資源簡介

拔高點突破01 新情景、新定義下的數(shù)列問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 3
題型一：牛頓數(shù)列問題 3
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義 4
題型三：數(shù)列定義新概念 6
題型四：數(shù)列定義新運算 7
題型五：數(shù)列定義新情景 9
題型六：差分數(shù)列、對稱數(shù)列 10
題型七：非典型新定義數(shù)列 11
03 過關(guān)測試 13
1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時考查了學(xué)生對新知識、新事物接受能力和加以簡單運用的能力，考查了學(xué)生探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運用這些有效的信息進一步推理，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識歸類、套路總結(jié)、強化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題．
2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：
（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.
（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以順利解決．
（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏．
題型一：牛頓數(shù)列問題
【典例1-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）牛頓選代法又稱牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)的一個零點，任意選取作為r的初始近似值，在點作曲線的切線，設(shè)與軸x交點的橫坐標為，并稱為r的1次近似值；在點作曲線的切線，設(shè)與軸x交點的橫坐標為，稱為r的2次近似值.一般地，在點作曲線的切線，記與x軸交點的橫坐標為，并稱為r的次近似值.設(shè)的零點為r，取，則r的1次近似值為 ；若為r的n次近似值，設(shè)，，數(shù)列的前n項積為.若任意，恒成立，則整數(shù)的最大值為 .
【典例1-2】記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.
【變式1-1】英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列且，則的值是（ ）
A．8 B．2 C． D．
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義
【典例2-1】（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．
【典例2-2】（2024·全國·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；
(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；
(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．
【變式2-1】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足 使得．
【變式2-2】（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【變式2-3】（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．
題型三：數(shù)列定義新概念
【典例3-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為1，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)1”.已知項數(shù)為的數(shù)列的所有項的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)1”.
(1)若，且，寫出所有可能的的值；
(2)若，證明：“”是“”的充要條件；
(3)若，證明：或.
【典例3-2】對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．
(1)求的值：
(2)若，求數(shù)列的前項和
(3)對互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．
【變式3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，定義，滿足，記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”．
(1)試寫出“函數(shù)” ，并求的值；
(2)若“函數(shù)” ，求n的最大值；
(3)記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，證明：“函數(shù)” ．
【變式3-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列經(jīng)過第一次“和擴充”后得到數(shù)列；第二次“和擴充”后得到數(shù)列．設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，所有項的和為．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請說明理由．
題型四：數(shù)列定義新運算
【典例4-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零，，對任意，設(shè)．定義運算若，則，且．
(1)設(shè)，用表示；
(2)若，證明：：
(3)若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，設(shè)，證明：．
【典例4-2】（2024·浙江杭州·三模）卷積運算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．一般地，對無窮數(shù)列，，定義無窮數(shù)列，記作，稱為與的卷積．卷積運算有如圖所示的直觀含義，即中的項依次為所列數(shù)陣從左上角開始各條對角線上元素的和，易知有交換律．
(1)若，，，求，，，；
(2)對，定義如下：①當時，；②當時，為滿足通項的數(shù)列，即將的每一項向后平移項，前項都取為0．試找到數(shù)列，使得；
(3)若，，證明：當時，．
【變式4-1】（2024·山東青島·一模）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零，，對任意，設(shè)變換，．定義運算：若，則，．
(1)若，用表示；
(2)證明：；
(3)若，，，證明：．
【變式4-2】任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當時，（ ）
A．170 B．168 C．130 D．172
題型五：數(shù)列定義新情景
【典例5-1】（多選題）（2024·山東青島·三模）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（ ）
A．存在具有性質(zhì)的
B．存在具有性質(zhì)的
C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項相同
D．存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項均不相同
【典例5-2】（2024·河南·二模）已知無窮數(shù)列是首項為1，各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合，若對于集合中的元素，數(shù)列中存在不相同的項，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列的通項公式為，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，若具有，寫出集合與集合；
(2)已知數(shù)列具有性質(zhì)且集合中的最小元素為.集合中的最小元素為，當時，證明：.
【變式5-1】（2024·北京東城·二模）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，若滿足：，其中，是兩個給定的不同非零整數(shù)，且，則稱具有性質(zhì).
(1)若，，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫出一個這樣的；若不存在，請說明理由；
(2)若，，且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項相同；
(3)若，求證：存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項均不相同.
【變式5-2】（2024·北京朝陽·一模）若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，其中，表示，這個數(shù)中最大的數(shù)；
②，其中，表示，這個數(shù)中最小的數(shù).
(1)判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說明理由；
(2)若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；
(3)證明：對任意數(shù)列：，存在實數(shù)，使得.（表示不超過的最大整數(shù)）
題型六：差分數(shù)列、對稱數(shù)列
【典例6-1】（多選題）如果項數(shù)有限的數(shù)列滿足，則稱其為“對稱數(shù)列”，設(shè)是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”，其中，，，是首項為，公差為的等差數(shù)列，則（ ）
A．若，則 B．若，則所有項的和為
C．當時，所有項的和最大 D．所有項的和不可能為
【典例6-2】若項數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則 ．
【變式6-1】（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【變式6-2】（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的階差分，其中.若，則（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
題型七：非典型新定義數(shù)列
【典例7-1】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知n行n列的數(shù)表中，滿足：，.若數(shù)表滿足當時，總有，則稱此數(shù)表為典型數(shù)表，此時記.
(1)若數(shù)表，，請直接寫出M，N是否是典型數(shù)表；
(2)當時，是否存在典型數(shù)表A使得，若存在，請寫出一個數(shù)表A；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)表A為典型數(shù)表，求的最小值（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.
【典例7-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.
(1)若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；
(2)若，，求的所有可能取值的和；
(3)對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.
【變式7-1】已知無窮數(shù)列，給出以下定義：對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；特別地，對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“嚴格數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；
(2)證明：數(shù)列為“數(shù)列”的充要條件是“對于任意的，，，當時，有”；
(3)已知數(shù)列為“嚴格數(shù)列”，且對任意的，，，.求數(shù)列的最小項的最大值.
【變式7-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：.數(shù)列對于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列滿足.判斷是否對，總存在確定的正整數(shù)，使得數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，并說明理由.
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，
（i）若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實數(shù)的值；
（ii）在（i）問的前提下，若數(shù)列滿足，，其前項和為.證明：當且時，成立.
1．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項和為，且．若對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控數(shù)列”．現(xiàn)給出兩個命題：①存在等差數(shù)列是“可控數(shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控數(shù)列”．則下列判斷正確的是（ ）
A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
3．數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列兩個命題：（ ）
①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個；
②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個.
A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題
4．（多選題）（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價格的變化來確保自己的風(fēng)險，這種變化的價格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（ ）
A． B．
C． D．
5．（多選題）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（ ）
A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列
B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同
C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列
6．（多選題）（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對任意，總存在，使得
D．對任意，總存在，使得
7．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次這兩種運算，最終必進入循環(huán)圖.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，（ ）
A．當時，則
B．當時，數(shù)列單調(diào)遞減
C．若，且均不為1，則
D．當時，從中任取兩個數(shù)至少一個為奇數(shù)的概率為
8．（2024·高三·河北保定·期中）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則
9．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，，且，則 .
10．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列，且，數(shù)列的前項和為.則 .
11．將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為 .
