資源簡介

重難點突破01 奔馳定理與四心問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 3
題型一：奔馳定理 3
題型二：重心定理 5
題型三：內(nèi)心定理 6
題型四：外心定理 6
題型五：垂心定理 7
03 過關(guān)測試 8
技巧一．四心的概念介紹：
（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直．
技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點．
已知的頂點，，，則△ABC的重心坐標為．
注意：（1）在中，若為重心，則．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個三角形面積相等．
重心的向量表示：．
奔馳定理：，則、、的面積之比等于
奔馳定理證明：如圖，令，即滿足
，，，故．
技巧三．三角形四心與推論：
（1）是的重心：．
（2）是的內(nèi)心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常見結(jié)論
（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．
為的內(nèi)心．
（2）外心：為的外心．
（3）垂心：為的垂心．
（4）重心：為的重心．
題型一：奔馳定理
【典例1-1】已知為內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【典例1-2】點在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
【變式1-1】設(shè)是內(nèi)一點，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9
【變式1-2】設(shè)，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A． B． C． D．
【變式1-3】（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
【變式1-4】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
題型二：重心定理
【典例2-1】已知是所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，則動點的軌跡一定過的 .（選填：外心、內(nèi)心、垂心、重心）
【典例2-2】（2024·高三·陜西渭南·期末）如圖所示，中為重心，過點，，，則 ．

【變式2-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，為的重心，，則 ．
【變式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，，則的取值范圍為 .
【變式2-3】在 中，角 所對的邊分別為，已知 ，設(shè) 分別是的外心和重心，則 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2024·全國·二模）點是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則直線經(jīng)過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
題型三：內(nèi)心定理
【典例3-1】已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為 .
【典例3-2】在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為 ．
【變式3-1】已知點O是邊長為的等邊△ABC的內(nèi)心，則＝ ．
【變式3-2】（2024·高三·山東聊城·期中）已知是的內(nèi)心，，，，則 ．
【變式3-3】已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動點.若（，），則的取值范圍是 .
題型四：外心定理
【典例4-1】已知點在所在平面內(nèi)，滿足，則點是的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心
【典例4-2】為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則是的（ ）
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【變式4-3】已知O為的外心，，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．1
【變式4-4】在中，，O是的外心，則的最大值為
【變式4-5】已知內(nèi)一點是其外心，，且，則的最大值為 ．
【變式4-6】在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點，且，則 .
題型五：垂心定理
【典例5-1】已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【典例5-2】若是的垂心，且，則的值為 ．
【變式5-1】在中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則 ．
【變式5-2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【變式5-3】已知在中，，點為的垂心，則= ．
1．已知是內(nèi)部的一點，，則的面積與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川南充·三模）已知點P在所在平面內(nèi)，若，則點P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心
3．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
4．O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：，則直線AP一定通過的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
5．已知點A、B、C是平面上不共線的三點，點為的外心，動點滿足條件： (，)，則點的軌跡一定通過的（ ）．
A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．邊的中點
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點是的重心，過點的直線與邊分別交于兩點，為邊的中點．若，則（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
8．已知的重心為，則向量（ ）
A． B．
C． D．
9．已知的重心為O，若向量，則（ ）
A． B． C． D．
10．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點，且，則以下正確的是 （ ）
A．點為的內(nèi)心 B．點為的外心
C． D．為等邊三角形
11．已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
12．在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
13．（多選題）（2024·高三·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
14．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
15．（多選題）（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線 B．
C． D．點在的內(nèi)部
22．我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點，、、的面積分別為、、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個結(jié)論開始研究：若為內(nèi)的一點且為內(nèi)心，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的最大值為 .
23．已知點為內(nèi)一點，，則的面積之比為 ．
24．已知點在所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的個數(shù)是 ．
①若為的垂心，．則
②若為邊長為2的正三角形，則的最小值為
③若，則動點的軌跡經(jīng)的外心
④若為的重心，過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則
25．點O是平面上一定點，A，B，C是平面上的三個頂點，，分別是邊AC，AB的對角.有以下四個命題：
①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數(shù)為 .
