資源簡介

第03講 等比數列及其前n項和
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：等比數列的有關概念 4
知識點2：等比數列的有關公式 4
知識點3：等比數列的性質 5
解題方法總結 6
題型一：等比數列的基本運算 6
題型二：等比數列的判定與證明 7
題型三：等比數列項的性質應用 9
題型四：等比數列前n項和的性質 10
題型五：奇偶項求和問題的討論 11
題型六：等差數列與等比數列的綜合應用 12
題型七：等比數列的范圍與最值問題 13
題型八：等比數列的實際應用 14
題型九：公共項與插項問題 16
04真題練習·命題洞見 18
05課本典例·高考素材 19
06易錯分析·答題模板 20
易錯點：不能靈活運用等比數列的性質 20
考點要求 考題統計 考情分析
（1）等比數列的有關概念 （2）等比數列的通項公式與求和公式 （3）等比數列的性質 2023年甲卷（理）第5題，5分 2023年II卷第8題，5分 2023年乙卷（理）第15題，5分 高考對等比數列的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等比數列的概念． （2）掌握等比數列的通項公式與前n項和公式． （3）了解等比數列與指數函數的關系．
知識點1：等比數列的有關概念
（1）定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數（不為零），那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．
（2）等比中項：如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．
即是與的等比中項 ，，成等比數列 ．
【診斷自測】某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為，其中，且. 證明：數列是等比數列.
知識點2：等比數列的有關公式
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為
注①等比數列的前項和公式有兩種形式，在求等比數列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項數），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關于的指數型函數，且系數與常數互為相反數．
【診斷自測】若數列是公比為的等比數列，且，，則的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
知識點3：等比數列的性質
（1）等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當時，．
（2）①設為等比數列，則（為非零常數），，仍為等比數列．
②設與為等比數列，則也為等比數列．
（3）等比數列的單調性（等比數列的單調性由首項與公比決定）．
當或時，為遞增數列；
當或時，為遞減數列．
（4）其他衍生等比數列．
若已知等比數列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數列，公比為．
②等長度截取
為等比數列，公比為（當時，不為偶數）．
【診斷自測】在正項等比數列中，，是的兩個根，則 .
解題方法總結
（1）若，則．
（2）若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列．
（3）在等比數列中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即為
等比數列，公比為．
（4）公比不為－1的等比數列的前項和為，則，，仍成等比數列，其公比為．
（5）為等比數列，若，則成等比數列．
（6）當，時，是成等比數列的充要條件，此時．
（7）有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數為奇數時，還等于中間
項的平方．
（8）若為正項等比數列，則為等差數列．
（9）若為等差數列，則為等比數列．
（10）若既是等差數列又是等比數列是非零常數列．
題型一：等比數列的基本運算
【典例1-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知等比數列公比為，前項和為，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知正項等比數列的前三項和為28且，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
等比數列基本量運算的解題策略
（1）等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量，，，，，
一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．
（2）等比數列的前項和公式涉及對公比的分類討論：
當時，；當時，
【變式1-1】（2024·山東泰安·模擬預測）已知數列是各項均為正數的等比數列，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知等比數列的前三項和為13，，則（ ）
A．81 B．243 C．27 D．729
【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知在正項等比數列中，，且成等差數列，則（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
【變式1-4】（2024·陜西渭南·二模）已知等比數列的前項和為，則其公比（ ）
A． B． C． D．
題型二：等比數列的判定與證明
【典例2-1】（2024·河南·三模）已知數列的各項均不為0，其前項和為，為不等于0的常數，且．
(1)證明：是等比數列；
(2)若成等差數列，則對于任意的正整數，，，是否成等差數列？若成等差數列，請予以證明；若不成等差數列，請說明理由．
【典例2-2】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列中，，.證明：是等比數列；
【方法技巧】
等比數列的判定方法
定義法 若（為非零常數，或（為非零常數且，），則是等比數列
中項公式法 若數列中，且，則是等比數列
通項公式法 若數列的通項公式可寫成（均為非零常數，），則是等比數列
前項和公式法 若數列的前項和（為非零常數，），則是等比數列
【變式2-1】（2024·河北石家莊·二模）已知數列滿足
(1)寫出;
(2)證明:數列為等比數列;
【變式2-2】（2024·青海海南·一模）記等差數列的前項和為，是正項等比數列，且．
(1)求和的通項公式；
(2)證明是等比數列．
【變式2-3】已知數列和滿足， ，.證明：是等比數列，是等差數列.
【變式2-4】已知點，，設，當時，線段的中點為，關于直線的對稱點為.例如，為線段的中點，則，.設，證明：是等比數列.
【變式2-5】（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足．
證明：，使得數列成等比數列；
題型三：等比數列項的性質應用
【典例3-1】（2024·浙江金華·模擬預測）已知數列是等差數列，數列是等比數列，若，，則 ．
【典例3-2】（2024·高三·內蒙古錫林郭勒盟·開學考試）已知數列為正項等比數列，若，，則 ．
【方法技巧】
（1）在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
【變式3-1】在各項均為正數的等比數列中，，則 .
【變式3-2】若等比數列滿足，則等于 ．
【變式3-3】已知等比數列的各項均為正數，且，則 ， ．
【變式3-4】（2024·陜西·模擬預測）等比數列滿足：，則的最小值為 ．
題型四：等比數列前n項和的性質
【典例4-1】記為等比數列的前n項和，若，，則 ．
【典例4-2】設等比數列的前項和是.已知,，則 .
