資源簡介

第01講 數列的基本知識與概念
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：數列的概念 4
知識點2：數列的分類 4
知識點3：數列的兩種常用的表示方法 5
解題方法總結 6
題型一：數列的周期性 6
題型二：數列的單調性 9
題型三：數列的最大（小）項 13
題型四：數列中的規律問題 17
題型五：數列的恒成立問題 21
題型六：遞推數列問題 24
04真題練習·命題洞見 27
05課本典例·高考素材 35
06易錯分析·答題模板 38
易錯點：對數列的概念理解不準 38
答題模板：數列單調性的判斷與應用 39
考點要求 考題統計 考情分析
（1）數列的概念 （2）數列的分類 （3）數列的性質 2023年北京卷第10題，4分 2022年乙卷（理）第4題，5分 2021年北京卷第10題，4分 2020年浙江卷第11題，4分 高考對數列概念的考查相對較少，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數列與函數結合考查單調性、周期性、最值性.
復習目標： （1）了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式). （2）了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數．
知識點1：數列的概念
（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
【診斷自測】下列說法中，正確的是（ ）
A．數列可表示為集合
B．數列與數列是相同的數列
C．數列的第項為
D．數列可記為
【答案】C
【解析】對于A，由數列的定義易知A錯誤；
對于B，兩個數列排列次序不同，是不同的數列，故B錯誤；
對于C，數列的第項為，故C正確；
對于D，因為，所以，這與數列的定義不相符，故D錯誤.
故選：C.
知識點2：數列的分類
（1）按照項數分：有限和無限
（2）按單調性來分：
【診斷自測】已知函數，設，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．是無窮數列 B．是遞增數列
C．不是常數列 D．中有最大項
【答案】D
【解析】對于A ，顯然是無窮數列，故A正確；
對于B，因為，即，即是遞增數列，故B正確；
對于C，因為，，，故不是常數列，故C正確；
對于D，由B知，是遞增數列，當趨近于無窮大時，也趨近于無窮大，所以中無最大項，故D錯誤.
故選：D
知識點3：數列的兩種常用的表示方法
（1）通項公式：如果數列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
（2）遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．
【診斷自測】，數列1，，7，，31，的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于選項A：因為，故A錯誤；
對于選項B：因為，故B錯誤；
對于選項C：因為，故C錯誤；
對于選項D：檢驗可知對均成立，故D正確；
故選：D.
解題方法總結
（1）若數列的前項和為，通項公式為，則
注意：根據求時，不要忽視對的驗證．
（2）在數列中，若最大，則若最小，則
題型一：數列的周期性
【典例1-1】在數列中，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為且，
所以，，
，，，，
所以是以為周期的周期數列，所以.
故選：C
【典例1-2】（2024·陜西安康·模擬預測）在數列中，，若對，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】由與相減得：，
即，又，故，所以.
故選：A.
【方法技巧】
解決數列周期性問題的方法
先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值．
【變式1-1】（2024·陜西榆林·三模）現有甲乙丙丁戊五位同學進行循環報數游戲，從甲開始依次進行，當甲報出1，乙報出2后，之后每個人報出的數都是前兩位同學所報數的乘積的個位數字，則第2024個被報出的數應該為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【解析】報出的數字依次是，除了首項以外是個周期為6的周期數列.
去掉首項后的新數列第一項為2，
因為，所以原數列第2024個被報出的數應該為2.
故選：A.
【變式1-2】（2024·山東濟寧·三模）已知數列中，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】由，得
，
，
，
，
，
，
則是以6為周期的周期數列，
所以.
故選：C
【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預測）數列中，，，，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因為，，，
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
令，可得；令，可得；
可知數列是以6為周期的周期數列，
所以.
故選：A.
【變式1-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數，數列的首項為1，且滿足．若，則數列的前2023項和為（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【答案】B
【解析】因為函數，則，
所以函數在上單調遞增，且是奇函數．
，，
，
，，即，
數列的前2023項和為．
故選：B．
題型二：數列的單調性
【典例2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數列，定義（），則“為遞增數列”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】為遞增數列時，有，不能得到為遞增數列，充分性不成立；
為遞增數列時，不一定有，即不能得到為遞增數列，必要性不成立.
