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重難點突破02 向量中的隱圓問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：數量積隱圓 3
題型二：平方和隱圓 3
題型三：定冪方和隱圓 4
題型四：與向量模相關構成隱圓 4
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓） 5
03 過關測試 6
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型：
定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓
證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．
技巧二．極化恒等式和型：
定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。
證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．
技巧三．定冪方和型
若為定點，，則的軌跡為圓．
證明：
．
技巧四．與向量模相關構成隱圓
坐標法妙解
技巧五．阿氏圓
一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
題型一：數量積隱圓
【典例1-1】已知平面向量滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量，，滿足，若，則的最小值為
A． B． C． D．0
【變式1-1】設平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·遼寧沈陽·二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
題型二：平方和隱圓
【典例2-1】已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．
【典例2-2】已知平面向量、滿足，，設，則________.
【變式2-1】在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
題型三：定冪方和隱圓
【典例3-1】已知點，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學?？计谥校┮阎矫鎲挝幌蛄?，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為
A． B． C． D．
【變式3-2】已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
題型四：與向量模相關構成隱圓
【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點C滿足，則的最小值為（ ）
1．已知平面向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是(　　)
A． B．
C． D．2
3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
5．已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點在線段上.當取得最小值時，（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·高三·重慶·開學考試）在同一直角坐標平面內，已知點，點P滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
8．已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
9．已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．2
11．已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是 ．
12．已知是平面中的三個單位向量，且，則的最小值是 .
13．在平面內，已知非零向量與單位向量的夾角為，若向量滿足，則的最小值為 .
14．（2024·高三·浙江·開學考試）平面中存在三個向量，，，若，，且，且滿足，則的最小值 ．
15．已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為 .
16．已知是邊長為2的正三角形，點在平面內且，則的最大值為 ，最小值為 .
17．已知為單位向量，且，則的最小值為 .
18．設向量滿足，與的夾角為，則的最大值為
19．設是單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍是 .
20．已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為 .
21．已知向量，，滿足，，，，則的取值范圍為 .
22．已知向量，，滿足，，與的夾角為，，則的最大值為 .
23．在平面內，若有，，，則的最大值為 .
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目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 3
題型一：數量積隱圓 3
題型二：平方和隱圓 6
題型三：定冪方和隱圓 8
題型四：與向量模相關構成隱圓 11
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓） 15
03 過關測試 19
技巧一．向量極化恒等式推出的隱圓
乘積型：
定理：平面內，若為定點，且,則的軌跡是以為圓心為半徑的圓
證明：由，根據極化恒等式可知，，所以，的軌跡是以為圓心為半徑的圓．
技巧二．極化恒等式和型：
定理：若為定點，滿足,則的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓。
證明：，所以，即的軌跡是以中點為圓心，為半徑的圓．
技巧三．定冪方和型
若為定點，，則的軌跡為圓．
證明：
．
技巧四．與向量模相關構成隱圓
坐標法妙解
技巧五．阿氏圓
一般地，平面內到兩個定點距離之比為常數的點的軌跡是圓，此圓被叫做阿氏圓．當時，點P的軌跡是線段AB的中垂線．
題型一：數量積隱圓
【典例1-1】已知平面向量滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據題意，易知與的夾角為，設，，，由，可得，所以原問題等價于，圓上一動點與點之間距離的最小值， 利用圓心和點的距離與半徑的差，即可求出結果.因為，所以與的夾角為，設，，，
因為，所以，
又，
所以原問題等價于，圓上一動點與點之間距離的最小值，
又圓的圓心坐標為，半徑為，所以點與圓上一動點距離的最小值為.
故選：A.
【典例1-2】（2024·遼寧鞍山·一模）已知平面向量，，滿足，若，則的最小值為
A． B． C． D．0
【答案】B
【解析】因為平面向量，，滿足，，
，，
設，，，
，
所以的最小值為．
故選B．
【變式1-1】設平面向量滿足與的夾角為且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依題意建立如圖所示平面直角坐標系，
不妨令，因為與的夾角為
所以，所以，
設，則，，
由，所以，
即，即，
即點表示以為圓心，為半徑的圓，又
所以；
故選：A
【變式1-2】（2024·遼寧沈陽·二模）已知平面向量，，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C．3 D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
所以對任意都恒成立，
所以.
不妨設又.