【方法技巧】
（1）等比數列中，所有奇數項之和與所有偶數項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；②若共有項，．
（2）等比數列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數列，公比為．
【變式4-1】已知正項等比數列共有項，它的所有項的和是奇數項的和的倍，則公比 .
【變式4-2】已知等比數列的前n項和，則 ．
【變式4-3】（2024·高三·江蘇蘇州·期末）設Sn是等比數列的前n項和，若，則 .
【變式4-4】數列是等差數列，數列是等比數列，公比為q，數列中，，是數列的前n項和．若，，（m為正偶數），則的值為 ．
題型五：奇偶項求和問題的討論
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·期中）數列滿足：，數列的前項和記為，則 ．
【典例5-2】（2024·河南·模擬預測）已知數列滿足，是數列的前項和，若已知，那么的值為（ ）
A．322 B．295 C．293 D．270
【方法技巧】
求解等比數列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數的值；對于奇偶項通項不統一問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．
【變式5-1】已知數列滿足，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·高三·河北唐山·期末）記為數列的前n項和，當時,．且．
(1)求，；
(2)（i）當n為偶數時，求的通項公式；
（ⅱ）求．
【變式5-3】（2024·福建廈門·模擬預測）已知為等差數列的前n項和，，，.
(1)求的通項公式；
(2)記為數列的前n項和，若，求n的最小值.
【變式5-4】已知數列滿足，，為參數且.
(1)求、的值（用表示），并探究是否存在使得數列成等比數列，若存在，求的值，無需證明.
(2)當時，求的前項和；試給出前項和表達式.
題型六：等差數列與等比數列的綜合應用
【典例6-1】（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列是公差不為0的等差數列，，且滿足成等比數列，則數列前6項的和為 .
【典例6-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知數列為各項均不相等的等比數列，其前項和為，且成等差數列，則 .
【方法技巧】
（1）等差數列與等比數列的相互轉化：等差數列通過指數運算轉化為正項等比數列，正項等比數列通過對數運算轉化為等差數列．
（2）等差數列和等比數列的交匯，若一個數列既是等差數列又是等比數列，則該數列為非零常數數列．
【變式6-1】（2024·湖北荊州·三模）若實數成等差數列，成等比數列，則= .
【變式6-2】（2024·浙江杭州·三模）已知公差為正數的等差數列的前n項和為，是等比數列，且，，則的最小項是第 項．
【變式6-3】記為公差不為0的等差數列的前n項和，已知，且，，成等比數列，則的最小值為 .
【變式6-4】（2024·陜西安康·三模）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數列，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
題型七：等比數列的范圍與最值問題
【典例7-1】（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，若，，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．數列中的最大值是 D．數列無最大值
【典例7-2】（多選題）（2024·湖北·二模）無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【方法技巧】
等比數列的范圍與最值問題是數列研究中的重要內容。在處理這類問題時，首先需要明確等比數列的定義和性質，包括通項公式、前n項和公式等。對于范圍問題，通常通過不等式求解，利用等比數列的性質確定數列項的取值范圍。對于最值問題，則需分析數列的單調性，結合數列項的性質，求出數列的最大項或最小項。
【變式7-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數列的前項的積為，且公比，若對于任意正整數，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（多選題）設等比數列的公比為，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大項 D．
【變式7-3】（多選題）已知等比數列滿足，公比，且，，則（ ）
A． B．當時，最小
C．當時，最小 D．存在，使得
【變式7-4】（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的最大值為
【變式7-5】（多選題）（2024·福建三明·三模）設等比數列的前項和為，前項積為，若滿足，，，則下列選項正確的是（ ）
A．為遞減數列 B．
C．當時，最小 D．當時，的最小值為4047
題型八：等比數列的實際應用
【典例8-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結果保留一位小數）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【典例8-2】（2024·天津紅橋·二模）某同學于2019年元旦在銀行存款1萬元，定期儲蓄年利率為，以后按約定自動轉存，那么該同學在年元旦可以得到本利和為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
等比數列在實際應用中廣泛存在，其獨特的性質使得它在金融、物理、生物學等多個領域都有重要的應用。例如，在金融領域，等比數列可以用于計算復利、貸款分期償還等問題；在物理學中，等比數列可以用來描述某些放射性物質的衰變過程；在生物學中，它也可以用于描述種群數量的增長等。因此，掌握等比數列的應用具有實際意義。
【變式8-1】在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為斜邊作等腰直角三角形，再以為斜邊作等腰直角三角形，依次類推，記的面積為，依次所得三角形的面積分別為，……若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【變式8-2】如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形(圖①)的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2024·云南昆明·模擬預測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續開放，已知池塘內某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每天花蕾開放的數量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內開放荷花的數量達到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【變式8-4】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（ ）

A． B．
C． D．
題型九：公共項與插項問題
【典例9-1】將數列與的公共項由小到大排列得到數列，則數列的前n項的和為 ．
【典例9-2】已知數列滿足，在和之間插入個1，構成數列，則數列的前20項的和為 .