26．點是平面上一定點，、、是平面上的三個頂點，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是 （把你認為正確的序號全部寫上）．
①動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
②動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；
③動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
④動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；
⑤動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中．
27．（2024·浙江寧波·模擬預(yù)測）在中，點O、點H分別為的外心和垂心，，則 .
28．設(shè)H是的垂心，且，則 ．
29．在中，，，為的垂心，且滿足，則 .
30．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的外心、垂心分別為，，，則 .
21世紀教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點突破01 奔馳定理與四心問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 3
題型一：奔馳定理 3
題型二：重心定理 10
題型三：內(nèi)心定理 13
題型四：外心定理 17
題型五：垂心定理 22
03 過關(guān)測試 25
技巧一．四心的概念介紹：
（1）重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1．
（2）內(nèi)心：角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．
（3）外心：中垂線的交點（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點的距離相等．
（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直．
技巧二．奔馳定理---解決面積比例問題
重心定理：三角形三條中線的交點．
已知的頂點，，，則△ABC的重心坐標為．
注意：（1）在中，若為重心，則．
（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1，且分的三個三角形面積相等．
重心的向量表示：．
奔馳定理：，則、、的面積之比等于
奔馳定理證明：如圖，令，即滿足
，，，故．
技巧三．三角形四心與推論：
（1）是的重心：．
（2）是的內(nèi)心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
技巧四．常見結(jié)論
（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量所在的直線上．
為的內(nèi)心．
（2）外心：為的外心．
（3）垂心：為的垂心．
（4）重心：為的重心．
題型一：奔馳定理
【典例1-1】已知為內(nèi)一點，且滿足，若的面積與的面積的比值為，則的值為（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】由，得，
如圖，分別是的中點，
則，
所以在線段上，且，
得，設(shè)，則，所以，
因為，，，
所以，則，解得.
故選：B
【典例1-2】點在的內(nèi)部，且滿足：，則的面積與的面積之比是（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【解析】
因為，
所以，即，
取中點為點，
則，即，
所以在中線上，且
過，分別作邊上的高，垂足為，
則，
所以，，
所以，
所以，
故選：C.
【變式1-1】設(shè)是內(nèi)一點，且，定義，其中分別是的面積，若，則的最小值是（ ）
A． B．18 C．16 D．9
【答案】B
【解析】設(shè)中，角的對邊分別為，
，由，得，
，若，則，，
有，得，
，
當且僅當，即時等號成立，
則的最小值是18.
故選：B
【變式1-2】設(shè)，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】連接并延長，則通過的中點，過，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，
如圖所示
與的面積之比為
根據(jù)三角形相似可知，則
即
由平行四邊形法則得
根據(jù)待定系數(shù)法有，則
故選
【變式1-3】（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
【答案】ABD
【解析】對A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故，，三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，
所以為的重心，A正確；
對B選項，若為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對C選項，若，，為的外心，則，
設(shè)的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯誤；
對D選項，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因為，，
所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.
【變式1-4】（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，則有.設(shè)是銳角內(nèi)的一點，，，分別是的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則
C．若，，，則
D．若為的垂心，則
【答案】ABD
【解析】對于A：如下圖所示，
假設(shè)為的中點，連接，則，故共線，即在中線上，
同理可得在另外兩邊的中線上，故O為的重心，即A正確；
對于B：由奔馳定理O是內(nèi)的一點，的面積分別為，
則有可知，
若，可得，即B正確；
對于C：由，可知，
又，所以，
由可得；
所以，即C錯誤；
對于D：由四邊形內(nèi)角和可知，，
則，
同理，
因為O為的垂心，則，
所以，
同理得，，
則，
令，
由，
則，
同理：，
，
綜上，，
根據(jù)奔馳定理得，即D正確.
故選：ABD.
題型二：重心定理
【典例2-1】已知是所在平面內(nèi)一定點，動點滿足，則動點的軌跡一定過的 .（選填：外心、內(nèi)心、垂心、重心）
【答案】重心
【解析】過作，垂足為，取中點為，連接，如下所示：
則，
則，則，
，又為非負實數(shù)，
故共線，也即三點共線，又為三角形中線，故的軌跡過三角形的重心.