當，設，
所以，
所以，
所以，
所以對應的點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，
所以可以看成是到的距離，
所以的最小值為.
當時，同理可得的最小值為1.
故選：A
題型二：平方和隱圓
【典例2-1】已知是單位向量，滿足，則的最大值為________．
【答案】
【解析】依題意，可為與x軸、y軸同向的單位向量，設
化簡得：
運用輔助角公式得：
，
即得：，
故；
故答案為：
【典例2-2】已知平面向量、滿足，，設，則________.
【答案】
【解析】因為且，所以；
又因為，所以；
由，所以；
根據可知：，
左端取等號時：三點共線且在線段外且靠近點；右端取等號時，三點共線且在線段外且靠近點，
所以，所以.
故答案為：.
【變式2-1】在平面直角坐標系中，已知點，，圓，若圓上存在點，使得，則實數的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】先求出動點M的軌跡是圓D,再根據圓D和圓C相交或相切，得到a的取值范圍.設，則，
所以，
所以點M的軌跡是一個圓D,
由題得圓C和圓D相交或相切，
所以，
所以.
故選：B
【變式2-2】在平面直角坐標系中，已知直線與點，若直線上存在點滿足（為坐標原點），則實數的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設 ，
∵直線與點，直線上存在點滿足，
∴，
整理,得 ①，
∵直線 上存在點M,滿足，
∴方程①有解，
∴，
解得： ，
故選D.
題型三：定冪方和隱圓
【典例3-1】已知點，，直線：上存在點，使得成立，則實數的取值范圍是______.
【答案】
【解析】由題意得：直線，
因此直線經過定點；
設點坐標為，；，
化簡得：，
因此點為與直線的交點．
所以應當滿足圓心到直線的距離小于等于半徑
解得：
故答案為
【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，滿足，，，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下圖所示，作，，，取的中點，連接，
以點為圓心，為半徑作圓，
，，，
所以，為等邊三角形，
為的中點，，所以，的底邊上的高為，
，，
所以，，
所以，
，
由圓的幾何性質可知，當、、三點共線且為線段上的點時，
的面積取得最大值，此時，的底邊上的高取最大值，即，則，
因此，的最大值為.
故選：B.
【變式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中學校考期中）已知平面單位向量，的夾角為60°，向量滿足，若對任意的，記的最小值為M，則M的最大值為
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由推出，所以，如圖，終點的軌跡是以為半徑的圓，設，，，，所以表示的距離，顯然當時最小，M的最大值為圓心到的距離加半徑，即，
故選：A
【變式3-2】已知，是兩個單位向量，與，共面的向量滿足，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】由平面向量數量積的性質及其運算得，設，
則，則點C在以AB為直徑的圓O周上運動，由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，設，利用三角函數求的最值．由得：，即，
設，
則，
則點C在以AB為直徑的圓O上運動，
由圖知：當DC⊥AB時，|DC|≥|DC′|，
設，
則，
所以當時，|DC|取最大值，
故選：C．
題型四：與向量模相關構成隱圓
【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
因為，所以，
如圖，令，則，，
所以，，
因為，，
所以，即，
設，則點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
令， 則，
所以當，且C，P，Q三點共線時，取最小值，
則，
故選：A
【典例4-2】已知向量滿足，且向量在方向上的投影向量為．若動點C滿足，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，
根據投影向量，，則，且，
因為，所以點C在以O為圓心，半徑的圓上運動．
設M是AB的中點，由極化恒等式得：，
因為，此時，
即的最小值為，
故選：D．
【變式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則最小值為 .
【答案】
【解析】如圖，，設，則向量滿足，設，所以點為以為圓心，以為半徑的圓上的一點，
所以，同理，
取點，則，又因，
所以，
所以，即，
所以，
由三角形的三邊關系知.
故填：.
【變式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為____________．
【答案】
【解析】
作圖，，則，，
因為，所以起點在原點，終點在以B為圓心，1為半徑的圓上；
同理，，所以起點在原點，終點在以C為圓心，1為半徑的圓上，
所以的最小值則為，
因為，，當，，三點共線時，，所以.
故答案為：.
【變式4-3】已知是單位向量，.若向量滿足，則||的最大值是________.
【答案】/
【解析】法一　由，得.
如圖所示，分別作,作，
由于是單位向量,則四邊形OACB是邊長為1的正方形，所以,
作，則,
所以點P在以C為圓心，1為半徑的圓上.