【方法技巧】
公共項與插項問題是數列研究中的重要內容，具有廣泛的應用背景。
公共項問題涉及兩個或多個數列中共同存在的項。這些項可能具有特定的數值和序號關系，需要利用數列的通項公式和性質進行求解。例如，兩個等差數列的公共項可以組成一個新的等差數列，其公差是兩原數列公差的最小公倍數。
插項問題則是在數列的特定位置插入新的項，以改變數列的原始結構。這類問題通常要求分析插入項對數列性質的影響，如數列的單調性、最值等。在實際應用中，插項問題可用于數列的擴展、數列模型的修正等方面。
綜上所述，公共項與插項問題是數列研究中的基礎而重要的問題，對于深入理解數列的性質和應用具有重要意義。
【變式9-1】已知數列滿足，在和之間插入個1，構成新的數列，則數列的前20項的和為 .
【變式9-2】已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
【變式9-3】（2024·甘肅張掖·模擬預測）定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”，例如：數列經過第一次“和擴充”后得到數列；第二次“和擴充”后得到數列．設數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，所有項的和為．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在數列，使得數列為等比數列？請說明理由．
【變式9-4】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知數列的前n項積為，數列滿足，
A．14 B．12 C．6 D．3
4．（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）記為等比數列的前n項和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2024年上海秋季高考數學真題）無窮等比數列滿足首項，記，若對任意正整數集合是閉區間，則的取值范圍是 ．
1．已知數列的首項，且滿足．
（1）求證：數列為等比數列．
（2）若，求滿足條件的最大整數n．
2．已知是一個無窮等比數列，公比為q．
（1）將數列中的前k項去掉，剩余項組成一個新數列，這個新數列是等比數列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？
（2）取出數列中的所有奇數項，組成一個新數列，這個新數列是等比數列嗎？如果是，它的首項與公比分別是多少？
（3）在數列中，每隔10項取出一項，組成一個新數列，這個新數列是等比數列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據得到的結論作出關于等比數列的一個猜想嗎？
3．已知數列為等差數列，，，前n項和為，數列滿足，
求證：
（1）數列為等差數列；
（2）數列中的任意三項均不能構成等比數列．
4．已知數列為等比數列，，公比．若是數列的前n項積，求的最大值．
易錯點：不能靈活運用等比數列的性質
易錯分析：解題的過程中要注意把握等比數列的基本性質，以及前n項和的性質，正確運用學過的知識，進行合理計算即可.
【易錯題1】在各項均為正數的等比數列中，，則 .
【易錯題2】等比數列中，，，則
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01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：等比數列的有關概念 4
知識點2：等比數列的有關公式 5
知識點3：等比數列的性質 5
解題方法總結 6
題型一：等比數列的基本運算 7
題型二：等比數列的判定與證明 10
題型三：等比數列項的性質應用 13
題型四：等比數列前n項和的性質 15
題型五：奇偶項求和問題的討論 18
題型六：等差數列與等比數列的綜合應用 22
題型七：等比數列的范圍與最值問題 24
題型八：等比數列的實際應用 28
題型九：公共項與插項問題 31
04真題練習·命題洞見 36
05課本典例·高考素材 38
06易錯分析·答題模板 41
易錯點：不能靈活運用等比數列的性質 41
考點要求 考題統計 考情分析
（1）等比數列的有關概念 （2）等比數列的通項公式與求和公式 （3）等比數列的性質 2023年甲卷（理）第5題，5分 2023年II卷第8題，5分 2023年乙卷（理）第15題，5分 高考對等比數列的考查相對穩定，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是（1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算；（2）解答題多與等差數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等比數列的概念． （2）掌握等比數列的通項公式與前n項和公式． （3）了解等比數列與指數函數的關系．
知識點1：等比數列的有關概念
（1）定義：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數（不為零），那么這個數列就叫做等比數列．這個常數叫做等比數列的公比，通常用字母表示，定義的表達式為．
（2）等比中項：如果，，成等比數列，那么叫做與的等比中項．
即是與的等比中項 ，，成等比數列 ．
【診斷自測】某景點上山共有999級臺階，寓意長長久久.甲上臺階時，可以一步上一個臺階，也可以一步上兩個臺階，若甲每步上一個臺階的概率為，每步上兩個臺階的概率為，為了簡便描述問題，我們約定，甲從0級臺階開始向上走，一步走一個臺階記1分，一步走兩個臺階記2分，記甲登上第n個臺階的概率為，其中，且. 證明：數列是等比數列.
【解析】證明：由題可得，，
則，，
∴，
由于，，∴，
故，則，
∴數列是以為首項，為公比的等比數列.
知識點2：等比數列的有關公式
（1）等比數列的通項公式
設等比數列的首項為，公比為，則它的通項公式．
推廣形式：
（2）等比數列的前n項和公式
等比數列的公比為，其前項和為
注①等比數列的前項和公式有兩種形式，在求等比數列的前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇相應的求和公式，當不能判斷公比是否為1時，要分與兩種情況討論求解．
②已知（項數），則利用求解；已知，則利用求解．
③，為關于的指數型函數，且系數與常數互為相反數．
【診斷自測】若數列是公比為的等比數列，且，，則的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】數列中，由，知，則，
又，于是，而，
所以.
