資源簡介

第02講 等差數列及其前n項和
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：等差數列的有關概念 4
知識點2：等差數列的有關公式 4
知識點3：等差數列的常用性質 5
解題方法總結 6
題型一：等差數列的基本量運算 6
題型二：等差數列的判定與證明 7
題型三：等差數列的性質 9
題型四：等差數列前n項和的性質 10
題型五：等差數列前n項和的最值 11
題型六：等差數列的實際應用 12
題型七：關于等差數列奇偶項問題的討論 13
題型八：對于含絕對值的等差數列求和問題 15
題型九：利用等差數列的單調性求解 17
題型十：等差數列中的范圍與恒成立問題 18
04真題練習·命題洞見 20
05課本典例·高考素材 20
06易錯分析·答題模板 22
易錯點：忽視數列的首項 22
考點要求 考題統計 考情分析
（1）等差數列的概念 （2）等差數列的通項公式與求和 （3）等差數列的性質 2024年甲卷（文）第5題，5分 2024年II卷第12題，5分 2023年甲卷（文）第5題，5分 2023年I卷第7題，5分 2022年上海卷第10題，5分 2022年乙卷（文）第13題，5分 （1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算． （2）解答題多與等比數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等差數列的概念． （2）掌握等差數列的通項公式與前n項和公式． （3）能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． （4）了解等差數列與一次函數、二次函數的關系．
知識點1：等差數列的有關概念
（1）等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數）．
（2）等差中項
若三個數，，成等差數列，則叫做與的等差中項，且有．
【診斷自測】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知數列的前n項和為，且．證明：數列是等差數列；
知識點2：等差數列的有關公式
（1）等差數列的通項公式
如果等差數列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．
（2）等差數列的前項和公式
設等差數列的公差為，其前項和．
【診斷自測】（2024·四川涼山·二模）設等差數列的前n項和為，若，，則 ．
知識點3：等差數列的常用性質
已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．
（1）通項公式的推廣：．
（2）在等差數列中，當時，．
特別地，若，則．
（3），…仍是等差數列，公差為．
（4），…也成等差數列，公差為．
（5）若，是等差數列，則也是等差數列．
（6）若是等差數列，則也成等差數列，其首項與首項相同，公差是公差的．
（7）若項數為偶數，則；；．
（8）若項數為奇數，則；；．
（9）在等差數列中，若，則滿足的項數使得取得最大值；若，則滿足的項數使得取得最小值．
（10）．數列是等差數列 （為常數）．
（11）等差數列的前n項和的最值
公差為遞增等差數列，有最小值；
公差為遞減等差數列，有最大值；
公差為常數列．
特別地
若，則有最大值（所有正項或非負項之和）；
若，則有最小值（所有負項或非正項之和）．
（12）若已知等差數列，公差為，前項和為，則：
①等間距抽取為等差數列，公差為．
②等長度截取為等差數列，公差為．
③算術平均值為等差數列，公差為．
【診斷自測】已知數列為等差數列，，則 ．
解題方法總結
（1）等差數列中，若，則．
（2）等差數列中，若，則．
（3）等差數列中，若，則．
（4）若與為等差數列，且前項和為與，則．
題型一：等差數列的基本量運算
【典例1-1】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，若，則（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【典例1-2】（2024·廣東汕頭·三模）已知等差數列的前項和為，，，若，則（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【方法技巧】
等差數列基本運算的常見類型及解題策略：
（1）求公差或項數．在求解時，一般要運用方程思想．
（2）求通項．和是等差數列的兩個基本元素．
（3）求特定項．利用等差數列的通項公式或等差數列的性質求解．
（4）求前項和．利用等差數列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．
【變式1-1】已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1-2】（2024·天津濱海新·三模）已知數列為各項不為零的等差數列，為數列的前項和，，則的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預測）等差數列的前項和記為，若，，則（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【變式1-4】（2024·北京·模擬預測）記等差數列的公差為，前項和為，若，且，則該數列的公差為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
題型二：等差數列的判定與證明
【典例2-1】已知數列的前n項和為，若，.記判斷是否為等差數列，若是，給出證明；若不是，請說明理由.
【典例2-2】（2024·全國·模擬預測）數列的前項和滿足．證明：是等差數列；
【方法技巧】
判斷數列是等差數列的常用方法
（1）定義法：對任意是周一常數．
（2）等差中項法：對任意，湍足．
（3）通項公式法：對任意，都滿足為常數）．
（4）前項和公式法：對任意，都湍足為常數）．
【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列滿足.
證明：數列是等差數列；
【變式2-2】已知數列有，（常數），對任意的正整數n，，并有滿足．
(1)求a的值；
(2)試確定數列是不是等差數列，若是，求出其通項公式；若不是，說明理由．
【變式2-3】已知數列滿足，且
(1)證明：數列是等差數列；
(2)求 的前項和.
【變式2-4】（2024·重慶·三模）已知數列的前項和為，滿足，.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)若數列的公差不為0，數列中的部分項組成數列，，，…，恰為等比數列，其中，，，求數列的通項公式.
題型三：等差數列的性質
【典例3-1】（2024·高三·上?！て谥校┮阎炔顢盗械那绊椀暮蜑?，且，，則正整數的值為 .
【典例3-2】（2024·上?！つM預測）記等差數列的前項和為，，則 .
【方法技巧】
如果為等差數列，當時，．因此，出現等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與（或其他項）有關的條件；若求項，可由轉化為求的值．
【變式3-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，則 .
