資源簡介

第01講 平面向量的概念及線性運算
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：向量的有關概念 4
知識點2：向量的線性運算 4
知識點3：平面向量基本定理和性質 5
知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算 7
解題方法總結 7
題型一：平面向量的基本概念 8
題型二：平面向量的線性運算及求參數問題 9
題型三：共線定理及其應用 10
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用 12
題型五：平面向量的直角坐標運算 15
題型六：向量共線的坐標表示 16
04真題練習·命題洞見 16
05課本典例·高考素材 17
06易錯分析·答題模板 19
易錯點：忽視平面向量基本定理的使用條件 19
答題模板：用基底表示向量 19
考點要求 考題統計 考情分析
（1）向量的有關概念 （2）向量的線性運算和向量共線定理 （3）平面向量基本定理和性質 （4）平面向量的坐標表示及坐標運算 2024年I卷第3題，5分 2024年甲卷（理）第9題，5分2023年北京卷第3題，5分 2022年I卷第3題，5分 2021年乙卷（文）第13題，5分 2022年乙卷（文）第3題，5分 通過對近5年高考試題分析可知，高考在本節以考查基礎題為主，考查形式也較穩定，考查內容一般為平面向量基本定理與坐標運算，預計后面幾年的高考也不會有大的變化．
復習目標： （1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義． （2）掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義． （3）了解平面向量基本定理及其意義 （4）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算
知識點1：向量的有關概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
【診斷自測】下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
知識點2：向量的線性運算
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則平行四邊形法則 ①交換律 ②結合律
減法 求與的相反向量的和的運算叫做與的差 三角形法則
數乘 求實數與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同； 當時，
【注意】
（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．
（2）兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：，，．
【診斷自測】（ ）
A． B． C． D．
知識點3：平面向量基本定理和性質
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量，都存在唯一的一對實數，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為，叫做向量關于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、線段定比分點的向量表達式
如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
4、三點共線定理
平面內三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數，使，其中，為平面內一點．此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在，使得．
5、中線向量定理
如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．
【診斷自測】在中，已知D是BC邊上靠近點B的三等分點，E是AC的中點，且，則（ ）
A． B． C． D．1
知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有
向量向量點．
（3）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．
若，為實數，則，即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應坐標．
（4）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
（5）平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
【診斷自測】已知點，且，則點的坐標是 ．
解題方法總結
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．
即．
（2），當且僅當至少有一個為時，向量不等式的等號成立．
（3）特別地：或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．
（4）減法公式：，常用于向量式的化簡．
（5）、、三點共線，這是直線的向量式方程．
題型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】（2024·高三·福建廈門·開學考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
【典例1-2】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③若 (λ為實數)，則λ必為零；④已知λ，μ為實數，若，則與共線.其中錯誤命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點無關．
【變式1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則與不是共線向量
【變式1-2】設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
題型二：平面向量的線性運算及求參數問題
【典例2-1】若 ，則 的取值范圍是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【典例2-2】在平行四邊形中，為的中點，為上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解．
【變式2-1】如圖，在平行四邊形中，，點E滿足，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）如圖所示，平行四邊形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）．
A．1 B．-1 C． D．
【變式2-3】已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數），則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2024·高三·安徽·開學考試）古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構造無理數. 已知與交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
題型三：共線定理及其應用
【典例3-1】已知平面向量，不共線，，，，則（ ）
A．，，三點共線 B．，，三點共線
C．，，三點共線 D．，，三點共線
【典例3-2】如圖，在中，是上的一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
要證明A，B，C三點共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點共線，則必有與共線，從而存在實數，使得=．
【變式3-1】如圖，中，點M是BC的中點，點N滿足，AM與CN交于點D，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·重慶·模擬預測）已知點是的重心，點是線段的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】已知是兩個不共線的單位向量，，若與共線，則 .
【變式3-4】已知的重心為G，經過點G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則 .
【變式3-5】如圖，點G為△ABC的重心，過點G的直線分別交直線AB，AC點D，E兩點，，，則＝ ；若，則的最小值為 .