故選：A
知識點3：等比數列的性質
（1）等比中項的推廣．
若時，則，特別地，當時，．
（2）①設為等比數列，則（為非零常數），，仍為等比數列．
②設與為等比數列，則也為等比數列．
（3）等比數列的單調性（等比數列的單調性由首項與公比決定）．
當或時，為遞增數列；
當或時，為遞減數列．
（4）其他衍生等比數列．
若已知等比數列，公比為，前項和為，則：
①等間距抽取
為等比數列，公比為．
②等長度截取
為等比數列，公比為（當時，不為偶數）．
【診斷自測】在正項等比數列中，，是的兩個根，則 .
【答案】
【解析】由韋達定理得，
由于為正項數列，
故，
.
故答案為：
解題方法總結
（1）若，則．
（2）若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列．
（3）在等比數列中，等距離取出若干項也構成一個等比數列，即為
等比數列，公比為．
（4）公比不為－1的等比數列的前項和為，則，，仍成等比數列，其公比為．
（5）為等比數列，若，則成等比數列．
（6）當，時，是成等比數列的充要條件，此時．
（7）有窮等比數列中，與首末兩項等距離的兩項的積相等．特別地，若項數為奇數時，還等于中間
項的平方．
（8）若為正項等比數列，則為等差數列．
（9）若為等差數列，則為等比數列．
（10）若既是等差數列又是等比數列是非零常數列．
題型一：等比數列的基本運算
【典例1-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知等比數列公比為，前項和為，且滿足，則下列說法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】等比數列中，又，可得，解得，故C錯誤；
又，，故D正確；
又，，所以，故B錯誤；
又，，，
故不成立，故A錯誤．
故選：D．
【典例1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知正項等比數列的前三項和為28且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意設公比為，則，即，
解得（負值舍），所以.
故選：C.
【方法技巧】
等比數列基本量運算的解題策略
（1）等比數列基本量的運算是等比數列中的一類基本問題，等比數列中有五個量，，，，，
一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解．
（2）等比數列的前項和公式涉及對公比的分類討論：
當時，；當時，
【變式1-1】（2024·山東泰安·模擬預測）已知數列是各項均為正數的等比數列，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設數列的公比為，由得，所以，
又因為各項均為正數， 所以，
由得，所以，
故，
故選：A.
【變式1-2】（2024·高三·廣西·開學考試）已知等比數列的前三項和為13，，則（ ）
A．81 B．243 C．27 D．729
【答案】B
【解析】設等比數列的公比為，由，得，解得，
由的前三項和為13，得，解得，
因此等比數列的通項，所以.
故選：B
【變式1-3】（2024·陜西安康·模擬預測）已知在正項等比數列中，，且成等差數列，則（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
【答案】D
【解析】由等比中項性質知.
由成等差數列，得，所以，
所以等比數列的公比，所以，
所以.
故選：D.
【變式1-4】（2024·陜西渭南·二模）已知等比數列的前項和為，則其公比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設等比數列的公比為，
因為，若，由，得到，不滿足，所以，
由，得到①，由，得到②，
由①②得，整理得到，解得，
故選：C.
題型二：等比數列的判定與證明
【典例2-1】（2024·河南·三模）已知數列的各項均不為0，其前項和為，為不等于0的常數，且．
(1)證明：是等比數列；
(2)若成等差數列，則對于任意的正整數，，，是否成等差數列？若成等差數列，請予以證明；若不成等差數列，請說明理由．
【解析】（1）證明：因為，①
所以，②
②①，得，即．
當時，，即，所以，
所以對，，即是公比為的等比數列．
（2）對任意正整數成等差數列．證明如下：
由成等差數列，得，且，
即，
化簡得，即．
因為，，
所以，
故對于任意的正整數成等差數列．
【典例2-2】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列中，，.證明：是等比數列；
【解析】因為數列中，，，
所以，且，
所以是等比數列，公比為2，首項為2
【方法技巧】
等比數列的判定方法
定義法 若（為非零常數，或（為非零常數且，），則是等比數列
中項公式法 若數列中，且，則是等比數列
通項公式法 若數列的通項公式可寫成（均為非零常數，），則是等比數列
前項和公式法 若數列的前項和（為非零常數，），則是等比數列
【變式2-1】（2024·河北石家莊·二模）已知數列滿足
(1)寫出;
(2)證明:數列為等比數列;
【解析】（1）由
可得；；；
（2）證明：由題可得，
則數列是首項為1，公比為2的等比數列；
【變式2-2】（2024·青海海南·一模）記等差數列的前項和為，是正項等比數列，且．
(1)求和的通項公式；
(2)證明是等比數列．
【解析】（1）由題意，設等差數列的公差為，
則，解得，
則；
設正項等比數列的公比為，則，，
由題意，可得，解得或（舍去），
故.
（2）令，則，
故是以為首項,公比為的等比數列.
【變式2-3】已知數列和滿足， ，.證明：是等比數列，是等差數列.
【解析】由題意可知，，，，
所以，即，
所以數列是首項為、公比為的等比數列；
因為，
所以，數列是首項、公差為的等差數列．
【變式2-4】已知點，，設，當時，線段的中點為，關于直線的對稱點為.例如，為線段的中點，則，.設，證明：是等比數列.
【解析】證明：當時，線段的中點為，，
則.
由得，
所以，即.
因為，所以是以2為首項，為公比的等比數列.
