資源簡介

第02講 平面向量的數量積及其應用
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：平面向量的數量積 4
知識點2：數量積的運算律 4
知識點3：數量積的性質 5
知識點4：數量積的坐標運算 5
解題方法總結 6
題型一：平面向量的數量積運算 7
題型二：平面向量的夾角問題 8
題型三：平面向量的模長 9
題型四：平面向量的投影、投影向量 9
題型五：平面向量的垂直問題 11
題型六：建立坐標系解決向量問題 11
題型七：平面向量的實際應用 13
題型八：向量回路恒等式 15
04真題練習·命題洞見 16
05課本典例·高考素材 17
06易錯分析·答題模板 18
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯 18
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積 19
考點要求 考題統計 考情分析
（1）平面向量的數量積 （2）平面向量數量積的幾何意義 2024年I卷第3題，5分 2024年II卷第3題，5分 2023年I卷第3題，5分 2023年II卷第13題，5分 2023年甲卷（理）第4題，5分 2022年II卷第4題，5分 平面向量數量積的運算、化簡、證明及數量積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工具出現．向量的應用是跨學科知識的一個交匯點，務必引起重視． 預測命題時考查平面向量數量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數及解析幾何相結合的解答題也是熱點．
復習目標： （1）理解平面向量數量積的含義及其幾何意義 （2）了解平面向量的數量積與投影向量的關系． （3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算 （4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題
知識點1：平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
【診斷自測】（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長為4的弦，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
知識點2：數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；
②；
③．
【診斷自測】（2024·四川雅安·模擬預測）在中，，， 且， 則（ ）
A． B． C． D．
知識點3：數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
【診斷自測】（2024·西藏·模擬預測）已知向量，．若，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．2
知識點4：數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與的關系 （當且僅當時等號成立）
【診斷自測】已知平面向量，且，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
解題方法總結
（1）在上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．
（2）數量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．
（3）根據平面向量數量積的性質：，，等，所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若、、是實數，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
（5）數量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
題型一：平面向量的數量積運算
【典例1-1】設平面向量，，且，則=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【典例1-2】在中，，，，為的外心，則（ ）
A．5 B．2 C． D．
【方法技巧】
（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
【變式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【變式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，則為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【變式1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知邊長為1的正方形ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【變式1-4】（2024·陜西安康·模擬預測）菱形的邊長為，以為圓心作圓且與相切于是與的交點，則 .
【變式1-5】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（ ）
A． B． C． D．1
題型二：平面向量的夾角問題
【典例2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知單位向量滿足，則 .
【典例2-2】（2024·陜西·二模）已知，則向量的夾角的余弦值為 .
【方法技巧】
求夾角，用數量積，由得，進而求得向量的夾角．
【變式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均為非零向量，若，則與的夾角為 ．
【變式2-2】已知與的夾角為．若為鈍角，則的取值范圍是 ．
【變式2-3】（2024·高三·天津寧河·期末）已知單位向量與的夾角為，則向量與的夾角為 ．
【變式2-4】（2024·四川綿陽·模擬預測）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則 .
【變式2-5】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知非零向量滿足，且，則的夾角大小為 ．
【變式2-6】（2024·上海·模擬預測）已知向量，，滿足，，且，則 ．
題型三：平面向量的模長
【典例3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知向量滿足，則
【典例3-2】（2024·浙江溫州·二模）平面向量滿足，，，則 ．
【方法技巧】
求模長，用平方，．
【變式3-1】（2024·安徽池州·模擬預測）已知向量，，且與共線，則 .
【變式3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預測）若向量，滿足，，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量，的夾角為，若，則的值為 .
題型四：平面向量的投影、投影向量
【典例4-1】（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知向量，，則在上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
【變式4-3】在三角形中，若，則向量在向量上的投影向量為 .
【變式4-4】已知向量與的夾角為，，設在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】已知雙曲線的左 右焦點分別為B，C，以BC為直徑的圓與漸近線交與點A，連接AB與另一條漸近線交與點E，為原點，，且.若在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C． D．
題型五：平面向量的垂直問題
【典例5-1】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知向量，若，則（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知向量滿足，且，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預測）若，是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A．0 B．2 C． D．
【變式5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·重慶·模擬預測）已知，且與不共線，若向量與互相垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
題型六：建立坐標系解決向量問題
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為 ．
【典例6-2】如圖，已知正方形的邊長為，且，連接交于，則
【方法技巧】
邊長為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
【變式6-1】（2024·高三·河南濮陽·開學考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形均為正方形，，則 .