故答案為：重心.
【典例2-2】（2024·高三·陜西渭南·期末）如圖所示，中為重心，過點，，，則 ．

【答案】3
【解析】設(shè)
根據(jù)題意，；
，，，三點共線，則存在，使得，
即，即，
，整理得，所以；
故答案為：3
【變式2-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）在平行四邊形中，為的重心，，則 ．
【答案】/
【解析】如圖，設(shè)與相交于點，又為的重心，
所以為的中點，，
則，
則，故．
故答案為：
【變式2-2】（2024·高三·上海普陀·期中）在中，過重心的直線交邊于點，交邊于點（、為不同兩點），且，，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】由題意，，
延長交于，則是中點，
,
又，，所以，
又三點共線，所以，，
，
設(shè)，則，
時，，遞減，時，，遞增，
，又，即，
所以的取值范圍是，
故答案為：，
【變式2-3】在 中，角 所對的邊分別為，已知 ，設(shè) 分別是的外心和重心，則 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)為邊中點，連接,作于，即為中點，
因為,
同理,
則
，
在中，，
由余弦定理得，即，
由均值不等式，，
所以（當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ?br/>所以.
故選：B．
【變式2-4】（2024·全國·二模）點是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則直線經(jīng)過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】A
【解析】設(shè)的中點為點，所以，
則，
若四點共線時，即點都在中線上，所以經(jīng)過三角形的重心，
若四點不共線時，，且，連結(jié)，交于點，
如圖，
，即點是三角形的重心，即經(jīng)過的重心，
綜上可知，經(jīng)過的重心.
故選：A
題型三：內(nèi)心定理
【典例3-1】已知為的內(nèi)心，，且滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，延長交于D，則，即，
由三點共線，得，
，
，.
當，即，亦即時等號成立，故.
故答案為：.
【典例3-2】在△ABC中，，若O為內(nèi)心，且滿足，則x+y的最大值為 ．
【答案】
【解析】延長AO交BC于D，設(shè)BC與圓O相切于點E，AC與圓O相切于點F，則OE＝OF，則，
設(shè)，
因為B、C、D三點共線，
所以，即
，
因為，，所以，
所以．
故答案是：
【變式3-1】已知點O是邊長為的等邊△ABC的內(nèi)心，則＝ ．
【答案】1
【解析】設(shè)D為BC的中點，因為點O是邊長為的等邊△ABC的內(nèi)心，
所以 ，，兩兩夾角為120°，
且||＝||＝|||AD|．
所以
＝22
＝1.
故答案為：1．
【變式3-2】（2024·高三·山東聊城·期中）已知是的內(nèi)心，，，，則 ．
【答案】36
【解析】如圖所示：
以為圓心作的內(nèi)切圓，分別與、、相切于點、、，
設(shè)，
根據(jù)切線長定理得，
,
,
所以，
即，解得，即，
由題意可得,
所以，
所以,
.
故答案為：36.
【變式3-3】已知中，，，，I是的內(nèi)心，P是內(nèi)部（不含邊界）的動點.若（，），則的取值范圍是 .
【答案】
【解析】建立如圖所示平面直角坐標系，則
，
因為是三角形的內(nèi)心，設(shè)三角形內(nèi)切圓半徑為，
則，解得.
所以，.
依題意點在三角形的內(nèi)部（不含邊界）.
因為，
所以，
所以，
令，
則，
由圖可知，當過時，.
當，過，即為直線時，.
所以的取值范圍時.
故答案為：
題型四：外心定理
【典例4-1】已知點在所在平面內(nèi)，滿足，則點是的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】因為，即點到的距離相等，
所以點是的外心.
故選：A
【典例4-2】為所在平面內(nèi)一點，且滿足，則是的（ ）
A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【解析】依題意，，
，
，
則，于是，
所以是的外心.
