資源簡介

第03講 復數
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：復數的概念 4
知識點2：復數的四則運算 4
解題方法總結 6
題型一：復數的概念 6
題型二：復數的運算 8
題型三：復數的幾何意義 10
題型四：復數的相等與共軛復數 12
題型五：復數的模 14
題型六：復數的三角形式 16
題型七：與復數有關的最值問題 19
題型八：復數方程 23
04真題練習·命題洞見 25
05課本典例·高考素材 26
06易錯分析·答題模板 27
易錯點：復數運算法則的應用有誤 27
答題模板：復數式的計算 28
考點要求 考題統計 考情分析
（1）復數的有關概念 （2）復數的幾何意義 （3）復數的四則運算 2024年I卷第2題，5分 2024年II卷第1題，5分 2023年I卷第2題，5分 2023年II卷第1題，5分 2022年I卷II卷第2題，5分 2021年II卷第1題，5分 2021年I卷第2題，5分 高考對復數的考查相對穩定，每年必考題型，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．復數的運算、概念、復數的模、復數的幾何意義是?？键c，難度較低，預測高考在此處仍以簡單題為主．
復習目標： （1）通過方程的解，認識復數． （2）理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義． （3）掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．
知識點1：復數的概念
（1）叫虛數單位，滿足，當時，．
（2）形如的數叫復數，記作．
①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．
②兩個復數相等（兩復數對應同一點）
③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
【診斷自測】（2024·湖南衡陽·模擬預測）若復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以的虛部為.
故選：D.
知識點2：復數的四則運算
1、復數運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
注意：復數加、減法的幾何意義
以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．
2、復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
3、復數的三角形式
（1）復數的三角表示式
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．
（3）三角形式下的兩個復數相等
兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復數三角形式的乘法運算
①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即
．
②復數乘法運算的三角表示的幾何意義
復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積．
（5）復數三角形式的除法運算
兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．
【診斷自測】（2024·河北衡水·模擬預測）若為純虛數，，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】，
因為為純虛數，所以，所以，，
所以.
故選：A.
解題方法總結
復數的方程在復平面上表示的圖形
(1)表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)表示以為圓心，r為半徑的圓．
題型一：復數的概念
【典例1-1】（2024·新疆·三模）復數滿足，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設且，則，
因為，所以,解得：，則的虛部為.
故選：C
【典例1-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）設復數,則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】,則,虛部是.
故選:A.
【方法技巧】
無論是復數模、共軛復數、復數相等或代數運算都要認清復數包括實部和虛部兩部分，所以在解決復數有關問題時要將復數的實部和虛部都認識清楚．
【變式1-1】（2024·重慶·三模）設復數z滿足，則z的虛部為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】設復數，
因為復數z滿足，可得，
即，則，，解得，
所以復數的虛部為.
故選：A.
【變式1-2】（2024·福建泉州·模擬預測）若，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以的虛部是.
故選：C
【變式1-3】若復數滿足，且為純虛數，則 .
【答案】/
【解析】因為為純虛數，設，且，則，
因為，所以，所以，
解得，所以.
故答案為：.
題型二：復數的運算
【典例2-1】（2024·四川·模擬預測）已知復數z滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令復數，則，
根據兩個復數相等的條件有，解得，所以．
故選：A
【典例2-2】設i是虛數單位，則復數（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由.
故選: C．
【方法技巧】
設，則
（1）
（2）
（3）
【變式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，
則，
故選：D.
【變式2-2】（2024·江西景德鎮·三模）下列有關復數，的等式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設，
對于A，令，，A錯誤；
對于B，
，B正確；
對于C，，
則，，
因此，C正確；
對于D，，D正確.
故選：A
【變式2-3】已知復數，的模長為1，且，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】設，，
則，，
所以，
，
因為，，所以，，
因為，所以，所以，
即，所以，
所以，，
所以.
故選：.
題型三：復數的幾何意義
【典例3-1】（2024·山西呂梁·三模）已知復數滿足，則復數在復平面對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由復數滿足，可得，則，
則復數 對應的點為位于第四象限.