【變式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形邊長為1，且為線段的中點，若在線段上，且，則 ，點為線段上的動點，過點作的平行線交邊于點，過點做的垂線交邊于點，則的最小值為 .
【變式6-3】窗，古時亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現，在中國建筑文化中是一種獨具文化意蘊和審美魅力的重要建筑構件．如圖是某古代建筑群的窗戶設計圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長為50cm的正方形，它是由四個全等的直角三角形和一個邊長為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則 ．
【變式6-4】如圖，正八邊形中，若，則的值為 ．
題型七：平面向量的實際應用
【典例7-1】（2024·高三·廣東汕頭·期末）設表示向東走了10 km，表示向南走了5 km，則所表示的意義為（ ）
A．向東南走了 km B．向西南走了 km
C．向東南走了 km D．向西南走了 km
【典例7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【方法技巧】
用向量方法解決實際問題的步驟
【變式7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當角取哪個值時，繩承受的拉力最小.（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為（　　）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏東，
D．北偏東，
【變式7-4】在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）．假設行李包所受的重力為，所受的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結論不正確的是（　　）
A．的最小值為
B．的范圍為
C．當時，
D．當時，
題型八：向量回路恒等式
【典例8-1】如圖，在平面四邊形中，，，則 ．
【典例8-2】如圖，在平面四邊形中，若，，則 ．
【方法技巧】
向量回路恒等式：
【變式8-1】如圖，已知在四邊形中，．則 ．
1．（2024年北京高考數學真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
5．（2023年北京高考數學真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
7．一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A處出發到河對岸.已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為.如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：
（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；
（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；
（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.
請同學們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最短.
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯
易錯分析： （1）解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知角之間的關系是互補還是相等．（2）向量的數量積與代數中，的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“ ”．
【易錯題1】在中，，，，則的值為 .
【易錯題2】已知在上的投影向量為，則的值為 .
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積
1、模板解決思路
通過定義法求解本模板問題時，要將待求數量積的向量用已知模和夾角的向量表示出來，再運算求解．
2、模板解決步驟
第一步：根據條件，把向量用已知模和夾角的向量表示出來．
第二步：將的表示式代入，再根據定義法求數量積．
第三步：進一步求解相關問題．
【經典例題1】已知在邊長為2的菱形中，，點滿足，則 .
【經典例題2】如圖，在△ABC中，，，，則 ．
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目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：平面向量的數量積 4
知識點2：數量積的運算律 5
知識點3：數量積的性質 5
知識點4：數量積的坐標運算 6
解題方法總結 7
題型一：平面向量的數量積運算 7
題型二：平面向量的夾角問題 10
題型三：平面向量的模長 14
題型四：平面向量的投影、投影向量 15
題型五：平面向量的垂直問題 19
題型六：建立坐標系解決向量問題 21
題型七：平面向量的實際應用 27
題型八：向量回路恒等式 31
04真題練習·命題洞見 33
05課本典例·高考素材 34
06易錯分析·答題模板 38
易錯點：對向量數量積的定義理解不深刻導致出錯 38
答題模板：利用定義法計算平面圖形的數量積 39
考點要求 考題統計 考情分析
（1）平面向量的數量積 （2）平面向量數量積的幾何意義 2024年I卷第3題，5分 2024年II卷第3題，5分 2023年I卷第3題，5分 2023年II卷第13題，5分 2023年甲卷（理）第4題，5分 2022年II卷第4題，5分 平面向量數量積的運算、化簡、證明及數量積的應用問題，如證明垂直、距離等是每年必考的內容，單獨命題時，一般以選擇、填空形式出現．交匯命題時，向量一般與解析幾何、三角函數、平面幾何等相結合考查，而此時向量作為工具出現．向量的應用是跨學科知識的一個交匯點，務必引起重視． 預測命題時考查平面向量數量積的幾何意義及坐標運算，同時與三角函數及解析幾何相結合的解答題也是熱點．
復習目標： （1）理解平面向量數量積的含義及其幾何意義 （2）了解平面向量的數量積與投影向量的關系． （3）掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算 （4）會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題
知識點1：平面向量的數量積
（1）平面向量數量積的定義
已知兩個非零向量與，我們把數量叫做與的數量積（或內積），記作，即=，規定：零向量與任一向量的數量積為0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量數量積的幾何意義
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影數量，當為銳角時，它是正數；當為鈍角時，它是負數；當為直角時，它是0．
②的幾何意義：數量積等于的長度與在方向上射影的乘積．
③設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
【診斷自測】（2024·安徽安慶·三模）已知線段是圓的一條長為4的弦，則（ ）
A．4 B．6 C．8 D．16
【答案】C
【解析】取中點，連接，
易知，所以.