所以“為遞增數列”是“為遞增數列”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
【典例2-2】（2024·江西·模擬預測）已知數列滿足，則“”是是遞增數列的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】當時，則，
所以，即，所以是遞增數列，故充分性成立；
當時，則，所以是遞增數列，
所以當數列是遞增數列，可以大于，所以必要性不成立，
所以“”是是遞增數列的充分不必要條件.
故選：B
【方法技巧】
解決數列的單調性問題的3種方法
作差比較法 根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列
作商比較法 根據與1的大小關系進行判斷
數形結合法 結合相應函數的圖象直觀判斷
【變式2-1】（2024·天津南開·二模）設數列的通項公式為，若數列是單調遞增數列，則實數b的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意可得恒成立，即，
即，又，，故.
故選：A.
【變式2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預測）等差數列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】設等差數列的公差為，
由，可得，
所以，即，
所以為遞減數列，
所以“”是“為遞減數列”的充分條件，
若為遞減數列，則，
所以，
所以，
所以“”是“為遞減數列”的必要條件，
所以“”是“為遞減數列”的充分必要條件，
故選：C.
【變式2-3】數列中前項和滿足，若是遞增數列，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，
則，
兩式相減得，
因為數列是遞增數列，
所以當時，，解得.
當時，，
所以，解得.
綜上.
故選：B.
【變式2-4】（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列的通項公式為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】二次函數圖象的開口向上，對稱軸是直線，
且在定義域內單調遞增，
當時，單調遞減，單調遞減；
當時，單調遞增，單調遞增；
因為中的自變量為正整數，且，
則，解得，
顯然是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
【變式2-5】已知數列滿足：，（，），數列是遞增數列，則實數的可能取值為（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【解析】因為，，且為遞增數列，
所以，即，解得，
結合選項可知符合題意，
故選：C.
【變式2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為對任意都有，
所以數列在上是遞減數列，
因為對任意都有，
所以數列在上是遞增數列，
所以，解得，
所以實數的取值范圍是.
故選：C.
【變式2-7】（2024·江西·二模）已知數列的首項為常數且，，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為，
所以，
由于，即，
可得數列是首項為，公比為的等比數列，
則，因為數列是遞增數列，可得，
即對任意的正整數都成立．
當為偶數時，恒成立，由于數列單調遞減，
可得，則；
當為奇數時，恒成立，由于數列單調遞增，
可得，則；
綜上可得的取值范圍是．
故選：B ．
題型三：數列的最大（小）項
【典例3-1】已知，則數列的偶數項中最大項為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】數列中，，則，
令，解得，則當時，，即，
同理當時，，即，而當時，，
所以數列的偶數項中最大項為.
故選：D
【典例3-2】（2024·上海·模擬預測）數列的最小項的值為 .
【答案】
【解析】令，得，
令，得，
所以當時，，當時，，
而函數在上單調遞減，
所以當時，取得最小值，
即數列的最小項的值為.
故答案為：.
【方法技巧】
求數列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數列視為函數當x∈N*時所對應的一列函數值，根據f（x）的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出的最值，進而求出數列的最大（小）項．
（2）通過通項公式研究數列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．
（3）比較法：若有或時，則，則數列是遞增數列，所以數列的最小項為；若有或時，則，則數列是遞減數列，所以數列的最大項為．
【變式3-1】（2024·北京西城·一模）在數列中，.數列滿足.若是公差為1的等差數列，則的通項公式為 ，的最小值為 .
【答案】
【解析】由題意，又等差數列的公差為1，所以；
故，所以當時，，當時，，
所以，顯然的最小值是.
又，所以
，即的最小值是.
故答案為：，
【變式3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數列的通項公式（），則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】由于當為奇數時，，當為偶數時，，
要求的最小值，只需要考慮出現奇數個奇數項時即可，
又，
且當時，，因此時，，
當，，
當，，
綜上，最小值為.
故答案為：
【變式3-3】數列的通項，則數列中的最大項的值為 .
【答案】
【解析】因為，則，
則，
令，即，因為，
解得，所以，
令，解得，
所以，
故數列中的最大項為，其值為.
故答案為：.
【變式3-4】設是的展開式中x項的系數（），若，則的最大值是 .
