資源簡介

拔高點突破02 平面向量與復數背景下的新定義問題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：向量外積（叉積） 2
題型二：斜坐標系 5
題型三：向量新定義之新概念 10
題型四：向量新定義之新運算 14
題型五：向量新定義之新性質 18
題型六：復數新定義 22
03 過關測試 26
1、平面向量背景下的新定義問題是一類既涉及平面向量基礎知識，又融入新穎定義和復雜信息的數學問題。這類問題要求考生不僅掌握平面向量的基本概念和運算規則，還需要具備良好的分析能力和邏輯推理能力。平面向量背景下的新定義問題，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的運算規則或概念。解題時，首先要準確理解新定義的本質，明確其涉及的向量運算和性質。接著，將新定義應用到具體的題目情境中，通過向量的加法、減法、數乘、數量積等運算，推導出所需的結論。這類問題往往信息量大，背景新穎，需要考生耐心分析，細致推理。同時，注意平面向量的模、夾角等幾何特征在新定義問題中的應用，以及如何利用這些特征簡化解題過程。最終，通過綜合應用平面向量的基礎知識和新定義，解決這類復雜而有趣的數學問題。
2、復數背景下的新定義問題是一類融合了復數基礎理論與新穎概念的數學問題。這類問題要求考生不僅熟悉復數的代數表示、模、輻角等基本概念，還需具備靈活運用復數運算規則的能力。解題時，首先要深入理解新定義的本質，明確其涉及的復數運算和性質。接著，將新定義與具體的題目情境相結合，通過復數的加、減、乘、除等運算，推導出所需的結論。這類問題往往考察考生的邏輯推理能力和創新能力，需要考生在新穎的復數運算或概念中找到解題的突破口。最終，通過綜合運用復數的基礎知識和新定義，解決這類富有挑戰性的數學問題。
題型一：向量外積（叉積）
【典例1-1】如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（ ）
A． B．16 C． D．20
【答案】B
【解析】因為，，，所以，
所以，所以，所以.
故選：B
【典例1-2】（2024·高三·內蒙古呼和浩特·期末）若向量，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積可以用、的外積表示出來，即.已知在平面直角坐標系中，、，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知在平面直角坐標系中，、，，
因為
，
因為，則，則，
則，則，
當時，即當時，面積取最大值.
故選：A.
【變式1-1】（多選題）已知向量的數量積（又稱向量的點積或內積）：，其中表示向量的夾角；定義向量的向量積（又稱向量的叉積或外積）：，其中表示向量的夾角，則下列說法正確的是（ ）
A．若為非零向量，且，則
B．若四邊形為平行四邊形，則它的面積等于
C．已知點為坐標原點，則
D．若，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】對于A中，因為是非零向量，由，可得，即，
可得，且，解得或，所以A錯誤；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，因為，可知，
則，且，可得，
所以，故C正確；
對于D中，因為，即，
可得，可知，可得，
則，
所以，當且僅當時，等號成立，所以D正確，
故選：BCD.
【變式1-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個非零向量與，定義，其中為與的夾角，若，，則的值為（ ）
A．5 B．7 C．2 D．
【答案】A
【解析】因為，，則，
，
則，
又，則，
則.
故選：A
【變式1-3】定義：，其中為向量，的夾角，若，，，則（ ）
A．6 B． C． D．8
【答案】D
【解析】∵，∴，即，
∴，∴，
∵，∴，
∴.
故選：D.
題型二：斜坐標系
【典例2-1】（2024·云南昆明·模擬預測）向量的廣義坐標是用于描述向量或系統狀態的一組數值，其選擇取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，物理學中的振動系統可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問題．通過選擇適當的廣義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數學表達，提高問題的可解性，并使模型更符合實際場景．已知向量，是平面內的一組基向量，O為內的定點．對于內任意一點P，若，則稱有序實數對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的（ ）
A．點關于點O的對稱點不一定為
B．A，B兩點間的距離為
C．若向量平行于向量，則的值不一定為0
D．若線段的中點為C，則點C的廣義坐標為
【答案】D
【解析】對于A，，設關于點的對稱點為，則，
因為，不共線，所以，A錯誤；
對于B，因為，
所以，
當向量，是相互垂直的單位向量時，，兩點間的距離為，否則距離不為，B錯誤；
對于C，當與中至少一個是時，結論成立；
當與都不為時，設（），有，即，所以，C錯誤；
對于D，，
所以線段中點的廣義坐標為，D正確
故選：D
【典例2-2】（2024·吉林長春·模擬預測）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（ ）
A．當時與距離為
B．點關于原點的對稱點為
C．向量與平行的充要條件是
D．點到直線的距離為
【答案】D
【解析】設軸正方向的單位向量為，軸正方向的單位向量為，
對于A選項：由已知得，所以.
由及斜坐標的定義可知，
，
故A選項正確；
對于B選項：根據“斜坐標系”的定義可知：點，則，設關于原點的對稱點為，則，
由于不共線，所以，
故B選項正確；
對于C選項：，
若是零向量，則成立，同時，所以成立，
此時；
若是非零向量，則存在非零常數，使，所以.
故C選項正確；
對于D選項：設直線上的動點為,，
因為，所以，
設，則點在直線上，
所以直線過點，
因為，則，
，
由于，所以.