故選：D.
【典例3-2】若復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】因為，
所以，
所以，所以復數在復平面內對應的點為，位于第四象限．
故選：D．
【方法技巧】
復數的幾何意義在于復數的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是研究復數幾何意義的最重要的出發點．
【變式3-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知復數的實部為的虛部為，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】，所以，所以，
其在復平面內的對應點為，位于第一象限．
故選：A．
【變式3-2】（2024·浙江·模擬預測）若復數z滿足（i為虛數單位)，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】設，則，
則，即，所以，，
解得，，故，對應的點在第四象限．
故選：D．
【變式3-3】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知復數的實部為的虛部為，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】由復數，可得，
所以，所以在復平面內的對應點為，位于第四象限．
故選：D．
【變式3-4】（2024·河南信陽·模擬預測）在復平面內，把復數對應的向量按順時針方向旋轉，所得向量在上的投影向量對應復數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為把復數對應的向量按順時針方向旋轉，
所以旋轉后的向量所對應的復數為，
所以旋轉后的向量，
又因為，，
所以向量在上的投影向量是，即對應復數是.
故選：.
題型四：復數的相等與共軛復數
【典例4-1】（2024·天津武清·模擬預測）已知，且，則 ．
【答案】1
【解析】由題意可得：，所以.
故答案為：1.
【典例4-2】已知復數z的共軛復數是，若，則 .
【答案】
【解析】設，則，
因為，所以，
整理得，
所以，解得，所以.
故答案為：
【方法技巧】
復數相等：
共軛復數：．
【變式4-1】（2024·山東聊城·二模）已知，且，則 ．
【答案】1
【解析】，
所以，解得.
故答案為：1
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）為虛數單位，復數，復數的共軛復數為，則的虛部為 ．
【答案】
【解析】解法一：
設復數，則，
由復數相等，得，解得，即復數，
所以，所以的虛部為．
解法二：
由，得．因為是實數，所以也是實數，
則有，所以的虛部為．
故答案為：
【變式4-3】已知，且滿足（其中為虛數單位），則 ．
【答案】2
【解析】由題意，可得，
所以，解得，所以.
故答案為：2
【變式4-4】已知a，，，則 .
【答案】6
【解析】，故，，得，，所以.
故答案為：6.
題型五：復數的模
【典例5-1】已知復數，且，則 .
【答案】或3
【解析】復數，
可得，則
整理得，，即
因為，所以且，
又因，故，解得，或.
故答案為：或3.
【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復數滿足，則 .
【答案】
【解析】令，則有，即，，
解得，即，.
故答案為：.
【方法技巧】
【變式5-1】復數的模為 .
【答案】/
【解析】
故．
故答案為：．
【變式5-2】已知，則 ．
【答案】5
【解析】假設，
則，，
∵，
∴①，②，③，
∴③-①-②得，
∴，
∴，
故答案為：5
【變式5-3】（2024·福建廈門·三模）復數滿足，，則 .
【答案】
【解析】設，則，
由，，
得，解得，
所以，
故答案為：.
【變式5-4】已知復數數列滿足，則 .
【答案】
【解析】因為，則，
所以
所以，
所以
.
故答案為：
題型六：復數的三角形式
【典例6-1】一般地，任何一個復數（，）都可以表示成形式，其中是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區分開來，（，）叫做復數的代數表示式，簡稱“代數形式”. 已知，，，其中，，則 ．(結果表示代數形式)
【答案】
【解析】因為，
所以，
又，，所以，
所以.
所以，
，
.
故答案為：.
【典例6-2】計算的結果是 .
【答案】
【解析】，
同理可得，
原式．
故答案為：
【方法技巧】
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
【變式6-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，則在下列表達式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因，則，
對于A，，故A項正確；
對于B， ，故B項錯誤；
對于C，，故C項錯誤；
對于D，由B項知，，故D項錯誤.
故選：A.
【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，
則，
所以，，即，
所以
故時，，故可取，
故選：D
【變式6-3】（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】，
在復平面內所對應的點為，在第二象限.
