資源簡介

第05講 數列求和
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：數列求和常用方法 4
解題方法總結 5
題型一：通項分析法 9
題型二：公式法 11
題型三：錯位相減法 13
題型四：分組求和法 18
題型五：裂項相消法之等差型 20
題型六：裂項相消法之根式型 25
題型七：裂項相消法之指數型 27
題型八：裂項相消法之三角型 32
題型九：倒序相加法 36
題型十：分段數列求和 38
題型十一：并項求和法之型 42
題型十二：并項求和法之型 45
題型十三：先放縮后裂項求和 48
04真題練習·命題洞見 53
05課本典例·高考素材 57
06易錯分析·答題模板 60
易錯點：用錯位相減法求和時項數處理不恰當出錯 60
答題模板：錯位相減法求前n項和 61
考點要求 考題統計 考情分析
（1）公式法 （2）奇偶討論、并項分類 （3）倒序相加法 （4）裂項相消法 （5）錯位相減法 2023年甲卷（理）第17題，12分 2023年II卷第18題，12分 2023年I卷第20題，12分 高考對數列求和的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．數列的求和主要考查等差、等比數列的前 項和公式及非等差、等比數列的求和方法，其綜合性較強．數列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現在選擇填空題當中，常結合函數、不等式綜合考查．
復習目標： （1）熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式． （2）掌握非等差數列、非等比數列求和的幾種常見方法．
知識點1：數列求和常用方法
一．公式法
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
二．幾種數列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法求解．
【診斷自測】已知等差數列的前項和為，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，定義為不超過的最大整數，例如，，求數列的前項和．
（說明：）
【解析】（1）設等差數列的公差為，
由得：，解得：，
.
（2）由（1）得：，
，
；
則當時，；當時，；
當時，；
綜上所述：.
解題方法總結
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
題型一：通項分析法
【典例1-1】觀察如下規律： ，該組數據的前項和為 .
【答案】45
【解析】設數列是等差數列，且，
則題中數列的和可以看成，
又因為題中數列的項數等于數列的前項和，
所以，
故題中數列的前項的和為.
故答案為：.
【典例1-2】求和．
【解析】∵
，
∴．
【方法技巧】
先分析數列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數列的前 項和問題應該強化的意識．
【變式1-1】數列9，99，999，的前項和為　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】數列通項，
．
故選：．
【變式1-2】求數列1，，，，，的前項之和．
【解析】由于，
所以前項之和
．
【變式1-3】（2024·上海徐匯·模擬預測）如圖，在楊輝三角中，斜線上方，從1開始箭頭所示的數組成一個鋸齒數列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項和為，則等于 ．
【答案】283
【解析】，，，…，，
而，，，…，，
前19項的和
．
故答案為：283．
題型二：公式法
【典例2-1】（2024·湖北黃岡·一模）已知等比數列的前項和為，且對一切正整數恒成立.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【解析】（1）當時，與兩式相減得.
∵數列是等比數列，∴公比，.
又，∴，
∴
（2）∵由得，
∴
【典例2-2】（2024·高三·四川·學業考試）已知等差數列的前項和為，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前項和.
【解析】（1）設等差數列的公差為，
因為，
所以，即，
所以,
所以，即；
（2）由（1）可知，，
所以，
又，所以是首項為，公比為的等比數列，
所以的前項和.
【方法技巧】
針對數列的結構特征，確定數列的類型，符合等差或等比數列時，直接利用等差、等比數列相應公式求解．
【變式2-1】已知等差數列的前四項和為10，且成等比數列
(1)求通項公式
(2)設，求數列的前項和
【解析】（1）設等差數列的公差為，則，即，
又成等比數列，所以，即，
整理得，得或，
若，則，，
若，則，得，，.
綜上所述：或.
（2）若，則，；
若，則，.
【變式2-2】已知數列為等差數列，數列為等比數列，且，若．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設由，的公共項構成的新數列記為，求數列的前5項之和．
【解析】（1）設數列的公差為，數列的公比為，
因為
則，解得，
所以，
因為，
所以，則，
所以，
因為，所以，，
所以．
（2）設數列的第項與數列的第項相等，
則，，，
所以，，，
因為，，
所以當時，，當時，，則，當時，，
當時，，則，當時，，
當時，，則，當時，
當時，，則，當時，
當時，，則，
故的前5項之和．
題型三：錯位相減法
【典例3-1】設為數列的前項和，且.
(1)為何值時，是等比數列；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）當時，，即，所以，
當時，①，②，
①②得：，即，所以，
所以，當時，是等比數列，首項為6，公比為3.
（2）由第（1）問得，，所以，
所以，
，
故
所以.
【典例3-2】（2024·陜西西安·模擬預測）記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）設的公差為，則，，
解得，.
故.
（2）由（1）可得，
所以，①
則，②
①②，得
，
所以.
【方法技巧】
錯位相減法求數列的前n項和的適用條件
若是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，求數列{an·bn}的前n項和．
【變式3-1】（2024·青海海南·二模）已知數列的各項均為正數，其前項和為是等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）
由是等比數列，設公比為，則由得，所以，
所以，所以，故由得，
所以，所以，所以；
（2）由（1）可得，當時，.