所以，所以，
所以點A到直線的距離為，
故D選項錯誤.
故選：D
【變式2-1】如圖所示，設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為斜坐標系，若，則把有序數對叫做向量的斜坐標，記為．在的斜坐標系中，﹒則下列結論中，錯誤的是（ ）
①；②；③；④在上的投影為
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【答案】D
【解析】對于①. ，
所以，故①正確；
對于②. ，故②錯誤；
對于③. ，故③錯誤；
對于④. 在上的投影為 ，故④錯誤.
故選：D
【變式2-2】如圖，設，是平面內夾角為的兩條數軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則有序數對叫做點在坐標系中的坐標.在該坐標系下，，，為不共線的三點，下列結論錯誤的是（ ）

A．線段中點的坐標為 B．重心的坐標為
C．，兩點的距離為 D．若，則，，三點共線
【答案】C
【解析】根據題意，，，，
對于A，設的中點為，則，
故線段中點的坐標為，故A正確．
對于B，設重心為，則
，
故重心的坐標為，故B正確；
對于C，，
所以
=
即該坐標系中，兩點間的距離為：
，故C錯誤；
對于D，，，
若，易得，則、、三點共線，
若，變形可得，所以，
所以，所以、、三點共線，
綜合可得：若，則，，三點共線，故D正確．
故選：C．
題型三：向量新定義之新概念
【典例3-1】（多選題）（2024·山東濰坊·三模）定義平面向量的一種運算“”如下：對任意的兩個向量，，令，下面說法一定正確的是（ ）
A．對任意的，有
B．存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立
C．若與垂直，則與共線
D．若與共線，則與的模相等
【答案】AD
【解析】設向量，，對于A，對任意的，有
，故A正確；
對于B，假設存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組
，對任意恒成立，而此方程組無解，故B不正確；
對于C，若與垂直，則，設，則，
，其中，故C不正確；
對于D，若與共線，則，設，
，
，所以與的模相等，故D正確.
故選：AD.
【典例3-2】（多選題）設是平面直角坐標系中相異的四點，若，，且，則稱調和分割，已知平面上的點C，D調和分割點A，B，則下面說法正確的是（ ）
A．A、B、C、D四點共線
B．D可能是線段的中點
C．C、D可能同時在線段上
D．C、D不可能同時在線段的延長線上
【答案】AD
【解析】∵，
∴，
∴、、、四點共線
∵平面上的點C，D調和分割點A，B
∴A、B、C、D四點共線，故A正確；
由題意可設、、、，則，.
∴，
∵
∴
對于B，若D是線段的中點，則，代入到，不存在，故B錯誤；
對于C，若C、D同時在線段上，則，，代入到，可得，此時C、D重合，與題意不符，故C錯誤；
對于D，若C、D同時在線段的延長線上，則，，所以，與矛盾，故C、D不可能同時在線段的延長線上，故D正確.
故選：AD.
【變式3-1】設為平面內的任意兩個向量，定義一種向量運算“”：對于同一平面內的向量，給出下列結論：
①；②；
③；④若是單位向量，則．
以上所有正確結論的序號是 ．
【答案】①④
【解析】對于①，當與不共線時，；
當與共線時，，①正確.
對于②，當與共線時，，，
所以與不一定相等，②錯誤.
對于③，當，，共線時，，，
所以與不一定相等，③錯誤.
對于④，當與不共線時，記，則；
當與共線時，，④正確.
故答案為：①④
【變式3-2】（2024·河北邯鄲·二模）對任意兩個非零的平面向量和，定義：，．若平面向量滿足，且和都在集合中，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【答案】D
【解析】因為，
設向量和的夾角為，因為，所以，
得到，
又，所以，
又在集合中，所以，即，得到，
又因為，所以或，
所以或，
故選：D.
【變式3-3】（多選題）（2024·高三·山東青島·期末）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點.已知平面內點，點，，，點繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點，則（ ）
A． B．
C．的坐標為 D．的坐標為
【答案】ACD
【解析】由題意可知點，點，故，
因為，故 ，
又，即，故，
所以，，故B錯誤，C正確；
因為點繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點，
所以，
則由,可得點坐標為，故D正確；
故，則，A正確，
故選：ACD
題型四：向量新定義之新運算
【典例4-1】（多選題）在實數集中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”．類似實數排序的定義，我們定義“點序”，記為“”：已知，，，當且僅當“”或“且”．定義兩點的“”與“”運算：，．則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則且
C．若，則對任意的點T，都有
D．若，則對任意的點T，都有
【答案】AC
【解析】選項A：因為，，所以，
故由定義可知，故A正確；
選項B：根據定義可知，當時，有，
當時，y與2024之間沒有大小關系，故B錯誤；
選項C：設，，，則由可得，“”或“且”，
由定義得，，
當時，，所以；
當時，有，此時，且，所以，故C正確；
選項D：設，，取，
則有，，
顯然不成立，故D錯誤．
故選：AC
【典例4-2】定義空間兩個向量的一種運算，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，則
【答案】D
【解析】A．，
時，，，
時，，成立，
時，，，
綜上，A不恒成立；
B．是一個實數，無意義，B不成立；
C．若，，則，
，，
，
，
，C錯誤；
D．若，，則，，
，
，
所以，成立．
故選：D．
【變式4-1】設向量，向量，規定兩向量m，n之間的一個運算“ ”的結果為向量）， 若已知向量，且向量與向量 共線又與向量 垂直，則向量的坐標為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【答案】B
【解析】解析：設，依題意得：
由題意可得 ，解得
故
故選：B．
【變式4-2】設向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意得，
解得，
又，所以，
所以.