【變式3-2】已知數列是等差數列，是其前n項和．若，則 ．
題型四：等差數列前n項和的性質
【典例4-1】（2024·高三·天津寧河·期末）已知等差數列， 的前項和分別為，，且，則 ．
【典例4-2】在等差數列中，，其前項和為，若，則 .
【方法技巧】
在等差數列中，，…仍成等差數列；也成等差數列．
【變式4-1】等差數列 ， 的前 項和分別為 ，，若對任意的正整數 都有 ，則 .
【變式4-2】已知兩個等差數列和的前n項和分別為和，且，則使得為整數的正整數n的集合是 .
【變式4-3】已知等差數列的前項和分別為和，若，且是整數，則的值為 .
【變式4-4】已知等差數列的前項和為，且，，則 .
【變式4-5】（2024·江西上饒·一模）已知數列、均為正項等比數列，、分別為數列、的前項積，且，則的值為 .
題型五：等差數列前n項和的最值
【典例5-1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【典例5-2】（2024·山東泰安·三模）已知為等差數列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
求等差數列前項和最值的2種方法
（1）函數法：利用等差數列前項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解．
（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數使得取得最大值；
②若，則滿足的項數使得取得最小值．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知為等差數列的前項和，若，，則當取最小值時，（ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
【變式5-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知是等差數列，是其前項的和，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則取最小值時的值為12
B．若，則的最大值為108
C．若，則必有
D．若首項，，則取最小值時的值為9
【變式5-3】（2024·山東·二模）已知數列．求：
(1)數列的通項公式；
(2)數列的前項和的最大值．
題型六：等差數列的實際應用
【典例6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同學用60元恰好購買了3本課外書，若三本書的單價既構成等差數列，又構成等比數列，則其中一本書的單價必然是（ ）
A．25元 B．18元 C．20元 D．16元
【典例6-2】中國載人航天工程發射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執行載人航天飛行任務．運送“神十八”的長征二號運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加，在達到離地面的高度時，火箭開始進入轉彎程序．則從點火到進入轉彎程序大約需要的時間是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【方法技巧】
利用等差數列的通項公式與求和公式求解.
【變式6-1】（2024·高三·浙江嘉興·期末）衛生紙是人們生活中的必需品，隨處可見．衛生紙形狀各異，有單張四方型的，也有卷成滾筒形狀的．某款卷筒衛生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，衛生紙厚度為0.1mm．若未使用時直徑為90mm，使用一段時間后直徑為60mm，則這個卷筒衛生紙大約已經使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【變式6-2】（2024·山西晉城·一模）生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【變式6-3】蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關.如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”. 畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點B為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點D（第一段圓?。僖渣cC為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點E，再以點A為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為（ ）

A． B． C． D．
【變式6-4】（2024·河北唐山·模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網站舉辦了一針對本網站會員的獎品派發活動，派發規則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數為（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
題型七：關于等差數列奇偶項問題的討論
【典例7-1】已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【典例7-2】已知數列滿足，，
(1)求；
(2)當為奇數時，求數列的前項和
【方法技巧】
對于奇偶項通項不統一的數列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．
【變式7-1】已知數列的通項公式為
(1)求數列的前項和；
(2)設，求數列的前項和．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【變式7-3】（2024·高三·湖北·期中）已知數列的各項均為正數，其前項和為，且.
(1)求，；
(2)設，求數列的前8項和.
題型八：對于含絕對值的等差數列求和問題
【典例8-1】（2024·四川成都·二模）已知數列的前n項和，且的最大值為．
(1)確定常數，并求；
(2)求數列的前15項和．
【典例8-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知數列的前n項和為.若為等差數列，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求.
【方法技巧】
由正項開始的遞減等差數列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號由正變負的項
（2）在對進行討論，當時，，當時，
【變式8-1】（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數列滿足是與的等差中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【變式8-2】（2024·高三·上?！て谥校┰诠顬榈牡炔顢盗兄?，已知，且，，成等比數列．
(1)求，；
(2)若，，求．
【變式8-3】（2024·高三·河南·期中）已知等差數列的公差為整數，，設其前n項和為，且是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【變式8-4】（2024·安徽宣城·二模）已知數列是首項為1的等差數列，公差，設數列的前項和為，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【變式8-5】（2024·重慶萬州·模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和為，設，求的最小值.
題型九：利用等差數列的單調性求解
【典例9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差數列的公差為，數列滿足，則“”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例9-2】（2024·貴州銅仁·二模）設為等差數列的前項和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【方法技巧】
（1）在處理數列的單調性問題時應利用數列的單調性定義，即“若數列是遞增數列，恒成立”．
（2）數列的單調性與，的單調性不完全一致．
一般情況下我們不應把數列的單調性轉化為相應連續函數的單調性來處理．但若數列對應的連續函數是單調函數，則可以借助其單調性來求解數列的單調性問題．即“離散函數有單調性連續函數由單調性；連續函數有單調性離散函數有單調性”．
【變式9-1】（2024·全國·模擬預測）設為等差數列的前項和，且，都有.若，則（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【變式9-2】已知等差數列的前項和為，公差為，且單調遞增，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·四川成都·模擬預測）設公差不為0的無窮等差數列的前項和為，則“為遞減數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式9-4】設為等差數列的前n項和，則對，，是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式9-5】已知等差數列的前n項和為，若，則下列結論正確的是（ ）
A．數列是遞增數列 B．
C．當取得最大值時， D．
題型十：等差數列中的范圍與恒成立問題
【典例10-1】（多選題）（2024·高三·山東臨沂·期中）公差為的等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B．
C．中最大 D．
【典例10-2】（多選題）公差為d的等差數列，其前n項和為，，，下列說法正確的有（ ）
A． B． C．中最大 D．
【方法技巧】
等差數列中的范圍與恒成立問題是數列研究的重要方面。這類問題通常涉及數列的通項公式、前n項和公式以及不等式性質的應用。解決這類問題時，需要首先根據題意設定合適的變量，建立等差數列的通項或前n項和的不等式，然后利用不等式的性質進行推導，最終確定變量的取值范圍，使得原不等式恒成立。
【變式10-1】（多選題）（2024·海南·模擬預測）已知數列滿足，且，等差數列的前n項和為，且，，若恒成立，則實數λ的值可以為（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【變式10-2】（多選題）已知等差數列的前n項和為，當且僅當時取得最大值，則滿足的最大的正整數k可能為（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【變式10-3】（多選題）等差數列的前項和為，已知，則（ ）
A． B．的前項和中最小
C．使時的最大值為9 D．的最大值為0
【變式10-4】（多選題）設是等差數列，是其前n項和，且， ，則下列結論正確的是（ ）.