故選：B.
【變式6-4】（2024·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗（1667－1754年）創立的，指的是：設兩個復數，，則，已知復數，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】由題意可得，
故，
所以
.
故選：B
題型七：與復數有關的最值問題
【典例7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預測）若復數，滿足，，則的最大值是（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】D
【解析】設，，，，
因為，，
所以，，
所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
又表示點與的距離，
所以的最大值是，
故選：D.
【典例7-2】（2024·山東煙臺·三模）若復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】若復數z滿足，則由復數的幾何意義可知復數對應的點集是線段的垂直平分線，其中，
所以的最小值為.
故選：B.
【方法技巧】
利用幾何意義進行轉化
【變式7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復數，復數滿足，則的最大值為（ ）
A．7 B．6 C． D．
【答案】A
【解析】，
又，
即在復平面內，復數對應的點的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓，
又點到坐標原點的距離為，
所以的最大值為.
故選：A.
【變式7-2】（2024·湖南長沙·三模）已知復數z滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】表示對應的點是單位圓上的點，
的幾何意義表示單位圓上的點和之間的距離，
的取值范圍轉化為點到圓心的距離加上半徑可得最大值，減去半徑可得最小值，
所以最大距離為，最小距離為，
所以的取值范圍為.
故選：B
【變式7-3】（2024·江蘇·模擬預測）若復數，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知在復平面中對應的點為以原點為圓心的單位圓上一點，
而在復平面中對應的點不妨設為，
所以，
易知.
故選：B
【變式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復數，滿足，（其中i是虛數單位），則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】D
【解析】設復數在復平面內對應的點分別為
，
由題意可知：，
可知點的軌跡表示為焦點分別為的橢圓，
則長半軸長為，半焦距，短半軸長為，
且該橢圓的長軸所在直線為，短軸所在直線為．
因為點在上，且，
若使得最小，則需取得最小值，
即點為第一象限內的短軸端點，此時．
故選：D.
【變式7-5】（2024·山東·模擬預測）復數滿足，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】設復數在復平面上的對應點為，
則可表示為復平面上點到的距離，
可表示為復平面上點到的距離，
由題意可知：點在線段的中垂線上，如下圖：
線段的中點為，直線的斜率，
則的軌跡方程為，整理可得，
由可表示為點到的距離，
.
故選：A.
【變式7-6】已知復數滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】復數滿足，
則復數z對應的點的軌跡為以為焦點，長軸長的橢圓，
則橢圓短半軸長為，橢圓方程為，
表示橢圓上的點到原點的距離，
當點位于橢圓長軸上的頂點時，取值大值2；
當點位于橢圓短軸上的頂點時，取值小值；
故的取值范圍為，
故選：D
【變式7-7】（2024·安徽安慶·一模）設復數z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時的復數z為（ ）
A．+i B．+i C．i D．i
【答案】A
【解析】復數滿足條件，它是復平面上的單位圓，那么表示單位圓上的點到的距離，
要使此距離取最大值的復數，就是和連線和單位圓在第一象限的交點．
點到原點距離是2．單位圓半徑是1，又，所以．
故對應的復數為．
故選：A
題型八：復數方程
【典例8-1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數是關于的方程的一個根，則 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【答案】C
【解析】因為復數是關于的方程的一個根，
所以，所以，
所以，所以，
則，
故選：C.
【典例8-2】（2024·江蘇·一模）已知是關于x的方程的根，則實數（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】依題意知方程的根互為共軛復數，結合韋達定理可求得結果.因為是關于x的方程的根，則另一根為
由韋達定理得，所以
故選：B
【方法技巧】
復數方程是包含復數的方程，其中復數具有實部和虛部。解復數方程時，通常將利用復數的代數形式及三角形式進行求解。
【變式8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復數x滿足方程，那么 .
【答案】
【解析】因為，則.
故答案為：.