故選：C
【變式4-3】設向量與的夾角為，定義，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，
得， ，
，
.
故選：A
【變式4-4】定義向量一種運算“”如下：對任意的，，令，下面錯誤的是（ ）
A．若與共線，則
B．
C．對任意的，有
D．
【答案】D
【解析】對于A，因為若與共線，則，
所以，故A正確；
對于B，，，
，
，故B正確；
對于C，因為，故C正確；
對于D，因為，，不相等，故D錯誤；
故選：D.
【變式4-5】對任意量給非零向量，，定義新運算：．已知非零向量，滿足，且向量，的夾角，若和都是整數，則的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【解析】由題意可得．因為，所以．
因為，所以，所以，即，
解得．因為，所以，
所以，則，
則，得，故,
符合該條件的是3，
故選：B
題型五：向量新定義之新性質
【典例5-1】我們稱元有序實數組為維向量，為該向量的范數.已知維向量，其中，記范數為奇數的的個數為，則 ； （用含的式子表示，）.
【答案】
【解析】當時，范數為奇數，則的個數為偶數，即的個數為、，
根據乘法原理和加法原理得到.
在維向量中，范數為奇數，則的個數為奇數，
即的個數為、、、、，
根據乘法原理和加法原理得到，
，
，
兩式相減得到.
故答案為：；.
【典例5-2】對任意兩個非零的平面向量和，定義．若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】首先觀察集合，從而分析和的范圍如下：
因為，所以，，而，且，可得，
又因為，所以，，從而，
所以，，
又因為，所以．且也在集合中，
故有，因此，.
故選：B.
【變式5-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）定義兩個向量組的運算，設為單位向量，向量組分別為的一個排列，則的最小值為 ．
【答案】/
【解析】當且時，；
當且、時，則，當且僅當時等號成立；
同理且、或且、時，的最小值也為；
當時，則，
由，設，則，
所以，當時等號成立.
綜上，的最小值為．
故答案為：.
【變式5-2】我們知道，在平面內取定單位正交基底建立坐標系后，任意一個平面向量，都可以用二元有序實數對表示．平面向量又稱為二維向量．一般地，n元有序實數組稱為n維向量，它是二維向量的推廣．類似二維向量，對于n維向量，也可定義兩個向量的數量積、向量的長度（模）等：設，，則；．已知向量滿足，向量滿足．
(1)求的值；
(2)若，其中，當且時，證明：．
【解析】（1）依題，，，
則 ①
②
①－②，得
即
所以.
（2）因為，，
所以，
先證：，，
設，，則，
所以在上單調遞增，即當時，，
即，
故，.
因為，
所以
，
.
綜上可得，當且時，.
【變式5-3】設向量，，當，且時，則記作；當，且時，則記作，有下面四個結論：
①若，，則；
②若且，則；
③若，則對于任意向量，都有；
④若，則對于任意向量，都有；
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
【答案】C
【解析】對于①：若，，則，所以，故①正確；
對于②：取，滿足，
則，滿足，但，故②錯誤；
對于③：若，則，且，
設，則，
可知，所以，故③正確；
對于④：取，可知，
但，即，故④錯誤；
故選：C.
題型六：復數新定義
【典例6-1】已知平面直角坐標系中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量，對應復數，向量逆時針旋轉一個角度，得到復數，于是對應向量．這就是向量的旋轉公式．已知正三角形的兩個頂點坐標是，根據此公式，求得點的坐標是 ．（任寫一個即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】設點的坐標為，點，則，
從而對應的復數為，
若由逆時針旋轉得到，對應的復數為，
因此，解得，
則的坐標是；
若由逆時針旋轉得到，對應的復數為，
因此，解得，
則點的坐標是．
故答案為：（或）
【典例6-2】（2024·浙江·模擬預測）已知平面直角坐標系xOy中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量=(a，b)，對應復數z=a+ib，向量x逆時針旋轉一個角度，得到復數，于是對應向量.這就是向量的旋轉公式.根據此公式，已知正三角形ABC的兩個頂點坐標是A(1，2)，B(3，4)，則C的坐標是 .(任寫一個即可)
【答案】(答案不唯一)
【解析】不妨設的坐標為，且是逆時針旋轉得到，
因為A(1，2)，B(3，4)，所以，，
從而對應的復數為，
對應的復數為，
所以，解得，，
故C的坐標是.
故答案為：.
【變式6-1】（多選題）（2024·河北滄州·一模）在復數城內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面x軸上方的復數為正，在x軸下方的復數為負，在x軸上的復數即為實數大小．“大小”用符號+“長度”表示，我們用來表示復數的“大小”，例如：，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內表示一個圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數，且，則
D．復平面內，復數對應的點在直線上，則最小值為
【答案】BCD
【解析】根據已知條件表示模長為，在復平面位于軸上方的復數，
所以并不是一個圓，A錯誤；
若，則方程為一個實數，所以無解，B正確；
若為虛數，且，設，則，，，
所以，C正確；
復數對應的點在直線上，則最小值為：
點到直線的距離，所以最小值為：，D 正確.