故選：C．
知識點2：數量積的運算律
已知向量、、和實數，則：
①；
②；
③．
【診斷自測】（2024·四川雅安·模擬預測）在中，，， 且， 則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以，
.
故選：B
知識點3：數量積的性質
設、都是非零向量，是與方向相同的單位向量，是與的夾角，則
①．②．
③當與同向時，；當與反向時，．
特別地，或．
④．⑤．
【診斷自測】（2024·西藏·模擬預測）已知向量，．若，則實數的值是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】由題意得，．
，因為，
所以，所以，所以，解得．
故選：A．
知識點4：數量積的坐標運算
已知非零向量，，為向量、的夾角．
結論 幾何表示 坐標表示
模
數量積
夾角
的充要條件
的充要條件
與的關系 （當且僅當時等號成立）
【診斷自測】已知平面向量，且，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得，，
又，所以，即，
所以，解得.
故選：B.
解題方法總結
（1）在上的投影是一個數量，它可以為正，可以為負，也可以等于0．
（2）數量積的運算要注意時，，但時不能得到或，因為時，也有．
（3）根據平面向量數量積的性質：，，等，所以平面向量數量積可以用來解決有關長度、角度、垂直的問題．
（4）若、、是實數，則（）；但對于向量，就沒有這樣的性質，即若向量、、滿足（），則不一定有，即等式兩邊不能同時約去一個向量，但可以同時乘以一個向量．
（5）數量積運算不適合結合律，即，這是由于表示一個與共線的向量，表示一個與共線的向量，而與不一定共線，因此與不一定相等．
題型一：平面向量的數量積運算
【典例1-1】設平面向量，，且，則=（ ）
A．1 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】因為，所以又，
則
所以，
則
，
故選：
【典例1-2】在中，，，，為的外心，則（ ）
A．5 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，，
又為的外心，是的中點，
故選：D
【方法技巧】
（1）求平面向量的數量積是較為常規的題型，最重要的方法是緊扣數量積的定義找到解題思路．
（2）平面向量數量積的幾何意義及坐標表示，分別突出了它的幾何特征和代數特征，因而平面向量數量積是中學數學較多知識的交匯處，因此它的應用也就十分廣泛．
【變式1-1】（2024·高三·吉林四平·期末）已知向量，滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【解析】`
由，且與的夾角為，
所以
.
故選：B.
【變式1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，則為（ ）
A．12 B．8 C．-8 D．2
【答案】A
【解析】在方向上投影向量為，
，.
故選：A
【變式1-3】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知邊長為1的正方形ABCD，點E，F分別是BC，CD的中點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】邊長為1的正方形ABCD，，，
，，
所以.
故選：D.
【變式1-4】（2024·陜西安康·模擬預測）菱形的邊長為，以為圓心作圓且與相切于是與的交點，則 .
【答案】1+/
【解析】由題可知，則，
所以，
故，
故.
故答案為：
【變式1-5】（2024·浙江寧波·模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】，，且，
而三點共線，，即，
，
所以.
故選：A.
題型二：平面向量的夾角問題
【典例2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）已知單位向量滿足，則 .
【答案】
【解析】因為，且，
所以，
所以，
即.
又，
所以.
故答案為：.
【典例2-2】（2024·陜西·二模）已知，則向量的夾角的余弦值為 .
【答案】
【解析】設向量夾角為，則.
故答案為：.
【方法技巧】
求夾角，用數量積，由得，進而求得向量的夾角．
【變式2-1】（2024·江西宜春·三模）已知，均為非零向量，若，則與的夾角為 ．
【答案】
【解析】由，可得，即，解得，
因為，所以，
又因為，所以．
故答案為：.
【變式2-2】已知與的夾角為．若為鈍角，則的取值范圍是 ．
【答案】且
【解析】由，且為鈍角，所以，解得，
當時，則，解得，此時與夾角為，不成立，
且．
故答案為：且．
【變式2-3】（2024·高三·天津寧河·期末）已知單位向量與的夾角為，則向量與的夾角為 ．
【答案】/
【解析】因為單位向量與的夾角為，
所以，
所以，
，故，
，故，
所以，
又，
所以向量與的夾角為.