故選：B
【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，
則，故，
又，設(shè)，
則
，
當且僅當時等號成立，
由可知，，
故的最大值為．
故選：A．
【變式4-2】在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
【答案】B
【解析】因為是的外心，為的中點，設(shè)的中點為，連接，
所以，，設(shè)，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【變式4-3】已知O為的外心，，則（ ）
A．8 B．10 C．12 D．1
【答案】A
【解析】如圖，O為的外心，過作于
因為，所以
則.
故選：A.
【變式4-4】在中，，O是的外心，則的最大值為
【答案】3
【解析】由題知，記的三邊為，
因為O是的外心，記中點為，
則有，所以且，
所以
①，
在中，由余弦定理得：，
即，即，
代入①中可得：，
在中，由正弦定理得：，所以，
所以，
當時取等，
故的最大值為3．
故答案為：3
【變式4-5】已知內(nèi)一點是其外心，，且，則的最大值為 ．
【答案】/0.75
【解析】如圖所示，延長交于，
令，
∵，，三點共線，
∴，
∴取最大值時，取最大值，則，
∵為外接圓的半徑（定值），
∴當取得最小時，取最大值，此時，
∴為等腰三角形，且，
∴，則，，，
∵，，
∴．
故答案為：
【變式4-6】在中，，，為的外心，，，分別為，，的中點，且，則 .
【答案】
【解析】如圖，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理，則，
又因為，，分別為，，的中點，
所以，，，
三式平方相加可得，
又因為，代入得結(jié)果為.
故答案為：.
題型五：垂心定理
【典例5-1】已知的垂心為點，面積為15，且，則 ；若，則 .
【答案】 30 5
【解析】如圖，
是的邊上的高，則；設(shè)，
因為，面積為15，所以，即；
.
由第一空可知，所以；
所以，由可得，即；
因為，
所以，
.
故答案為：30;5.
【典例5-2】若是的垂心，且，則的值為 ．
【答案】/
【解析】由，得，
所以，故垂心在中線上，即高線與中線重合，故，
又，所以，
又因為，，得，
所以，即，
得到，由余弦定理得，
又，所以，
所以，所以,
得到．
故答案為：.
【變式5-1】在中，三個內(nèi)角分別為A，B，C，，，，H為的垂心．若，則 ．
【答案】
【解析】因為，，，所以，
由余弦定理可得，
由以及為銳角，可得，故．
同理，．于是．
接下來證明定理4：O是（非直角三角形）的垂心．
證明：O是（非直角三角形）的垂心
，
由定理4得，
故，
化簡得．所以．
故答案為：
【變式5-2】已知為的垂心（三角形的三條高線的交點），若，則 .
【答案】/
【解析】因為，
所以，同理，
由H為△ABC的垂心，得，即，
可知，即，
同理有，即，可知，即，
所以， ，又，
所以．
故答案為：.
【變式5-3】已知在中，，點為的垂心，則= ．
【答案】18
【解析】延長交于點，
因為，點為的垂心，
所以為的中點，，
所以
，
故答案為：18
1．已知是內(nèi)部的一點，，則的面積與的面積之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
如圖，延長交于點，設(shè)，
易知，可得，
又，得，故，
可知，
同理，可得，
結(jié)合可得，
整理得成立，
而由題意得，故，
設(shè)即，，故，故C正確.
故選：C
2．（2024·四川南充·三模）已知點P在所在平面內(nèi)，若，則點P是的（ ）
A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心
【答案】D
【解析】在中，由，得，
即，由，同理得，
顯然，即與不重合，否則，同理，
則，即，，
于是平分，同理平分，
所以點P是的內(nèi)心.
故選：D
3．已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（ ）
A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【解析】
因為，所以，
設(shè)AB的中點D，則，所以，
所以C，G，D三點共線，即G為的中線CD上的點，且，
所以G為的重心．
因為，所以，所以O(shè)為的外心；
因為，所以，即，
所以，同理可得：，，所以H為的垂心.
故選：C.