故選：BCD
【變式6-2】（多選題）（2024·全國·三模）一般地，對于復數（i為虛數單位，a，），在平面直角坐標系中，設，經過點的終邊的對應角為，則根據三角函數的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復數的三角形式，r稱為復數z的模，稱為復數z的輻角.為使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復數z滿足，，為z的實部，為z的輻角的主值，則（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因為，， 復數在復平面的對應的點為,
所以點Z在以為圓心、以r為半徑的圓上或圓內.
對于選項A，B，由復數的幾何意義可得表示點Z與的距離，
又點到點的距離為，
所以的最大值為，A正確，
的最小值為，B正確，
對于C，過點作以為圓心，為半徑的圓的切線，設切點為，
設，則或，
所以，所以，所以C錯誤.
對于D，設，有（其中是z的輻角的主值），
由于，所以，所以D正確.
故選：ABD.
【變式6-3】現定義“維形態復數”：，其中為虛數單位，，.
(1)當時，證明：“2維形態復數”與“1維形態復數”之間存在平方關系；
(2)若“2維形態復數”與“3維形態復數”相等，求的值；
(3)若正整數，，滿足，，證明：存在有理數，使得.
【解析】（1）當時, ,
則 ,.
因為，
故“2維形態復數”與“1維形態復數”之間存在平方關系.
（2）因為“2維形態復數”與“3維形態復數”相等,
所以,
因此，
解，得或,
解，得或,
由于兩個方程同時成立,故只能有,即.
所以.
（3）由，得,由(2)同理可得,
即.
因為,所以.
因為,由(1)知,所以.
由(2)同理可得,即.
因為,所以,
所以,
又因為,所以,所以,
即，
所以存在有理數,使得.
【變式6-4】若定義一種運算：.已知為復數，且.
(1)求復數；
(2)設為實數，若為純虛數，求的最大值.
【解析】（1）設復數,，是虛數單位），則，
因為，
解得，，
可得．
（2），
由題意可得，
當時，取最大值
1．（多選題）（2024·河南·模擬預測）設向量，，當且僅當，且時，則稱；當且僅當，且時，則稱，則下列結論正確的有（ ）
A．若且，則
B．若，，則
C．若，則對于任意向量，都有
D．若，則對于任意向量，都有
【答案】BC
【解析】對于A，取，，滿足，取，，則，，滿足，但，A錯誤；
對于B，因為，，根據新定義可知，，B正確；
對于C，設向量，，，由，得，且，則，且，所以，C正確；
對于D，根據，取向量，，，則，，，D錯誤.
故選：BC.
2．（多選題）（2024·江蘇鹽城·一模）定義平面斜坐標系，記，，分別為x軸、y軸正方向上的單位向量，若平面上任意一點P的坐標滿足：，則記向量的坐標為，給出下列四個命題，正確的選項是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，以O為圓心、半徑為1的圓的斜坐標方程為
【答案】AD
【解析】對于A，，，則，
，A正確；
對于B，，，則，
，顯然，則，B錯誤；
對于C，，，由選項A同理得，
即，，
，C錯誤；
對于D，設以O為圓心、半徑為1的圓上任意一點為，
由，得，于是，
由，得，即，D正確.
故選：AD
3．（多選題）（2024·山西臨汾·二模）設，是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若，則把有序實數對叫做向量在斜坐標系Oxy中的坐標，記作.則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則A，B，C三點共線
C．若，則
D．若，則四邊形OACB的面積為
【答案】ABD
【解析】對于A，由題意得，
故，
故.正確；
對于B，由題意得，所以，所以A，B，C三點共線.正確；
對于C，由題意得，
所以，
故與不垂直，錯誤；
對于D，因為，所以，
所以，，
，
，所以，
即，所以，在中，由余弦定理知，
，所以，所以，
所以四邊形OACB的面積為.正確.
故選：ABD
4．（多選題）（2024·湖北·二模）定義空間兩個非零向量的一種運算：，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．
【答案】BD
【解析】對于A，，，
若不共線,且為負數，則，而，
此時，故A錯誤；
對于B，由定義知，，故B正確；
對于C，若，則，共線，故C錯誤；
對于D，由定義知，又，
故，當且僅當時，等號成立，故D正確．
故選：BD
5．（多選題）定義：，兩個向量的叉乘，則以下說法正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于
D．若，，則的最小值為
【答案】AC
【解析】對于A，，
若，至少有一個為零向量，則滿足；
若，均不為零向量，則，即，同向或反向，即，故A正確，
對于B，，
，
若，則 ，此時；
若，，此時，故B錯誤；
對于C，若四邊形為平行四邊形，
則它的面積等于，即 ，故C正確；
對于D， ，
，兩式平方后相加得，即，
又，
當且僅當時等號成立，
故的最小值為，故D錯誤，
故選：AC
6．（多選題）在平面直角坐標系內，設兩個向量，，定義運算：，下列說法正確的是（ ）
A．是的充要條件 B．
C． D．若點，，不共線，則的面積
【答案】ACD
【解析】
，而，故對；
，，故錯；
設，則
，故對；
對于選項：如圖是邊上的高，設，，是與垂直的單位向量，
則，，
即，，
設，，則，所以對.
故選：.