當時，.經檢驗不適合，
所以，所以，
則數列的前項和，
，
兩式相減可得，
所以.
【變式3-2】已知在等差數列中，公差大于0，，且，，成等比數列，數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）設等差數列的公差為.
因為，，成等比數列，得，又因為，
則，解得（舍去）或，
則數列的通項公式為.
（2）由（1）得，
所以，①
則，②
①-②得 ，
所以.
【變式3-3】（2024·浙江·三模）已知等比數列和等差數列，滿足，，，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)記數列的前項和為，數列的前項和為．證明：．
【解析】（1）等比數列滿足，，所以單調遞增，
設的公比為，等差數列的公差為，依題意可得，
解得或（舍去），
所以，．
（2）由（1）可得，
所以
所以，
故，
又，，
即，
所以
．
【變式3-4】（2024·河北衡水·三模）已知數列滿足：．
(1)請寫出的值，給出一個你的猜想，并證明；
(2)設，求數列的前項和．
【解析】（1）因為，可得，，，
因此猜想是以1為首項，為公比的等比數列；
下面證明：
因為，即，
又因為，故是以1為首項，為公比的等比數列，
所以數列的通項公式為．
（2）由（1）知，當時，，
累加得，
所以，
當時，滿足題意，所以對成立；
故，可得
其中，
設，則，
兩式相減得，即，
綜上可得，數列的前項和．
題型四：分組求和法
【典例4-1】已知數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前100項的和.
【解析】（1）當時，，整理得，又，得
則數列是以-2為首項，-2為公比的等比數列.
則
（2）當時，
當時，，
當時，，
當時，，
則
【典例4-2】在等比數列{}中，．
(1)求{}的通項公式；
(2)求數列{}的前n項和Sn．
【解析】（1）由題設，，則的公比，
所以.
（2）由（1）知：，
所以.
【方法技巧】
（1）分組轉化求和
數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
（2）分組轉化法求和的常見類型
【變式4-1】在遞增的等比數列中，，，其中.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【解析】（1）由，等比數列是遞增數列，得，
因此數列的公比，則，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）得，，
.
【變式4-2】等比數列的公比為2，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）已知等比數列的公比為2，且成等差數列，
， ， 解得，
；
（2），
.
；
綜上，
【變式4-3】已知等差數列滿足（），數列是公比為3的等比數列，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列和中的項由小到大組成新的數列，記數列的前n項和為，求．
【解析】（1），①，（），②，
得：，
∵為等差數列，∴，，
，即，
∴，
因為數列是公比為3的等比數列，，
即，解得：，
所以；
（2）由（1）可知，，，
且數列和中的項由小到大組成新的數列，
其中，，此時，
所以數列中數列有項，數列有項，
，
．
題型五：裂項相消法之等差型
【典例5-1】已知公比為的等比數列的前項和為，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）由，有，①
又由，有，②
①②得，
整理為，解得或，
由，可得，
可得數列的通項公式為；
（2）由，
有，
所以
．
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【典例5-2】已知數列，其中數列是等差數列，且滿足，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前項和；
【解析】（1）因為，所以，，
因為，所以，
又數列是等差數列，所以的公差，
故數列的通項公式，
所以，
即的通項公式．
（2）由（1）知，
則．
【變式5-1】已知數列的前項和為.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1），有，
當時，有，
兩式相減得，
當時，由，得，
檢驗：當時也滿足，
所以
（2）由（1）知，，
所以
，
所以.
【變式5-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前項和為，證明.
【解析】（1）設等差數列的公差為，
由，即，解得，
所以，
所以數列的通項公式為；
（2）∵，∴，
（方法一）
，
∴
化簡得：，
∴.
（方法二）
，
∴
.
【變式5-3】（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數的數列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【解析】（1）由題意，得，
即，即①，
所以②，
①-②，得，
即.
又，所以.
由是與的等差中項，得當時，
，解得，
所以是以1為首項，2為公差的等差數列，
故.
（2）由（1）得，則
，
所以
，
所以，
所以.
【變式5-4】設數列為等差數列，前項和為．
(1)求數列的通項公式；
(2)設的前項和為，證明：．
【解析】（1），
由，
所以，
所以．
（2）
所以
題型六：裂項相消法之根式型
【典例6-1】已知數列的前n項和為，，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【解析】（1）由得：
即，
所以數列為等差數列，
由得，
設公差為d，，得，
所以，
故數列的通項公式為．
（2），
所以．
【典例6-2】已知數列的前項和為，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【解析】（1）當時，由，得：
由 ，
，
由上面兩式相減，得：
所以數列是以首項為，公比為的等比數列，得：
（2）
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【變式6-1】已知數列，，，為其前n項和，且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【解析】（1）由題可知數列是等差數列，
所以，
，
又因為，所以；
（2）．
所以；
【變式6-2】已知數列的前n項和為，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【解析】（1）由當時，，
當時，滿足上式，所以，
（2）
，
故．
題型七：裂項相消法之指數型
【典例7-1】已知等比數列{}的各項均為正數，，，成等差數列，，數列{}的前n項和，且.