【變式3-6】如圖，在中，與BE交于點，，則的值為 ；過點的直線分別交于點設，則的最小值為 .

題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用
【典例4-1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【典例4-2】如圖，在△ABC中，點D，D，E分別為BC和BA的三等分點，點D靠近點B，AD交CE于點P，設，，則＝（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數乘運算，基本方法有兩種：
（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三點共線定理：A，B，P三點共線的充要條件是：存在實數，使，其中，O為AB外一點．
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）在中，點D在邊AB上且滿足，E為BC的中點，直線DE交AC的延長線于點F，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-3】在中，，I為的內心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【變式4-4】（2024·江蘇揚州·模擬預測）在中，為線段的中點，過的直線分別與線段交于，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】如圖，平面內有三個向量，，，其中 ，，且，，若，則 .
【變式4-6】（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-7】（2024·河北衡水·模擬預測）在中，是的中點，直線分別與交于點，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-8】（2024·河南·模擬預測）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-9】在中，，點為與的交點，，則 ．
【變式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
題型五：平面向量的直角坐標運算
【典例5-1】已知為的外心，若且，則（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】 為坐標原點，，若點在直線上，且，是的中點，則點的坐標為 ．
【方法技巧】
（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程（組）來進行求解．
【變式5-1】已知點，向量，，點滿足，則點的坐標為 ．
【變式5-2】已知梯形ABCD中，，三個頂點.則頂點的坐標 .
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為 ,
【變式5-4】如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點P的坐標為 ．
【變式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐標系中，，把向量順時針旋轉定角得到，關于軸的對稱點記為，，則的坐標為
題型六：向量共線的坐標表示
【典例6-1】已知，，且，則 ．
【典例6-2】已知向量，若三點共線，則 .
【方法技巧】
（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若，，則的充要條件是；②若，則．
（2）向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解．
【變式6-1】已知向量，若與共線，則實數 .
【變式6-2】已知向量，若，則 ．
【變式6-3】在平面直角坐標系中，已知點，，．則的中點坐標為 ；當實數 時，．
1．（2023年北京高考數學真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2022年新高考全國I卷數學真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2020年新高考全國卷Ⅱ數學試題（海南卷））在中，D是AB邊上的中點，則=（ ）
A． B． C． D．
4．（2024年上海秋季高考數學真題）已知，且，則的值為 ．
5．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）已知向量，若，則 ．
1．（1）如圖（1），在中，計算；
（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計算；
（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結論.
2．飛機從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，畫出飛機飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠？
3．如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC中點．求證：．
易錯點：忽視平面向量基本定理的使用條件
易錯分析： 平面內所有向量的一組基底必須是兩個不共線的向量，且不能含有零向量.
【易錯題1】如果表示平面內所有向量的一個基底，那么下列四組向量，不能作為一個基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【易錯題2】在△ABC中，D是邊BC的中點，E是邊AC上一點，且，記，，，則（ ）
A． B． C． D．
答題模板：用基底表示向量
1、模板解決思路
當待求向量的兩個端點都能夠確定位置時，一般在平面圖形中借助三角形法則或平行四邊形法則將向量不斷向基底轉化．當待求向量某個端點的位置不能確定時，一般通過向量共線定理和平面向量基本定理解決．
2、模板解決步驟
第一步：找一個向量所在的三角形或平行四邊形，用三角形的另外兩條邊或平行四邊形的鄰邊對應的向量表示待求向量．
第二步：根據題中給出的線段的數量關系進行轉化．
第三步：將不是基底的向量作為待求向量按照第一步、第二步的方法不斷進行轉化為，直到關系式中只用表示.