7．（多選題）（多選）在三維空間中，叫做向量與的外積，它是一個向量，且滿足下列兩個條件：①，，且，，三個向量構成右手系（如圖所示）；②.在正方體中，已知其表面積為S，下列結論正確的有（ ）
A． B．
C． D．與共線
【答案】ACD
【解析】設正方體的棱長為a，如圖.
對于A，連接，因為為等邊三角形，故，
連接，因為，，為等邊三角形，
所以，故A正確；
對于B，根據定義，，，故B錯誤；
對于C，，故C正確；
對于D，因為，而平面，所以
，則平面，又平面，所以，
又，，，所以平面，
所以，結合外積的定義可知與共線，故D正確.
故選：ACD.
8．（多選題）如圖所示設，是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為反射坐標系，若，則把有序數對叫做向量的反射坐標，記為．在的反射坐標系中，，．則下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
【答案】AB
【解析】由題意，
，A正確；
，，B正確；
，C錯誤；
，，
在上的投影向量為，D錯；
故選：AB．
9．（多選題）對任意兩個非零向量，定義新運算：.已知非零向量滿足且向量的夾角，若和都是整數，則的值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
【答案】BC
【解析】由題意可得，因為所以，
因為，所以，所以，
即，解得，因為，所以，
所以 ，則，故，
因為，所以，因為0 ，
所以，所以，所以，則
即.
故選：BC.
10．如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任意一點關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若（其中分別是軸，軸正方向的單位向量），則點的斜坐標為，且向量的斜坐標為.給出以下結論，其中所有正確的結論的序號是
①若，，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則
【答案】①②③
【解析】對于①：∵，，即，
∴
，故①正確；
對于②：∵，，即，，
∴，
∴，故②正確；
對于③：∵，，，
∴，
∴，故③正確；
對于④：
，故④錯誤.
故答案為：①②③
11．（2024·河南·模擬預測）向量的夾角為，定義運算“”:，若，，則的值為 .
【答案】
【解析】由，，得，
，，
則，所以.
故答案為：
12．我們把由平面內夾角成的兩條數軸，構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”，如圖所示，分別為正方向上的單位向量，若向量，則把實數對叫做向量的“@未來坐標”，記，已知，分別為向量，的“@未來坐標”，若向量，的“@未來坐標”分別為，，則向量，的夾角的余弦值為 .

【答案】
【解析】依題意，，，
所以，
，
，
所以，即向量，的夾角的余弦值為.
故答案為：
13．已知對任意平面向量，把B繞其起點沿逆時針方向旋轉得到向量叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉得到點P.已知平面內點，點，把點B繞點A沿逆時針后得到點P，向量為向量在向量上的投影向量，則 .
【答案】/
【解析】因為，，所以，
，
所以P點坐標為，
所以，
所以.
故答案為：.
14．定義平面非零向量之間的一種運算“”，記（其中是非零向量，的夾角）．若，均為單位向量，且，則 ．
【答案】
【解析】，且，，又，則；
，
故答案為：
15．定義是向量 和的“向量積”，其長度為，其中為向量 和 的夾角．若，，則= ．
【答案】
【解析】，,,進而,,所以
由“向量積”的定義可知:
故答案為:
16．已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點P.已知平面內點，，把點B繞點A沿順時針方向旋轉后得到點P，則點P的坐標為 .
【答案】.
【解析】由題意得，把點B繞點A沿順時針方向旋轉（即按逆時針方向旋轉）后得到點P，
則，又，設，
則，解得，，即點的坐標為.
故答案為：.
17．（多選題）在復數域內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面軸上方的復數為正，在軸下方的復數為負，在軸上的復數即為實數大小.“大小”用符號+“長度”表示，我們用來表示復數的“大小”，例如：，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內表示一個圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數，且，則
D．復數滿足，則的取值范圍為
【答案】BCD
【解析】A：根據已知條件表示模長為1，在復平面位于軸上方的復數，所以并不是一個圓，故A錯誤；
B：若，則方程為一個實數，所以無解，故B正確；
C：若為虛數，且，設，則，
所以，所以，故C正確；
D：設，
根據復數的新定義有，
所以，且，
所以，
所以是，
所以，故D正確；
故選：BCD.
18．（多選題）（2024·山西·模擬預測）數系的擴充是數學發展的一個重要內容，1843年，數學家哈密頓發現了四元數．四元數的產生是建立在復數的基礎上的，和復數相似，四元數是實數加上三個虛數單位，和，而且它們有如下關系：．四元數一般可表示為，其中為實數．定義兩個四元數：，那么這兩個四元數之間的乘法定義如下：．關于四元數，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．若，且，則
【答案】AD
【解析】對于A：因為，所以，故A正確；
對于B：設，由兩個四元數之間的乘法定義得，
，故B錯誤；
對于C：設，
則
當，有，
所以與不一定相等，故C錯誤；
對于D：設，
因為，
所以，解得，
所以，故D正確，
故選：AD．
19．（多選題）（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）定義復數的大小關系：已知復數，，，，，．若或（且）,稱．若且,稱．共余情形均為．復數u，v，w分別滿足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】設復數，若，因為，則無解，
所以，將代入，可得，
，即，
所以，解得，所以，
又因為，
設，所以，
所以，
所以復數對應的點在以為圓心，為半徑的圓上，
所以，從而最大，故B錯誤；
若，，則，
所以當，或，
時，則，C正確；
若，此時，則，A正確；
若，此時，則，D正確；
故選：ACD.