【變式8-2】已知是關于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝ ．
【答案】19
【解析】因為是關于x的方程的一個根，
所以是方程的另一個根，
所以，解得，
所以，
故答案為：19
【變式8-3】若是關于的實系數方程的一個復數根，則 .
【答案】3
【解析】∵實系數一元二次方程的一個虛根為，
∴其共軛復數也是方程的根.
由根與系數的關系知，，
∴ ，.
故答案為：
【變式8-4】的平方根為
【答案】
【解析】設所求復數為，由題意有，即，
則，解得或，即或，
即的平方根為，
故答案為.
【變式8-5】（2024·高三·上海浦東新·開學考試）若實系數方程的一個根是，則 ．
【答案】1
【解析】因為關于的實系數方程的一個根是，所以另一個根為，
根據韋達定理可得，所以.
又，所以，所以
故答案為：.
1．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）設，則（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】依題意得，，故.
故選：D
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，所以.
故選：C.
3．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【解析】由，則.
故選：A
4．（2024年北京高考數學真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得.
故選：C.
5．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
∴方程的根為，即.
易錯點：復數運算法則的應用有誤
易錯分析： (1)區分與
(2)區分與
【易錯題1】設有下面四個命題
：若復數滿足，則；
：若復數滿足，則；
：若復數滿足，則；
：若復數，則.
其中的真命題為
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令，則由得，所以，故正確；
當時，因為，而知，故不正確；
當時，滿足，但，故不正確；
對于，因為實數的共軛復數是它本身，也屬于實數，故正確，故選B.
【易錯題2】已知（，為虛數單位），則（ ）
A． B．3 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由，
可得，，
因此．
故選：B．
答題模板：復數式的計算
1、模板解決思路
復數的四則運算，解題的關鍵是知道．復數的乘法類似多項式（或單項式）乘法，復數的除法類似分母有理化．
2、模板解決步驟
第一步：如果是除法運算，利用分母有理化，將復數的除法化簡．
第二步：按照多項式乘法，將復數乘法化簡．
第三步：把代入，進一步化簡，求得最終結果．
【經典例題1】已知a，b為實數，復數，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】因為，所以，
則，即，
從而，即，解得，故
故選：A.
【經典例題2】計算 （其中為虛數單位）．
【答案】/
【解析】.
故答案為：
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 復數
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：復數的概念 4
知識點2：復數的四則運算 4
解題方法總結 6
題型一：復數的概念 6
題型二：復數的運算 7
題型三：復數的幾何意義 8
題型四：復數的相等與共軛復數 9
題型五：復數的模 9
題型六：復數的三角形式 10
題型七：與復數有關的最值問題 11
題型八：復數方程 13
04真題練習·命題洞見 13
05課本典例·高考素材 14
06易錯分析·答題模板 15
易錯點：復數運算法則的應用有誤 15
答題模板：復數式的計算 16
考點要求 考題統計 考情分析
（1）復數的有關概念 （2）復數的幾何意義 （3）復數的四則運算 2024年I卷第2題，5分 2024年II卷第1題，5分 2023年I卷第2題，5分 2023年II卷第1題，5分 2022年I卷II卷第2題，5分 2021年II卷第1題，5分 2021年I卷第2題，5分 高考對復數的考查相對穩定，每年必考題型，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大．復數的運算、概念、復數的模、復數的幾何意義是常考點，難度較低，預測高考在此處仍以簡單題為主．
復習目標： （1）通過方程的解，認識復數． （2）理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義． （3）掌握復數的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義．
知識點1：復數的概念
（1）叫虛數單位，滿足，當時，．
（2）形如的數叫復數，記作．
①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）．兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數．
②兩個復數相等（兩復數對應同一點）
③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，．
【診斷自測】（2024·湖南衡陽·模擬預測）若復數，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
知識點2：復數的四則運算
1、復數運算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共軛復數．
（3）．
實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數．
注意：復數加、減法的幾何意義