【答案】
【解析】，
因為在是減函數，在是增函數，且，
時，，所以時，，
所以，所以的最小值是.
故答案為：
【變式3-5】已知，則數列的最小值為 .
【答案】
【解析】，
令，
由對勾函數的性質得：
當時遞減，時遞增，
當時，有最小值，
最小值為.
故答案為：
【變式3-6】在數列中，，，則數列的最大項的值是 ．
【答案】4
【解析】根據以及，可知，
所以①，則②，
由②①得，即 ，
因為，所以與同號，
又因為，且，
所以，所以數列為單調遞減數列，
所以因此數列的最大項是，其值是4．
故答案為：4.
題型四：數列中的規律問題
【典例4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（Tower of Hanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具. 如圖所示，有三根相鄰的標號分別為A、B、C的柱子， A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數為，例如：，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為等差數列
C．為等比數列 D．
【答案】C
【解析】由題意知若有1個圓盤，則需移動一次：
若有2個圓盤，則移動情況為：，需移動3次；
若有3個圓盤，則移動情況如下：
，共7次，故，A錯誤；
由此可知若有n個圓盤，設至少移動次，則,
所以，而，故為等比數列，
故即，該式不是n的一次函數，
則不為等差數列，B錯誤；
又，則，，則為等比數列，C正確，
，D錯誤，
故選：C
【典例4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中國傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.大衍數列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第30項為（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【答案】C
【解析】由題意，大衍數列的偶數項為，
可得該數列的偶數項的通項公式為，
所以此數列的第30項為.
故選：C.
【方法技巧】
特殊值法、列舉法找規律
【變式4-1】（2024·陜西西安·三模）定義，，，，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題意，把排列成如下數陣：
第n行有n個數對，各個數對的兩數和為，每個數對的第一個數從左起依次為1，2，3，…，n，
則前n行共有個數對，顯然數列單調遞增，而，
所以是第64行第一個數對，即.
故選：D
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）據中國古代數學名著《周髀算經》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關系為（其中）．當時，有如下勾股弦數組序列：，，則在這個序列中，第10個勾股弦數組中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【答案】C
【解析】因為，所以．
在給定的勾股弦數組序列中，，所以．
易得勾股弦數組序列中“勾”的通項公式為，
所以，
故“弦”的通項公式為．
所以第10個勾股弦數組中的“弦”等于．
故選：C．
【變式4-3】（2024·四川·模擬預測）分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦 曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【答案】C
【解析】設題圖②中第行白心圈的個數為，黑心圈的個數為，
依題意可得，且有，
所以是以為首項，3為公比的等比數列，
①；
又，，
故有，
∴為常數數列，且，所以是以為首項，1為公比的等比數列，
②；
由①②相加減得：
，；
所以．
故選：C．
【變式4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的第56項為（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【解析】由題意可知：若去除所有的為1的項，則剩下的每一行的個數為1，2，3，4，...，
可以看成構成一個首項為1，公差為1的等差數列，則，
可得當，所有項的個數和為55，第56項為12，
故選：B.
題型五：數列的恒成立問題
【典例5-1】已知數列的前n項和且 ，若 恒成立，則的最小值為 ．
【答案】2
【解析】由，，
則當時，，
整理得，即，
∴，
顯然對于也成立，
∴的通項公式，所以，
∴
又因為恒成立，
所以，
所以的最小值為.
故答案為：.
【典例5-2】記分別為數列前n項和，已知是公差為的等差數列．若恒成立，則的最小值為 ．
【答案】3
【解析】∵，∴，∴，又∵是公差為的等差數列，
∴，所以，
即當時，，
∴，
整理得：，即，
∴，
顯然對于也成立，∴，
∴．
所以，即的最小值為．
故答案為：3.
【方法技巧】
分離參數，轉化為最值問題．
【變式5-1】已知數列的前項和為，且滿足，若對于任意的正整數恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】根據，當時，;
當時，，兩式相減可得，
數列是首項為2，公比為2的等比數列，，
則可變為，
即，令，則，
且，，
，即實數的取值范圍是.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數列{}滿足，若對任意正整數都有恒成立，則k的取值范圍是 .