【變式2-5】（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足．
證明：，使得數列成等比數列；
【解析】若，數列成等比數列，
則存在非零實數，使得，
即，整理得①．
因為，所以②．
由①②對應項系數相等得解得
所以．
因為，所以．
所以數列的各項均不為0，所以．
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
即，使得數列成等比數列．
題型三：等比數列項的性質應用
【典例3-1】（2024·浙江金華·模擬預測）已知數列是等差數列，數列是等比數列，若，，則 ．
【答案】
【解析】由等差數列的性質可知，，即，而，
根據等比數列的性質可知，，則，，
所以.
故答案為：
【典例3-2】（2024·高三·內蒙古錫林郭勒盟·開學考試）已知數列為正項等比數列，若，，則 ．
【答案】
【解析】由
，
由等比數列的性質可得：，
，
∴，又，∴．
故答案為:．
【方法技巧】
（1）在解決等比數列的有關問題時，要注意挖掘隱含條件、利用性質，特別是性質“若，則．”，可以減少運算量，提高解題速度．
（2）在應用相應性質解題時，要注意性質成立的前提條件，有時需要進行適當變形．此外，解題時注意設而不求思想的運用．
【變式3-1】在各項均為正數的等比數列中，，則 .
【答案】3
【解析】.
故答案為：3
【變式3-2】若等比數列滿足，則等于 ．
【答案】
【解析】等比數列滿足，
則，
所以.
故答案為：.
【變式3-3】已知等比數列的各項均為正數，且，則 ， ．
【答案】 3 9
【解析】由等比中項的性質可得，
又等比數列的各項均為正數，則．
由對數的運算性質得，
．
故答案為：3，9
【變式3-4】（2024·陜西·模擬預測）等比數列滿足：，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】依題意，等比數列滿足：，
所以，且，
所以，
當且僅當時等號成立，此時.
所以的最小值為.
故答案為：
題型四：等比數列前n項和的性質
【典例4-1】記為等比數列的前n項和，若，，則 ．
【答案】或
【解析】設的公比是，
，同理，
由已知，否則公比，，與已知矛盾，
所以也成等比數列，，
又，，所以，解得或，
又，所以與同號，因此，
所以，，，
若，則，，即，
若，則，，即．
故答案為：或．
【典例4-2】設等比數列的前項和是.已知,，則 .
【答案】13
【解析】因為是等比數列的前項和且，
所以，， 也成等比數列，
則.
因為,，
所以，解得.
所以.
故答案為：.
【方法技巧】
（1）等比數列中，所有奇數項之和與所有偶數項之和具有的性質，設公比為．
①若共有項，則；②若共有項，．
（2）等比數列中，表示它的前項和．當時，有也成等比數列，公比為．
【變式4-1】已知正項等比數列共有項，它的所有項的和是奇數項的和的倍，則公比 .
【答案】
【解析】設等比數列的奇數項之和為，偶數項之和為，
則，
由，得，因為，所以，所以，.
故答案為：.
【變式4-2】已知等比數列的前n項和，則 ．
【答案】2
【解析】由題設，，
若時，，故與矛盾，
∴，即，顯然成立.
故答案為：2.
【變式4-3】（2024·高三·江蘇蘇州·期末）設Sn是等比數列的前n項和，若，則 .
【答案】
【解析】設等比數列的公比為q，由已知，因為，，
，，，
．
∴．
故答案為：．
【變式4-4】數列是等差數列，數列是等比數列，公比為q，數列中，，是數列的前n項和．若，，（m為正偶數），則的值為 ．
【答案】
【解析】令，，，
q為等比數列的公比，設d為等差數列的公差，
∴，
∴，
同理，
∴，結合，，，
可得：，解得或，
由于m為正偶數，故不合題意；
設，同理可知，
可得，
∴，
故答案為：
題型五：奇偶項求和問題的討論
【典例5-1】（2024·高三·四川成都·期中）數列滿足：，數列的前項和記為，則 ．
【答案】2191
【解析】數列是以公差的等差數列;
.
,數列是以公比的等比數列;
.
.
故答案為：2191.
【典例5-2】（2024·河南·模擬預測）已知數列滿足，是數列的前項和，若已知，那么的值為（ ）
A．322 B．295 C．293 D．270
【答案】A
【解析】∵，由可知，數列的前項是首項為，公比為的等比數列，
故為奇數，為奇數，所以從第項開始是首項為，公差為的等差數列，
所以.
故選：A
【方法技巧】
求解等比數列的前項和，要準確地記住求和公式，并合理選取公式，尤其是要注意其項數的值；對于奇偶項通項不統一問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．
【變式5-1】已知數列滿足，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，當為奇數時，，
此時為偶數，則 ，所以，
即，
所以，
即，即.
故選：B.
【變式5-2】（2024·高三·河北唐山·期末）記為數列的前n項和，當時,．且．
(1)求，；
(2)（i）當n為偶數時，求的通項公式；
（ⅱ）求．
【解析】（1）令，可得；
令，可得；
因為，可得，.
（2）（i）當n為偶數時，則，，
可得，且，
可知數列的偶數項成首項為，公比為的等比數列，
則，所以（n為偶數）；
（ⅱ）當n為偶數時，則，即，
可得，
所以
，
所以.
【變式5-3】（2024·福建廈門·模擬預測）已知為等差數列的前n項和，，，.
(1)求的通項公式；
(2)記為數列的前n項和，若，求n的最小值.
【解析】（1）設數列的公差為d，
依題意，， 即，解得，
所以的通項公式是.
（2）由（1）知，所以，
，
恒成立，
令，
由，由于，所以.