(1)求{}和{}的通項公式；
(2)設，記數列{}的前n項和為.求證：.
【解析】（1）設等比數列的公比為，，，成等差數列，
，即，化為：，解得．
，，即，解得，
．
數列的前項和，且，
時，，化為：，
，數列是每項都為1的常數列，
，化為．
（2）證明：，
數列的前項和為，
．
【典例7-2】（2024·新疆·三模）若一個數列從第二項起，每一項和前一項的比值組成的新數列是一個等比數列，則稱這個數列是一個“二階等比數列”，如：1，3，27，729，…….已知數列是一個二階等比數列，，，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）設，由題意得數列是等比數列，，，
則，即，
由累乘法得：，
于是，故.
（2）由（1）得
，
令，則，
∴
.
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【變式7-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）記為數列的前n項和，是首項與公差均為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前2024項的和．
【解析】（1）由是首項與公差均為1的等差數列得
則，當時，，
兩式相減得，，
當時，，也滿足上式，故數列的通項公式為．
（2）由（1）得，，
所以數列的前2024項的和為：
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知是正項等差數列的前項和，滿足．
(1)求數列的通項公式．
(2)設，求數列的前項和．
【解析】（1）設等差數列的公差為．
因為．所以令，得．
因為，所以．
令，得，即，
所以，所以公差，則．
所以數列是首項為1，公差為1的等差數列，所以．
（2）由（1）可得，
所以
．
【變式7-3】（2024·云南昆明·三模）正項數列的前項和為，等比數列的前項和為，，
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足，求數列的前項和．
【解析】（1）當時，，即，，
所以，同理．
當時，，化簡得：
，因為，所以，
即，故，又，所以．
同理，或，
因為是等比數列，所以，即，所以．
（2）由（1）知，
所以當為奇數時，
，
，
同理當為偶數時，．
所以.
【變式7-4】（2024·福建泉州·二模）已知數列和的各項均為正，且，是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【解析】（1）由題設，當時或（舍），
由，知，
兩式相減得，
（舍）或，即，
∴數列是首項為2，公差為2的等差數列，．
又．
（2）
則
當n為偶數時，；
當n為奇數時，．
所以.
題型八：裂項相消法之三角型
【典例8-1】數列各項均為正數，的前n項和記作，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前2023項和．
【解析】（1）當時，有相減得，即，各項均為正數，
所以，
又當時，，
解得或(舍)，
所以對任意正整數n，均有，
故是以首項為1，公差以1的等差數列，
所以．
（2）由于，
故，
由（1）得，
記前n項和為，則
，
所以.
【典例8-2】已知數列中，，設為前n項和，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和
【解析】（1）數列中，，為前n項和，
當時，，，
當時，①，
②，
由②-①得：，，
即，
當時，，遞推可得：，，，，
由累乘法可得：，
，又因為，所以，即，經檢驗，當時符合上式，
所以；
（2）由（1）可知，，所以：
，
所以
；
所以數列的前n項和.
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4），
則
【變式8-1】已知在數列中，.
(1)求數列 的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2024項和.
【解析】（1）因為，可得，
所以，當時，，
即，又因為，則；
當時，成立，所以.
（2）由（1）知，，
所以 ，
因為，
于是，
，
所以，所以數列的前項的和為.
【變式8-2】（2024·高三·江西·開學考試）同余定理是數論中的重要內容．同余的定義為：設且．若，則稱a與b關于模m同余，記作（“|”為整除符號）．
(1)解同余方程：；
(2)設（1）中方程的所有正根構成數列，其中．
①若，數列的前n項和為，求；
②若，求數列的前n項和．
【解析】（1）由題意（mod3），所以或（），
即或（）．
（2）由（1）可得為，所以．
①因為（），所以．
則．
②（）．
因為，
所以
．
【變式8-3】已知數列的前n項和為，，，
(1)求；
(2)若，求數列的前1012項和．
【解析】（1）當時，因為，所以，
即．又，所以是首項為1，公差為2的等差數列，
所以．
（2）由（1）知，，
，
而所以
．
題型九：倒序相加法
【典例9-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知函數滿足為的導函數，.若，則數列的前2023項和為 .
【答案】
【解析】由題意知，所以，即，
又因為，所以，
所以，
，
將兩式相加可得：.
故答案為：.
【典例9-2】德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現有函數，則的值為 .
【答案】1009
【解析】由函數，得，
令，
則，
兩式相加得，解得，
所以所求值為1009.
故答案為：1009
【方法技巧】
將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法（等差數列前項和公式的推導即用此方法）．
【變式9-1】在數列中，，則…的值是 .
【答案】1005
【解析】由得，
所以，
所以,相加可得,
故答案為：1005
【變式9-2】已知函數為奇函數，且，若，則數列的前2022項和為 .
【答案】2022
【解析】由于函數為奇函數，則，
即，所以，
所以，
所以
，
因此數列的前2022項和為，
故答案為：2022
【變式9-3】若函數，且數列滿足：，則數列的通項公式為 ；以，，為三角形三邊的長，作一系列三角形，若這一系列三角形所有內角的最大值為，則 .