20．對于任意的復數，定義運算．
(1)集合，，，均為整數，試用列舉法寫出集合；
(2)若，為純虛數，求的最小值；
(3)直線上是否存在整點（坐標，均為整數的點），使復數經運算后，對應的點也在直線上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題意得，且，，
所以，或，或，或，或，
所以，或，或，或，或，
所以，或，
或，或，或，
所以；
（2）若，則
若為純虛數，則，所以，得，
所以，
所以當或時，．
（3）對應點坐標為，
由題意，得
所以，而，
①當，時，得不成立；
②當，時，得，所以成立，
此時或，
故滿足條件的整點為和．
21．（2024·河南鄭州·三模）復數除了代數形式之外，還有兩種形式，分別是三角形式和指數形式，著名的歐拉公式體現了兩種形式之間的聯系．利用復數的三角形式進行乘法運算，我們可以定義旋轉變換．根據，我們定義：在直角坐標系內，將任一點繞原點逆時針方向旋轉的變換稱為旋轉角是的旋轉變換．設點經過旋轉角是的旋轉變換下得到的點為，且旋轉變換的表達式為曲線的旋轉變換也如此，比如將“對勾”函數圖象上每一點繞原點逆時針旋轉后就得到雙曲線：．
(1)求點在旋轉角是的旋轉變化下得到的點的坐標；
(2)求曲線在旋轉角是的旋轉變化下所得到的曲線方程；
(3)等邊中，在曲線上，求的面積．
【解析】（1）由題可設所求點的坐標為，由
得所求點的坐標為．
（2）設曲線上任意一點在旋轉角是的旋轉變換下所得點坐標為．
則即
得，
所求曲線方程為．
（3）由題點在旋轉角是的旋轉變換下所得的點為．
設在旋轉角是的旋轉變換下所得的點分別為和．
設曲線在旋轉角是的旋轉變換下所得曲線為，
則方程為．
的內積，當，稱向量和正交．設為全體由和1構成的元數組對應的向量的集合．
(1)若，寫出一個向量，使得．
(2)令．若，證明：為偶數．
(3)若，是從中選出向量的個數的最大值，且選出的向量均滿足，猜測的值，并給出一個實例．
【解析】（1）由定義，只需滿足，不妨取（答案不唯一）．
（2）對于，，2，，，存在，，，，使得．
當時，；當時，．令，．
所以．
所以為偶數．
（3）當時，可猜測互相正交的4維向量最多有4個，即．
不妨取，，，，
則有，，，，，．
若存在，使，則或或．
當時，；
當時，；
當時，，
故找不到第5個向量與已知的4個向量互相正交．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)拔高點突破02 平面向量與復數背景下的新定義問題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：向量外積（叉積） 2
題型二：斜坐標系 3
題型三：向量新定義之新概念 5
題型四：向量新定義之新運算 7
題型五：向量新定義之新性質 8
題型六：復數新定義 9
03 過關測試 11
1、平面向量背景下的新定義問題是一類既涉及平面向量基礎知識，又融入新穎定義和復雜信息的數學問題。這類問題要求考生不僅掌握平面向量的基本概念和運算規則，還需要具備良好的分析能力和邏輯推理能力。平面向量背景下的新定義問題，通常基于平面向量的方向性和大小性，引入新的運算規則或概念。解題時，首先要準確理解新定義的本質，明確其涉及的向量運算和性質。接著，將新定義應用到具體的題目情境中，通過向量的加法、減法、數乘、數量積等運算，推導出所需的結論。這類問題往往信息量大，背景新穎，需要考生耐心分析，細致推理。同時，注意平面向量的模、夾角等幾何特征在新定義問題中的應用，以及如何利用這些特征簡化解題過程。最終，通過綜合應用平面向量的基礎知識和新定義，解決這類復雜而有趣的數學問題。
2、復數背景下的新定義問題是一類融合了復數基礎理論與新穎概念的數學問題。這類問題要求考生不僅熟悉復數的代數表示、模、輻角等基本概念，還需具備靈活運用復數運算規則的能力。解題時，首先要深入理解新定義的本質，明確其涉及的復數運算和性質。接著，將新定義與具體的題目情境相結合，通過復數的加、減、乘、除等運算，推導出所需的結論。這類問題往往考察考生的邏輯推理能力和創新能力，需要考生在新穎的復數運算或概念中找到解題的突破口。最終，通過綜合運用復數的基礎知識和新定義，解決這類富有挑戰性的數學問題。
題型一：向量外積（叉積）
【典例1-1】如果向量，的夾角為，我們就稱為向量與的“向量積”，還是一個向量，它的長度為，如果，，，則（ ）
A． B．16 C． D．20
【典例1-2】（2024·高三·內蒙古呼和浩特·期末）若向量，，則以、為鄰邊的平行四邊形的面積可以用、的外積表示出來，即.已知在平面直角坐標系中，、，，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（多選題）已知向量的數量積（又稱向量的點積或內積）：，其中表示向量的夾角；定義向量的向量積（又稱向量的叉積或外積）：，其中表示向量的夾角，則下列說法正確的是（ ）
A．若為非零向量，且，則
B．若四邊形為平行四邊形，則它的面積等于
C．已知點為坐標原點，則
D．若，則的最小值為
【變式1-2】（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）已知兩個非零向量與，定義，其中為與的夾角，若，，則的值為（ ）
A．5 B．7 C．2 D．