由圖可知，當點O，C，P三點共線且點P在點P1處時，||取得最大值,
故||的最大值是,
故答案為：
法二　由，得，
建立如圖所示的平面直角坐標系，則，
設 ，由，
得 ，
所以點C在以(1,1)為圓心，1為半徑的圓上.
所以
故答案為：
題型五：線段比定值隱圓（阿氏圓）
【典例5-1】已知平面向量，，，滿足，且，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】建立如圖所示的直角坐標系：
依題意設，，，，，
則，故C在以為圓心，半徑為1的圓上，
如圖，取點，則，，且，
因此，，故，
又，
由于，
當E，M，C三點共線且點C在線段上時，等號取到，
因此.
故選:C.
【典例5-2】（2024·全國·模擬預測）已知平面向量，，滿足，且，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如圖所示的直角坐標系，設，
則，故點在以為圓心，半徑為1的圓上，
如圖：取點,則,且,
因此,所以,故,
由于,當三點共線且點在線段上時，等號取到，
因此，
故選：D
【變式5-1】已知平面向量滿足，且，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】建立如圖所示直角坐標系，由題意可設，，
則，，
由得，故C在以為圓心，半徑為1的圓上，
取，則在AD上，則，又，∴，∴，即，
∴.
故選：D
【變式5-2】（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量，，滿足⊥，且，，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，
則，，
即C在以為圓心，2為半徑的圓上，
如圖，取，則，又，
所以有～，所以，
又因為，，
所以．
故選：B.
【變式5-3】已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【解析】如圖，為單位圓，、、在上，，，
在的延長線上，，為中點，為中點，在的延長線上，，
設，，為上一點，，
則，
△，
，
同理，
，
故選：A．
1．已知平面向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
建立平面直角坐標系，設，由，不妨設，
又，不妨設在直線上，又可得，即，
則，設，則，則，即，則在以為圓心，1為半徑的圓上；
又，則的最小值等價于的最小值，即以為圓心，1為半徑的圓上一點
到直線上一點距離的最小值，即圓心到直線的距離減去半徑，即，則的最小值是.
故選：D.
2．已知 是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是(　　)
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】 是平面內兩個互相垂直的單位向量，如圖所示，
設，，，
則，，
由可知，所以C點在以AB為直徑的圓上，即四點共圓
當為圓的直徑時，最大，此時
故選：A
3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知向量，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，是平面內兩個互相垂直的單位向量，
故可設，，，
則，，
因為，所以，
整理得到，即，
故的最大值為，
故選：B.
4．已知，是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如圖，設，，，，
則，，
因為，故，故，
所以在以為直徑的圓上，故的最大值為圓的直徑，
故選：C.
5．已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】均為單位向量且，不妨設，，且，
，，
，
的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和，
和兩點確定的直線為，即，
原點到的距離，
與相交，
則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，
所求最小值為.
故選：B.
6．（2024·北京朝陽·一模）在中，，，點在線段上.當取得最小值時，（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，以所在直線為軸，以的垂直平分線建立軸，建立平面直角坐標系，
由，，則，
所以，，，設，
則，，
則，
當時，取得最小值，此時，.
故選：B
7．（2024·高三·重慶·開學考試）在同一直角坐標平面內，已知點，點P滿足，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，，
所以，即，
所以，
，所以的最小值為.
故選：A
8．已知向量，，滿足，，，，則的最小值等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【解析】如圖，建立平面直角坐標系，依題意令，，，
，
因為，
所以，即，
，則，
則，
則的最小值為4.
故選：C.
9．已知，，是平面向量，是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設，共起點，
由，可得，
所以與垂直，如圖
由向量減法的幾何意義可知，向量的終點落在圖中的圓上，
由題意可知的終點在圖中所示的射線上，
所以的最小值是從圓上的點到射線上的點形成的向量，
要求的最小值，只需求圓心到射線的距離減去圓的半徑，
故的最小值為.
故選：.
10．（2024·全國·模擬預測）已知向量，滿足，，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．2
【答案】A
【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，設且，
因為，可得，
則，
所以，
又因為向量滿足，可得，解得，
所以，
，
則，
設，因為，當且僅當，
所以，
又因為在上為單調遞增函數，
所以，即的最小值為.
故選：A.