4．O是平面上一定點，A、B、C是該平面上不共線的3個點，一動點P滿足：，則直線AP一定通過的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】C
【解析】取線段BC的中點E，則，
動點P滿足：，
則，則，所以，
又為兩向量的公共起點，所以三點共線，
所以直線一定通過的重心．
故選：C．
5．已知點A、B、C是平面上不共線的三點，點為的外心，動點滿足條件： (，)，則點的軌跡一定通過的（ ）．
A．內(nèi)心 B．垂心 C．重心 D．邊的中點
【答案】D
【解析】取的中點D，連接，則，
∵，
∴，
則，即
∴P，C，D三點共線，
因為，所以，
于是點P的軌跡一定經(jīng)過邊的中點．
故選：D.
6．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知點是的重心，過點的直線與邊分別交于兩點，為邊的中點．若，則（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】如圖所示，由三角形重心的性質(zhì)，可得，所以，
所以，即，
因為三點共線，可得，所以.
故選：A．
7．已知，，，是平面上的4個定點，，，不共線，若點滿足，其中，則點的軌跡一定經(jīng)過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】A
【解析】取線段的中點，則.
動點滿足：，，
則，即，所以，
又，所以三點共線，即點的軌跡是直線，
一定通過的重心.
故選：A.
8．已知的重心為，則向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)分別是的中點，
由于是三角形的重心，
所以.
故選：B.
9．已知的重心為O，若向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，設(shè)E是的中點，由于O是三角形的重心，
所以．
則.
故選:D．
10．已知在中，為的垂心，是所在平面內(nèi)一點，且，則以下正確的是 （ ）
A．點為的內(nèi)心 B．點為的外心
C． D．為等邊三角形
【答案】B
【解析】在中，由為的垂心，得，
由，得，
則，即，又，
顯然，同理得，因此點為的外心，B正確，無判斷ACD成立的條件.
故選：B
11．已知是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則的軌跡一定通過的（ ）
A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心
【答案】A
【解析】由題意，當時，如圖
可知：點在邊上的中線所在直線上，∴動點的軌跡一定通過的重心，
故選：A．
12．在中，動點P滿足，則P點軌跡一定通過的（ ）
A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【解析】因為，
所以，
所以，
設(shè)的中點為，則，則，
所以，所以點P在線段AB的中垂線上，故點P的軌跡過的外心.
故選：A
13．（多選題）（2024·高三·江西新余·期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）
A．若，則M為的重心
B．若M為的內(nèi)心，則
C．若M為的垂心，，則
D．若，，M為的外心，則
【答案】ABC
【解析】A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得三點共線，三點共線，
所以M為的重心，A正確；
B選項，若M為的內(nèi)心，可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
C選項，若M為的垂心，，
則，
如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設(shè)，，，則，，，
因為，，
所以，即，
同理可得，即，故，
，則，
故，
，則，
故，
，
故，
同理可得，
故，C正確；
D選項，若，，M為的外心，
則，
設(shè)的外接圓半徑為，故，
，
故，，，
所以，D錯誤.
故選：ABC
14．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）已知內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的重心，，，則（ ）
A． B．
C．的面積的最大值為 D．的最小值為
【答案】ABC
【解析】
延長交于點.
因為是的重心，
所以點是中點，，
則.
對于選項A：因為，故選項A正確；
對于選項B：由得：，
所以，當且僅當時等號成立.
又因為，即，，
所以，
即，當且僅當時等號成立，故選項B正確；
對于選項C：因為，當且僅當時等號成立，，
所以，故選項C正確；
對于選項D：由，，
得，
所以由余弦定理可得：
，即，當且僅當時等號成立，
所以的最小值是，故選項D錯誤.
故選：ABC.
15．（多選題）（2024·遼寧·二模）的重心為點，點O，P是所在平面內(nèi)兩個不同的點，滿足，則（ ）
A．三點共線 B．
C． D．點在的內(nèi)部
【答案】AC
【解析】
，
因為點為的重心，
所以，所以，
所以三點共線，故A正確，B錯誤；
，
因為，
所以，即，故C正確；
因為，
所以點的位置隨著點位置的變化而變化，故點不一定在的內(nèi)部，故D錯誤；
故選：AC．
16．（多選題）已知點是所在平面內(nèi)任意一點，下列說法中正確的是（ ）
A．若，則為的重心
B．若，則為的內(nèi)心
C．若為的重心，是邊上的中線，則
D．若，則
【答案】AD
【解析】取的中點，連接，則，
若，則，則三點共線，且，
則為的重心，故A正確；
若，則為的外心，不一定是內(nèi)心，故B錯誤；
若為的重心，是邊上的中線，則，則，故C錯誤；
取的中點，連接，則，
若，則，則三點共線，且，
則，故D正確.