所以
所以的最小值為4.
【變式5-4】已知數列滿足，，為參數且.
(1)求、的值（用表示），并探究是否存在使得數列成等比數列，若存在，求的值，無需證明.
(2)當時，求的前項和；試給出前項和表達式.
【解析】（1）由遞推式可得；
；
要使得為等比數列，則必有，
即，且，解得，
此時，
即，而
所以當時，數列為等比數列；
（2）當時，，；
當時，，
即，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
設，則，
所以數列的前項和；
當時，，
即，
所以數列是以，為公比的等比數列，
設，
則數列前項和，
故，
即，
又；
令，即， 代入，得；
令，即，代入，得；
故 .
題型六：等差數列與等比數列的綜合應用
【典例6-1】（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數列是公差不為0的等差數列，，且滿足成等比數列，則數列前6項的和為 .
【答案】
【解析】設數列公差為，由成等比數列可得，
即，即，因為公差不為0，故.
故.
故前6項的和為.
故答案為：
【典例6-2】（2024·陜西西安·模擬預測）已知數列為各項均不相等的等比數列，其前項和為，且成等差數列，則 .
【答案】
【解析】設數列公比為，則，
成等差數列，，
即，整理得，
解得，或（舍去），
∴
故答案為：
【方法技巧】
（1）等差數列與等比數列的相互轉化：等差數列通過指數運算轉化為正項等比數列，正項等比數列通過對數運算轉化為等差數列．
（2）等差數列和等比數列的交匯，若一個數列既是等差數列又是等比數列，則該數列為非零常數數列．
【變式6-1】（2024·湖北荊州·三模）若實數成等差數列，成等比數列，則= .
【答案】
【解析】實數成等差數列，則等差數列的公差為，
成等比數列，則，
由于等比數列奇數項同號，所以，所以，則.
故答案為：.
【變式6-2】（2024·浙江杭州·三模）已知公差為正數的等差數列的前n項和為，是等比數列，且，，則的最小項是第 項．
【答案】2
【解析】設的公比為，故，
，可得，
設的首項為，公差為，故得，
化簡得，解得，故，
故當最小時，，故得是的最小項，即的最小項是第2項．
故答案為：2
【變式6-3】記為公差不為0的等差數列的前n項和，已知，且，，成等比數列，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設等差數列的公差為，由，成等比數列，得，，
即，解得，即，
因此
所以當或時，有最小值.
故答案為：
【變式6-4】（2024·陜西安康·三模）已知方程的四個根組成以1為首項的等比數列，則（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】設方程的四個根由小到大依次為，，，，
不妨設的一根為1，則另一根為27，所以，
由等比數列的性質可知，所以，，
所以等比數列，，，的公比為，所以，，由韋達定理得，可得.
故選：C.
題型七：等比數列的范圍與最值問題
【典例7-1】（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，若，，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．數列中的最大值是 D．數列無最大值
【答案】ABC
【解析】由，，可得為單調遞減的數列且，
由可得，.
A選項：，顯然A正確；
B選項：，
根據等比中項可得，顯然B正確；
C選項：由，為單調遞減的數列且，
可知的前2023項（包含2023項）都大于1，從第2024項（包含2024項）往后都小于1，
所以數列中的最大值是，所以C正確；
D選項：由C正確可知，有最大值，所以D錯誤.
故選：ABC.
【典例7-2】（多選題）（2024·湖北·二模）無窮等比數列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】BC
【解析】，時，等比數列單調遞減，故只有最大值，沒有最小值；
，時，等比數列為擺動數列，此時為大值，為最小值；
，時，奇數項都相等且小于零，偶數項都相等且大于零，
所以等比數列有最大值，也有最小值；
，時，因為，所以無最大值，奇數項為負無最小值，
偶數項為正無最大值.
故選：BC
【方法技巧】
等比數列的范圍與最值問題是數列研究中的重要內容。在處理這類問題時，首先需要明確等比數列的定義和性質，包括通項公式、前n項和公式等。對于范圍問題，通常通過不等式求解，利用等比數列的性質確定數列項的取值范圍。對于最值問題，則需分析數列的單調性，結合數列項的性質，求出數列的最大項或最小項。
【變式7-1】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數列的前項的積為，且公比，若對于任意正整數，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】根據題意，在時取得最小值，所以為單調遞增數列，所以，所以A正確，B錯誤；
當時，，滿足題意，所以C錯誤；
由可得，即，所以，所以D正確．
故選：AD．
【變式7-2】（多選題）設等比數列的公比為，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（ ）
A． B．
C．是數列中的最大項 D．
【答案】AB
【解析】，或，，，同號，
且，，即數列前項大于，從第項開始小于1，
對于A，，且易知，故，A正確，
對于B，易知，故，，B正確，
對于C，由題意知是遞減數列，且，，故是數列中的最大項，故C錯誤，
對于D，，故D錯誤，
故選:AB
【變式7-3】（多選題）已知等比數列滿足，公比，且，，則（ ）
A． B．當時，最小
C．當時，最小 D．存在，使得
【答案】AC
【解析】對于A，∵，，∴，又，，
∴，故A正確；
對于B，C，等比數列滿足，公比，，
， ， ， 為遞增數列，
由等比數列的性質，，
又，，
，，
∵，，
，∴，
∵，，，∴，則，
，即，
為遞增數列，故當時，最小，故B錯誤，C正確；
對于D，當時，，為遞增數列，，
故D錯誤.