【答案】
【解析】由可得，又因為，所以，
即數列是一個以3為首項，3為公比的等比數列，
所以，
對任意正整數都有，則，即，
設，則，
當時，，當時，，
即，所以，
所以
故答案為：.
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，若對恒成立，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】法一：
由，得，兩式相減得，
則數列，都是以2為公差的單調遞增數列.
要使對恒成立，只需，
而，，則，解得.
法二：
由，得，兩式相減得，
又，則，，
要使對恒成立，即，
即，解得.
故答案為：.
題型六：遞推數列問題
【典例6-1】（2024·天津·二模）在數列中，若（），則的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】D
【解析】當時，，
當時，，所以，
當時，，所以.
故選：D.
【典例6-2】（2024·重慶·模擬預測）已知數列滿足：，則（ ）
A．511 B．677 C．1021 D．2037
【答案】B
【解析】
.
故選：B.
【方法技巧】
列舉法
【變式6-1】（2024·貴州遵義·一模）數列滿足，對任意正整數p，q都有，則（ ）
A．4 B． C．6 D．
【答案】B
【解析】由，得，令，
依題意，對任意正整數p，q都有，令，
則，，而，即，
因此數列是以為首項，為公比的等比數列，，即，，
所以.
故選：B
【變式6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數為（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
【答案】B
【解析】設三角垛第層小球的個數為.
由題意可知，，，，，
所以，當時，有.
所以，
，
，
，
，
，
兩邊同時相加可得，，
所以，.
當時，，滿足題意.
所以，.
所以，.
故選：B.
【變式6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數與面積的和分別為（ ）

A．；n B．；
C．；n D．；
【答案】D
【解析】第一代“勾股數”中正方形的個數為，面積和為2，
第二代“勾股數”中正方形的個數為，面積和為3，
第三代“勾股數”中正方形的個數為，面積和為4，
…
第n代“勾股數”中正方形的個數為，面積和為，
故選：D
【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位．
(1)寫出前五排座位數．
(2)第排與第排座位數有何關系？
(3)第排座位數與第排座位數能用等式表示嗎？
【解析】（1）由題意可知，后一排都比前一排多2個座位，
所以前五排座位分別為：20，22，24，26，28；
（2）由題意可知，后一排都比前一排多2個座位，
故第排與第排座位數的關系為：第排比第排多兩個座位；
（3）由（2）可知，能用等式表示第排座位數與第排座位數的關系，
即.
【變式6-5】觀察下面的圖形及相應的點數，回答
(1)寫出圖中點數構成的數列的一個遞推公式；并根據這個遞推公式，求出數列的通項公式；
(2)若是數列的前項和，證明：.
【解析】（1）由題可得，，，，可得，，，…，所以數列的遞推公式為，，；
，
所以數列的通項公式為，.
（2）由（1）知，，
，
，，
所以.
1．（2023年北京高考數學真題）已知數列滿足，則（ ）
A．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
B．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
C．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
D．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
【答案】B
【解析】法1：因為，故，
對于A ，若，可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立，
由數學歸納法可得成立.
而，
，，故，故，
故為減數列，注意
故，結合，
所以，故，故，
若存在常數，使得恒成立，則，
故，故，故恒成立僅對部分成立，
故A不成立.
對于B，若可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數學歸納法可得成立.
而，
，，故，故，故為增數列，
若，則恒成立，故B正確.
對于C，當時， 可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立即
由數學歸納法可得成立.
而，故，故為減數列，
又，結合可得：，所以，
若，若存在常數，使得恒成立，
則恒成立，故，的個數有限，矛盾，故C錯誤.
對于D，當時， 可用數學歸納法證明：即，
證明：當時，，此時不等關系成立；
設當時，成立，
則，故成立
由數學歸納法可得成立.
而，故，故為增數列，
又，結合可得：，所以，
若存在常數，使得恒成立，則，
故，故，這與n的個數有限矛盾，故D錯誤.
故選：B.