故選：AD.
17．（多選題）點O為所在平面內(nèi)一點，則（ ）
A．若，則點O為的重心
B．若，則點O為的內(nèi)心
C．若，則點O為的垂心
D．在中，設(shè)，那么動點O的軌跡必通過的外心
【答案】ABD
【解析】對于A中，由點O為所在平面內(nèi)一點，且，可得，
則以為鄰邊作平行四邊形，可得，且，
設(shè)，根據(jù)平行四邊形法則，可得為的中點，即為上的中線，
同理可證：延長也過的中點，所以為的重心，所以A正確；
對于B中，由向量表示方向的單位向量，表示方向的單位向量，
可得四邊形是菱形，則，
因為，
所以，即，即和共線，即是的角平分線，
同理可得是的角平分線，即是的內(nèi)心，所以B正確.
對于C中，如圖所示，取分別為的中點，
根據(jù)向量的平行四邊形法則，可得，
因為，可得，
所以，所以點在線段的垂直平分線上，
所以點為的外心，所以C不正確；
對于D中，由,
因為，可得，
即，
設(shè)為的中點，可得，
所以，即，且為的中點，
所以動點O的軌跡必通過的外心，所以D正確.
故選：ABD.
18．（多選題）已知，在所在的平面內(nèi)，且滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．為的外心
B．為的垂心
C．為的內(nèi)心
D．為的重心
【答案】BD
【解析】由題意，
所以，
即＝0，所以，
同理可得：，，
所以M為的垂心；A錯誤,B正確；
因為所以，
所以，
設(shè)AB的中點D，則，
所以，
所以C，N，D三點共線，即N為的中線CD上的點，且，
所以N為的重心,C錯誤,D正確.
故選:BD.
19．（多選題）在中，角的對邊分別為，為的外心，則（ ）
A．若有兩個解，則
B．的取值范圍為
C．的最大值為9
D．若為平面上的定點，則A點的軌跡長度為
【答案】ABD
【解析】對于A，由正弦定理，得，
有兩解的情形為，且，則，故A正確；
對于B，由正弦定理，得外接圓半徑，
由正弦定理知A點在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運動，，
于是，故B正確；
對于C，法一：用投影向量求當在上的投影向量的模最大，且與同向時，取得的最大值，此時，
設(shè)為的中點，則，
在上的投影向量的模為，最大值為，故C錯誤；
法二：轉(zhuǎn)化到圓心：，故C錯誤；
對于D，如下圖，由正弦定理知A點在以為圓心半徑為的優(yōu)弧上運動，由兩段優(yōu)弧拼接成，每段優(yōu)弧所對圓心角為，
所以A點的軌跡長度為，故D正確．
故選：ABD.
20．設(shè)M為內(nèi)一點，且，則與的面積之比為 ．
【答案】/0.25
【解析】在取中點，
則，
可知點為的中點，
可得，即，
所以與的面積之比為.
故答案為：.
21．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三角形的四心（重心 內(nèi)心 外心 垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若是內(nèi)一點，的面積分別為，則有.已知為的內(nèi)心，且，若，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因為的內(nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，
由可得，所以，
又，
則，所以，
兩式相加可得，化簡可得，
又，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，當且僅當時等號成立，
所以.
故答案為：.
22．我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若是內(nèi)的一點，、、的面積分別為、、，則存在結(jié)論，這位同學(xué)利用這個結(jié)論開始研究：若為內(nèi)的一點且為內(nèi)心，的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，若，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因為的內(nèi)心到該三角形三邊的距離相等，則，
由可得，所以，，
因為，
則，所以，，
所以，，可得，
因為，由余弦定理可得，
由基本不等式可得，
所以，，當且僅當時，等號成立，
所以，.