11．已知是平面內的三個單位向量，若，則的最小值是 ．
【答案】
【解析】均為單位向量且，不妨設，，且，
，，
，
的幾何意義表示的是點到和兩點的距離之和的2倍，
點在單位圓內，點在單位圓外，
則點到和兩點的距離之和的最小值即為和兩點間距離，
所求最小值為.
故答案為：.
12．已知是平面中的三個單位向量，且，則的最小值是 .
【答案】
【解析】根據題意可設，，設， 則
，，又為單位向量，所以，
所以
表示單位圓上的點到點，的距離之和，
又過點，兩點的直線方程為，即，
所以圓心到直線的距離，所以直線與圓相交，
所以的最小值距離為點，之間的距離.
即的最小值為.
故答案為：
13．在平面內，已知非零向量與單位向量的夾角為，若向量滿足，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設，，，
由得：，
即，
所以向量的末端落在以為圓心,以為半徑的圓上,即圖中的虛線圓上.
因為非零向量與單位向量的夾角為,
所以向量的末端落在如圖所示的射線上.
由向量減法的三角形法則可知,
向量是從圓上的點到射線上的點形成的向量.
由圖形的對稱性可知，只需考慮上半部分即可.
由幾何分析可知,如圖:
圓心到射線的距離減去圓的半徑即為最小值.
所以.
故答案為:
14．（2024·高三·浙江·開學考試）平面中存在三個向量，，，若，，且，且滿足，則的最小值 ．
【答案】
【解析】由，得與之間的夾角為90°.由，得，即與夾角為90°.數形結合得點在以點為圓心，1為半徑的圓上運動．再根據阿波羅尼斯圓的性質求出的最小值.，且，則與之間的夾角為90°.
將可以改寫成，
因此與夾角為90°.
因此綜上條件我們可以做出如下圖象
點在以點為圓心，1為半徑的圓上動．
根據阿波羅尼斯圓的性質可知該圓可以看成由所構成的圓
（以為原點，分別以所在直線為軸，建立平面直角坐標系，則）.
，，
.
故答案為：.
15．已知圓，點，M、N為圓O上兩個不同的點，且若，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】解法1：如圖，因為，所以，故四邊形為矩形，
設的中點為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設，則由①可得，
整理得：，
從而點S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內部，所以，
因為，所以 ；
解法2：如圖，因為,所以，
故四邊形為矩形，由矩形性質，，
所以，從而，
故Q點的軌跡是以O為圓心，為半徑的圓，
顯然點P在該圓內，所以.
故答案為： .
16．已知是邊長為2的正三角形，點在平面內且，則的最大值為 ，最小值為 .
【答案】 3
【解析】因為，所以點在以為直徑的圓上，
記的中點分別為，
則，
因為是邊長為2的正三角形，，所以，
易知，當三點共線時取得最大值，此時，
所以的最大值為，
當重合時取得最小值，此時的最小值為.
故答案為：3;.
17．已知為單位向量，且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為為單位向量，有，得，
由，得，得，
所以，又，所以，
而，
則
當且僅當與方向相反時“=”成立
所以的最小值為；
故答案為：
18．設向量滿足，與的夾角為，則的最大值為
【答案】4
【解析】如圖所示，
設 因為，
所以，因為，
所以，因為 ，
所以，
所以四點共圓，因為，，
所以，由正弦定理知，
即過四點的圓的直徑為4，
所以的最大值等于直徑4.
故答案為：4.
19．設是單位向量，且，向量滿足，則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】單位向量滿足，則，
由，得，
則，當且僅當同向時取等號，
因此，解得.
所以的取值范圍是.
故答案為：
20．已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為 .
以所在的直線為軸，為坐標原點建立平面直角坐標系，
因為，，與的夾角為，
所以，，設，
即，，，
所以，，
因為，所以，即，
圓心坐標為，半徑，表示點到坐標原點的距離即為圓上的點到坐標原點的距離，
因為圓心到原點的距離為，所以.
故答案為：.
23．在平面內，若有，，，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由向量，，可得，
可得，所以，
如圖所示，作，則，且，
連接，取的中點，連接，則，
因為，可得，所以，
作，連接，則，所以，
所以點在以為直徑的圓上，
所以當運動到圓的最右側時，在上的投影最大，此時最大，
由，,
因為，且，所以，
所以在上的最大投影為，
所以.
故答案為：.
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