12．（2024·高三·甘肅蘭州·開學(xué)考試）已知數(shù)表，，，其中分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．若數(shù)表，，且是的生成數(shù)表，則 ．
13．，，…是一個1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一個大于（），則滿足的排列的總數(shù)為 ．
14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論中正確的是 ．
①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
15．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）對于有窮數(shù)列，從數(shù)列中選取第項 第項 第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，則稱新數(shù)列為的一個子列，稱各項之和為的一個子列和．規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的子列．則數(shù)列的所有子列和的和為 ．
16．（2024·高三·山東日照·期中）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），.問：當時，試確定使得需要 步“雹程”；若，則所有可能的取值所構(gòu)成的集合為 .
17．（2024·高三·北京朝陽·期末）中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開方運算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著作《少廣縋鑿》中用迭代法給出一個“開平方捷術(shù)”，用符號表示為：已知正實數(shù)，取一正數(shù)作為的第一個近似值，定義，則是的一列近似值.當時，給出下列四個結(jié)論：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正確結(jié)論的序號是 .
18．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中.對正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分數(shù)列，其中已知數(shù)列的首項，且為的二階差分數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的一階差分數(shù)列，對，是否都有成立？并說明理由；（其中為組合數(shù)）
(3)對于（2）中的數(shù)列，令，其中.證明：.
19．（2024·貴州·三模）差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中；規(guī)定為的二階差分數(shù)列，其中.如果的一階差分數(shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”；如果的二階差分數(shù)列滿足，則稱是“累差不變數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請說明理由；
(2)設(shè)數(shù)列的通項公式，分別判斷是否為等差數(shù)列，請說明理由；
(3)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列為“累差不變數(shù)列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.
20．（2024·安徽黃山·一模）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分數(shù)列，其中．
(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？
(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)拔高點突破01 新情景、新定義下的數(shù)列問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 3
題型一：牛頓數(shù)列問題 3
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義 6
題型三：數(shù)列定義新概念 18
題型四：數(shù)列定義新運算 23
題型五：數(shù)列定義新情景 28
題型六：差分數(shù)列、對稱數(shù)列 34
題型七：非典型新定義數(shù)列 35
03 過關(guān)測試 43
1、“新定義型”數(shù)列題考查了學(xué)生閱讀和理解能力，同時考查了學(xué)生對新知識、新事物接受能力和加以簡單運用的能力，考查了學(xué)生探究精神．要求解題者通過觀察、閱讀、歸納、探索進行遷移，即讀懂和理解新定義，獲取有用的新信息，然后運用這些有效的信息進一步推理，綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力和探索能力（多想少算甚至不算）．因此，“新定義型”數(shù)列在高考中常有體現(xiàn)，是一種用知識歸類、套路總結(jié)、強化訓(xùn)練等傳統(tǒng)教學(xué)方法卻難以解決高考中不斷出現(xiàn)的新穎試題．
2、解答與數(shù)列有關(guān)的新定義問題的策略：
（1）通過給定的與數(shù)列有關(guān)的新定義，或約定的一種新運算，或給出的由幾個新模型來創(chuàng)設(shè)的新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題設(shè)所提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，實現(xiàn)信息的遷移，達到靈活解題的目的.
（2）遇到新定義問題，需耐心研究題中信息，分析新定義的特點，搞清新定義的本質(zhì)，按新定義的要求“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使問題得以順利解決．
（3）類比“熟悉數(shù)列”的研究方式，用特殊化的方法研究新數(shù)列，向“熟悉數(shù)列”的性質(zhì)靠攏．
題型一：牛頓數(shù)列問題
【典例1-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）牛頓選代法又稱牛頓——拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下圖示：設(shè)r是函數(shù)的一個零點，任意選取作為r的初始近似值，在點作曲線的切線，設(shè)與軸x交點的橫坐標為，并稱為r的1次近似值；在點作曲線的切線，設(shè)與軸x交點的橫坐標為，稱為r的2次近似值.一般地，在點作曲線的切線，記與x軸交點的橫坐標為，并稱為r的次近似值.設(shè)的零點為r，取，則r的1次近似值為 ；若為r的n次近似值，設(shè)，，數(shù)列的前n項積為.若任意，恒成立，則整數(shù)的最大值為 .
【答案】 3 1
【解析】易知，設(shè)切點為，
由切線幾何意義得斜率為，故切線方程為，
由給定定義知在該直線上，代入直線得，
當時，易知，故的1次近似值為，
由得，，
，
而函數(shù)的零點為，且，
故在上單調(diào)遞增，且，，
故，由零點存在性定理得，
由題意得，故，而是整數(shù)，故，
故答案為：3；1
【典例1-2】記上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足的數(shù)列稱為函數(shù)的“牛頓數(shù)列”.已知數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列，且數(shù)列滿足.
(1)證明數(shù)列是等比數(shù)列并求；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，若不等式對任意的恒成立，求t的取值范圍.
【解析】（1）由，得，
所以
則，
所以，
故（非零常數(shù)），且，
所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）由等比數(shù)列的前n項和公式得：，
因為不等式對任意的恒成立，
又且單調(diào)遞增，所以對任意的恒成立，
令，，
則，
當時，，是減函數(shù)，
當時，，是增函數(shù)，
又，且，，，
則，
當n為偶數(shù)時，原式化簡為，
而，
所以；
當n為奇數(shù)時，原式化簡為，
又，且，，在上單調(diào)遞增，
所以，
此時，所以；
綜上可知，.
【變式1-1】英國物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，如果，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)且，，數(shù)列的前項和為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意，，
，，
依題意，
即，
則，
（由于，所以），
則，
兩邊取對數(shù)得，即，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.
所以，所以.
故選：A
【變式1-2】科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列且，則的值是（ ）
A．8 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，
，
所以，
又，
所以為首項是2，公比是的等比數(shù)列，
所以，
所以，
所以，
故選：C.
題型二：高考真題下的數(shù)列新定義
【典例2-1】（2024·北京·高考真題）已知集合．給定數(shù)列，和序列，其中，對數(shù)列進行如下變換：將的第項均加1，其余項不變，得到的數(shù)列記作；將的第項均加1，其余項不變，得到數(shù)列記作；……；以此類推，得到，簡記為．
(1)給定數(shù)列和序列，寫出；
(2)是否存在序列，使得為，若存在，寫出一個符合條件的；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)列的各項均為正整數(shù)，且為偶數(shù)，求證：“存在序列，使得的各項都相等”的充要條件為“”．
【解析】（1）因為數(shù)列，
由序列可得；
由序列可得；
由序列可得；
所以.
（2）解法一：假設(shè)存在符合條件的，可知的第項之和為，第項之和為，
則，而該方程組無解，故假設(shè)不成立，
故不存在符合條件的；
解法二：由題意可知：對于任意序列，所得數(shù)列之和比原數(shù)列之和多4，
假設(shè)存在符合條件的，且，
因為，即序列共有8項，
由題意可知：，
檢驗可知：當時，上式不成立，
即假設(shè)不成立，所以不存在符合條件的.
（3）解法一：我們設(shè)序列為，特別規(guī)定.
必要性：
若存在序列，使得的各項都相等.
則，所以.
根據(jù)的定義，顯然有，這里，.
所以不斷使用該式就得到，必要性得證.
充分性：
若.
由已知，為偶數(shù)，而，所以也是偶數(shù).
我們設(shè)是通過合法的序列的變換能得到的所有可能的數(shù)列中，使得最小的一個.