【答案】
【解析】由，可得
，
又因為，
所以根據倒序相加法計算，
可得，
所以；
因為三角形以，，為三邊長，又，所以以為長度的邊所對的角是三個內角中最大的，
所以的最大值就是這一系列三角形所有內角的最大值，
根據余弦定理，
故是遞增數列，所以當時，取最小值，取最大值，
所以這一系列三角形所有內角的最大值為，
因為，所以.
故答案為：；．
題型十：分段數列求和
【典例10-1】在數列中，，且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求．
【解析】（1）∵，∴，
∴數列是等差數列，設其公差為d．
∵，∴，
∴
（2）設數列的前n項和為，則由（1）可得，
由（1）知，令，得，
∴當時，，
則
；
當時，，則，
∴
【典例10-2】已知數列的前項和滿足，則 .
【答案】961
【解析】因為，故當時，，
因為，即，
故等比數列的公比為，所以；
由，
故答案為：961.
【方法技巧】
（1）分奇偶各自新數列求和
（2）要注意處理好奇偶數列對應的項：
①可構建新數列；②可“跳項”求和
【變式10-1】（2024·山西·三模）已知等差數列的公差，前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）因為，，
所以，解得或，
因為，所以，則；
（2）由（1）可得，
所以
.
【變式10-2】已知數列是公差不為0的等差數列，其前n項和為，，，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，，求數列的前100項和．
【解析】（1）設數列的首項為，公差為，
根據題意得即
解得或．
又因，所以．
所以的通項公式為．
（2）由（1）得．
即數列的偶數項是以4為首項，4為公差的等差數列，
奇數項是以為首項，16為公比的等比數列．
數列的前100項中偶數項有50項，奇數項有50項，
數列的前100項和．
，
．
所以．
【變式10-3】（2024·陜西安康·模擬預測）記為數列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）由，可得，所以，
又由，所以，所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以，則，
當時，，所以，
又當時，滿足上式，
所以的通項公式為.
（2）由（1）可知當為奇數時，；
當為偶數時，，
所以
【變式10-4】（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【解析】（1）設的公差為，由題意知，即，
即有，因為，可得，，
所以；
（2）設數列的前項中的奇數項之和為，偶數項之和為，
則
，
，
所以．
題型十一：并項求和法之型
【典例11-1】數列滿足，前12項的和為298，則 ．
【答案】4
【解析】當為偶數時，，
所以，，，
所以 ；
當為奇數時，，即
所以，，，，
，
所以
，所以.
故答案為：.
【典例11-2】已知數列的前項和為，.當時，，則 .
【答案】1 010
【解析】由，，得，
兩式作差可得，，
即（），
所以.
故答案為：1010.
【方法技巧】
四四并項求和.
【變式11-1】（2024·浙江·模擬預測）已知數列滿足，，則數列的前2020項的和為 ．
【答案】2020
【解析】在中，分別令，得，，兩式相加，得．
在中，分別令，得，，兩式相加，得，所以.
……
依此類推，可得，，，
所以數列的前2020項，有505組，故和為．
故答案為：2020.
【變式11-2】已知數列滿足，則數列的前項和為 .
【答案】
【解析】當為奇數時，
令，此數列前項的和
故答案為：
【變式11-3】數列滿足，前8項的和為106，則
【答案】8
【解析】，
當為奇數時，；
當為偶數時，.
設數列的前項和為，
，解得.
故答案為：.
【變式11-4】數列滿足，前16項和為540，則 ．
【答案】-2
【解析】因為數列滿足，
當為奇數時，，
所以，，，，
則，
當為偶數時，，
所以，，，，，，，
故，，，，，，，
因為前16項和為540，
所以，
所以，解得．
故答案為：．
【變式11-5】已知數列中，為前項和，且，，則
【答案】3025
【解析】因為，所以，
所以，，即數列為周期數列，周期為，
因為，所以，
所以
故答案為：
題型十二：并項求和法之型
【典例12-1】已知數列的通項公式為，的前項和為，則 .
【答案】
【解析】當時，則，
當時，則，
當時，.
，
，因此，.
故答案為.
【典例12-2】（2024·云南保山·二模）數列的通項公式，其前項和為，則 ．
【答案】
【解析】,
,
,
,
∴
故答案為
【方法技巧】
兩兩并項求和.
【變式12-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
【解析】（1）由，，
兩式相減得，即，
因為，所以，即，
故是首項為，公差為的等差數列，
所以；
（2）由（1）知，
所以，
記，則，
【變式12-2】在數列中，，且.
(1)求的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
【解析】（1），
是公比為2的等比數列.
，
.
（2），
所以.
當n為偶數，
.
當n為奇數
綜上：.
【變式12-3】已知等差數列中的前n項和為，且成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列為遞增數列，記，求數列的前40項的和.
【解析】（1）設公差為，則，即
解得或 ，所以或；
（2）因為數列為遞增數列，，，，
所以
；
所以.