A． B．
C． D．與均為的最大值
【變式10-5】（多選題）（2024·山東德州·模擬預測）設等差數列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（ ）
A．
B．當時，的最大值為
C．數列為等差數列，且和數列的首項、公差均相同
D．數列前項和為，最大
1．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）記為等差數列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）記為等差數列的前項和．若，則（ ）
4．已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261．求此數列中間一項的值以及項數．
5．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數構成一個數列．
（1）寫出數列的一個遞推公式；
（2）根據（1）中的遞推公式，寫出數列的一個通項公式．
6．已知兩個等差數列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，將這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列．求這個新數列的各項之和．
易錯點：忽視數列的首項
易錯分析：由求通項公式，可用求解．當時，如果不適合，則應寫成分段形式．
【易錯題1】已知數列的前n項和為，且，則數列通項公式 ．
【易錯題2】數列的前項和，則該數列的通項 .
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01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：等差數列的有關概念 4
知識點2：等差數列的有關公式 4
知識點3：等差數列的常用性質 5
解題方法總結 6
題型一：等差數列的基本量運算 7
題型二：等差數列的判定與證明 9
題型三：等差數列的性質 12
題型四：等差數列前n項和的性質 13
題型五：等差數列前n項和的最值 17
題型六：等差數列的實際應用 19
題型七：關于等差數列奇偶項問題的討論 22
題型八：對于含絕對值的等差數列求和問題 26
題型九：利用等差數列的單調性求解 31
題型十：等差數列中的范圍與恒成立問題 35
04真題練習·命題洞見 39
05課本典例·高考素材 41
06易錯分析·答題模板 44
易錯點：忽視數列的首項 44
考點要求 考題統計 考情分析
（1）等差數列的概念 （2）等差數列的通項公式與求和 （3）等差數列的性質 2024年甲卷（文）第5題，5分 2024年II卷第12題，5分 2023年甲卷（文）第5題，5分 2023年I卷第7題，5分 2022年上海卷第10題，5分 2022年乙卷（文）第13題，5分 （1）選擇題、填空題多單獨考查基本量的計算． （2）解答題多與等比數列結合考查，或結合實際問題或其他知識考查．
復習目標： （1）理解等差數列的概念． （2）掌握等差數列的通項公式與前n項和公式． （3）能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用有關知識解決相應的問題． （4）了解等差數列與一次函數、二次函數的關系．
知識點1：等差數列的有關概念
（1）等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母表示，定義表達式為（常數）．
（2）等差中項
若三個數，，成等差數列，則叫做與的等差中項，且有．
【診斷自測】（2024·江蘇連云港·模擬預測）已知數列的前n項和為，且．證明：數列是等差數列；
【解析】（1）當時，，
當時，，
所以，所以（常數），
故數列是以為首項，2為公差的等差數列．
知識點2：等差數列的有關公式
（1）等差數列的通項公式
如果等差數列的首項為，公差為，那么它的通項公式是．
（2）等差數列的前項和公式
設等差數列的公差為，其前項和．
【診斷自測】（2024·四川涼山·二模）設等差數列的前n項和為，若，，則 ．
【答案】27
【解析】等差數列中，由，得，解得，而，則，
于是數列的公差，，
所以.
故答案為：27
知識點3：等差數列的常用性質
已知為等差數列，為公差，為該數列的前項和．
（1）通項公式的推廣：．
（2）在等差數列中，當時，．
特別地，若，則．
（3），…仍是等差數列，公差為．
（4），…也成等差數列，公差為．
（5）若，是等差數列，則也是等差數列．
（6）若是等差數列，則也成等差數列，其首項與首項相同，公差是公差的．
（7）若項數為偶數，則；；．
（8）若項數為奇數，則；；．
（9）在等差數列中，若，則滿足的項數使得取得最大值；若，則滿足的項數使得取得最小值．
（10）．數列是等差數列 （為常數）．
（11）等差數列的前n項和的最值
公差為遞增等差數列，有最小值；
公差為遞減等差數列，有最大值；
公差為常數列．
特別地
若，則有最大值（所有正項或非負項之和）；
若，則有最小值（所有負項或非正項之和）．
（12）若已知等差數列，公差為，前項和為，則：
①等間距抽取為等差數列，公差為．
②等長度截取為等差數列，公差為．
③算術平均值為等差數列，公差為．
【診斷自測】已知數列為等差數列，，則 ．
【答案】12
【解析】解法一 ：因為，所以．
解法二 ：設數列的公差為d，則，
從而．
故答案為：12
解題方法總結
（1）等差數列中，若，則．
（2）等差數列中，若，則．
（3）等差數列中，若，則．
（4）若與為等差數列，且前項和為與，則．
題型一：等差數列的基本量運算
【典例1-1】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，若，則（ ）
A．3 B．7 C．11 D．23
【答案】C
【解析】，解得，
.