上面已經(jīng)說明，這里，.
從而由可得.
同時，由于總是偶數(shù)，所以和的奇偶性保持不變，從而和都是偶數(shù).
下面證明不存在使得.
假設(shè)存在，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)，，即.
情況1：若，則由和都是偶數(shù)，知.
對該數(shù)列連續(xù)作四次變換后，新的相比原來的減少，這與的最小性矛盾；
情況2：若，不妨設(shè).
情況2-1：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾；
情況2-2：如果，則對該數(shù)列連續(xù)作兩次變換后，新的相比原來的至少減少，這與的最小性矛盾.
這就說明無論如何都會導(dǎo)致矛盾，所以對任意的都有.
假設(shè)存在使得，則是奇數(shù)，所以都是奇數(shù)，設(shè)為.
則此時對任意，由可知必有.
而和都是偶數(shù)，故集合中的四個元素之和為偶數(shù)，對該數(shù)列進行一次變換，則該數(shù)列成為常數(shù)列，新的等于零，比原來的更小，這與的最小性矛盾.
綜上，只可能，而，故是常數(shù)列，充分性得證.
解法二：由題意可知：中序列的順序不影響的結(jié)果，
且相對于序列也是無序的，
（ⅰ）若，
不妨設(shè)，則，
①當，則，
分別執(zhí)行個序列、個序列，
可得，為常數(shù)列，符合題意；
②當中有且僅有三個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，
即，
分別執(zhí)行個序列、個序列
可得，
即，
因為為偶數(shù)，即為偶數(shù)，
可知的奇偶性相同，則，
分別執(zhí)行個序列，，，，
可得，
為常數(shù)列，符合題意；
③若，則，即，
分別執(zhí)行個、個，
可得，
因為，
可得，
即轉(zhuǎn)為①，可知符合題意；
④當中有且僅有兩個數(shù)相等，不妨設(shè)，則，
即，
分別執(zhí)行個、個，
可得，
且，可得，
因為為偶數(shù)，可知的奇偶性相同，
則為偶數(shù)，
且，即轉(zhuǎn)為②，可知符合題意；
⑤若，則，即，
分別執(zhí)行個、個，
可得，
且，可得，
因為為偶數(shù)，
則為偶數(shù)，
且，即轉(zhuǎn)為④，可知符合題意；
綜上所述：若，則存在序列，使得為常數(shù)列；
（ⅱ）若存在序列，使得為常數(shù)列，
因為對任意，
均有成立，
若為常數(shù)列，則，
所以；
綜上所述：“存在序列，使得為常數(shù)列”的充要條件為“”.
【典例2-2】（2024·全國·高考真題）設(shè)m為正整數(shù)，數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項和后剩余的項可被平均分為組，且每組的4個數(shù)都能構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列是可分數(shù)列．
(1)寫出所有的，，使數(shù)列是可分數(shù)列；
(2)當時，證明：數(shù)列是可分數(shù)列；
(3)從中一次任取兩個數(shù)和，記數(shù)列是可分數(shù)列的概率為，證明：．
【解析】（1）首先，我們設(shè)數(shù)列的公差為，則.
由于一個數(shù)列同時加上一個數(shù)或者乘以一個非零數(shù)后是等差數(shù)列，當且僅當該數(shù)列是等差數(shù)列，
故我們可以對該數(shù)列進行適當?shù)淖冃危?br/>得到新數(shù)列，然后對進行相應(yīng)的討論即可.
換言之，我們可以不妨設(shè)，此后的討論均建立在該假設(shè)下進行.
回到原題，第1小問相當于從中取出兩個數(shù)和，使得剩下四個數(shù)是等差數(shù)列.
那么剩下四個數(shù)只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
（2）由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下兩個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組.
（如果，則忽略②）
故數(shù)列是可分數(shù)列.
（3）定義集合，.
下面證明，對，如果下面兩個命題同時成立，
則數(shù)列一定是可分數(shù)列：
命題1：或；
命題2：.
我們分兩種情況證明這個結(jié)論.
第一種情況：如果，且.
此時設(shè)，，.
則由可知，即，故.
此時，由于從數(shù)列中取出和后，
剩余的個數(shù)可以分為以下三個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，共組；
③，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
故此時數(shù)列是可分數(shù)列.
第二種情況：如果，且.
此時設(shè)，，.
則由可知，即，故.
由于，故，從而，這就意味著.
此時，由于從數(shù)列中取出和后，剩余的個數(shù)可以分為以下四個部分，共組，使得每組成等差數(shù)列：
①，共組；
②，，共組；
③全體，其中，共組；
④，共組.
（如果某一部分的組數(shù)為，則忽略之）
這里對②和③進行一下解釋：將③中的每一組作為一個橫排，排成一個包含個行，個列的數(shù)表以后，個列分別是下面這些數(shù)：
，，，.
可以看出每列都是連續(xù)的若干個整數(shù)，它們再取并以后，將取遍中除開五個集合，，，，中的十個元素以外的所有數(shù).
而這十個數(shù)中，除開已經(jīng)去掉的和以外，剩余的八個數(shù)恰好就是②中出現(xiàn)的八個數(shù).
這就說明我們給出的分組方式滿足要求，故此時數(shù)列是可分數(shù)列.
至此，我們證明了：對，如果前述命題1和命題2同時成立，則數(shù)列一定是可分數(shù)列.
然后我們來考慮這樣的的個數(shù).
首先，由于，和各有個元素，故滿足命題1的總共有個；
而如果，假設(shè)，則可設(shè)，，代入得.
但這導(dǎo)致，矛盾，所以.
設(shè)，，，則，即.
所以可能的恰好就是，對應(yīng)的分別是，總共個.
所以這個滿足命題1的中，不滿足命題2的恰好有個.
這就得到同時滿足命題1和命題2的的個數(shù)為.
當我們從中一次任取兩個數(shù)和時，總的選取方式的個數(shù)等于.
而根據(jù)之前的結(jié)論，使得數(shù)列是可分數(shù)列的至少有個.
所以數(shù)列是可分數(shù)列的概率一定滿足
.
這就證明了結(jié)論.
【變式2-1】（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列的項數(shù)均為m，且的前n項和分別為，并規(guī)定．對于，定義，其中，表示數(shù)集M中最大的數(shù).
(1)若，求的值；
(2)若，且，求；
(3)證明：存在，滿足 使得．
【解析】（1）由題意可知：，
當時，則，故；
當時，則，故；
當時，則故；
當時，則，故；
綜上所述：，，，.
（2）由題意可知：，且，
因為，且，則對任意恒成立，
所以，
又因為，則，即，
可得，
反證：假設(shè)滿足的最小正整數(shù)為，
當時，則；當時，則，
則，
又因為，則，
假設(shè)不成立，故，
即數(shù)列是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以.
（3）因為均為正整數(shù)，則均為遞增數(shù)列，
（ⅰ）若，則可取，滿足 使得；
（ⅱ）若，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得；
（ⅲ）若，
定義，則，
構(gòu)建，由題意可得：，且為整數(shù)，
反證，假設(shè)存在正整數(shù)，使得，
則，可得，
這與相矛盾，故對任意，均有.
①若存在正整數(shù)，使得，即，
可取，
即滿足，使得；
②若不存在正整數(shù)，使得，
因為，且，
所以必存在，使得，
即，可得，
可取，
滿足，使得.