法2：因為，
令，則，
令，得或；
令，得；
所以在和上單調遞增，在上單調遞減，
令，則，即，解得或或，
注意到，，
所以結合的單調性可知在和上，在和上，
對于A，因為，則，
當時，，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，即，
因為在上，所以，則為遞減數列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞減，故，
所以在上單調遞增，故，
故，即，
假設存在常數，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故A錯誤；
對于B，因為，
當時，，，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
又當時，，即，
假設當時，，
當時，因為，所以，則，
所以，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數列，
此時，取，滿足題意，故B正確；
對于C，因為，則，
注意到當時，，，
猜想當時，，
當與時，與滿足，
假設當時，，
當時，所以，
綜上：，
易知，則，故，
所以，
因為在上，所以，則為遞減數列，
假設存在常數，使得恒成立，
記，取，其中，
則，
故，所以，即，
所以，故不恒成立，故C錯誤；
對于D，因為，
當時，，則，
假設當時，，
當時，，則，
綜上：，
因為在上，所以，所以為遞增數列，
因為，
令，則，
因為開口向上，對稱軸為，
所以在上單調遞增，故，
所以，
故，即，
假設存在常數，使得恒成立，
取，其中，且，
因為，所以，
上式相加得，，
則，與恒成立矛盾，故D錯誤.
故選：B.
2．（2022年新高考浙江數學高考真題）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，易得，依次類推可得
由題意，，即，
∴，
即，，，…，，
累加可得，即，
∴，即，,
又，
∴，，，…，，
累加可得，
∴，
即，∴，即；
綜上：．
故選：B．
3．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]:常規解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設則
故D正確.
4．（2022年新高考北京數學高考真題）已知數列各項均為正數，其前n項和滿足．給出下列四個結論：
①的第2項小于3； ②為等比數列；
③為遞減數列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結論的序號是 ．
【答案】①③④
【解析】由題意可知，，，
當時，，可得；
當時，由可得，兩式作差可得，
所以，，則，整理可得，
因為，解得，①對；
假設數列為等比數列，設其公比為，則，即，
所以，，可得，解得，不合乎題意，
故數列不是等比數列，②錯；
當時，，可得，所以，數列為遞減數列，③對；
假設對任意的，，則，
所以，，與假設矛盾，假設不成立，④對.
故答案為：①③④.
1．根據下列條件，寫出數列的前5項：
（1），；
（2），.
【解析】（1）因為，，
所以，
，
，
，
故數列的前5項分別為1，3，7，15，31.
（2）因為，
所以，
，
，
，
故數列的前5項分別為3，3，3，3，3.
2．已知數列滿足，，寫出它的前5項，并猜想它的通項公式.
【解析】，，，.
猜想.
3．寫出下列數列的前項，并繪出它們的圖像：
（1）素數按從小到大的順序排列成的數列；
（2）歐拉函數的函數值按自變量從小到大的順序排列成的數列.
【解析】（1）素數從小到大依次是：、、、、、、、、、，
繪出圖像如圖所示：
（2），，，，，
，，，，，
依次為、、、、、、、、、，
繪出圖像如圖所示：
4．已知數列的第1項是1，第2項是2，以后各項由給出.
（1）寫出這個數列的前5項；
（2）利用數列，通過公式構造一個新的數列，試寫出數列的前5項.
【解析】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2，
得a3＝a2+a1＝2+1＝3，
a4＝a3+a2＝2+3＝5，
a5＝a4+a3＝3+5＝8；
（2）依題意有：b12，
b2，
b3，
b4，
b5．
5．假設某銀行的活期存款年利率為某人存10萬元后，既不加進存款也不取款，每年到期利息連同本金自動轉存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用表示第年到期時的存款余額，求、、及.
【解析】，，
，.
6．已知函數，設數列的通項公式為.
（1）求證.
（2）是遞增數列還是遞減數列？為什么？
【解析】（1）由題意得，因為為正整數，所以，所以；
（2）是遞增數列，
證明：因為，所以，
所以，所以是遞增數列.
易錯點：對數列的概念理解不準
易錯分析：解題時容易找不到數列中的每項之間的相似地方，總結不出來一般規律。
【易錯題1】已知數列{an}的前5項依次為，則的一個通項公式為 ．
【答案】
【解析】根據題意，數列的前5項依次為，即，
則的一個通項公式為，
故答案為：
【易錯題2】數列，，，，…的一個通項公式是 ．
【答案】（n為正整數）
【解析】把1寫成的形式，觀察分母發現是以3為開始的奇數列，
再觀察分子中各數，可以發現：，且各項正負交替，
則，，，，…可以寫成：
所以數列的通項公式為.