【變式12-4】數列通項為，為其前項的和，則 .
【答案】
【解析】當時，；
同理可得：當時，；
當時，；
當時，.
∴，
，
∴
.
故答案為：.
題型十三：先放縮后裂項求和
【典例13-1】設數列前項和為，且滿足，，，數列滿足．
(1)求、的通項公式；
(2)記，求證：．
【解析】（1）對任意的，，
當時，由可得，
上述兩個等式作差得，所以，，
所以，，所以，，
令，則，故數列為常數列，且，
所以，，
也滿足，故對任意的，.
故，所以，.
（2）因為，解得，
所以，，
當時，成立；
當時，
，
此時，
綜上所述，對任意的，.
【典例13-2】記為數列的前項和，已知是首項為3，公差為1的等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，.
【解析】（1）∵是首項為3，公差為1的等差數列，∴，
∴.∴當時，，.
又不滿足，
∴的通項公式.
（2）當時，，
，
∴，
∴.
【方法技巧】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．
【變式13-1】（2024·河南·模擬預測）若數列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為，，
所以，
故；
（2）證明：當n＝1時，；
當時，，
則，
故；
綜上，.
【變式13-2】（2024·天津河北·二模）已知是等差數列，其前項和為是等比數列，已知，是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)記，求證：.
【解析】（1）由題意，
，
又是和的等比中項，得，
又，解得，
；
（2），
設，
則，
將以上兩式相減得
，
；
（3）
，
，
.
結論得證.
【變式13-3】如圖，已知點列在曲線上，點列在x軸上，，，為等腰直角三角形．
(1)求，，；（直接寫出結果）
(2)求數列的通項公式；
(3)設，證明：．
【解析】（1）由為等腰直角三角形，所以直線的直線斜率為1，
故直線的方程為，與拋物線方程聯立可得，可解得或，
從而可得，可得的橫坐標為1，因為，解得，
由，所以，可得，
可得，解得；
（2）由題意可得，所以，
所以，所以，
所以，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以，
（3）由（1）可得，
所以，
所以，
，
所以.
【變式13-4】（2024·山東煙臺·三模）在數列中，已知，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，為數列的前n項和，證明：.
【解析】（1）由可得，則，即，
故是以為首項，為公比的等比數列.
故，則，.
（2）.
易得，故.
又，
故
.
綜上有，即得證.
1．（2021年浙江省高考數學試題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，所以，．
由
，即
根據累加法可得，，當時，
則，當且僅當時等號成立，
，
由累乘法可得，且，
則，當且僅當時取等號，
由裂項求和法得：
所以，即．
故選：A．
2．（2021年全國新高考I卷數學試題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為 ；如果對折次，那么 .
【答案】 5
【解析】（1）由對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規格（單位；
故對折4次可得到如下規格：，，，，，共5種不同規格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規格如何，其面積成公比為的等比數列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規格形狀種數，根據（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
3．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
【解析】（1）因為,故，
所以即故等比數列的公比為，
故，故，故.
（2）由等比數列求和公式得，
所以數列的前n項和
.
4．（2024年天津高考數學真題）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
【解析】（1）設等比數列的公比為，
因為，即，
可得，整理得，解得或（舍去），
所以.
（2）（i）由（1）可知，且，
當時，則，即
可知，
，
可得，
當且僅當時，等號成立，
所以；
（ii）由（1）可知：，
若，則；
若，則，
當時，，可知為等差數列，
可得，
所以，
且，符合上式，綜上所述：.
1．已知等差數列的前n項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，令，求數列的前n項和．
【解析】（1）由題意知：，
即：化簡得.
所以數列的通項公式.
（2）因為
所以
化簡得：.
2．有理數都能表示成，且，m與n互質）的形式，進而有理數集且，m與n互質}．任何有理數都可以化為有限小數或無限循環小數．反之，任一有限小數也可以化為的形式，從而是有理數；那么無限循環小數是否為有理數？
思考下列問題：
（1）是有理數嗎？請說明理由．
（2）是有理數嗎？請說明理由．
【解析】無限循環小數也可以化成，且，m與n互質）的形式，故無限循環小數是有理數，
（1）由，
，可以化為的形式，故是有理數；
（2）由，
，可以化為的形式，故是有理數.
3．已知數列的首項，且滿足．
（1）求證：數列為等比數列．
（2）若，求滿足條件的最大整數n．
【解析】（1）由題意，數列滿足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以數列表示首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）可得，所以
設數列的前項和為，
則
，
若，即，
因為函數為單調遞增函數，
所以滿足的最大整數的值為.
4．求和：
（1）（；
（2）．
【解析】（1）
=
=
（2）當時：
當時：記
化簡得：
綜上所述：
5．求下列數列的一個通項公式和一個前n項和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
【解析】設該數列為 ，其前n項和為
因為
所以該數列的一個通項公式為，
6．在數列中，已知，．
(1)求證：是等比數列．
(2)求數列的前n項和．
【解析】（1）由，得，
即，
所以是首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）得.
所以
.