綜上所述：存在使得．
【變式2-2】（2022·北京·高考真題）已知為有窮整數(shù)數(shù)列．給定正整數(shù)m，若對任意的，在Q中存在，使得，則稱Q為連續(xù)可表數(shù)列．
(1)判斷是否為連續(xù)可表數(shù)列？是否為連續(xù)可表數(shù)列？說明理由；
(2)若為連續(xù)可表數(shù)列，求證：k的最小值為4；
(3)若為連續(xù)可表數(shù)列，且，求證：．
【解析】（1），，，，，所以是連續(xù)可表數(shù)列；易知，不存在使得，所以不是連續(xù)可表數(shù)列．
（2）若,設(shè)為,則至多，6個數(shù)字，沒有個，矛盾；
當時,數(shù)列，滿足，，，，，，，， ．
（3），若最多有種，若，最多有種，所以最多有種，
若，則至多可表個數(shù)，矛盾,
從而若,則，至多可表個數(shù)，
而，所以其中有負的，從而可表1~20及那個負數(shù)（恰 21個），這表明中僅一個負的，沒有0，且這個負的在中絕對值最小，同時中沒有兩數(shù)相同,設(shè)那個負數(shù)為 ，
則所有數(shù)之和，，
，再考慮排序，排序中不能有和相同，否則不足個，
（僅一種方式），
與2相鄰，
若不在兩端,則形式，
若，則（有2種結(jié)果相同，方式矛盾），
， 同理 ，故在一端，不妨為形式，
若,則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），同理不行，
，則 （有2種結(jié)果相同，矛盾），從而，
由于,由表法唯一知3,4不相鄰,、
故只能，①或，②
這2種情形，
對①：，矛盾，
對②：，也矛盾，綜上，
當時，數(shù)列滿足題意，
．
【變式2-3】（2021·北京·高考真題）設(shè)p為實數(shù).若無窮數(shù)列滿足如下三個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，且；
②；
③，．
（1）如果數(shù)列的前4項為2，-2，-2，-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；
（2）若數(shù)列是數(shù)列，求；
（3）設(shè)數(shù)列的前項和為.是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．
【解析】(1)因 為 所以，
因 為所 以
所以數(shù)列，不可能是數(shù)列.
(2)性質(zhì)①，
由性質(zhì)③，因此或，或，
若，由性質(zhì)②可知，即或，矛盾；
若，由有，矛盾.
因此只能是.
又因為或，所以或.
若，則，
不滿足，舍去.
當，則前四項為:0，0，0，1，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
當時，經(jīng)驗證命題成立，假設(shè)當時命題成立，
當時：
若，則，利用性質(zhì)③：
，此時可得：；
否則，若，取可得：，
而由性質(zhì)②可得：，與矛盾.
同理可得：
，有；
，有；
，又因為，有
即當時命題成立，證畢.
綜上可得：，.
(3)令，由性質(zhì)③可知：
，
由于，
因此數(shù)列為數(shù)列.
由（2）可知:
若；
，，
因此，此時，，滿足題意.
題型三：數(shù)列定義新概念
【典例3-1】（2024·廣東·模擬預(yù)測）定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為1，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)1”.已知項數(shù)為的數(shù)列的所有項的和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)1”.
(1)若，且，寫出所有可能的的值；
(2)若，證明：“”是“”的充要條件；
(3)若，證明：或.
【解析】（1）依題意，若，此時；
若，此時；
若，此時.
（2）必要性：因為，故數(shù)列為等差數(shù)列，
所以，公差為-1，
所以；
充分性：由于，
累加可得，，即，
因為，故上述不等式的每個等號都取到，所以，
所以，
綜上所述，“”是“”的充要條件.
（3）令，依題意，，
因為，
所以
，
因為，所以為偶數(shù)，
所以為偶數(shù)；
所以要使，必須使為偶數(shù)，即4整除，
亦即或，
當時，比如或，時，有；
當時，比如或，時，有；
當或時，不能被4整除，.
【典例3-2】對任意正整數(shù)，定義的豐度指數(shù)，其中為的所有正因數(shù)的和．
(1)求的值：
(2)若，求數(shù)列的前項和
(3)對互不相等的質(zhì)數(shù)，證明：，并求的值．
【解析】（1）因為的所有正因數(shù)為，所以，得到.
（2）因為共有個正因數(shù)，它們?yōu)椋?br/>所以，得到，
所以，
令①，則②，
由①②得到，
所以，
故.
（3）因為是互不相等的質(zhì)數(shù)，則的正因數(shù)有個，它們是，
的正因數(shù)均為個，分別為和，
的正因數(shù)有個，分別為，
所以，
，
因為，所以.
【變式3-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，定義，滿足，記，稱為由數(shù)列生成的“函數(shù)”．
(1)試寫出“函數(shù)” ，并求的值；
(2)若“函數(shù)” ，求n的最大值；
(3)記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，證明：“函數(shù)” ．
【解析】（1）由定義及．知，
所以是公差為m的等差數(shù)列，所以．
因為，所以，
所以，即．
當時，有，
，
……
，
所以，
即．
（1）當時，，
所以“函數(shù)” ．
當時，．
（2）當時，，
故“函數(shù)”
．
由，得．
令，則，
所以在上單調(diào)遞增．
因為．所以當時，，所以當時，，
故n的最大值為5．
（3）證明：由題意得
由，得，
所以，所以，
所以
【變式3-2】（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列經(jīng)過第一次“和擴充”后得到數(shù)列；第二次“和擴充”后得到數(shù)列．設(shè)數(shù)列經(jīng)過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，所有項的和為．
(1)若，求；
(2)求不等式的解集；
(3)是否存在數(shù)列，使得數(shù)列為等比數(shù)列？請說明理由．
【解析】（1），第一次“和擴充”后得到數(shù)列，
第二次“和擴充”后得到數(shù)列，
；
（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，
數(shù)列經(jīng)過次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為，
則經(jīng)第次“和擴充”后增加的項數(shù)為，
所以，所以，
其中數(shù)列經(jīng)過1次“和擴充”后，得到，故，
，
故是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
所以，故，
則，即，
又，解得，
（3）因為，
，，
依次類推，，
故
，
若使為等比數(shù)列，則或.
題型四：數(shù)列定義新運算
【典例4-1】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零，，對任意，設(shè)．定義運算若，則，且．
(1)設(shè)，用表示；
(2)若，證明：：
(3)若數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，設(shè)，證明：．
【解析】（1）因為，所以，
所以，
根據(jù)多項式的乘法可得：．
（2）因為，
所以．
又，
所以，
所以
（3）對于，
因為，所以，
所以，
所以，
所以．
所以．
所以．
所以
【典例4-2】（2024·浙江杭州·三模）卷積運算在圖象處理、人工智能、通信系統(tǒng)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用．一般地，對無窮數(shù)列，，定義無窮數(shù)列，記作，稱為與的卷積．卷積運算有如圖所示的直觀含義，即中的項依次為所列數(shù)陣從左上角開始各條對角線上元素的和，易知有交換律．
(1)若，，，求，，，；
(2)對，定義如下：①當時，；②當時，為滿足通項的數(shù)列，即將的每一項向后平移項，前項都取為0．試找到數(shù)列，使得；
(3)若，，證明：當時，．
【解析】（1）因為，，所以，；，；
，；，.
因為，，
所以，，，.
（2），
對一般的，.