故選：C
【典例1-2】（2024·廣東汕頭·三模）已知等差數列的前項和為，，，若，則（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】由，，得，解得，則等差數列的公差，
于是，由，得，
所以.
故選：B
【方法技巧】
等差數列基本運算的常見類型及解題策略：
（1）求公差或項數．在求解時，一般要運用方程思想．
（2）求通項．和是等差數列的兩個基本元素．
（3）求特定項．利用等差數列的通項公式或等差數列的性質求解．
（4）求前項和．利用等差數列的前項和公式直接求解或利用等差中項間接求解．
【變式1-1】已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差數列的基本量
由，根據等差數列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數列的性質
根據等差數列的性質，，由，根據等差數列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數列公差，則，則.
故選：D
【變式1-2】（2024·天津濱海新·三模）已知數列為各項不為零的等差數列，為數列的前項和，，則的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】設等差數列公差為，∵，
∴當時，，解得，
∴，
當時，，
∴，
∴．
故選：D．
【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預測）等差數列的前項和記為，若，，則（ ）
A．51 B．102 C．119 D．238
【答案】B
【解析】等差數列中，，，即，
所以，
則.
故選：B.
【變式1-4】（2024·北京·模擬預測）記等差數列的公差為，前項和為，若，且，則該數列的公差為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】因為，則，
又，所以，
所以．
故選：B．
題型二：等差數列的判定與證明
【典例2-1】已知數列的前n項和為，若，.記判斷是否為等差數列，若是，給出證明；若不是，請說明理由.
【解析】因為，
當時，，又因為，所以
當時，因為，
由，得①，
所以②，
所以①-②得：，,
所以，，，
但
所以不是等差數列.
【典例2-2】（2024·全國·模擬預測）數列的前項和滿足．證明：是等差數列；
【解析】由題意（*），
兩邊同加項，得：，
由（*）式可得：
，
所以，
得，
即成立，
當時，，得；
綜上，恒成立，所以是以2為公差的等差數列．
【方法技巧】
判斷數列是等差數列的常用方法
（1）定義法：對任意是周一常數．
（2）等差中項法：對任意，湍足．
（3）通項公式法：對任意，都滿足為常數）．
（4）前項和公式法：對任意，都湍足為常數）．
【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列滿足.
證明：數列是等差數列；
【解析】證明：令，又，則有
，
又，所以
所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列
【變式2-2】已知數列有，（常數），對任意的正整數n，，并有滿足．
(1)求a的值；
(2)試確定數列是不是等差數列，若是，求出其通項公式；若不是，說明理由．
【解析】（1）由已知，得，
所以.
（2）由得，則，
所以，
即，
于是有，并且有，
所以，
即，
而是正整數，則對任意正整數都有，
所以數列是等差數列，
因為，，所以公差
所以通項公式是.
【變式2-3】已知數列滿足，且
(1)證明：數列是等差數列；
(2)求 的前項和.
【解析】（1）因為，
所以，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列；
（2）由（1）得，
所以，
則，
所以.
【變式2-4】（2024·重慶·三模）已知數列的前項和為，滿足，.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)若數列的公差不為0，數列中的部分項組成數列，，，…，恰為等比數列，其中，，，求數列的通項公式.
【解析】（1）證明：由，得，
所以，即，
所以，
兩式相減得，
所以.
所以數列成等差數列.
（2）等差數列的公差，其子數列恰為等比數列，
其中，，，可得，，，
且有，即，
化為，則，
子數列為首項為，公比為的等比數列，
則，可得.
題型三：等差數列的性質
【典例3-1】（2024·高三·上?！て谥校┮阎炔顢盗械那绊椀暮蜑?，且，，則正整數的值為 .
【答案】
【解析】在等差數列中，由，得，因為成立，由對稱性知，，
則，
所以
所以
所以，
即，解得.
故答案為：
【典例3-2】（2024·上?！つM預測）記等差數列的前項和為，，則 .
【答案】78
【解析】因為為等差數列，所以.
故答案為：78.
【方法技巧】
如果為等差數列，當時，．因此，出現等項時，可以利用此性質將已知條件轉化為與（或其他項）有關的條件；若求項，可由轉化為求的值．
【變式3-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且，則 .
【答案】
【解析】由，得，
則.
故答案為：.
【變式3-2】已知數列是等差數列，是其前n項和．若，則 ．
【答案】16
【解析】設等差數列的公差為，由，得，
所以，即，解得，
所以，
故答案為：16．
題型四：等差數列前n項和的性質
【典例4-1】（2024·高三·天津寧河·期末）已知等差數列， 的前項和分別為，，且，則 ．
【答案】
【解析】因為，
所以
.
故答案為：
【典例4-2】在等差數列中，，其前項和為，若，則 .
【答案】
【解析】設等差數列的前項和為，則，所以是等差數列．
因為，所以的公差為，又，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以.
故答案為：
【方法技巧】
在等差數列中，，…仍成等差數列；也成等差數列．
【變式4-1】等差數列 ， 的前 項和分別為 ，，若對任意的正整數 都有 ，則 .
【答案】
【解析】.
故答案為：.