7．若數列的首項，且滿足，求數列的通項公式及前10項的和．
【解析】，，
是首項為，公比為2的等比數列，
，即，
.
易錯點：用錯位相減法求和時項數處理不恰當出錯
易錯分析：在利用錯位相減法去求和時，對相減后的項處理不恰當，容易導致漏掉項或者添加項出錯.
答題模板：錯位相減法求前n項和
1、模板解決思路
錯位相減法求前n項和是一種巧妙的方法，特別適用于等比數列。其核心思路在于，首先將原數列的每一項都乘以公比，形成錯位后的新數列。然后，將原數列與新數列進行相減，從而消去大部分項，簡化求和過程。最后，通過簡單的代數運算即可求出前n項和。
2、模板解決步驟
第一步：寫出等比數列的前n項和公式，明確首項、公比和項數。
第二步：將數列的每一項都乘以公比，形成錯位后的新數列。
第三步：將原數列與新數列進行相減，消去大部分項，得到簡化的表達式。
第四步：對簡化后的表達式進行代數運算，求出前n項和。
【易錯題1】已知數列的前項和為，且滿足，當時，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【解析】（1）由題意，得，
當時，由，得.
又，化簡，得.
又，所以數列從第2項起，是以2為公比的等比數列，
所以.
綜上，.
（2）由（1）得，
所以當時，①
②
①-②，得，
所以.
當時，也滿足上式.
綜上，.
【易錯題2】已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足.求數列的前n項和；
【解析】（1）因為①，
當時，，當時，②，
得，即；因為符合，所以；
（2）由（1）知，所以，，
所以，兩式相減得，
，
所以；
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第05講 數列求和
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：數列求和常用方法 4
解題方法總結 5
題型一：通項分析法 8
題型二：公式法 9
題型三：錯位相減法 10
題型四：分組求和法 12
題型五：裂項相消法之等差型 13
題型六：裂項相消法之根式型 15
題型七：裂項相消法之指數型 17
題型八：裂項相消法之三角型 19
題型九：倒序相加法 20
題型十：分段數列求和 21
題型十一：并項求和法之型 23
題型十二：并項求和法之型 23
題型十三：先放縮后裂項求和 24
04真題練習·命題洞見 26
05課本典例·高考素材 27
06易錯分析·答題模板 29
易錯點：用錯位相減法求和時項數處理不恰當出錯 29
答題模板：錯位相減法求前n項和 29
考點要求 考題統計 考情分析
（1）公式法 （2）奇偶討論、并項分類 （3）倒序相加法 （4）裂項相消法 （5）錯位相減法 2023年甲卷（理）第17題，12分 2023年II卷第18題，12分 2023年I卷第20題，12分 高考對數列求和的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．數列的求和主要考查等差、等比數列的前 項和公式及非等差、等比數列的求和方法，其綜合性較強．數列求和問題以解答題的形式為主，偶爾出現在選擇填空題當中，常結合函數、不等式綜合考查．
復習目標： （1）熟練掌握等差、等比數列的前n項和公式． （2）掌握非等差數列、非等比數列求和的幾種常見方法．
知識點1：數列求和常用方法
一．公式法
（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法．
（2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法．
（3）一些常見的數列的前n項和：
①；
②；
③；
④
二．幾種數列求和的常用方法
（1）分組轉化求和法：一個數列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數列組成的，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減．
（2）裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得前n項和．
（3）錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么求這個數列的前項和即可用錯位相減法求解．
（4）倒序相加法：如果一個數列與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法求解．
【診斷自測】已知等差數列的前項和為，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，定義為不超過的最大整數，例如，，求數列的前項和．
（說明：）
解題方法總結
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
題型一：通項分析法
【典例1-1】觀察如下規律： ，該組數據的前項和為 .
【典例1-2】求和．
【方法技巧】
先分析數列通項的特點，再選擇合適的方法求和是求數列的前 項和問題應該強化的意識．
【變式1-1】數列9，99，999，的前項和為　　
A． B． C． D．
【變式1-2】求數列1，，，，，的前項之和．
【變式1-3】（2024·上海徐匯·模擬預測）如圖，在楊輝三角中，斜線上方，從1開始箭頭所示的數組成一個鋸齒數列：1，3，3，4，6，5，10，…，記其前項和為，則等于 ．
題型二：公式法
【典例2-1】（2024·湖北黃岡·一模）已知等比數列的前項和為，且對一切正整數恒成立.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【典例2-2】（2024·高三·四川·學業考試）已知等差數列的前項和為，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前項和.
【方法技巧】
針對數列的結構特征，確定數列的類型，符合等差或等比數列時，直接利用等差、等比數列相應公式求解．
【變式2-1】已知等差數列的前四項和為10，且成等比數列
(1)求通項公式
(2)設，求數列的前項和
【變式2-2】已知數列為等差數列，數列為等比數列，且，若．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設由，的公共項構成的新數列記為，求數列的前5項之和．
題型三：錯位相減法
【典例3-1】設為數列的前項和，且.
(1)為何值時，是等比數列；
(2)若，求數列的前項和.