故答案為：（n為正整數）.
答題模板：數列單調性的判斷與應用
1、模板解決思路
判斷數列的單調性的方法，一般采用作差法比較數列中相鄰兩項的大小； 當數列各項符號相同時， 也可用作商法比較； 還可以利用數列通項公式所對應的函數的單調性判斷數列的單調性．
2、模板解決步驟
第一步：根據條件求出數列的通項公式．
第二步：作差（或作商），并化簡．
第三步：討論與（或與1）的大小，得出數列的單調性．
【典型例題1】設等比數列的前n項和為，則“是遞增數列”是“是遞增數列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】是等比數列是遞增數列，則或，
是遞增數列，,即得或
“是等比數列是遞增數列”是“是遞增數列”既不充分也不必要條件.
故選：D.
【典型例題2】已知數列的通項公式為，若為遞增數列，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，若為遞增數列，則，
有，解得，則，
時，所以,則k的取值范圍為.
故選：D
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 數列的基本知識與概念
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：數列的概念 4
知識點2：數列的分類 4
知識點3：數列的兩種常用的表示方法 5
解題方法總結 5
題型一：數列的周期性 5
題型二：數列的單調性 6
題型三：數列的最大（小）項 8
題型四：數列中的規律問題 9
題型五：數列的恒成立問題 11
題型六：遞推數列問題 11
04真題練習·命題洞見 13
05課本典例·高考素材 14
06易錯分析·答題模板 15
易錯點：對數列的概念理解不準 15
答題模板：數列單調性的判斷與應用 15
考點要求 考題統計 考情分析
（1）數列的概念 （2）數列的分類 （3）數列的性質 2023年北京卷第10題，4分 2022年乙卷（理）第4題，5分 2021年北京卷第10題，4分 2020年浙江卷第11題，4分 高考對數列概念的考查相對較少，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．重點是數列與函數結合考查單調性、周期性、最值性.
復習目標： （1）了解數列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式). （2）了解數列是自變量為正整數的一類特殊函數．
知識點1：數列的概念
（1）數列的定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項．
（2）數列與函數的關系：從函數觀點看，數列可以看成以正整數集（或它的有限子集）為定義域的函數當自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應的一列函數值．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　
（3）數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法．
【診斷自測】下列說法中，正確的是（ ）
A．數列可表示為集合
B．數列與數列是相同的數列
C．數列的第項為
D．數列可記為
知識點2：數列的分類
（1）按照項數分：有限和無限
（2）按單調性來分：
【診斷自測】已知函數，設，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．是無窮數列 B．是遞增數列
C．不是常數列 D．中有最大項
知識點3：數列的兩種常用的表示方法
（1）通項公式：如果數列的第項與序號之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數列的通項公式．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　
（2）遞推公式：如果已知數列的第1項（或前幾項），且從第二項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式．
【診斷自測】，數列1，，7，，31，的一個通項公式為（ ）
A． B．
C． D．
解題方法總結
（1）若數列的前項和為，通項公式為，則
注意：根據求時，不要忽視對的驗證．
（2）在數列中，若最大，則若最小，則
題型一：數列的周期性
【典例1-1】在數列中，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·陜西安康·模擬預測）在數列中，，若對，則（ ）
A． B．1 C． D．
【方法技巧】
解決數列周期性問題的方法
先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值．
【變式1-1】（2024·陜西榆林·三模）現有甲乙丙丁戊五位同學進行循環報數游戲，從甲開始依次進行，當甲報出1，乙報出2后，之后每個人報出的數都是前兩位同學所報數的乘積的個位數字，則第2024個被報出的數應該為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【變式1-2】（2024·山東濟寧·三模）已知數列中，，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式1-3】（2024·遼寧·模擬預測）數列中，，，，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式1-4】（2024·全國·模擬預測）已知函數，數列的首項為1，且滿足．若，則數列的前2023項和為（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
題型二：數列的單調性
【典例2-1】（2024·北京西城·三模）對于無窮數列，定義（），則“為遞增數列”是“為遞增數列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典例2-2】（2024·江西·模擬預測）已知數列滿足，則“”是是遞增數列的（ ）
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧】
解決數列的單調性問題的3種方法
作差比較法 根據的符號判斷數列是遞增數列、遞減數列或是常數列
作商比較法 根據與1的大小關系進行判斷
數形結合法 結合相應函數的圖象直觀判斷
【變式2-1】（2024·天津南開·二模）設數列的通項公式為，若數列是單調遞增數列，則實數b的取值范圍為（ ）.