【典型例題1】在中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【典型例題2】在中，點是上靠近的三等分點，是上靠近的三等分點，則（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第01講 平面向量的概念及線性運算
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：向量的有關概念 4
知識點2：向量的線性運算 4
知識點3：平面向量基本定理和性質 5
知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算 7
解題方法總結 8
題型一：平面向量的基本概念 9
題型二：平面向量的線性運算及求參數問題 11
題型三：共線定理及其應用 14
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用 19
題型五：平面向量的直角坐標運算 26
題型六：向量共線的坐標表示 30
04真題練習·命題洞見 32
05課本典例·高考素材 33
06易錯分析·答題模板 36
易錯點：忽視平面向量基本定理的使用條件 36
答題模板：用基底表示向量 37
考點要求 考題統計 考情分析
（1）向量的有關概念 （2）向量的線性運算和向量共線定理 （3）平面向量基本定理和性質 （4）平面向量的坐標表示及坐標運算 2024年I卷第3題，5分 2024年甲卷（理）第9題，5分2023年北京卷第3題，5分 2022年I卷第3題，5分 2021年乙卷（文）第13題，5分 2022年乙卷（文）第3題，5分 通過對近5年高考試題分析可知，高考在本節以考查基礎題為主，考查形式也較穩定，考查內容一般為平面向量基本定理與坐標運算，預計后面幾年的高考也不會有大的變化．
復習目標： （1）理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義． （2）掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義． （3）了解平面向量基本定理及其意義 （4）會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算
知識點1：向量的有關概念
（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（或模）．
（2）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（3）特殊向量：
①零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．
②單位向量：長度等于1個單位的向量．
③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規定：與任一向量平行．
④相等向量：長度相等且方向相同的向量．
⑤相反向量：長度相等且方向相反的向量．
【診斷自測】下列命題中，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【解析】對于A：若，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；
對于B：向量不能比較大小，只能相同，B錯誤；
對于C：若，則方向相同，C 正確；
對于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯誤.
故選：C.
知識點2：向量的線性運算
（1）向量的線性運算
運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 三角形法則平行四邊形法則 ①交換律 ②結合律
減法 求與的相反向量的和的運算叫做與的差 三角形法則
數乘 求實數與向量的積的運算 （1） （2）當時，與的方向相同；當時，與的方向相同； 當時，
【注意】
（1）向量表達式中的零向量寫成，而不能寫成0．
（2）兩個向量共線要區別與兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直線平行或重合，而在直線中，兩條直線重合與平行是兩種不同的關系．
（3）要注意三角形法則和平行四邊形法則適用的條件，運用平行四邊形法則時兩個向量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應的向量；運用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進行平移，使之符合條件．
（4）向量加法和減法幾何運算應該更廣泛、靈活如：，，．
【診斷自測】（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
故選：A．
知識點3：平面向量基本定理和性質
1、共線向量基本定理
如果，則；反之，如果且，則一定存在唯一的實數，使．（口訣：數乘即得平行，平行必有數乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一個平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內的任一向量，都存在唯一的一對實數，使得，我們把不共線向量，叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，記為，叫做向量關于基底的分解式．
注意：由平面向量基本定理可知：只要向量與不共線，平面內的任一向量都可以分解成形如的形式，并且這樣的分解是唯一的．叫做，的一個線性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據，也是向量的坐標表示的基礎．
推論1：若，則．
推論2：若，則．
3、線段定比分點的向量表達式
如圖所示，在中，若點是邊上的點，且（），則向量．在向量線性表示（運算）有關的問題中，若能熟練利用此結論，往往能有“化腐朽為神奇”之功效，建議熟練掌握．
4、三點共線定理
平面內三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數，使，其中，為平面內一點．此定理在向量問題中經常用到，應熟練掌握．
A、B、C三點共線
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在唯一的實數，使得；
存在，使得．
5、中線向量定理
如圖所示，在中，若點D是邊BC的中點，則中線向量，反之亦正確．
【診斷自測】在中，已知D是BC邊上靠近點B的三等分點，E是AC的中點，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因為D是BC邊上靠近點B的三等分點，E是AC的中點，
所以
，
因為，
所以，所以.