【變式4-2】已知兩個等差數列和的前n項和分別為和，且，則使得為整數的正整數n的集合是 .
【答案】
【解析】由
，
因為為整數且，所以.
故答案為：.
【變式4-3】已知等差數列的前項和分別為和，若，且是整數，則的值為 .
【答案】15
【解析】由題意得，
設等差數列的公差分別為，
，，故，
故，又，
故，即，
，又，
，即，
聯立，化簡得，
解得
又是整數，即是整數，
設，故，即，
解得，
令，解得，且，
當時，滿足要求，
當時，不合要求，
當時，不合要求，
當時，不合要求，
當時，不合要求，
綜上，的值為15.
故答案為：15
【變式4-4】已知等差數列的前項和為，且，，則 .
【答案】16
【解析】因為等差數列的前項和為,所以,,,成等差數列,
所以，即
解得，所以，所以，
解得，
故答案為：16
【變式4-5】（2024·江西上饒·一模）已知數列、均為正項等比數列，、分別為數列、的前項積，且，則的值為 .
【答案】
【解析】推導出數列、為等差數列，由此可得出，即可得解.設等比數列的公比為，則（常數），
所以，數列為等差數列，同理可知，數列也為等差數列，
因為，
同理可得，因此，.
故答案為：.
題型五：等差數列前n項和的最值
【典例5-1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數列中，，，則使得前n項的和最大的n值為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【解析】在等差數列中，，由，可得，
，，且數列為遞減數列，
所以使得前n項的和最大的n值為8.
故選：B.
【典例5-2】（2024·山東泰安·三模）已知為等差數列的前項和，，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設的公差為，因為，，
可得 ，解得，所以，
可得，
所以當時，取得最小值.
故選：D.
【方法技巧】
求等差數列前項和最值的2種方法
（1）函數法：利用等差數列前項和的函數表達式，通過配方或借助圖象求二次函數最值的方法求解．
（2）鄰項變號法：①若，則滿足的項數使得取得最大值；
②若，則滿足的項數使得取得最小值．
【變式5-1】（2024·全國·模擬預測）已知為等差數列的前項和，若，，則當取最小值時，（ ）
A．9 B．10 C．10或11 D．11
【答案】B
【解析】由等差數列的性質知， 即．
又，故，則，，則，
則當取最小值時，.
故選：B．
【變式5-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知是等差數列，是其前項的和，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則取最小值時的值為12
B．若，則的最大值為108
C．若，則必有
D．若首項，，則取最小值時的值為9
【答案】D
【解析】對于A，因為，所以，
所以，
所以當時，取得最小值，正確；
對于B，因為，所以，
所以，
所以當或時，取得最大值為，正確；
對于C，若，則，又，
所以，所以，正確；
對于D，若，則，
又，所以，所以，
所以等差數列為遞減數列，所以，
所以取最大值時的值為9，錯誤.
故選：D
【變式5-3】（2024·山東·二模）已知數列．求：
(1)數列的通項公式；
(2)數列的前項和的最大值．
【解析】（1）由，可知，
所以數列是以13為首項，以為公差的等差數列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即數列從第5項開始小于0，所以數列的前4項和最大，
最大值為．
題型六：等差數列的實際應用
【典例6-1】（2024·云南曲靖·二模）小明同學用60元恰好購買了3本課外書，若三本書的單價既構成等差數列，又構成等比數列，則其中一本書的單價必然是（ ）
A．25元 B．18元 C．20元 D．16元
【答案】C
【解析】因為這3本書的單價既是等差數列，又是等比數列，
所以該數列為非零常數列，
則每本書的單價為元.
故選：C.
【典例6-2】中國載人航天工程發射的第十八艘飛船，簡稱“神十八”，于2024年4月執行載人航天飛行任務．運送“神十八”的長征二號運載火箭，在點火第一秒鐘通過的路程為，以后每秒鐘通過的路程都增加，在達到離地面的高度時，火箭開始進入轉彎程序．則從點火到進入轉彎程序大約需要的時間是（ ）秒．
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】設出每一秒鐘的路程為數列，
由題意可知為等差數列，
則數列首項，公差，
所以，
由求和公式有，解得，
故選：C．
【方法技巧】
利用等差數列的通項公式與求和公式求解.
【變式6-1】（2024·高三·浙江嘉興·期末）衛生紙是人們生活中的必需品，隨處可見．衛生紙形狀各異，有單張四方型的，也有卷成滾筒形狀的．某款卷筒衛生紙繞在圓柱形空心紙筒上，紙筒直徑為40mm，衛生紙厚度為0.1mm．若未使用時直徑為90mm，使用一段時間后直徑為60mm，則這個卷筒衛生紙大約已經使用了（ ）
A．25.7m B．30.6m C．35.3m D．40.4m
【答案】C
【解析】未使用時，可認為外層衛生紙的長度為：，
可認為每層紙的長度為等差數列，使用到現在，相當于等差數列的項數為：，
且.
由等差數列的求和公式得：
故選：C
【變式6-2】（2024·山西晉城·一模）生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（ ）
A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日
C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日
【答案】D
【解析】若他連續打卡，則從打卡第1天開始，逐日所得積分依次成等差數列，且首項為1，公差為2，第天所得積分為．
假設他連續打卡天，第天中斷了，
則他所得積分之和為
，化簡得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故選：D
【變式6-3】蚊香具有悠久的歷史，我國蚊香的發明與古人端午節的習俗有關.如圖為某校數學社團用數學軟件制作的“蚊香”. 畫法如下：在水平直線上取長度為1的線段，作一個等邊三角形，然后以點B為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點D（第一段圓?。?，再以點C為圓心，為半徑逆時針畫圓弧交線段的延長線于點E，再以點A為圓心，為半徑逆時針畫圓弧……以此類推，當得到的“蚊香”恰好有15段圓弧時，“蚊香”的長度為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意每段圓弧的中心角都是，每段圓弧的半徑依次增加1，
則第段圓弧的半徑為，弧長記為，則，
所以.