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·江蘇泰州·模擬預測）等差數列中，其前n項和為，則“”是“為遞減數列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-3】數列中前項和滿足，若是遞增數列，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2024·陜西安康·模擬預測）已知數列的通項公式為，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式2-5】已知數列滿足：，（，），數列是遞增數列，則實數的可能取值為（ ）
A．2 B． C． D．4
【變式2-6】（2024·浙江寧波·二模）已知數列滿足，對任意都有，且對任意都有，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-7】（2024·江西·二模）已知數列的首項為常數且，，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
題型三：數列的最大（小）項
【典例3-1】已知，則數列的偶數項中最大項為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·上海·模擬預測）數列的最小項的值為 .
【方法技巧】
求數列的最大項與最小項的常用方法
（1）將數列視為函數當x∈N*時所對應的一列函數值，根據f（x）的類型作出相應的函數圖象，或利用求函數最值的方法，求出的最值，進而求出數列的最大（小）項．
（2）通過通項公式研究數列的單調性，利用確定最大項，利用確定最小項．
（3）比較法：若有或時，則，則數列是遞增數列，所以數列的最小項為；若有或時，則，則數列是遞減數列，所以數列的最大項為．
【變式3-1】（2024·北京西城·一模）在數列中，.數列滿足.若是公差為1的等差數列，則的通項公式為 ，的最小值為 .
【變式3-2】（2024·廣東梅州·二模）已知數列的通項公式（），則的最小值為 ．
【變式3-3】數列的通項，則數列中的最大項的值為 .
【變式3-4】設是的展開式中x項的系數（），若，則的最大值是 .
【變式3-5】已知，則數列的最小值為 .
【變式3-6】在數列中，，，則數列的最大項的值是 ．
題型四：數列中的規律問題
【典例4-1】（2024·浙江紹興·二模）漢諾塔（Tower of Hanoi），是一個源于印度古老傳說的益智玩具. 如圖所示，有三根相鄰的標號分別為A、B、C的柱子， A柱子從下到上按金字塔狀疊放著個不同大小的圓盤，要把所有盤子一個一個移動到柱子B上，并且每次移動時，同一根柱子上都不能出現大盤子在小盤子的上方，請問至少需要移動多少次？記至少移動次數為，例如：，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．為等差數列
C．為等比數列 D．
【典例4-2】（2024·遼寧·二模）大衍數列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經經歷過的兩儀數量總和，是中國傳統文化中隱藏著的世界數學史上第一道數列題.大衍數列的前10項依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數列的第30項為（ ）
A．366 B．422 C．450 D．600
【方法技巧】
特殊值法、列舉法找規律
【變式4-1】（2024·陜西西安·三模）定義，，，，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）據中國古代數學名著《周髀算經》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”、“股”與“弦”之間的關系為（其中）．當時，有如下勾股弦數組序列：，，則在這個序列中，第10個勾股弦數組中的“弦”等于（ ）
A．145 B．181 C．221 D．265
【變式4-3】（2024·四川·模擬預測）分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦 曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（ ）
A．12 B．13 C．40 D．121
【變式4-4】（2024·云南保山·二模）我國南宋數學家楊輝126l年所著的《詳解九章算法》一書里出現了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數學史上的一個偉大成就.楊輝三角也可以看做是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，若去除所有為1的項，其余各項依次構成數列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，則此數列的第56項為（ ）

A．11 B．12 C．13 D．14
題型五：數列的恒成立問題
【典例5-1】已知數列的前n項和且 ，若 恒成立，則的最小值為 ．
【典例5-2】記分別為數列前n項和，已知是公差為的等差數列．若恒成立，則的最小值為 ．
【方法技巧】
分離參數，轉化為最值問題．
【變式5-1】已知數列的前項和為，且滿足，若對于任意的正整數恒成立，則實數的取值范圍為 ．
【變式5-2】（2024·高三·重慶·期中）已知數列{}滿足，若對任意正整數都有恒成立，則k的取值范圍是 .