【變式1-3】定義：，其中為向量，的夾角，若，，，則（ ）
A．6 B． C． D．8
題型二：斜坐標系
【典例2-1】（2024·云南昆明·模擬預測）向量的廣義坐標是用于描述向量或系統狀態的一組數值，其選擇取決于問題的特定背景和需求．在物理學、工程學、計算機圖形學等領域，廣義坐標被廣泛應用．比如，物理學中的振動系統可能采用角度作為廣義坐標，而工程學中的結構分析可能使用特定坐標系來簡化問題．通過選擇適當的廣義坐標，可以更自然地描述問題，簡化數學表達，提高問題的可解性，并使模型更符合實際場景．已知向量，是平面內的一組基向量，O為內的定點．對于內任意一點P，若，則稱有序實數對為點P的廣義坐標．若點A，B的廣義坐標分別為，，關于下列命題正確的（ ）
A．點關于點O的對稱點不一定為
B．A，B兩點間的距離為
C．若向量平行于向量，則的值不一定為0
D．若線段的中點為C，則點C的廣義坐標為
【典例2-2】（2024·吉林長春·模擬預測）互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記，則在x軸正方向和y軸正方向的夾角為的斜坐標系中，下列選項錯誤的是（ ）
A．當時與距離為
B．點關于原點的對稱點為
C．向量與平行的充要條件是
D．點到直線的距離為
【變式2-1】如圖所示，設Ox，Oy是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系xOy為斜坐標系，若，則把有序數對叫做向量的斜坐標，記為．在的斜坐標系中，﹒則下列結論中，錯誤的是（ ）
①；②；③；④在上的投影為
A．②③ B．②④ C．③④ D．②③④
【變式2-2】如圖，設，是平面內夾角為的兩條數軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若向量，則有序數對叫做點在坐標系中的坐標.在該坐標系下，，，為不共線的三點，下列結論錯誤的是（ ）

A．線段中點的坐標為 B．重心的坐標為
C．，兩點的距離為 D．若，則，，三點共線
題型三：向量新定義之新概念
【典例3-1】（多選題）（2024·山東濰坊·三模）定義平面向量的一種運算“”如下：對任意的兩個向量，，令，下面說法一定正確的是（ ）
A．對任意的，有
B．存在唯一確定的向量使得對于任意向量，都有成立
C．若與垂直，則與共線
D．若與共線，則與的模相等
【典例3-2】（多選題）設是平面直角坐標系中相異的四點，若，，且，則稱調和分割，已知平面上的點C，D調和分割點A，B，則下面說法正確的是（ ）
A．A、B、C、D四點共線
B．D可能是線段的中點
C．C、D可能同時在線段上
D．C、D不可能同時在線段的延長線上
【變式3-1】設為平面內的任意兩個向量，定義一種向量運算“”：對于同一平面內的向量，給出下列結論：
①；②；
③；④若是單位向量，則．
以上所有正確結論的序號是 ．
【變式3-2】（2024·河北邯鄲·二模）對任意兩個非零的平面向量和，定義：，．若平面向量滿足，且和都在集合中，則（ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【變式3-3】（多選題）（2024·高三·山東青島·期末）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點.已知平面內點，點，，，點繞點A沿逆時針方向旋轉角得到點，則（ ）
A． B．
C．的坐標為 D．的坐標為
題型四：向量新定義之新運算
【典例4-1】（多選題）在實數集中，我們定義的大小關系“＞”為全體實數排了一個“序”．類似實數排序的定義，我們定義“點序”，記為“”：已知，，，當且僅當“”或“且”．定義兩點的“”與“”運算：，．則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若，，，則且
C．若，則對任意的點T，都有
D．若，則對任意的點T，都有
【典例4-2】定義空間兩個向量的一種運算，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．若，，則
【變式4-1】設向量，向量，規定兩向量m，n之間的一個運算“ ”的結果為向量）， 若已知向量，且向量與向量 共線又與向量 垂直，則向量的坐標為（ ）
A．（） B．（）
C．（） D．（）
【變式4-2】設向量與的夾角為，定義.已知向量為單位向量，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】設向量與的夾角為，定義，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】定義向量一種運算“”如下：對任意的，，令，下面錯誤的是（ ）
A．若與共線，則
B．
C．對任意的，有
D．
【變式4-5】對任意量給非零向量，，定義新運算：．已知非零向量，滿足，且向量，的夾角，若和都是整數，則的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
題型五：向量新定義之新性質
【典例5-1】我們稱元有序實數組為維向量，為該向量的范數.已知維向量，其中，記范數為奇數的的個數為，則 ； （用含的式子表示，）.