故答案為：
【變式2-4】（2024·四川綿陽·模擬預測）平面向量與相互垂直，已知，，且與向量的夾角是鈍角，則 .
【答案】
【解析】設，，，①，，②，
因為與向量夾角為鈍角，，③，
由①②③解得，.
故答案為：.
【變式2-5】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知非零向量滿足，且，則的夾角大小為 ．
【答案】
【解析】因為，設向量 與的夾角為6，
所以，
又因為，
所以，所以.
因為，所以.
所以向量的夾角大小為.
故答案為：.
【變式2-6】（2024·上海·模擬預測）已知向量，，滿足，，且，則 ．
【答案】/0.8
【解析】由題，故即，
，；
，故即，
，；
，故即，
，，
所以，
且，，
所以.
故答案為：.
題型三：平面向量的模長
【典例3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知向量滿足，則
【答案】
【解析】可得，
故，
故答案為：
【典例3-2】（2024·浙江溫州·二模）平面向量滿足，，，則 ．
【答案】
【解析】設向量，由可得，
又，則，
解得，，則，
所以.
故答案為：
【方法技巧】
求模長，用平方，．
【變式3-1】（2024·安徽池州·模擬預測）已知向量，，且與共線，則 .
【答案】
【解析】因為與共線，
所以，
所以，
所以，
所以，
故答案為：.
【變式3-2】（2024·江蘇連云港·模擬預測）若向量，滿足，，且，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以，所以，其中是的夾角，
所以.
故選：B.
【變式3-3】（2024·高三·上海奉賢·期中）已知平面向量，的夾角為，若，則的值為 .
【答案】
【解析】由兩邊平方得，，
，解得
故答案為：
題型四：平面向量的投影、投影向量
【典例4-1】（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由題可設，則，
所以，又，
故在上的投影向量為
，
故選：A.
【典例4-2】（2024·新疆喀什·二模）在直角梯形中，且與交于點，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在直角梯形中，且，過作于，
則，故，從而.
因此，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：C
【方法技巧】
設，是兩個非零向量，它們的夾角是與是方向相同的單位向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，我們稱上述變換為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．記為．
【變式4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，
所以，得，
所以向量在向量方向上的投影向量為.
故選：C
【變式4-2】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知向量，，則在上的投影向量為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，，所以， ，
所以在上的投影向量為.
故選：B
【變式4-3】在三角形中，若，則向量在向量上的投影向量為 .
【答案】
【解析】因為，所以為線段的中點，
因為，所以，所以,
所以，
所以為等腰三角形，
所以向量在向量上的投影向量為
,
故答案為：.
【變式4-4】已知向量與的夾角為，，設在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在上的投影向量為， 即，
則有，
又向量與的夾角為，，
所以.
故選：A.
【變式4-5】已知雙曲線的左 右焦點分別為B，C，以BC為直徑的圓與漸近線交與點A，連接AB與另一條漸近線交與點E，為原點，，且.若在上的投影向量為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以BC為直徑的圓與漸近線交與點A，AB與另一條漸近線交與點E，
則，由，所以，，
又，則，即是等邊三角形，
，則，
由在上的投影向量，即，
所以，
由圖得，.
故選：A.
題型五：平面向量的垂直問題
【典例5-1】（2024·西藏林芝·模擬預測）已知向量，若，則（ ）
A．2或3 B．或 C．1或 D．或6
【答案】D
【解析】由題意，向量，可得，
因為，則，即，解得或6．
故選：D
【典例5-2】（2024·甘肅張掖·模擬預測）已知向量滿足，且，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據題意，，所以，
又，所以，
即，因為，
所以.
故選：A.
【方法技巧】
【變式5-1】（2024·遼寧·模擬預測）若，是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A．0 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】，是夾角為的兩個單位向量，
則，，
因為與垂直，
則，
即，解得.
故選：A.
【變式5-2】（2024·浙江紹興·二模）已知，是單位向量，且它們的夾角是，若，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，，即，解得，
故選：B．
【變式5-3】（2024·重慶·模擬預測）已知，且與不共線，若向量與互相垂直，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為向量與互相垂直，
所以，即，
即，解得.
故選：C
題型六：建立坐標系解決向量問題
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知在菱形ABCD中，，若點M在線段AD上運動，則的取值范圍為 ．
【答案】．
【解析】，
記的交點為，以為原點，所在直線分別為x，y軸建立如圖1所示的平面直角坐標系，
則，，，，，
故，，
則，
故，又
則．
【典例6-2】如圖，已知正方形的邊長為，且，連接交于，則
【答案】
【解析】以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，建立直角坐標系，則，，
設，可得，
因為，則，可得，
即，解得，即的坐標為，
設，則，，
由可得，解得，
則，，可得
所以．
故答案為：.
