，交x軸于，如圖，則.在中，.
在中，.
于是有，.
3．是否存在銳角，，使得①；②同時成立？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.
【解析】存在.由①得，
∴，
將②代入上式得，
因此，，是方程的兩根，解得，.
當時，∵，∴，
此時不存在，故，，
所以，
∵，均為銳角，
∴，.
4．（1）求函數的最小正周期和單調遞增區間；
（2）求函數的最大值和最小值.
【解析】（1）
，最小正周期為；
由，得，∴單調遞增區間為.
（2），其中，的最大值為，最小值為.
5．觀察以下各等式：
，
，
分析上述各式的共同特點，猜想出反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明．
故答案為：
【易錯題2】已知，則 .
【答案】/
【解析】由輔助角公式得，
其中，
又，故，
即，
則，
故，.
故答案為：
答題模板：三角關系式的化簡求值
1、模板解決思路
對于要化簡求值的三角函數關系式，首先要化簡，盡可能化成最簡的形式，然后結合已知條件和待求問題進一步求值.
2、模板解決步驟
第一步：對已知條件中的三角函數式進行化簡.
第二步：將待化簡的三角函數式向第一步的化簡結果進行轉化.
第三步：求出最后的結果.
【典型例題1】化簡 ．
【答案】
【解析】原式
，
因為，
所以．
所以原式．
故答案為：
【典型例題2】化簡求值：+
【答案】
【解析】+
故答案為：
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