故答案為：.
23．已知點為內(nèi)一點，，則的面積之比為 ．
【答案】
【解析】先將已知向量式化為兩個向量共線的形式，再利用平行四邊形法則及向量的數(shù)乘運算的幾何意義，三角形面積公式，確定面積比.因為，所以，
設(shè)為中點，為中點，因為，
可得，所以三點共線，且，
為三角形的中位線
所以，
而，所以的面積之比等于
故答案為：
24．已知點在所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的個數(shù)是 ．
①若為的垂心，．則
②若為邊長為2的正三角形，則的最小值為
③若，則動點的軌跡經(jīng)的外心
④若為的重心，過點的直線分別與、交于、兩點，若，，則
【答案】①③④
【解析】對于①，為的垂心，則，又，
所以，所以①正確；
對于②，取的中點，連接，以為坐標原點，，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標系，
則，，，設(shè)，
則
，
故當，時，
取得最小值，
最小值為，所以②錯誤；
對于③，，
，
所以，
如圖，設(shè)是的中點，則，
故，
即，
故則動點的軌跡經(jīng)過的外心，所以③正確；
對于④，
由，，三點共線，設(shè)，
由，，
所以，
又，
所以，所以，
所以，即，所以④正確.
故答案為：①③④.
25．點O是平面上一定點，A，B，C是平面上的三個頂點，，分別是邊AC，AB的對角.有以下四個命題：
①動點P滿足，則的外心一定在滿足條件的P點集合中；
②動點P滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的P點集合中；
③動點P滿足，則的重心一定在滿足條件的P點集合中；
④動點P滿足，則的垂心一定在滿足條件的P點集合中.其中正確命題的個數(shù)為 .
【答案】2
【解析】①當動點P滿足時，
則點P是的重心，所以①不正確；
②顯然在的角平分線上，而與的平分線所在向量共線，
所以的內(nèi)心一定在滿足條件的點P集合中，因此②正確；
③變形為，
而，表示點A到邊的距離，設(shè)為，
所以，而表示邊的中線向量，
所以表示邊的中線向量，
因此的重心一定在滿足條件的P點集合中，所以③正確；
④當時，的垂心與點A重合，但顯然此時垂心點P不滿足公式，所以④不正確；
故答案為：2.
26．點是平面上一定點，、、是平面上的三個頂點，、分別是邊、的對角，以下命題正確的是 （把你認為正確的序號全部寫上）．
①動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
②動點滿足，則的內(nèi)心一定在滿足條件的點集合中；
③動點滿足，則的重心一定在滿足條件的點集合中；
④動點滿足，則的垂心一定在滿足條件的點集合中；
⑤動點滿足，則的外心一定在滿足條件的點集合中．
【答案】①②③④⑤
【解析】對于①，因為動點滿足，
，
則點是的重心，故①正確；
對于②，因為動點滿足，
，
又在的平分線上，
與的平分線所在向量共線，
所以的內(nèi)心在滿足條件的點集合中，②正確；
對于③，動點滿足，
，，
過點作，垂足為，則，
，向量與邊的中線共線，
因此的重心一定在滿足條件的點集合中，③正確；
對于④，動點滿足，
，
，
，
，
，
所以8，
故答案為：8
28．設(shè)H是的垂心，且，則 ．
【答案】
【解析】∵H是的垂心，
∴，，
∴，同理可得，，
故，
∵，
∴，
∴，同理可求得，
∴，，
∴，即.
故答案為：．
29．在中，，，為的垂心，且滿足，則 .
【答案】
【解析】如圖所示，為的中點，不妨設(shè)，則.因為，則，則，，由此可得.
故答案為：.
30．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知的外心、垂心分別為，，，則 .
【答案】1
【解析】不妨設(shè)為銳角三角形，
取的中點，過點作，垂足為，連接，
設(shè)交于點，延長，交于點，
則為的中點，可得.
取的中點，連接，則，則.
連接，，由，為的中點，可得為的中點，則，連接，延長，交于點，則，可得，
因此四邊形為平行四邊形，
則，則.
故答案為：
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