【方法技巧】
邊長為的等邊三角形 已知夾角的任意三角形 正方形 矩形
平行四邊形 直角梯形 等腰梯形 圓
【變式6-1】（2024·高三·河南濮陽·開學考試）大約在公元222年，趙爽為《周髀算經》一書作注時介紹了“勾股圓方圖”，即“趙爽弦圖”.如圖是某同學繪制的趙爽弦圖，其中四邊形均為正方形，，則 .
【答案】
【解析】以為坐標原點，建立如圖所示的直角坐標系，因為，
所以，
所以，所以.
故答案為：.
【變式6-2】（2024·天津·二模）已知菱形邊長為1，且為線段的中點，若在線段上，且，則 ，點為線段上的動點，過點作的平行線交邊于點，過點做的垂線交邊于點，則的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖所示，以為原點建立平面直角坐標系，則有、，
由，則，
則，則，，
則，，由，
即，則，
則，，
又在線段上，故有，
解得，即，；
設，，
則，由，則，
由，，則，則，
則，故，
則，，，
則
，
則當時，有最小值.
故答案為：；.
【變式6-3】窗，古時亦稱為牖，它伴隨著建筑的起源而出現，在中國建筑文化中是一種獨具文化意蘊和審美魅力的重要建筑構件．如圖是某古代建筑群的窗戶設計圖，窗戶的輪廓ABCD是邊長為50cm的正方形，它是由四個全等的直角三角形和一個邊長為10cm的小正方形EFGH拼接而成，則 ．
【答案】
【解析】根據正方形的對稱性，設其中心為坐標原點，如圖建立平面直角坐標系，
設與軸正方向的夾角為，
則，即，
所以，
因為三點共線，所以，即，
解得，
所以，所以，
所以，又為銳角，所以
，所以
；
故答案為：
【變式6-4】如圖，正八邊形中，若，則的值為 ．
【答案】
【解析】
如圖，以所在的直線分別為軸建立平面直角坐標系，正八邊形的中心即為坐標原點，設交軸與點，，
，所以，
，所以，
即軸，為等腰直角三角形，
設，則，，
所以，所以，，與關于軸對稱，
所以，
，，，
由得，
即，解得，
所以.
故答案為：.
題型七：平面向量的實際應用
【典例7-1】（2024·高三·廣東汕頭·期末）設表示向東走了10 km，表示向南走了5 km，則所表示的意義為（ ）
A．向東南走了 km B．向西南走了 km
C．向東南走了 km D．向西南走了 km
【答案】A
【解析】可以表示向東走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知，
所表示的意義為向東南走了 km.
故選：A.
【典例7-2】（2024·浙江溫州·二模）物理學中，如果一個物體受到力的作用，并在力的方向上發生了一段位移，我們就說這個力對物體做了功，功的計算公式：（其中是功，是力，是位移）一物體在力和的作用下，由點移動到點，在這個過程中這兩個力的合力對物體所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】A
【解析】因為，，所以，又，，所以，故.
故選：A.
【方法技巧】
用向量方法解決實際問題的步驟
【變式7-1】一條東西方向的河流兩岸平行，河寬，河水的速度為向正東．一艘小貨船準備從河南岸碼頭P處出發，航行到河對岸Q（與河的方向垂直）的正西方向并且與Q相距的碼頭M處卸貨，若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為，則當小貨船的航程最短時，小貨船航行速度的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，當小貨船的航程最短時，航線路線為線段，設小貨船航行速度為，水流的速度為，水流的速度與小貨船航行的速度的合速度為，作出示意圖如下：
，，在中，有，
所以，，，
所以，
所以，
所以小貨船航行速度的大小為，
故選：C.
【變式7-2】（2024·廣東梅州·二模）如圖，兩根繩子把物體M吊在水平桿子AB上.已知物體M的重力大小為20牛，且，在下列角度中，當角取哪個值時，繩承受的拉力最小.（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出示意圖，設與物體平衡的力對應的向量為，則，
以為對角線作平行四邊形，則，是繩承受的拉力大小，
由，得，所以，
中，由正弦定理得，即，
可得，
結合，可知當時，達到最小值10.
綜上所述，當角時，繩承受的拉力最小.