故選：AC
【變式7-4】（多選題）設等比數列的公比為，其前項和為，前項積為，且，，，則下列結論正確的是（ ）
A． B．
C．的最大值為 D．的最大值為
【答案】ABD
【解析】A項，且，而和異號.
由于知，，即，，，故A項正確；
B項，從前面的求解過程知，，說明是單調遞減的正項等比數列，
且，所以，那么，故B項正確；
C項，是正項數列，沒有最大值，故C項錯誤；
D項，從前面的分析過程可知前6項均大于1.從起全部在上.
所以的最大值為，故D項正確，
故選：ABD
【變式7-5】（多選題）（2024·福建三明·三模）設等比數列的前項和為，前項積為，若滿足，，，則下列選項正確的是（ ）
A．為遞減數列 B．
C．當時，最小 D．當時，的最小值為4047
【答案】BC
【解析】A.由條件可知，，與同號，所以，則，
而，則公比，
若，數列單調遞減，則，那么，與已知矛盾，
若，則，則那么，與已知矛盾，
只有當，才存在，使，所以等比數列單調遞增，故A錯誤；
B.因為，單調遞增，所以，
則，即，故B正確；
C.因為，且，所以當時，最小，故C正確；
D.根據等比數列的性質可知，，，
所以當時，的最小值為4046，故D錯誤.
故選：BC
題型八：等比數列的實際應用
【典例8-1】（2024·安徽合肥·三模）某銀行大額存款的年利率為，小張于2024年初存入大額存款10萬元，按照復利計算8年后他能得到的本利和約為（ ）（單位：萬元，結果保留一位小數）
A．12.6 B．12.7 C．12.8 D．12.9
【答案】B
【解析】存入大額存款10萬元，按照復利計算，
每年末本利和是以10為首項，為公比的等比數列，
所以本利和．
故選：B．
【典例8-2】（2024·天津紅橋·二模）某同學于2019年元旦在銀行存款1萬元，定期儲蓄年利率為，以后按約定自動轉存，那么該同學在年元旦可以得到本利和為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】記年后得到的本利和為，根據題意知，
即數列是一個首項為，公比為的等比數列，
∴該同學年元旦在銀行存款萬元，年元旦即年后得到的本利和為：
（元）.
故選：A
【方法技巧】
等比數列在實際應用中廣泛存在，其獨特的性質使得它在金融、物理、生物學等多個領域都有重要的應用。例如，在金融領域，等比數列可以用于計算復利、貸款分期償還等問題；在物理學中，等比數列可以用來描述某些放射性物質的衰變過程；在生物學中，它也可以用于描述種群數量的增長等。因此，掌握等比數列的應用具有實際意義。
【變式8-1】在等腰直角三角形ABC中，，，以AB為斜邊作等腰直角三角形，再以為斜邊作等腰直角三角形，依次類推，記的面積為，依次所得三角形的面積分別為，……若，則（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】B
【解析】由題知，，，…，，
∴，
又，∴數列是首項為，公比為的等比數列，
∴，∴，
故選：B．
【變式8-2】如圖，雪花形狀圖形的作法是:從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設原正三角形(圖①)的邊長為1，把圖①，圖②，圖③，圖④中圖形的周長依次記為，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】觀察圖形發現，從第二個圖形開始，每一個圖形的周長都在前一個的周長的基礎上多了其周長的，即，
所以為首項為，公比為的等比數列，.
故選：A
【變式8-3】（2024·云南昆明·模擬預測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續開放，已知池塘內某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每天花蕾開放的數量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內開放荷花的數量達到最大（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】設第天水塘中的荷花朵數為，則，
設第天池塘內開放荷花的數量為，則，，
，
當時，，
當時，，
所以荷花的數量在第7天達到最大.
故選：B.
【變式8-4】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止.則所作的所有三角形的面積和為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
設第三角形的斜邊長為，面積為，
由題意可知：，，，
則，，
可知數列是以首項，公比為的等比數列，
所以所作的所有三角形的面積和為.
故選：D.
題型九：公共項與插項問題
【典例9-1】將數列與的公共項由小到大排列得到數列，則數列的前n項的和為 ．
【答案】
【解析】由題意令，即2不是數列與的公共項；
令，即4是數列與的公共項；
令，即8不是數列與的公共項；
令，即16是數列與的公共項；
依次類推，可得數列：，
即是首項為4，公比為4的等比數列，
故數列的前n項的和為 ，
故答案為：
【典例9-2】已知數列滿足，在和之間插入個1，構成數列，則數列的前20項的和為 .
【答案】77
【解析】在之間插入個1，構成數列，
所以共有個數，
當時，，當時，，
由于，所以.
故答案為：.
【方法技巧】
公共項與插項問題是數列研究中的重要內容，具有廣泛的應用背景。
公共項問題涉及兩個或多個數列中共同存在的項。這些項可能具有特定的數值和序號關系，需要利用數列的通項公式和性質進行求解。例如，兩個等差數列的公共項可以組成一個新的等差數列，其公差是兩原數列公差的最小公倍數。
插項問題則是在數列的特定位置插入新的項，以改變數列的原始結構。這類問題通常要求分析插入項對數列性質的影響，如數列的單調性、最值等。在實際應用中，插項問題可用于數列的擴展、數列模型的修正等方面。
綜上所述，公共項與插項問題是數列研究中的基礎而重要的問題，對于深入理解數列的性質和應用具有重要意義。
【變式9-1】已知數列滿足，在和之間插入個1，構成新的數列，則數列的前20項的和為 .