故選：D．
【變式6-4】（2024·河北唐山·模擬預測）2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內舉行，也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.某網站全程轉播了該次世界杯，為紀念本次世界杯，該網站舉辦了一針對本網站會員的獎品派發活動，派發規則如下：①對于會員編號能被2整除余1且被7整除余1的可以獲得精品足球一個；②對于不符合①中條件的可以獲得普通足球一個.已知該網站的會員共有1456人（編號為1號到1456號，中間沒有空缺），則獲得精品足球的人數為（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
【答案】C
【解析】將能被2整除余1且被7整除余1的正整數按從小到大排列所得的數列記為，
由已知是的倍數，也是的倍數，
故為的倍數，
所以首項為，公差為的等差數列，
所以，
令，可得，又
解得，且，
故獲得精品足球的人數為.
故選：C.
題型七：關于等差數列奇偶項問題的討論
【典例7-1】已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【解析】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
【典例7-2】已知數列滿足，，
(1)求；
(2)當為奇數時，求數列的前項和
【解析】（1）因為，所以數列構成首項為，公差為的等差數列，
所以.
（2）由，所以數列構成首項為，公差為的等差數列，得到，
設，
則，
又，所以為奇數時，
【方法技巧】
對于奇偶項通項不統一的數列的求和問題要注意分類討論．主要是從為奇數、偶數進行分類．
【變式7-1】已知數列的通項公式為
(1)求數列的前項和；
(2)設，求數列的前項和．
【解析】（1）由題意得：
，則為等差數列，首項．
∴．
（2）
∴①
∴②
①-②得，
∴
．
【變式7-2】（2024·全國·模擬預測）已知數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)求的前項和．
【解析】（1）當為奇數時，由可得，
所以數列的奇數項成等差數列，且公差為2，又由，故；
當為偶數時，由，可得，
所以數列的偶數項成等比數列，且公比為4，又由，故，
所以數列的通項公式為.
（2）當為奇數時，
則
，
當為偶數時，
則
，
綜上可得，.
【變式7-3】（2024·高三·湖北·期中）已知數列的各項均為正數，其前項和為，且.
(1)求，；
(2)設，求數列的前8項和.
【解析】（1）由原式可得：，
當時，；
當時，，
兩式作差可得：，
所以，
又因為，則，所以，
所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，
∴，，
∴，；
（2），
即，
所以
，
即數列的前8項和.
題型八：對于含絕對值的等差數列求和問題
【典例8-1】（2024·四川成都·二模）已知數列的前n項和，且的最大值為．
(1)確定常數，并求；
(2)求數列的前15項和．
【解析】（1）由數列的前n項和，
根據二次函數的性質，可得當時，取得最大值，
即，解得，所以，
當時，，
當時，（符合上式），
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）知，可得，
且當且時，可得；當且時，可得，
所以數列的前15項和：．
【典例8-2】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知數列的前n項和為.若為等差數列，且滿足，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求.
【解析】（1）由題意，設等差數列的公差為，又，，
，，
，
，則，，
，又，
，.
（2）由（1）得，，
當時，，
當時，
，
.
【方法技巧】
由正項開始的遞減等差數列的絕對值求和的計算題解題步驟如下：
（1）首先找出零值或者符號由正變負的項
（2）在對進行討論，當時，，當時，
【變式8-1】（2024·全國·模擬預測）已知正項等比數列滿足是與的等差中項．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【解析】（1）因為，又，所以，解得，
設的公比為，因為是與的等差中項，
所以，
即，解得，
從而，
故等比數列的通項公式是；
（2）由（1）知，所以，
，
設的前項和為，
當時，易知數列是首項為6，公差為的等差數列，
所以，
當時，易知數列是首項為1，公差為1的等差數列，
所以
，
所以數列的前項和．
【變式8-2】（2024·高三·上?！て谥校┰诠顬榈牡炔顢盗兄校阎?，且，，成等比數列．
(1)求，；
(2)若，，求．
【解析】（1）公差為的等差數列中，已知，且，，成等比數列．
所以，即
解得或，
①當時，．
②當時，．
（2）因為，所以，
令，
①當時，，
所以，
所以．
②當時，，
所以，
，
，
．
故．
又，
且當時，
所以，則，
解得或（舍去）.
所以.
【變式8-3】（2024·高三·河南·期中）已知等差數列的公差為整數，，設其前n項和為，且是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
【解析】（1）
設的公差為d，依題意得，
所以，即，
化簡得，解得或（舍去），
故，
（2）依題意，．
當時，，故；
當時，，
故．
故
【變式8-4】（2024·安徽宣城·二模）已知數列是首項為1的等差數列，公差，設數列的前項和為，且，，成等比數列．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【解析】（1）因為成等比數列，則有，
即，而，解得，則，
所以的通項公式是．
（2）由（1）知，令，則數列為遞增數列，其前4項為負值，從第5項開始為正值，
設的前項和為，則，
若，，
若，
，
所以.
【變式8-5】（2024·重慶萬州·模擬預測）已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和為，設，求的最小值.