故選：C
【變式7-3】在水流速度的自西向東的河中，如果要使船以的速度從河的南岸垂直到達北岸，則船出發時行駛速度的方向和大小為（　　）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏東，
D．北偏東，
【答案】A
【解析】
如圖，船從點O出發，沿方向行駛才能使船垂直到達對岸，
依題意，，，
則，則，
因為為銳角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行駛，才能垂直到達對岸.
故選:A.
【變式7-4】在日常生活中，我們會看到兩個人共提一個行李包的情況（如圖所示）．假設行李包所受的重力為，所受的兩個拉力分別為，，且，與的夾角為，則以下結論不正確的是（　　）
A．的最小值為
B．的范圍為
C．當時，
D．當時，
【答案】B
【解析】如圖，對于選項A：當、方向同向時，有，此時取得最小值，且最小值為，A正確；
對于選項B：當時，有，行李包不會處于平衡狀態，即，B錯誤；
對于選項C：當行李包處于平衡時，，若，
則有，變形得，
，即，正確；
對于D選項：若，則有則有，變形可得則有，D正確，
故選：B．
題型八：向量回路恒等式
【典例8-1】如圖，在平面四邊形中，，，則 ．
【答案】
【解析】由題意得，，
，
因為，，
從而.
故答案為：.
【典例8-2】如圖，在平面四邊形中，若，，則 ．
【答案】5
【解析】由題意可得：，
故，則，即.
故答案為：5.
【方法技巧】
向量回路恒等式：
【變式8-1】如圖，已知在四邊形中，．則 ．
【答案】
【解析】
如圖，設分別為的中點．
則．又，
故．
同理，．又，
則
.
故答案為
1．（2024年北京高考數學真題）設 ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.
故選：B.
2．（2024年新課標全國Ⅰ卷數學真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因為，所以，
所以即，故，
故選：D.
3．（2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】因為，所以，即，
又因為，
所以，
從而.
故選：B.
4．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
【答案】C
【解析】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
5．（2023年北京高考數學真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量滿足，
所以.
故選：B
1．已知的外接圓圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設中點為，則，即，故邊為圓的直徑，
則，又，則為正三角形，
則有，
向量在向量上的投影向量，
故選：A
2．已知非零向量與滿足且，則為（ ）
A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等邊三角形 D．等邊三角形
【答案】D
【解析】中，，
，
，，，
，是等腰三角形；
又，
，
，，
∴是等邊三角形.
故選：D.
3．已知O，N，P在所在平面內，且，且，則點O，N，P依次是的
（注：三角形的三條高線交于一點，此點為三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心內心
C．外心重心垂心 D．外心重心內心
【答案】C
【解析】因為，所以到定點的距離相等，所以為的外心，由，則，取的中點，則，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以點為的垂心，故選C.
考點：向量在幾何中的應用.
4．如圖，在中，是不是只需知道的半徑或弦AB的長度，就可以求出的值？
【解析】只與弦AB的長度有關，與半徑無關.理由如下：
設的半徑為r，AB的長度為2a，取AB的中點D，連接CD，則.
在中，，
.
5．已知，求與的夾角.
【解析】因為，
所以，
即，所以，
因此，
所以與的夾角為.
6．如圖，在中，已知，BC，AC邊上的兩條中線AM，BM相交于點P，求的余弦值.
【解析】∵M，N分別是BC，AC的中點，
.
與的夾角等于.
，
，
，
．
7．一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A處出發到河對岸.已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為.如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：
（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；
（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；
（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.
請同學們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最短.
【解析】設與的夾角為，船行駛的時間為t,.
（1）當為鈍角時，；
（2）當為銳角時，；
（3）當為直角時，；
當為鈍角時，，
當為銳角時，.
通過定義法求解本模板問題時，要將待求數量積的向量用已知模和夾角的向量表示出來，再運算求解．
2、模板解決步驟
第一步：根據條件，把向量用已知模和夾角的向量表示出來．
第二步：將的表示式代入，再根據定義法求數量積．
第三步：進一步求解相關問題．
【經典例題1】已知在邊長為2的菱形中，，點滿足，則 .
【答案】
【解析】如圖，設與交于點，過點作的平行線交于點.因為，
所以，所以，
因為四邊形是邊長為2的菱形，，
所以，且，所以在上的投影向量為，
所以.
故答案為：
【經典例題2】如圖，在△ABC中，，，，則 ．
【答案】
【解析】由,可知，
,則
故答案為：．
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