（3）方法一：
記的前n項和為，由卷積運算的交換律有,
故，
因此，②
②－①得，
故當時，．
方法二：
記的前n項和為，常數(shù)列，注意
（Ⅰ）
易證卷積關(guān)于數(shù)列加法有分配律，將（Ⅰ）中所有數(shù)列對應(yīng)項相加，得，注意
（Ⅱ）
注意是對所有對應(yīng)項相加所得的數(shù)列，是對所有對應(yīng)項相加所得的數(shù)列，
易知卷積運算有結(jié)合律，因此將（Ⅱ）中所有數(shù)列對應(yīng)項相加，
得的通項即為，
故當時，．
注：以上論證可用符號語言說明如下：
定義數(shù)列加法：，其中．
容易驗證卷積運算滿足結(jié)合律：，
數(shù)列加法關(guān)于卷積滿足分配律：．
因此.
【變式4-1】（2024·山東青島·一模）記集合無窮數(shù)列中存在有限項不為零，，對任意，設(shè)變換，．定義運算：若，則，．
(1)若，用表示；
(2)證明：；
(3)若，，，證明：．
【解析】（1）因為
，
且，
所以，由可得，
所以.
（2）因為，
所以
又因為
所以，
所以.
（3）對于，
因為，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
.
【變式4-2】任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出，共需經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當時，（ ）
A．170 B．168 C．130 D．172
【答案】D
【解析】依題意，，
故，
又，所以．
所以．
故選：D.
題型五：數(shù)列定義新情景
【典例5-1】（多選題）（2024·山東青島·三模）若有窮整數(shù)數(shù)列滿足：，且，則稱具有性質(zhì).則（ ）
A．存在具有性質(zhì)的
B．存在具有性質(zhì)的
C．若具有性質(zhì)，則中至少有兩項相同
D．存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，有中任意兩項均不相同
【答案】ACD
【解析】對A：取數(shù)列，易得其滿足題意，此時該數(shù)列具有性質(zhì)，故A正確；
對B：假設(shè)存在數(shù)列具有性質(zhì)，則，
且，
設(shè)中有個，則有個，
則有
，即，
其與為整數(shù)矛盾，故假設(shè)錯誤，故B錯誤；
對C：設(shè)，，，，中的最大值為，
則存在，使得或，
若存在，使，下證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
假設(shè)存在正整數(shù)使得，，，中各項均不為，
令集合，設(shè)是集合中元素的最大值，
則有，
這與矛盾，
所以，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
若，則，，，，的取值只能為，中的數(shù)，
此時，，，，中必有兩項相同，
若，則，，，，的取值只能為，，中的數(shù)，
此時，，，，中必有兩項相同，
若，則，，，，中一定有異于和的正整數(shù)，
再由，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
所以，，，，中必有兩項相同，
當，同理可證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
從而，，，，中必有兩項相同，故C正確；
對D：取數(shù)列，此時該數(shù)列具有性質(zhì)，
且中任意兩項均不相同，即存在，故D正確.
故選：ACD.
【典例5-2】（2024·河南·二模）已知無窮數(shù)列是首項為1，各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合，若對于集合中的元素，數(shù)列中存在不相同的項，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì).
(1)若數(shù)列的通項公式為，判斷數(shù)列是否具有性質(zhì)，若具有，寫出集合與集合；
(2)已知數(shù)列具有性質(zhì)且集合中的最小元素為.集合中的最小元素為，當時，證明：.
【解析】（1）定義，由題意可知，
若數(shù)列的通項公式為，
可知，
所以，
因為2只能寫成，不合題意，即，
，符合題意，即，
，符合題意，即，
，符合題意，即，
，符合題意，即，
，符合題意，即，
所以.
（2）因為是各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，，
集合中的最小元素為，故當為連續(xù)正整數(shù)，
即取，
因為前至少有連續(xù)兩個正整數(shù)1，2，
即，存在正整數(shù)，
因為集合中的最小元素為，故.
因為，故數(shù)列具有性質(zhì)，
故存在使得，且，
而為數(shù)列具有性質(zhì)且集合中的最小元素，故
所以.
【變式5-1】（2024·北京東城·二模）已知為有窮整數(shù)數(shù)列，若滿足：，其中，是兩個給定的不同非零整數(shù)，且，則稱具有性質(zhì).
(1)若，，那么是否存在具有性質(zhì)的？若存在，寫出一個這樣的；若不存在，請說明理由；
(2)若，，且具有性質(zhì)，求證：中必有兩項相同；
(3)若，求證：存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項均不相同.
【解析】（1）不存在具有性質(zhì)的，理由如下：
設(shè)，由于，，
設(shè)，，，中有個，個，
則有，
所以，解得，與為整數(shù)矛盾，
所以不存在具有性質(zhì)的.
（2）設(shè)，，，，中的最大值為，則存在，使得或，
若存在，使，下證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
假設(shè)存在正整數(shù)使得，，，中各項均不為，
令集合，設(shè)是集合中元素的最大值，
則有，
這與矛盾，
所以，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
若，則，，，，的取值只能為，中的數(shù)，
此時，，，，中必有兩項相同，
若，則，，，，的取值只能為，，中的數(shù)，
此時，，，，中必有兩項相同，
若，則，，，，中一定有異于和的正整數(shù)，
再由，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
所以，，，，中必有兩項相同，
當，同理可證：，，，可以取遍到之間所有的整數(shù)，
從而，，，，中必有兩項相同.
（3）不妨設(shè)，當，，，中恰有個，個，
由于，
所以取，此時具有性質(zhì)，
下證：中任意兩項均不相同，
若存在使得，
令，，
則有，，
令，，則有且，，
由于，則有，
若，則有，即，
當時，有，從而，矛盾；
若，則有且，
因此有，，，，
所以此時，，矛盾；
綜上所述，存在正整數(shù)，使得對任意具有性質(zhì)的，都有中任意兩項均不相同.
【變式5-2】（2024·北京朝陽·一模）若有窮自然數(shù)數(shù)列：滿足如下兩個性質(zhì)，則稱為數(shù)列：
①，其中，表示，這個數(shù)中最大的數(shù)；
②，其中，表示，這個數(shù)中最小的數(shù).
(1)判斷：2，4，6，7，10是否為數(shù)列，說明理由；
(2)若：是數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，求；
(3)證明：對任意數(shù)列：，存在實數(shù)，使得.（表示不超過的最大整數(shù)）
【解析】（1）：2，4，6，7，10不是數(shù)列，理由如下：
因為，
所以，
但，所以不滿足性質(zhì)①，故不是數(shù)列；
（2）根據(jù)：是數(shù)列可得：滿足：
或，或，
①若，因為，，成等比數(shù)列，所以，
又，所以，所以，得，
②若，因為，，成等比數(shù)列，所以，
當時，，解得，與為自然數(shù)矛盾，舍去；
當時，，解得，與為自然數(shù)矛盾，舍去；
所以，
由以及，
得，所以，
由以及，
得，
由以及，
可知，所以；
（3）當時，根據(jù)數(shù)列的定義，可知或,
若，取，則，結(jié)論成立，
若，取，則，結(jié)論成立，
假設(shè)存在自然數(shù)，存在數(shù)列使得結(jié)論不成立，設(shè)這樣的的最小值為，
即存在數(shù)列對任意實數(shù)，存在，使得，
根據(jù)假設(shè)，數(shù)列的前項組成的數(shù)列是一個數(shù)列，
從而存在實數(shù)，使得，，
即，
令，則，
令 ，則，
①若，根據(jù)的定義，存在，使得，
又，
則且，
所以，
②若，根據(jù)的定義，存在，使得，
又，
則，且，
所以，
所以，
令，則，
即，
所以，
所以，
即，與假設(shè)矛盾，
綜上，結(jié)論成立.