故選：A
知識點4：平面向量的坐標表示及坐標運算
（1）平面向量的坐標表示．
在平面直角坐標中，分別取與軸，軸正半軸方向相同的兩個單位向量作為基底，那么由平面向量基本定理可知，對于平面內的一個向量，有且只有一對實數使，我們把有序實數對叫做向量的坐標，記作．
（2）向量的坐標表示和以坐標原點為起點的向量是一一對應的，即有
向量向量點．
（3）設，，則，，即兩個向量的和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．
若，為實數，則，即實數與向量的積的坐標，等于用該實數乘原來向量的相應坐標．
（4）設，，則=，即一個向量的坐標等于該向量的有向線段的終點的坐標減去始點坐標．
（5）平面向量的直角坐標運算
①已知點，，則，
②已知，，則，，
，．
，
【診斷自測】已知點，且，則點的坐標是 ．
【答案】
【解析】如圖，連接，
設為坐標原點，建立平面直角坐標系，，
整理得．
故答案為：
解題方法總結
（1）向量的三角形法則適用于任意兩個向量的加法，并且可以推廣到兩個以上的非零向量相加，稱為多邊形法則．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．
即．
（2），當且僅當至少有一個為時，向量不等式的等號成立．
（3）特別地：或當且僅當至少有一個為時或者兩向量共線時，向量不等式的等號成立．
（4）減法公式：，常用于向量式的化簡．
（5）、、三點共線，這是直線的向量式方程．
題型一：平面向量的基本概念
【典例1-1】（2024·高三·福建廈門·開學考試）下列命題不正確的是（ ）
A．零向量是唯一沒有方向的向量
B．零向量的長度等于0
C．若，都為非零向量，則使成立的條件是與反向共線
D．若，，則
【答案】A
【解析】A選項，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A錯誤；
B選項，由零向量的定義知，零向量的長度為0，故B正確；
C選項，因為與都是單位向量，所以只有當與是相反向量，即與是反向共線時才成立，故C正確；
D選項，由向量相等的定義知D正確.
故選：A
【典例1-2】給出下列命題：①兩個具有公共終點的向量，一定是共線向量；②兩個向量不能比較大小，但它們的模能比較大小；③若 (λ為實數)，則λ必為零；④已知λ，μ為實數，若，則與共線.其中錯誤命題的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】①錯誤. 兩向量共線要看其方向而不是起點與終點.
②正確.因為向量既有大小，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的模均為實數，故可以比較大小.
③錯誤.因為，所以或.
④錯誤.當λ＝μ＝0時，，此時，與可以是任意向量.
所以錯誤命題有3個.
故選：C.
【方法技巧】
準確理解平面向量的基本概念是解決向量題目的關鍵．共線向量即為平行向量，非零向量平行具有傳遞性，兩個向量方向相同或相反就是共線向量，與向量長度無關，兩個向量方向相同且長度相等，就是相等向量．共線向量或相等向量均與向量起點無關．
【變式1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則與不是共線向量
【答案】C
【解析】對于A，向量的模為非負數，它們可以比較大小，但向量不可以比較大小，故A錯誤.
對于B，兩個向量的模相等，但方向可以不同，故B錯誤.
對于C，若，則必定共線，故，故C成立.
對于D，當時，它們可以模長不相等，但可以同向或反向，
故與可以為共線向量，故D錯誤.
故選：
【變式1-2】設是非零向量，λ是非零實數，下列結論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
【答案】B
【解析】對于A，當時，與的方向相同，當時，與的方向相反，故A不正確；對于B，顯然，即B正確；
對于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關系不確定，故C不正確；
對于D，是向量，而表示長度，兩者不能比較大小，故D不正確．
故選：B
題型二：平面向量的線性運算及求參數問題
【典例2-1】若 ，則 的取值范圍是（ ）
A．[3，7] B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意知，且,
當同向時，取得最小值，；
當反向時，取得最大值，；
當不共線時，取得最小值，，
故 的取值范圍是，
故選：C
【典例2-2】在平行四邊形中，為的中點，為上一點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為為的中點，則，
所以.
故選：A.
【方法技巧】
（1）兩向量共線問題用向量的加法和減法運算轉化為需要選擇的目標向量即可，而此類問題又以“爪子型”為幾何背景命題居多，故熟練掌握“爪子型”公式更有利于快速解題．
（2）進行向量運算時，要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發的基本向量或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數乘運算來求解．
（3）除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解．
【變式2-1】如圖，在平行四邊形中，，點E滿足，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意知，點滿足，可得，
則.
故選：A.