以復數分別對應的向量為鄰邊作平行四邊形，對角線表示的向量就是復數所對應的向量．對應的向量是．
2、復數的幾何意義
（1）復數對應平面內的點；
（2）復數對應平面向量；
（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數．
（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離．
3、復數的三角形式
（1）復數的三角表示式
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
（2）輻角的主值
任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，且這些值相差的整數倍．規定在范圍內的輻角的值為輻角的主值．通常記作，即．復數的代數形式可以轉化為三角形式，三角形式也可以轉化為代數形式．
（3）三角形式下的兩個復數相等
兩個非零復數相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．
（4）復數三角形式的乘法運算
①兩個復數相乘，積的模等于各復數的模的積，積的輻角等于各復數的輻角的和，即
．
②復數乘法運算的三角表示的幾何意義
復數對應的向量為，把向量繞點按逆時針方向旋轉角（如果，就要把繞點按順時針方向旋轉角），再把它的模變為原來的倍，得到向量，表示的復數就是積．
（5）復數三角形式的除法運算
兩個復數相除，商的模等于被除數的模除以除數的模所得的商，商的輻角等于被除數的輻角減去除數的輻角所得的差，即．
【診斷自測】（2024·河北衡水·模擬預測）若為純虛數，，則（ ）
A． B． C．2 D．3
解題方法總結
復數的方程在復平面上表示的圖形
(1)表示以原點O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環；
(2)表示以為圓心，r為半徑的圓．
題型一：復數的概念
【典例1-1】（2024·新疆·三模）復數滿足，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·湖北武漢·模擬預測）設復數,則的虛部是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
無論是復數模、共軛復數、復數相等或代數運算都要認清復數包括實部和虛部兩部分，所以在解決復數有關問題時要將復數的實部和虛部都認識清楚．
【變式1-1】（2024·重慶·三模）設復數z滿足，則z的虛部為（ ）
A． B． C．3 D．
【變式1-2】（2024·福建泉州·模擬預測）若，則的虛部為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】若復數滿足，且為純虛數，則 .
題型二：復數的運算
【典例2-1】（2024·四川·模擬預測）已知復數z滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】設i是虛數單位，則復數（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
設，則
（1）
（2）
（3）
【變式2-1】（2024·青海海南·一模）已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-2】（2024·江西景德鎮·三模）下列有關復數，的等式中錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-3】已知復數，的模長為1，且，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
題型三：復數的幾何意義
【典例3-1】（2024·山西呂梁·三模）已知復數滿足，則復數在復平面對應的點在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例3-2】若復數滿足，則復數在復平面內對應的點位于（　?。?br/>A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【方法技巧】
復數的幾何意義在于復數的實質是復平面上的點，其實部、虛部分別是該點的橫坐標、縱坐標，這是研究復數幾何意義的最重要的出發點．
【變式3-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知復數的實部為的虛部為，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-2】（2024·浙江·模擬預測）若復數z滿足（i為虛數單位)，則z在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-3】（2024·陜西銅川·模擬預測）已知復數的實部為的虛部為，則的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式3-4】（2024·河南信陽·模擬預測）在復平面內，把復數對應的向量按順時針方向旋轉，所得向量在上的投影向量對應復數是（ ）
A． B． C． D．
題型四：復數的相等與共軛復數
【典例4-1】（2024·天津武清·模擬預測）已知，且，則 ．
【典例4-2】已知復數z的共軛復數是，若，則 .
【方法技巧】
復數相等：
共軛復數：．
【變式4-1】（2024·山東聊城·二模）已知，且，則 ．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）為虛數單位，復數，復數的共軛復數為，則的虛部為 ．
【變式4-3】已知，且滿足（其中為虛數單位），則 ．
【變式4-4】已知a，，，則 .
題型五：復數的模
【典例5-1】已知復數，且，則 .
【典例5-2】（2024·江西南昌·三模）已知復數滿足，則 .
【方法技巧】
【變式5-1】復數的模為 .
【變式5-2】已知，則 ．
【變式5-3】（2024·福建廈門·三模）復數滿足，，則 .
【變式5-4】已知復數數列滿足，則 .