題型六：差分數(shù)列、對稱數(shù)列
【典例6-1】（多選題）如果項數(shù)有限的數(shù)列滿足，則稱其為“對稱數(shù)列”，設(shè)是項數(shù)為的“對稱數(shù)列”，其中，，，是首項為，公差為的等差數(shù)列，則（ ）
A．若，則 B．若，則所有項的和為
C．當時，所有項的和最大 D．所有項的和不可能為
【答案】BCD
【解析】記的各項之和為，，，，是首項為，公差為的等差數(shù)列，
可得，
所以，
當時，取到最大值，且最大值為626，故選項C正確；
當時，，故選項B正確；
，方程無正整數(shù)解，所以所有項的和不可能為，故選項D正確；
若，則，故選項A錯誤.
故選：BCD
【典例6-2】若項數(shù)為的數(shù)列滿足：我們稱其為項的“對稱數(shù)列”．例如：數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”；數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項的“對稱數(shù)列”，其中是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項等于，記數(shù)列的前項和為，若，則 ．
【答案】3或4
【解析】由題意，，又是公差為的等差數(shù)列，故，則，.
又，故，即，
由等差數(shù)列前項和公式有，化簡得，解得或.
故答案為：3或4
【變式6-1】（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的k階差分，其中．若，則（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】D
【解析】由可得
，
，
由可得，
所以，
故選：D.
【變式6-2】（2024·四川南充·三模）對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分，其中，規(guī)定為數(shù)列的階差分，其中.若，則（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】A
【解析】由新定義知，，，
所以，
故選：A
題型七：非典型新定義數(shù)列
【典例7-1】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測）已知n行n列的數(shù)表中，滿足：，.若數(shù)表滿足當時，總有，則稱此數(shù)表為典型數(shù)表，此時記.
(1)若數(shù)表，，請直接寫出M，N是否是典型數(shù)表；
(2)當時，是否存在典型數(shù)表A使得，若存在，請寫出一個數(shù)表A；若不存在，請說明理由；
(3)若數(shù)表A為典型數(shù)表，求的最小值（直接寫出結(jié)果，不需要證明）.
【解析】（1）M不是典型數(shù)表，N是典型數(shù)表.
因為數(shù)表，所以，
此時，
，
所以，
不滿足當時，總有，
故數(shù)表不是典型數(shù)表；
因為數(shù)表，所以當時，，
，
所以，
由于數(shù)表N的數(shù)據(jù)具有對稱性，所以當時，總有，
故數(shù)表N是典型數(shù)表.
（2）假設(shè)當時，存在典型數(shù)表A使得，
則需滿足取得最小，即典型數(shù)表A中的“1”需要最少，
由典型數(shù)表的定義可知：當時，總有，
所以需要使得盡量多的橫列和，
所以將表分成4個4×4數(shù)表，對角的兩個數(shù)表數(shù)值相同，
但上下左右對稱的數(shù)表數(shù)值不同，此時可保證取得最小，
而滿足上述條件的典型數(shù)表A如，
此時滿足取得最小，但是的最小值為32，
故不存在典型數(shù)表，使得.
（3）由（2）可知，要使取得最小，
需要盡量多的橫列和或典型數(shù)表中“1”盡量少，
當為偶數(shù)時，結(jié)合（2）分析可得：的最小值為；
當為奇數(shù)時，在偶數(shù)的數(shù)表中間加上一行和一列，且在新增行列中添加個“1”，
即可滿足典型數(shù)列，此時的最小值為.
【典例7-2】（2024·遼寧葫蘆島·二模）設(shè)數(shù)陣，其中.設(shè)，其中，且.定義變換為“對于數(shù)陣的每一列，若其中有t或，則將這一列中所有數(shù)均保持不變；若其中沒有t且沒有，則這一列中每個數(shù)都乘以”（），表示“將經(jīng)過變換得到，再將經(jīng)過變換得到，…，以此類推，最后將經(jīng)過變換得到.記數(shù)陣中四個數(shù)的和為.
(1)若，，寫出經(jīng)過變換后得到的數(shù)陣，并求的值；
(2)若，，求的所有可能取值的和；
(3)對任意確定的一個數(shù)陣，證明：的所有可能取值的和不大于.
【解析】（1）因為，，
經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，
經(jīng)過變換得到的數(shù)陣，
所以.
（2）若，則或，
可得，4種情況；
若或，，則，
可得，4種情況；
若，從和中各取出一個元素a，b，
，，，則，
可得，8種；
若，，則或，
可得，4種情況；
綜上，的所有可能取值的和；
（3）若，在的所有非空子集中，
①含有且不含的子集共個，
其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
其中含有偶數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>②含有且不含的子集共個，
其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
其中含有偶數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>③同時含有和的子集共個，
其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>其中含有偶數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
④不含也不含的子集共個，
其中含有奇數(shù)個元素的集合有8個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>其中含有偶數(shù)個元素的集合有7個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>若，在的所有非空子集中，
①含有的子集共個，
其中含有奇數(shù)個元素的集合有16個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>其中含有偶數(shù)個元素的集合有16個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
②不含的子集共個，
其中含有奇數(shù)個元素的集合有16個，經(jīng)過變換后第一列均變?yōu)椋?br/>其中含有偶數(shù)個元素的集合有15個，經(jīng)過變換后第一列均仍為，；
綜上，經(jīng)過變換后，所有的第一列數(shù)的和為
同理，經(jīng)過變換后所有的第二列數(shù)的和為.
所以的所有可能取值的和為，
又因為，所以的所有可能取值的和不超過.
【變式7-1】已知無窮數(shù)列，給出以下定義：對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“數(shù)列”；特別地，對于任意的，都有，則稱數(shù)列為“嚴格數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列，的前項和分別為，，且，，試判斷數(shù)列，數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；
(2)證明：數(shù)列為“數(shù)列”的充要條件是“對于任意的，，，當時，有”；
(3)已知數(shù)列為“嚴格數(shù)列”，且對任意的，，，.求數(shù)列的最小項的最大值.
【解析】（1）由于為等差數(shù)列，所以，為等比數(shù)列，，
任意的，都有，
故，所以數(shù)列是為“數(shù)列”，
任意的，都有，
故，所以數(shù)列不是為“數(shù)列”，
（2）先證明必要性：
因為為“數(shù)列”，所以對任意的，都有，即，
所以對任意的，，，當時，有
，
所以，
又，
所以，
又，
故，即，故，
再證明充分性：
對于任意的，，，當時，有，
即，
對于任意的,，則有，
即可，所以為“數(shù)列”，
（3）數(shù)列為“嚴格數(shù)列”，且對任意的，有，即，
設(shè)，則為單調(diào)遞增數(shù)列，且，
所以
因為，.所以，
所以存在時，，
所以，當數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列，
當
因此存在最小值，且最小值為，
由于，所以，且
所以，即，
，即
所以
，
當時，，
當時，，
當時，
所以當時，的最大值為，
此時，因為，
所以數(shù)列的最小項的最大值為
【變式7-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：.數(shù)列對于確定的正整數(shù)，若存在正整數(shù)使得成立，則稱數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”.