【變式2-2】（2024·寧夏吳忠·模擬預測）如圖所示，平行四邊形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（ ）．
A．1 B．-1 C． D．
【答案】D
【解析】由題意知，
因為，所以，，，
故選：D．
【變式2-3】已知矩形的對角線交于點O，E為AO的中點，若（，為實數），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖
在矩形中，
，
在中，
，
，
，
．
故選：A．
【變式2-4】（2024·高三·安徽·開學考試）古希臘數學家特埃特圖斯（Theaetetus）利用如圖所示的直角三角形來構造無理數. 已知與交于點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的坐標系，
由題意得，
則，.
因為，故，
因為，所以（負值舍去），
所以，
故.又，則，
因為，所以，
解得，所以，
故選：A.
題型三：共線定理及其應用
【典例3-1】已知平面向量，不共線，，，，則（ ）
A．，，三點共線 B．，，三點共線
C．，，三點共線 D．，，三點共線
【答案】D
【解析】因為平面向量，不共線，所以，可以作為平面內的一組基底，
又，，，
所以，，
對于A：因為，，顯然不存在實數使得，
所以，，三點不共線，故A錯誤；
對于B：因為，，不存在實數使得，
所以，，三點不共線，故B錯誤；
對于C：因為，，不存在實數使得，
所以，，三點不共線，故C錯誤；
對于D：因為，，所以，
所以，故，，三點共線，故D正確.
故選：D
【典例3-2】如圖，在中，是上的一點，若，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，，所以，
又，即.
因為三點共線，所以，解得.
故選：D.
【方法技巧】
要證明A，B，C三點共線，只需證明與共線，即證=（）．若已知A，B，C三點共線，則必有與共線，從而存在實數，使得=．
【變式3-1】如圖，中，點M是BC的中點，點N滿足，AM與CN交于點D，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，點M是BC的中點，，則，
又，于是得，因點C，D，N共線，則有，解得，
所以.
故選：C
【變式3-2】（2024·重慶·模擬預測）已知點是的重心，點是線段的中點，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
所以.
故選：C
【變式3-3】已知是兩個不共線的單位向量，，若與共線，則 .
【答案】2
【解析】因為與共線，所以，
即，又不共線，所以，所以.
故答案為：
【變式3-4】已知的重心為G，經過點G的直線交AB于D，交AC于E，若，，則 .
【答案】3
【解析】
如圖，設F為BC的中點，則，又，，
則，又G，D，E三點共線，∴，即.
故答案為：3.
【變式3-5】如圖，點G為△ABC的重心，過點G的直線分別交直線AB，AC點D，E兩點，，，則＝ ；若，則的最小值為 .
【答案】
【解析】因為點G為△ABC的重心，
所以，
因為，，
所以，
因為三點共線，
所以，
則則，代入得
令，，
令，則或（舍）
且當時，,遞減
當時，，遞增
所以當時，有極小值，即最小值，
且
故答案為:；.
【變式3-6】如圖，在中，與BE交于點，，則的值為 ；過點的直線分別交于點設，則的最小值為 .

【答案】 4
【解析】設，令，
因為，所以，
所以，
又與分別共線，所以，解得.
因為，
所以，即，
解得，即.
因為，
所以，
所以，
因為共線，所以，
所以，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為.
故答案為：4；.
題型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及應用
【典例4-1】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
【答案】C
【解析】對A：不存在實數，使得，
故和不共線，可作基底；
對B：不存在實數，使得，
故和不共線，可作基底；
對C：對 和，因為是不共線的兩個非零向量，
且存在實數，使得，
故和共線，不可作基底；
對D：不存在實數，使得，故和不共線，可作基底.
故選：C.
【典例4-2】如圖，在△ABC中，點D，D，E分別為BC和BA的三等分點，點D靠近點B，AD交CE于點P，設，，則＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設，，
所以，
又，所以，
因為，
所以，
所以，解得，
所以，
故選：B.