【解析】（1）因為，所以，
所以當時，，所以；
當時，，
所以，
所以，
又滿足上式，
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）知，
當時，；
當時，
；
所以，
當時，遞減，所以；
當時，，
設，
則，令得，此時單調遞增，
令得，此時單調遞減，
所以在時遞減，在時遞增，
而，，且，
所以；
綜上，的最小值為.
題型九：利用等差數列的單調性求解
【典例9-1】（2024·北京海淀·三模）已知等差數列的公差為，數列滿足，則“”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為，所以且，則，
若，不妨令，則，，，，，，
顯然不單調，故充分性不成立，
若為遞減數列，則不是常數數列，所以單調，
若單調遞減，又在，上單調遞減，則為遞增數列，矛盾；
所以單調遞增，則，且，其中當，時也不能滿足為遞減數列，故必要性成立，
故“”是“為遞減數列”的必要不充分條件.
故選：B
【典例9-2】（2024·貴州銅仁·二模）設為等差數列的前項和，且，都有，若，則（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【答案】C
【解析】由得，∴數列為遞減的等差數列，
∵，∴，，
∴當且時，，當且時，，
∴有最大值，最大值為.
故選：C.
【方法技巧】
（1）在處理數列的單調性問題時應利用數列的單調性定義，即“若數列是遞增數列，恒成立”．
（2）數列的單調性與，的單調性不完全一致．
一般情況下我們不應把數列的單調性轉化為相應連續函數的單調性來處理．但若數列對應的連續函數是單調函數，則可以借助其單調性來求解數列的單調性問題．即“離散函數有單調性連續函數由單調性；連續函數有單調性離散函數有單調性”．
【變式9-1】（2024·全國·模擬預測）設為等差數列的前項和，且，都有.若，則（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最大值是 D．的最大值是
【答案】A
【解析】由得：，即，
數列為遞增的等差數列，
，，，
當且時，；當且時，；
有最小值，最小值為.
故選：A.
【變式9-2】已知等差數列的前項和為，公差為，且單調遞增，若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由為等差數列，且，所以，
因為數列為遞增數列，則，即從第二項開始，各項均為正數，
又因為恒成立，所以數列為常數數列或遞增數列，所以，
則有，解可得，
綜上可得，，所以實數的取值范圍為．
故選：D．
【變式9-3】（2024·四川成都·模擬預測）設公差不為0的無窮等差數列的前項和為，則“為遞減數列”是“存在正整數，當時，”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】因為是公差不為0的無窮等差數列，若“為遞減數列”，
可得的通項公式為一次函數且一次性系數小于0，一定存在正整數，
當時,有，故存在，當遠遠大于時， 時，此時，故充分性成立，
若存在正整數，當時，，故二次函數開口向下，
因此，故為遞減數列，故必要性成立.
故選：C．
【變式9-4】設為等差數列的前n項和，則對，，是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】若對，都有，可得，
因為恒成立，所以，即數列為遞增數列，
，
所以，即成立，所以充分性成立；
反之：若對，都有，即，
可得，解得，所以，
即數列為遞增數列，
例如：數列為遞增數列，可得，
此時不成立，即必要性不成立；
所以對，，是“”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式9-5】已知等差數列的前n項和為，若，則下列結論正確的是（ ）
A．數列是遞增數列 B．
C．當取得最大值時， D．
【答案】B
【解析】ABC選項，，
∴，
，
∴，
∴，且，B正確；
∴公差，等差數列是遞減數列，A錯誤；
時，取得最大值，C錯誤；
D選項，，D錯誤.
故選：B．
題型十：等差數列中的范圍與恒成立問題
【典例10-1】（多選題）（2024·高三·山東臨沂·期中）公差為的等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B．
C．中最大 D．
【答案】CD
【解析】A：由，得，
由，得，所以，所以，故A錯誤；
B：由選項A的分析知，，故B錯誤；
C：因為，，，所以數列是遞減數列，
其前6項為正，從第7項起均為負，故最大，故C正確；
D：由選項A的分析知，，，，
所以，且，即，所以，故D正確.
故選：CD
【典例10-2】（多選題）公差為d的等差數列，其前n項和為，，，下列說法正確的有（ ）
A． B． C．中最大 D．
【答案】AD
【解析】由，得，
又，得，，
所以，，數列是遞減數列，其前6項為正，從第7項起均為負數，
等差數列，公差，A選項正確；，B選項錯誤；前6項和最大，C選項錯誤；
由，，有，則，D選項正確.
故選：AD.
【方法技巧】
等差數列中的范圍與恒成立問題是數列研究的重要方面。這類問題通常涉及數列的通項公式、前n項和公式以及不等式性質的應用。解決這類問題時，需要首先根據題意設定合適的變量，建立等差數列的通項或前n項和的不等式，然后利用不等式的性質進行推導，最終確定變量的取值范圍，使得原不等式恒成立。
【變式10-1】（多選題）（2024·海南·模擬預測）已知數列滿足，且，等差數列的前n項和為，且，，若恒成立，則實數λ的值可以為（ ）
A．－36 B．－54 C．－81 D．－108
【答案】CD
【解析】由，得，
由，得，即，
又，所以為等比數列，公比.
所以.
由累加法得
，
當時，相符，
所以.
已知等差數列的前n項和為，
則，且，
解得，則.
已知恒成立，又，
則，設
因為當時，
因為當時，，
又，，，，
故的最小值為，
所以，
故選：CD.