【典例3-2】（2024·陜西西安·模擬預測）記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【方法技巧】
錯位相減法求數列的前n項和的適用條件
若是公差為的等差數列，是公比為的等比數列，求數列{an·bn}的前n項和．
【變式3-1】（2024·青海海南·二模）已知數列的各項均為正數，其前項和為是等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【變式3-2】已知在等差數列中，公差大于0，，且，，成等比數列，數列的前項和為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式3-3】（2024·浙江·三模）已知等比數列和等差數列，滿足，，，．
(1)求數列，的通項公式；
(2)記數列的前項和為，數列的前項和為．證明：．
【變式3-4】（2024·河北衡水·三模）已知數列滿足：．
(1)請寫出的值，給出一個你的猜想，并證明；
(2)設，求數列的前項和．
題型四：分組求和法
【典例4-1】已知數列的前項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前100項的和.
【典例4-2】在等比數列{}中，．
(1)求{}的通項公式；
(2)求數列{}的前n項和Sn．
【方法技巧】
（1）分組轉化求和
數列求和應從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉化為等差數列或等比數列或可求前n項和的數列求和．
（2）分組轉化法求和的常見類型
【變式4-1】在遞增的等比數列中，，，其中.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【變式4-2】等比數列的公比為2，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式4-3】已知等差數列滿足（），數列是公比為3的等比數列，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)數列和中的項由小到大組成新的數列，記數列的前n項和為，求．
題型五：裂項相消法之等差型
【典例5-1】已知公比為的等比數列的前項和為，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【典例5-2】已知數列，其中數列是等差數列，且滿足，，．
(1)求數列和的通項公式；
(2)若，求數列的前項和；
【變式5-1】已知數列的前項和為.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式5-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）在等差數列（）中，，.
(1)求的通項公式；
(2)若，數列的前項和為，證明.
【變式5-3】（2024·河北衡水·模擬預測）記各項均為正數的數列的前項和為，已知是與的等差中項.
(1)求的通項公式；
(2)設，數列的前項和為，證明：.
【變式5-4】設數列為等差數列，前項和為．
(1)求數列的通項公式；
(2)設的前項和為，證明：．
題型六：裂項相消法之根式型
【典例6-1】已知數列的前n項和為，，，且．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【典例6-2】已知數列的前項和為，且．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【變式6-1】已知數列，，，為其前n項和，且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
【變式6-2】已知數列的前n項和為，
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
題型七：裂項相消法之指數型
【典例7-1】已知等比數列{}的各項均為正數，，，成等差數列，，數列{}的前n項和，且.
(1)求{}和{}的通項公式；
(2)設，記數列{}的前n項和為.求證：.
【典例7-2】（2024·新疆·三模）若一個數列從第二項起，每一項和前一項的比值組成的新數列是一個等比數列，則稱這個數列是一個“二階等比數列”，如：1，3，27，729，…….已知數列是一個二階等比數列，，，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
【變式7-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）記為數列的前n項和，是首項與公差均為1的等差數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前2024項的和．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知是正項等差數列的前項和，滿足．
(1)求數列的通項公式．
(2)設，求數列的前項和．
【變式7-3】（2024·云南昆明·三模）正項數列的前項和為，等比數列的前項和為，，
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足，求數列的前項和．
【變式7-4】（2024·福建泉州·二模）已知數列和的各項均為正，且，是公比3的等比數列．數列的前n項和滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和．
題型八：裂項相消法之三角型
【典例8-1】數列各項均為正數，的前n項和記作，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前2023項和．
【典例8-2】已知數列中，，設為前n項和，．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和
【方法技巧】
（1）
（2）
（3）
（4），
則
【變式8-1】已知在數列中，.
(1)求數列 的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2024項和.
【變式8-2】（2024·高三·江西·開學考試）同余定理是數論中的重要內容．同余的定義為：設且．若，則稱a與b關于模m同余，記作（“|”為整除符號）．
(1)解同余方程：；
(2)設（1）中方程的所有正根構成數列，其中．
①若，數列的前n項和為，求；
②若，求數列的前n項和．
【變式8-3】已知數列的前n項和為，，，
(1)求；
(2)若，求數列的前1012項和．
題型九：倒序相加法
【典例9-1】（2024·高三·浙江·開學考試）已知函數滿足為的導函數，.若，則數列的前2023項和為 .
【典例9-2】德國大數學家高斯年少成名，被譽為數學界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現有函數，則的值為 .
【方法技巧】
將一個數列倒過來排列，當它與原數列相加時，若有規律可循，并且容易求和，則這樣的數列求和時可用倒序相加法（等差數列前項和公式的推導即用此方法）．
【變式9-1】在數列中，，則…的值是 .
【變式9-2】已知函數為奇函數，且，若，則數列的前2022項和為 .
【變式9-3】若函數，且數列滿足：，則數列的通項公式為 ；以，，為三角形三邊的長，作一系列三角形，若這一系列三角形所有內角的最大值為，則 .
題型十：分段數列求和
【典例10-1】在數列中，，且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求．
【典例10-2】已知數列的前項和滿足，則 .