【方法技巧】
應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數乘運算，基本方法有兩種：
（1）運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止．
（2）將向量用含參數的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解．
（3）三點共線定理：A，B，P三點共線的充要條件是：存在實數，使，其中，O為AB外一點．
【變式4-1】（2024·全國·模擬預測）在中，點D在邊AB上且滿足，E為BC的中點，直線DE交AC的延長線于點F，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由題，A，C，F三點共線，則，
D，E，F三點共線，則，
∴　，得　，
∴．
故選：B.
【變式4-2】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在中，取為基底，
則，
因為點分別為的中點，,
所以，
所以.
故選：B.
【變式4-3】在中，，I為的內心，若，則的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，
根據內心的性質可知，
于是
，
于是．
故選：C.
【變式4-4】（2024·江蘇揚州·模擬預測）在中，為線段的中點，過的直線分別與線段交于，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，因則,即（*），
又,,代入（*）得，,
即，因三點共線，故，解得，.
故選：B.
【變式4-5】如圖，平面內有三個向量，，，其中 ，，且，，若，則 .
【答案】6
【解析】
連接 ,交于點,
則,
,
法一：由平面向量基本定理得
,
法二：根據等高線定理可得
故答案為：6
【變式4-6】（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
故選：D．
【變式4-7】（2024·河北衡水·模擬預測）在中，是的中點，直線分別與交于點，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得.
因為共線，所以，解得.
故選：B.
【變式4-8】（2024·河南·模擬預測）在中，點為的中點，，與交于點，且滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，因為點為的中點，，
所以，，
，
所以，即，解得
所以，的值為.
故選：B
【變式4-9】在中，，點為與的交點，，則 ．
【答案】/
【解析】因為，所以為中點，
三點共線，故可設，即，
整理得，
因為，所以，即，
三點共線，
可得，
所以，解得，
可得，則，.
故答案為:
【變式4-10】（2024·高三·河南·期中）已知為等邊三角形，分別以CA，CB為邊作正六邊形，如圖所示，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】選取為基底，
，
，
，
設
，
，，
即.
故選：A
題型五：平面向量的直角坐標運算
【典例5-1】已知為的外心，若且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，則有，如圖所示，
設的外心，由，得，解得，
由，得，解得，
得，則，
又，，
由，即，
得，解得，
故.
【典例5-2】 為坐標原點，，若點在直線上，且，是的中點，則點的坐標為 ．
【答案】或
【解析】由題可知，，點在直線上，則，
又，，
設點，則，，
①當時，則，
，解得：，，
是的中點，
，解得：，.
②當時，則，
，解得：，，
是的中點，
，解得：，，
綜上可得，點的坐標為或.
故答案為：或.
【方法技巧】
（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．
（2）解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程（組）來進行求解．
【變式5-1】已知點，向量，，點滿足，則點的坐標為 ．
【答案】
【解析】因為點，向量，，
所以，，
設，則，
，
因為，所以，解得，所以.
故答案為：
【變式5-2】已知梯形ABCD中，，三個頂點.則頂點的坐標 .
【答案】
【解析】∵在梯形中，，，，，．
∴．設點D的坐標為．
則，．
∴，即，
∴解得故點的坐標為．
故答案為：．
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，點，，．若與的交點為，則的中點的坐標為 ,
【答案】
【解析】在平行四邊形中，
因為與的交點為，且為的中點，
所以
，
由為坐標原點，所以向量的坐標即為的坐標，
故點的坐標為．
故答案為：.
【變式5-4】如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2，6)，B(6，4)，C(5，0)，D(1，0)，則直線AC與BD交點P的坐標為 ．
【答案】
【解析】設P(x，y)，則(x－1，y)，(5，4)，(－3，6)，(4，0)．
由B，P，D三點共線可得．
又因為，由與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.
解得，
所以，即，
故.
所以P的坐標為.
故答案為：
【變式5-5】（2024·高三·上海普陀·期末）在平面直角坐標系中，，把向量順時針旋轉定角得到，關于軸的對稱點記為，，則的坐標為
【答案】
【解析】把向量順時針旋轉定角得到，得，
關于軸的對稱點記為，則，即
把向量順時針旋轉定角得到，得，即
關于軸的對稱點記為，則，
以此類推可得當為奇數時，，
當為偶數時，，
故的坐標為.