【變式10-2】（多選題）已知等差數列的前n項和為，當且僅當時取得最大值，則滿足的最大的正整數k可能為（ ）
A．22 B．23 C．24 D．25
【答案】BC
【解析】因為當且僅當時，取得最大值，
所以，公差，且，．
所以，，，
故時，．
當時，，則滿足的最大的正整數為；
當時，，則滿足的最大的正整數為，
故滿足的最大的正整數可能為與．
故選：BC．
【變式10-3】（多選題）等差數列的前項和為，已知，則（ ）
A． B．的前項和中最小
C．使時的最大值為9 D．的最大值為0
【答案】BC
【解析】設等差數列的首項為，公差為，因為，所以，
所以，.
對于A，，錯誤；
對于B，因為，所以當時，有最小值，正確；
對于C，若，則，又，所以的最大值為9，正確；
對于D，因為，所以數列為關于的單調遞增數列，所以沒有最大值，錯誤.
故選：BC.
【變式10-4】（多選題）設是等差數列，是其前n項和，且， ，則下列結論正確的是（ ）.
A． B．
C． D．與均為的最大值
【答案】BD
【解析】因為， ，
則，故B正確；
設等差數列的公差為，則，故A錯誤；
可知數列為遞減數列，可得，
可得，
所以，故C錯誤；
因為為最后一項正數，根據加法的性質可知：為的最大值，
又因為，所以與均為的最大值，故D正確；
故選：BD.
【變式10-5】（多選題）（2024·山東德州·模擬預測）設等差數列的前項和為，公差為，，，，下列結論正確的是（ ）
A．
B．當時，的最大值為
C．數列為等差數列，且和數列的首項、公差均相同
D．數列前項和為，最大
【答案】AD
【解析】對于A選項，若，則為遞增數列，所以，，與矛盾，
若，則為常數列，所以，，與矛盾，
若，則為遞減數列，則，由可得，合乎題意，A對；
對于B選項，由A選項可知，，，，
，
所以，當時，的最大值為，B錯；
對于C選項，，則，
所以，，
所以，數列為等差數列，且其首項為，公差為，C錯；
對于D選項，由得，由得，
由得，即，
令，，則等差數列為遞減數列，
且，，，
所以，數列前項和為，最大，D對.
故選：AD.
1．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【解析】方法一：利用等差數列的基本量
由，根據等差數列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數列的性質
根據等差數列的性質，，由，根據等差數列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數列公差，則，則.
故選：D
2．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）記為等差數列的前項和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，則，
則等差數列的公差，故.
故選：B.
3．（2023年高考全國甲卷數學（文）真題）記為等差數列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：設等差數列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
4．（2023年高考全國乙卷數學（理）真題）已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
1．在等差數列中，，，且，求．
【解析】設等差數列的公差為
則
所以
2．已知數列，都是等差數列，公差分別為，，數列滿足．
（1）數列是否是等差數列？若是，證明你的結論；若不是，請說明理由．
（2）若，的公差都等于2，，求數列的通項公式．
【解析】（1）數列是等差數列，
證明：因為數列，都是等差數列，公差分別為，，
所以，
又因為，
故，
而，所以數列是以為首項，為公差的等差數列.
（2）由（1）知：數列是以為首項，為公差的等差數列，
而，，
所以.
3．已知一個無窮等差數列的首項為，公差為d．
（1）將數列中的前m項去掉，其余各項組成一個新的數列，這個新數列是等差數列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？
（2）取出數列中的所有奇數項，組成一個新的數列，這個新數列是等差數列嗎？如果是，它的首項和公差分別是多少？
（3）取出數列中所有序號為7的倍數的項，組成一個新的數列，它是等差數列嗎？你能根據得到的結論作出一個猜想嗎？
【解析】（1）由題意可知，將無窮等差數列的前m項去掉，其余各項組成一個新的數列為：
，這個新數列是等差數列，首項為，公差為.
（2）由題意可知，取出無窮等差數列中的所有奇數項，組成一個新的數列為：
，這個新數列是等差數列，首項為，公差為.
（3）由題意可知，取出無窮等差數列中所有序號為7的倍數的項，組成一個新的數列為：
，這個新數列是等差數列，首項為，公差為.
猜想：等差數列每隔一定距離抽取一項后所組成的新數列仍是等差數列.
4．已知一個等差數列的項數為奇數，其中所有奇數項的和為290，所有偶數項的和為261．求此數列中間一項的值以及項數．
【解析】設等差數列的項數為，
設所有的奇數項和為，則，
設所有的偶數項和為，則，
，解得，
項數，中間項為，
由，
所以此數列中間一項是，項數為.
5．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數構成一個數列．
（1）寫出數列的一個遞推公式；
（2）根據（1）中的遞推公式，寫出數列的一個通項公式．
【解析】（1）由題意可知，
，
，
，，
；
所以數列的一個遞推公式為；
（2）由題意，，
故，
所以數列的一個通項公式為.
6．已知兩個等差數列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，將這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列．求這個新數列的各項之和．
【解析】有兩個等差數列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，
由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，2，14，26，38，50，…，182是兩個數列的相同項.
共有個，也是等差數列，
它們的和為，
這個新數列的各項之和為1472
易錯點：忽視數列的首項
易錯分析：由求通項公式，可用求解．當時，如果不適合，則應寫成分段形式．
【易錯題1】已知數列的前n項和為，且，則數列通項公式 ．
【答案】
【解析】當時，；
當時，，
因為不符合上式，
所以.
故答案為：
【易錯題2】數列的前項和，則該數列的通項 .
【答案】
【解析】當時, .
當時,
.
故.
故答案為：
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