【方法技巧】
（1）分奇偶各自新數列求和
（2）要注意處理好奇偶數列對應的項：
①可構建新數列；②可“跳項”求和
【變式10-1】（2024·山西·三模）已知等差數列的公差，前項和為，且，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式10-2】已知數列是公差不為0的等差數列，其前n項和為，，，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，，求數列的前100項和．
【變式10-3】（2024·陜西安康·模擬預測）記為數列的前項和，已知.
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式10-4】（2024·山東·二模）已知是公差不為0的等差數列，其前4項和為16，且成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
題型十一：并項求和法之型
【典例11-1】數列滿足，前12項的和為298，則 ．
【典例11-2】已知數列的前項和為，.當時，，則 .
【方法技巧】
四四并項求和.
【變式11-1】（2024·浙江·模擬預測）已知數列滿足，，則數列的前2020項的和為 ．
【變式11-2】已知數列滿足，則數列的前項和為 .
【變式11-3】數列滿足，前8項的和為106，則
【變式11-4】數列滿足，前16項和為540，則 ．
【變式11-5】已知數列中，為前項和，且，，則
題型十二：并項求和法之型
【典例12-1】已知數列的通項公式為，的前項和為，則 .
【典例12-2】（2024·云南保山·二模）數列的通項公式，其前項和為，則 ．
【方法技巧】
兩兩并項求和.
【變式12-1】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知數列滿足，，是數列的前項和，對任意，有
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的前100項的和.
【變式12-2】在數列中，，且.
(1)求的通項公式；
(2)令，求數列的前項和.
【變式12-3】已知等差數列中的前n項和為，且成等比數列，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列為遞增數列，記，求數列的前40項的和.
【變式12-4】數列通項為，為其前項的和，則 .
題型十三：先放縮后裂項求和
【典例13-1】設數列前項和為，且滿足，，，數列滿足．
(1)求、的通項公式；
(2)記，求證：．
【典例13-2】記為數列的前項和，已知是首項為3，公差為1的等差數列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，.
【方法技巧】
先放縮后裂項，放縮的目的是為了“求和”，這也是湊配放縮形式的目標．
【變式13-1】（2024·河南·模擬預測）若數列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【變式13-2】（2024·天津河北·二模）已知是等差數列，其前項和為是等比數列，已知，是和的等比中項.
(1)求和的通項公式；
(2)求數列的前項和；
(3)記，求證：.
【變式13-3】如圖，已知點列在曲線上，點列在x軸上，，，為等腰直角三角形．
(1)求，，；（直接寫出結果）
(2)求數列的通項公式；
(3)設，證明：．
【變式13-4】（2024·山東煙臺·三模）在數列中，已知，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，為數列的前n項和，證明：.
1．（2021年浙江省高考數學試題）已知數列滿足.記數列的前n項和為，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2021年全國新高考I卷數學試題）某校學生在研究民間剪紙藝術時，發現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為 ；如果對折次，那么 .
3．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知等比數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和.
4．（2024年天津高考數學真題）已知數列是公比大于0的等比數列．其前項和為．若．
(1)求數列前項和；
(2)設，．
（ⅰ）當時，求證：；
（ⅱ）求．
1．已知等差數列的前n項和為，且，．
（1）求數列的通項公式；
（2）若，令，求數列的前n項和．
2．有理數都能表示成，且，m與n互質）的形式，進而有理數集且，m與n互質}．任何有理數都可以化為有限小數或無限循環小數．反之，任一有限小數也可以化為的形式，從而是有理數；那么無限循環小數是否為有理數？
思考下列問題：
（1）是有理數嗎？請說明理由．
（2）是有理數嗎？請說明理由．
3．已知數列的首項，且滿足．
（1）求證：數列為等比數列．
（2）若，求滿足條件的最大整數n．
4．求和：
（1）（；
（2）．
5．求下列數列的一個通項公式和一個前n項和公式：
1，11，111，1111，11111，…．
6．在數列中，已知，．
(1)求證：是等比數列．
(2)求數列的前n項和．
7．若數列的首項，且滿足，求數列的通項公式及前10項的和．
易錯點：用錯位相減法求和時項數處理不恰當出錯
易錯分析：在利用錯位相減法去求和時，對相減后的項處理不恰當，容易導致漏掉項或者添加項出錯.
答題模板：錯位相減法求前n項和
1、模板解決思路
錯位相減法求前n項和是一種巧妙的方法，特別適用于等比數列。其核心思路在于，首先將原數列的每一項都乘以公比，形成錯位后的新數列。然后，將原數列與新數列進行相減，從而消去大部分項，簡化求和過程。最后，通過簡單的代數運算即可求出前n項和。
2、模板解決步驟
第一步：寫出等比數列的前n項和公式，明確首項、公比和項數。
第二步：將數列的每一項都乘以公比，形成錯位后的新數列。
第三步：將原數列與新數列進行相減，消去大部分項，得到簡化的表達式。
第四步：對簡化后的表達式進行代數運算，求出前n項和。
【易錯題1】已知數列的前項和為，且滿足，當時，.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【易錯題2】已知數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知數列滿足.求數列的前n項和；
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