題型六：復數的三角形式
【典例6-1】一般地，任何一個復數（，）都可以表示成形式，其中是復數的模，是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角，叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式.為了與“三角形式”區分開來，（，）叫做復數的代數表示式，簡稱“代數形式”. 已知，，，其中，，則 ．(結果表示代數形式)
【典例6-2】計算的結果是 .
【方法技巧】
一般地，任何一個復數都可以表示成形式，其中是復數的模；是以軸的非負半軸為始邊，向量所在射線（射線）為終邊的角，叫做復數的輻角．叫做復數的三角表示式，簡稱三角形式．
【變式6-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）已知，則在下列表達式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）復數是虛數單位在復平面內對應點為，設是以軸的非負半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角，則，把叫做復數的三角形式，利用復數的三角形式可以進行復數的指數運算，，例如：，，復數滿足：，則可能取值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-3】（2024·內蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式（其中i為虛數單位）是由法國數學家棣莫弗（1667-1754）發現的，根據棣莫弗公式可知，復數在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【變式6-4】（2024·湖北恩施·模擬預測）任意一個復數都可以表示成三角形式，即．棣莫弗定理是由法國數學家棣莫弗（1667－1754年）創立的，指的是：設兩個復數，，則，已知復數，則（ ）
A． B． C． D．1
題型七：與復數有關的最值問題
【典例7-1】（2024·江蘇泰州·模擬預測）若復數，滿足，，則的最大值是（ ）
A． B． C．7 D．8
【典例7-2】（2024·山東煙臺·三模）若復數z滿足，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【方法技巧】
利用幾何意義進行轉化
【變式7-1】（2024·高三·河北滄州·期中）已知復數，復數滿足，則的最大值為（ ）
A．7 B．6 C． D．
【變式7-2】（2024·湖南長沙·三模）已知復數z滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2024·江蘇·模擬預測）若復數，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-4】（2024·湖北鄂州·一模）已知復數，滿足，（其中i是虛數單位），則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【變式7-5】（2024·山東·模擬預測）復數滿足，則的最小值為（ ）
A． B．1 C． D．
【變式7-6】已知復數滿足，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-7】（2024·安徽安慶·一模）設復數z滿足條件|z|＝1，那么取最大值時的復數z為（ ）
A．+i B．+i C．i D．i
題型八：復數方程
【典例8-1】（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知復數是關于的方程的一個根，則 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
【典例8-2】（2024·江蘇·一模）已知是關于x的方程的根，則實數（ ）
A． B． C．2 D．4
【方法技巧】
復數方程是包含復數的方程，其中復數具有實部和虛部。解復數方程時，通常將利用復數的代數形式及三角形式進行求解。
【變式8-1】（2024·上海嘉定·三模）已知復數x滿足方程，那么 .
【變式8-2】已知是關于x的方程的一個根，其中p，，則p＋q＝ ．
【變式8-3】若是關于的實系數方程的一個復數根，則 .
【變式8-4】的平方根為
【變式8-5】（2024·高三·上海浦東新·開學考試）若實系數方程的一個根是，則 ．
1．（2024年高考全國甲卷數學（文）真題）設，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
4．（2024年北京高考數學真題）已知，則（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知，則（ ）
易錯點：復數運算法則的應用有誤
易錯分析： (1)區分與
(2)區分與
【易錯題1】設有下面四個命題
：若復數滿足，則；
：若復數滿足，則；
：若復數滿足，則；
：若復數，則.
其中的真命題為
A． B．
C． D．
【易錯題2】已知（，為虛數單位），則（ ）
A． B．3 C．1 D．2
答題模板：復數式的計算
1、模板解決思路
復數的四則運算，解題的關鍵是知道．復數的乘法類似多項式（或單項式）乘法，復數的除法類似分母有理化．
2、模板解決步驟
第一步：如果是除法運算，利用分母有理化，將復數的除法化簡．
第二步：按照多項式乘法，將復數乘法化簡．
第三步：把代入，進一步化簡，求得最終結果．
【經典例題1】已知a，b為實數，復數，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【經典例題2】計算 （其中為虛數單位）．
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