故答案為：
題型六：向量共線的坐標表示
【典例6-1】已知，，且，則 ．
【答案】
【解析】由可得，解得，.
故答案為：.
【典例6-2】已知向量，若三點共線，則 .
【答案】
【解析】由，又三點共線，
所以與共線，得，解得.
故答案為：
【方法技巧】
（1）兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：①若，，則的充要條件是；②若，則．
（2）向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解．
【變式6-1】已知向量，若與共線，則實數 .
【答案】
【解析】因，，
則由與共線可得，，解得.
故答案為：.
【變式6-2】已知向量，若，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以，
又因為，所以，所以.
故答案為：．
【變式6-3】在平面直角坐標系中，已知點，，．則的中點坐標為 ；當實數 時，．
【答案】 /
【解析】因為，，，所以的中點坐標為，即；
又，，，
則，
因為，則，解得.
故答案為：；
1．（2023年北京高考數學真題）已知向量滿足，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量滿足，
所以.
故選：B
2．（2022年新高考全國I卷數學真題）在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
3．（2020年新高考全國卷Ⅱ數學試題（海南卷））在中，D是AB邊上的中點，則=（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
故選：C
4．（2024年上海秋季高考數學真題（網絡回憶版））已知，且，則的值為 ．
【答案】15
【解析】，，解得．
故答案為：15．
5．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）已知向量，若，則 ．
【答案】
【解析】由題意結合向量平行的充分必要條件可得：，
解方程可得：.
故答案為：.
1．（1）如圖（1），在中，計算；
（2）如圖（2），在四邊形ABCD中，計算；
（3）如圖（3），在n邊形中，證明你的結論.
【解析】（1）
（2）.
（3）.
證明如下：
2．飛機從甲地沿北偏西15°的方向飛行1400km到達乙地，再從乙地沿南偏東75°的方向飛行1400km到達丙地，畫出飛機飛行的位移示意圖，并說明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多遠？
【解析】如圖，丙地在甲地的北偏東45°方向，距甲地1400km.
設甲地為，乙地為，丙地為，作出示意圖，
則，，，
，
是等邊三角形，
，，
，
即丙地在甲地北偏東，丙地距甲地.
3．如圖，在任意四邊形ABCD中，E，F分別是AD，BC中點．求證：．

【解析】因為E，F分別是AD，BC中點，
所以，，.
因為，，
所以，.
4．在中，，且與邊AC相交于點E，的中線AM與DE相交于點N.設，用，分別表示向量.
【解析】如圖，

.
5．已知O為四邊形ABCD所在平面內一點，且向量滿足等式.
（1）作出滿足條件的四邊形ABCD.
（2）四邊形ABCD有什么特點？請證明你的猜想.
【解析】（1）作圖，
通過作圖可以發現四邊形ABCD為平行四邊形.
（2）四邊形ABCD為平行四邊形，證明如下：
因為，所以，
對于D中，向量和，假設存在實數，使得，可得無解，所以和可以作為基底．
故選:C．
【易錯題2】在△ABC中，D是邊BC的中點，E是邊AC上一點，且，記，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由D是邊BC的中點，，
則，
，則，，所以.
故選：C
答題模板：用基底表示向量
1、模板解決思路
當待求向量的兩個端點都能夠確定位置時，一般在平面圖形中借助三角形法則或平行四邊形法則將向量不斷向基底轉化．當待求向量某個端點的位置不能確定時，一般通過向量共線定理和平面向量基本定理解決．
2、模板解決步驟
第一步：找一個向量所在的三角形或平行四邊形，用三角形的另外兩條邊或平行四邊形的鄰邊對應的向量表示待求向量．
第二步：根據題中給出的線段的數量關系進行轉化．
第三步：將不是基底的向量作為待求向量按照第一步、第二步的方法不斷進行轉化為，直到關系式中只用表示.
【典型例題1】在中，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，，
所以.
故選：B.
【典型例題2】在中，點是上靠近的三等分點，是上靠近的三等分點，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由點是上靠近的三等分點，是上靠近的三等分點，
得
.
故選：C.
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