【答案】77
【解析】在之間插入個1，構成數列，而，
則數列中不超過的數的個數為，
當時，，當時，，
所以.
故答案為：
【變式9-2】已知各項均為正數的數列中，且滿足，數列的前n項和為，滿足．
(1)求數列，的通項公式；
(2)若在與之間依次插入數列中的k項構成新數列：，，，，，，，，，，……，求數列中前50項的和．
【解析】（1）
由
得：
∵
則是首項，公差為2的等差數列，∴，
又當時，得，
當，由…①
…②
由①－②整理得：，
∵，∴，∴，
∴數列是首項為1，公比為3的等比數列，故；
（2）依題意知：新數列中，（含）前面共有：項．
由，（）得：，
∴新數列中含有數列的前9項：，，……，，含有數列的前41項：，，，……，；
∴．
【變式9-3】（2024·甘肅張掖·模擬預測）定義：在一個有窮數列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數列，我們把這樣的操作稱為該數列的一次“和擴充”，例如：數列經過第一次“和擴充”后得到數列；第二次“和擴充”后得到數列．設數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，所有項的和為．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在數列，使得數列為等比數列？請說明理由．
【解析】（1），第一次“和擴充”后得到數列，
第二次“和擴充”后得到數列，
；
（2）數列經每一次“和擴充”后是在原數列的相鄰兩項中增加一項，
數列經過次“和擴充”后得到的數列的項數為，
則經第次“和擴充”后增加的項數為，
所以，所以，
其中數列經過1次“和擴充”后，得到，故，
，
故是首項為4，公比為2的等比數列，
所以，故，
則，即，
又，解得，
（3）因為，
，，
依次類推，，
故
，
若使為等比數列，則或.
【變式9-4】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知數列的前n項積為，數列滿足，（，）．
(1)求數列，的通項公式；
(2)將數列，中的公共項從小到大排列構成新數列，求數列的通項公式．
【解析】（1），，
當時，，
當時，，即，
而，滿足上式，
所以數列的通項公式為；
若數列滿足，（，），
則，
從而數列的通項公式為；
（2）令，解得，這表明，
從而只能，
所以，
所以數列的通項公式為.
【變式9-5】（2024·全國·模擬預測）設為等差數列的前n項和，且，數列滿足．
(1)求和的通項公式；
(2)若將數列和的公共項按從小到大的順序組成一個新的數列，求數列的前n項和．
【解析】（1）設等差數列的公差為d，
由題意得，解得，
所以由等差數列的通項公式可得：．
由得數列是首項為4，公比為4的等比數列，
所以由等比數列的通項公式可得：
（2）令，則可得，
所以
，
即對于數列中的任意一項，都在數列中存在公共項，
所以數列是數列的子數列，從而可得，
所以．
1．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設等比數列的各項均為正數，前n項和，若，，則（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【解析】由題知,
即,即,即.
由題知,所以.
所以.
故選:C.
2．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）記為等比數列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：設等比數列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設等比數列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
3．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等比數列的前3項和為168，，則（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】設等比數列的公比為，
若，則，與題意矛盾，
所以，
則，解得，
所以.
故選：D.
4．（2021年全國高考甲卷數學（文）試題）記為等比數列的前n項和.若，，則（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】∵為等比數列的前n項和，
∴，，成等比數列
∴，
∴，
∴.
故選：A.
5．（2024年上海秋季高考數學真題）無窮等比數列滿足首項，記，若對任意正整數集合是閉區間，則的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題設有，因為，故，故，
當時，，故，此時為閉區間，
當時，不妨設，若，則，
若，則，
若，則，
綜上，，
又為閉區間等價于為閉區間，
而，故對任意恒成立，
故即，故，
故對任意的恒成立，因，
故當時，，故即.
故答案為：.
1．已知數列的首項，且滿足．
（1）求證：數列為等比數列．
（2）若，求滿足條件的最大整數n．
【解析】（1）由題意，數列滿足，可得，
可得，即，
又由，所以，
所以數列表示首項為，公比為的等比數列.
（2）由（1）可得，所以
設數列的前項和為，
則
，
若，即，
因為函數為單調遞增函數，
所以滿足的最大整數的值為.
2．已知是一個無窮等比數列，公比為q．
（1）將數列中的前k項去掉，剩余項組成一個新數列，這個新數列是等比數列嗎？如果是，它的首項
不能構成等比數列．
4．已知數列為等比數列，，公比．若是數列的前n項積，求的最大值．
【解析】因為數列為等比數列，，公比，
所以 ，
所以
當時，最大，
即 ，解得：，
此時
易錯點：不能靈活運用等比數列的性質
易錯分析：解題的過程中要注意把握等比數列的基本性質，以及前n項和的性質，正確運用學過的知識，進行合理計算即可.
【易錯題1】在各項均為正數的等比數列中，，則 .
【答案】4
【解析】因為數列為等比數列，所以，
又，所以，
所以，
故答案為：4.
【易錯題2】等比數列中，，，則
【答案】
【解析】等比數列中，所有偶數項符號相同
，，則
所以.
故答案為：8
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