(1)已知數(shù)列滿足.判斷是否對，總存在確定的正整數(shù)，使得數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，并說明理由.
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，
（i）若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實數(shù)的值；
（ii）在（i）問的前提下，若數(shù)列滿足，，其前項和為.證明：當且時，成立.
【解析】（1）存在，理由如下：
由已知得，，，
即
對，當正整數(shù)時，存在，使得成立，
即數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”；
（2），
當時，，
當時，，
（i）若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，則存在正整數(shù)使得成立，
當時，，即，解得，
當時，，即，
因，所以，又，
故方程無解.
綜上所述，符合條件的實數(shù)a的值為.
（ii）方法一：
證明：，
當時，，
，
，
由（i）知，所以，
①，
②，
由①-②可得
，
，
，
，
當且時， 成立.
方法二：
證明：，
當時，，
，
，
由（i）知，所以，
①，
②，
③，
由①②③可得
，
，
當且時， 成立.
1．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)，已知，若恒成立，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，故，
故，
故
，
由于，故.
故選：C
2．（2024·上海·模擬預(yù)測）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項和為，且．若對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱是“可控數(shù)列”．現(xiàn)給出兩個命題：①存在等差數(shù)列是“可控數(shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控數(shù)列”．則下列判斷正確的是（ ）
A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
【答案】D
【解析】①數(shù)列不是常數(shù)列，則，則看作是一次函數(shù)的變化，
由得，看作是二次函數(shù)的變化，
當足夠大時，極限的思想說明不成立；
②取，則，
當時，取，滿足，
當時，取，滿足；
故選：.
3．數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為；②數(shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”.給出下列兩個命題：（ ）
①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個；
②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個.
A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題
C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題
【答案】C
【解析】對于①，數(shù)列單調(diào)遞增，令函數(shù)，顯然，由，
得，整理得，此方程有正整數(shù)解，
如方程中取，則，即，
對進行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個，①錯誤；
對于②，數(shù)列單調(diào)遞增，，令，由，
得，取，顯然對每一個正整數(shù)都有唯一的正數(shù)，
并且不同的值，值不同，因此與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無數(shù)個，②正確，
所以①是假命題，②是真命題.
故選：C
4．（多選題）（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在股票市場中，股票的價格是有界的，投資者通常會通過價格的變化來確保自己的風(fēng)險，這種變化的價格類似于我們數(shù)學(xué)中的數(shù)列，定義如果存在正數(shù)，使得對一切正整數(shù)，都有，則稱為有界數(shù)列，數(shù)列收斂指數(shù)列有極限，我們把極限存在（不含無窮大）的數(shù)列稱為收斂數(shù)列，如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，而的極限為，即數(shù)列既有界也收斂.如數(shù)列，顯然對一切正整數(shù)都有，但不存在極限，即數(shù)列有界但不收斂.下列數(shù)列是有界數(shù)列但不收斂的數(shù)列有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】對于A：因為，所以，所以，但是的極限不存在，
即有界但不收斂，故A正確；
對于B：因為，所以，所以，且的極限為，
所以有界且收斂，故B錯誤；
對于C：因為，
所以，
，
所以，所以，但是的極限不存在，
所以有界但不收斂，故C正確；
對于D：因為，所以，所以的極限為，且，
所以有界且收斂，故D錯誤；
故選：AC.
5．（多選題）（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，若對，都有（為常數(shù)），則稱數(shù)列為“等差比數(shù)列”，為公差比，設(shè)數(shù)列的前項和是，則下列說法一定正確的是（ ）
A．等差數(shù)列是等差比數(shù)列
B．若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則該數(shù)列的公比與公差比相同
C．若數(shù)列是等差比數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列
D．若數(shù)列是等比數(shù)列，則數(shù)列等差比數(shù)列
【答案】BCD
【解析】等差數(shù)列若為常數(shù)列，則，無意義，
所以等差數(shù)列不一定是等差比數(shù)列，A選項錯誤；
若公比為的等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則不是常數(shù)列，，
，即該數(shù)列的公比與公差比相同， B選項正確.
若數(shù)列是等差比數(shù)列，則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故C選項正確；
若數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，則，
所以數(shù)列等差比數(shù)列，故D選項正確
故選：BCD.
6．（多選題）（2024·山東煙臺·一模）給定數(shù)列，定義差分運算：.若數(shù)列滿足，數(shù)列的首項為1，且，則（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．對任意，總存在，使得
D．對任意，總存在，使得
【答案】BC
【解析】對于A，由，得，顯然有最小值4，無最大值，
因此不存在，使得恒成立，A錯誤；
對于B，由選項A知，，則，
顯然當時，恒成立，B正確；
對于C，由，得，
當時，
即，
于是，
兩式相減得，
因此，顯然滿足上式，則，由，
得數(shù)列是遞增數(shù)列，有最小值1，無最大值，
從而對任意，總存在，使得，C正確；
對于D，，由選項C得，
顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，，因此對任意，不存在，使得成立，D錯誤.
故選：BC
7．（多選題）（2024·浙江·模擬預(yù)測）“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次這兩種運算，最終必進入循環(huán)圖.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，（ ）
A．當時，則
B．當時，數(shù)列單調(diào)遞減
C．若，且均不為1，則
D．當時，從中任取兩個數(shù)至少一個為奇數(shù)的概率為
【答案】AD
【解析】當時，則，，，，，，，，，，，故A選項符合題意；
當，則，，，，，易知并非單調(diào)遞減，故B選項不符合題意；
若，則，，當時，則，或，當時，舍去，故C選項不符合題意；
，則，，，，，，所以從中任取兩個數(shù)至少一個為奇數(shù)的概率為，故D選項符合題意.
故選：AD.
8．（2024·高三·河北保定·期中）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點時，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，則
【答案】
【解析】因為，所以，所以，
所以，
，
所以，
所以，
即：，又，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以，
故答案為：.
9．（2024·江西九江·模擬預(yù)測）著名科學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)的零點時，給出了“牛頓數(shù)列”，它在航空航天中應(yīng)用廣泛.其定義是：對于函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列，若函數(shù)，，且，則 .
【答案】
【解析】，，
，
，
即，又，
數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項為1，
.
故答案為：.
10．給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列.已知為的牛頓數(shù)列，且，數(shù)列的前項和為.則 .
【答案】/
【解析】由得，
則，
所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：
11．將正整數(shù)分解為兩個正整數(shù)、的積，即，當、兩數(shù)差的絕對值最小時，我們稱其為最優(yōu)分解.如，其中即為20的最優(yōu)分解，當、是的最優(yōu)分解時，定義，則數(shù)列的前2024項的和為 .
【答案】/
【解析】當時，，所以；
當時，，所以.
所以，數(shù)列的前2024項的和為：
.
故答案為：
12．（2024·高三·甘肅蘭州·開學(xué)考試）已知數(shù)表，，，其中分別表示，，中第行第列的數(shù)．若，則稱是，的生成數(shù)表．若數(shù)表，，且是的生成數(shù)表，則 ．
【答案】
【解析】由題意，得，
，
，
，
.
故答案為：.