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知數列滿足，若對恒成立，則的取值范圍為 .
題型六：遞推數列問題
【典例6-1】（2024·天津·二模）在數列中，若（），則的值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【典例6-2】（2024·重慶·模擬預測）已知數列滿足：，則（ ）
A．511 B．677 C．1021 D．2037
【方法技巧】
列舉法
【變式6-1】（2024·貴州遵義·一模）數列滿足，對任意正整數p，q都有，則（ ）
A．4 B． C．6 D．
【變式6-2】（2024·廣東汕頭·三模）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.已知一個三角垛，最頂層有1個小球，第二層有3個，第三層有6個，第四層有10個，則第30層小球的個數為（ ）
A．464 B．465 C．466 D．467
【變式6-3】圖一是美麗的“勾股樹”，它是一個直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到．圖二是第1代“勾股樹”，重復圖二的作法，得到圖三為第2代“勾股樹”，以此類推，已知最大的正方形面積為1，則第n代“勾股樹”所有正方形的個數與面積的和分別為（ ）

A．；n B．；
C．；n D．；
【變式6-4】某劇場有30排座位，第一排有20個座位，從第二排起，后一排都比前一排多2個座位．
(1)寫出前五排座位數．
(2)第排與第排座位數有何關系？
(3)第排座位數與第排座位數能用等式表示嗎？
【變式6-5】觀察下面的圖形及相應的點數，回答
(1)寫出圖中點數構成的數列的一個遞推公式；并根據這個遞推公式，求出數列的通項公式；
(2)若是數列的前項和，證明：.
.
1．（2023年北京高考數學真題）已知數列滿足，則（ ）
A．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
B．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
C．當時，為遞減數列，且存在常數，使得恒成立
D．當時，為遞增數列，且存在常數，使得恒成立
2．（2022年新高考浙江數學高考真題）已知數列滿足，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
4．（2022年新高考北京數學高考真題）已知數列各項均為正數，其前n項和滿足．給出下列四個結論：
①的第2項小于3； ②為等比數列；
③為遞減數列； ④中存在小于的項．
其中所有正確結論的序號是 ．
1．根據下列條件，寫出數列的前5項：
（1），；
（2），.
2．已知數列滿足，，寫出它的前5項，并猜想它的通項公式.
3．寫出下列數列的前項，并繪出它們的圖像：
（1）素數按從小到大的順序排列成的數列；
（2）歐拉函數的函數值按自變量從小到大的順序排列成的數列.
4．已知數列的第1項是1，第2項是2，以后各項由給出.
（1）寫出這個數列的前5項；
（2）利用數列，通過公式構造一個新的數列，試寫出數列的前5項.
5．假設某銀行的活期存款年利率為某人存10萬元后，既不加進存款也不取款，每年到期利息連同本金自動轉存，如果不考慮利息稅及利率的變化，用表示第年到期時的存款余額，求、、及.
6．已知函數，設數列的通項公式為.
（1）求證.
（2）是遞增數列還是遞減數列？為什么？
易錯點：對數列的概念理解不準
易錯分析：解題時容易找不到數列中的每項之間的相似地方，總結不出來一般規律。
【易錯題1】已知數列{an}的前5項依次為，則的一個通項公式為 ．
【易錯題2】數列，，，，…的一個通項公式是 ．
答題模板：數列單調性的判斷與應用
1、模板解決思路
判斷數列的單調性的方法，一般采用作差法比較數列中相鄰兩項的大小； 當數列各項符號相同時， 也可用作商法比較； 還可以利用數列通項公式所對應的函數的單調性判斷數列的單調性．
2、模板解決步驟
第一步：根據條件求出數列的通項公式．
第二步：作差（或作商），并化簡．
第三步：討論與（或與1）的大小，得出數列的單調性．
【典型例題1】設等比數列的前n項和為，則“是遞增數列”是“是遞增數列”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【典型例題2】已知數列的通項公式為，若為遞增數列，則k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
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