13．，，…是一個1，2，3，…，10的排列，要求和一定有一個大于（），則滿足的排列的總數(shù)為 ．
【答案】512
【解析】若，考慮（），必有可知從第i項開始，數(shù)列開始遞增；
再考慮前面的項，若，說明此情況下數(shù)列在第1項到第i項遞減．
若，則將原來的i改為同理考慮即可．
由以上分析可知，該數(shù)列只有三種情況，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，先減后增
故排列總數(shù)為．
故答案為：512.
14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列、均為嚴格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項和為，則下列結(jié)論中正確的是 ．
①存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
②存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
③存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
④存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”
【答案】①②④
【解析】對于①：例如，則為等差數(shù)列，可得，則，
所以，，
故、均為嚴格增數(shù)列，
取，則，即恒成立，
所以是的“數(shù)列”，故①正確；
對于②，例如，則為等比數(shù)列，可得，則，
所以，，
故、均為嚴格增數(shù)列，
取，則，即恒成立 ，
所以是的“數(shù)列”，故②正確；
對于③，假設(shè)存在等差數(shù)列，使得是的“數(shù)列”，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因為為嚴格增數(shù)列，則，
又因為為嚴格增數(shù)列，所以，即當時，恒成立，
取，滿足，可知必存在，使得成立，
又因為為嚴格增數(shù)列，
所以對任意正整數(shù)，則有，即，
對任意正整數(shù)，則有，即，
故當時，不存在正整數(shù)，使得，故③不成立；
對于④，例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴格增數(shù)列，可得，
所以，，
故、均為嚴格增數(shù)列，
取，則，即恒成立，
所以是的“數(shù)列”，故④正確.
故答案為：①②④.
15．（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）對于有窮數(shù)列，從數(shù)列中選取第項 第項 第項，順次排列構(gòu)成數(shù)列，其中，則稱新數(shù)列為的一個子列，稱各項之和為的一個子列和．規(guī)定：數(shù)列的任意一項都是的子列．則數(shù)列的所有子列和的和為 ．
【答案】2016
【解析】數(shù)列中的每一項，含有一個項的子列有個，含有兩個項的子列有個，
含有三個項的子列有個，含有四個項的子列有個，含有五個項的子列有個，含有六個項的子列有個，
因此和式中，數(shù)列中的每一項，都出現(xiàn)次，
所以所求和為.
故答案為：2016
16．（2024·高三·山東日照·期中）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圈1→4→2→1，這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)6，根據(jù)上述運算法則得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.“冰雹猜想”可表示為數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），.問：當時，試確定使得需要 步“雹程”；若，則所有可能的取值所構(gòu)成的集合為 .
【答案】 12
【解析】（1）當，可得，
所以需要12步使得；
（2）若，則或1，
①當時，或，
②當時，，
綜上所述，可得或或，所以集合.
故答案為：；.
17．（2024·高三·北京朝陽·期末）中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中開方運算暗含著迭代法，清代數(shù)學(xué)家夏鸞翔在其著作《少廣縋鑿》中用迭代法給出一個“開平方捷術(shù)”，用符號表示為：已知正實數(shù)，取一正數(shù)作為的第一個近似值，定義，則是的一列近似值.當時，給出下列四個結(jié)論：① ；② ；③，；④ ，.其中所有正確結(jié)論的序號是 .
【答案】①④
【解析】對于①，，，故①正確；
對于②，，故②錯誤；
為了說明選項③④，引理：我們先來討論與的關(guān)系；
由于是偶數(shù)，所以，對于而言，由于為奇數(shù)，所以，
所以有，
由于數(shù)列每一項均為正，所以利用均值不等式，有，取不到等號，即，
同時有，因此數(shù)列從第三項起，奇數(shù)項大于，偶數(shù)項小于；
對于③，當時，由于是偶數(shù)，所以
，
由于數(shù)列從第3項起，奇次項均大于，以及每一項均為正，
所以，
于是，時，相鄰奇次項之差同號，又由于，
所以，即，
從而時，恒有，故③錯誤；
對于④，當時，根據(jù)上述引理可知，
所以有，
從而有，
利用均值不等式有代入上式得，
即，故④正確.
故答案為：①④.
18．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）對于數(shù)列，稱為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中.對正整數(shù)，稱為數(shù)列的階差分數(shù)列，其中已知數(shù)列的首項，且為的二階差分數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)為數(shù)列的一階差分數(shù)列，對，是否都有成立？并說明理由；（其中為組合數(shù)）
(3)對于（2）中的數(shù)列，令，其中.證明：.
【解析】（1）因為為的二階差分數(shù)列，所以，
將，代入得，整理得，即，
所以.故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
因此，，即.
（2）因為為數(shù)列的一階差分數(shù)列，所以，
故成立，即為.①
當時，①式成立；
當時，因為，且，
所以①成立，故對都有成立.
（3），因為，所以，
故，即，
所以.
19．（2024·貴州·三模）差分密碼分析（Differential Cryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中；規(guī)定為的二階差分數(shù)列，其中.如果的一階差分數(shù)列滿足，則稱是“絕對差異數(shù)列”；如果的二階差分數(shù)列滿足，則稱是“累差不變數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請說明理由；
(2)設(shè)數(shù)列的通項公式，分別判斷是否為等差數(shù)列，請說明理由；
(3)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列為“累差不變數(shù)列”，其前項和為，且對，都有，對滿足的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值.
【解析】（1）對于數(shù)列，
可得：一階差分數(shù)列為，不滿足，
所以不是“絕對差異數(shù)列”，
二階分差數(shù)列為，滿足，
所以是“累差不變數(shù)列”；
（2）因為，
所以，所以，
因為，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
因為，
所以數(shù)列數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列；
（3）由題意得，
對，都有，
所以，
所以，
所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列的公差為，則，
當時，，與矛盾；
當時，當時，，
與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，故，
，
則，
，
因為，所以，
所以，
則當時，不等式恒成立，
另一方面，當時，令，
則，
，
則
，
因為，
所以當時，，
即有，與恒成立矛盾.
綜上所述，實數(shù)的最大值為.
20．（2024·安徽黃山·一模）隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛．差分和差分方程是描述離散變量變化的重要工具，并且有廣泛的應(yīng)用．對于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中，規(guī)定為數(shù)列的二階差分數(shù)列，其中．
(1)數(shù)列的通項公式為，試判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列，請說明理由？
(2)數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求的值；
(3)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且為常數(shù)列，對滿足，的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實數(shù)的最大值．
【解析】（1）因為，所以，
因為，，，
故，，
顯然，
所以不是等差數(shù)列；
因為，則，，
所以是首項為12，公差為6的等差數(shù)列.
（2）因為數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，
所以，故，
所以數(shù)列是以公比為的正項等比數(shù)列，，
所以，
且對任意的，都存在，使得，即，
所以，因為，所以，
①若，則，解得（舍），或，
即當時，對任意的，都存在，使得.
②若，則，對任意的，不存在，使得.
綜上所述，.
（3）因為為常數(shù)列，則是等差數(shù)列，
設(shè)的公差為，則，
若，則，與題意不符；
若，所以當時，，
與數(shù)列的各項均為正數(shù)矛盾，所以，
由等差數(shù)列前項和公式可得，
所以，
因為，
所以，
因為，故，
所以
則當時，不等式恒成立，
另一方面，當時，令，，，
則，，
則
，
因為，，
當時，，
即，不滿足不等式恒成立，
綜上，的最大值為2.
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