【典例5-2】對任意兩個非零的平面向量和，定義．若平面向量、滿足，與的夾角，且和都在集合中，則（ ）．
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·浙江紹興·模擬預測）定義兩個向量組的運算，設為單位向量，向量組分別為的一個排列，則的最小值為 ．
【變式5-2】我們知道，在平面內取定單位正交基底建立坐標系后，任意一個平面向量，都可以用二元有序實數對表示．平面向量又稱為二維向量．一般地，n元有序實數組稱為n維向量，它是二維向量的推廣．類似二維向量，對于n維向量，也可定義兩個向量的數量積、向量的長度（模）等：設，，則；．已知向量滿足，向量滿足．
(1)求的值；
(2)若，其中，當且時，證明：．
【變式5-3】設向量，，當，且時，則記作；當，且時，則記作，有下面四個結論：
①若，，則；
②若且，則；
③若，則對于任意向量，都有；
④若，則對于任意向量，都有；
其中所有正確結論的序號為（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①④
題型六：復數新定義
【典例6-1】已知平面直角坐標系中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量，對應復數，向量逆時針旋轉一個角度，得到復數，于是對應向量．這就是向量的旋轉公式．已知正三角形的兩個頂點坐標是，根據此公式，求得點的坐標是 ．（任寫一個即可）
【典例6-2】（2024·浙江·模擬預測）已知平面直角坐標系xOy中向量的旋轉和復數有關，對于任意向量=(a，b)，對應復數z=a+ib，向量x逆時針旋轉一個角度，得到復數，于是對應向量.這就是向量的旋轉公式.根據此公式，已知正三角形ABC的兩個頂點坐標是A(1，2)，B(3，4)，則C的坐標是 .(任寫一個即可)
【變式6-1】（多選題）（2024·河北滄州·一模）在復數城內，大小成為了沒有意義的量，那么我們能否賦予它一個定義呢，在實數域內，我們通常用絕對值來描述大小，而復數域中也相應的有復數的模長來代替絕對值，于是，我們只需定義復數的正負即可，我們規定復數的“長度”即為模長，規定在復平面x軸上方的復數為正，在x軸下方的復數為負，在x軸上的復數即為實數大小．“大小”用符號+“長度”表示，我們用來表示復數的“大小”，例如：，，，，，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內表示一個圓
B．若，則方程無解
C．若為虛數，且，則
D．復平面內，復數對應的點在直線上，則最小值為
【變式6-2】（多選題）（2024·全國·三模）一般地，對于復數（i為虛數單位，a，），在平面直角坐標系中，設，經過點的終邊的對應角為，則根據三角函數的定義可知，，因此，我們稱此種形式為復數的三角形式，r稱為復數z的模，稱為復數z的輻角.為使所研究的問題有唯一的結果，我們規定，適合的輻角的值叫做輻角的主值.已知復數z滿足，，為z的實部，為z的輻角的主值，則（ ）
A．的最大值為
B．的最小值為
C．
D．
【變式6-3】現定義“維形態復數”：，其中為虛數單位，，.
(1)當時，證明：“2維形態復數”與“1維形態復數”之間存在平方關系；
(2)若“2維形態復數”與“3維形態復數”相等，求的值；
(3)若正整數，，滿足，，證明：存在有理數，使得.
【變式6-4】若定義一種運算：.已知為復數，且.
(1)求復數；
(2)設為實數，若為純虛數，求的最大值.
1．（多選題）（2024·河南·模擬預測）設向量，，當且僅當，且時，則稱；當且僅當，且時，則稱，則下列結論正確的有（ ）
A．若且，則
B．若，，則
C．若，則對于任意向量，都有
D．若，則對于任意向量，都有
2．（多選題）（2024·江蘇鹽城·一模）定義平面斜坐標系，記，，分別為x軸、y軸正方向上的單位向量，若平面上任意一點P的坐標滿足：，則記向量的坐標為，給出下列四個命題，正確的選項是（ ）
A．若，，則
B．若，，則
C．若，，則
D．若，以O為圓心、半徑為1的圓的斜坐標方程為
3．（多選題）（2024·山西臨汾·二模）設，是平面內相交成角的兩條數軸，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量.若，則把有序實數對叫做向量在斜坐標系Oxy中的坐標，記作.則下列說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則A，B，C三點共線
C．若，則
D．若，則四邊形OACB的面積為
4．（多選題）（2024·湖北·二模）定義空間兩個非零向量的一種運算：，則關于空間向量上述運算的以下結論中恒成立的有（ ）
A． B．
C．若，則 D．
5．（多選題）定義：，兩個向量的叉乘，則以下說法正確的是（ ）
A．若，則
B．
C．若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于
D．若，，則的最小值為
6．（多選題）在平面直角坐標系內，設兩個向量，，定義運算：，下列說法正確的是（ ）
A．是的充要條件 B．
C． D．若點，，不共線，則的面積
7．（多選題）（多選）在三維空間中，叫做向量與的外積，它是一個向量，且滿足下列兩個條件：①，，且，，三個向量構成右手系（如圖所示）；②.在正方體中，已知其表面積為S，下列結論正確的有（ ）
A． B．
C． D．與共線
8．（多選題）如圖所示設，是平面內相交成角的兩條數軸，，分別是與x，y軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標系為反射坐標系，若，則把有序數對叫做向量的反射坐標，記為．在的反射坐標系中，，．則下列結論中，錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量為
9．（多選題）對任意兩個非零向量，定義新運算：.已知非零向量滿足且向量的夾角，若和都是整數，則的值可能是（ ）
A．2 B． C．3 D．4
10．如圖，在平面斜坐標系中，，平面上任意一點關于斜坐標系的斜坐標這樣定義：若（其中分別是軸，軸正方向的單位向量），則點的斜坐標為，且向量的斜坐標為.給出以下結論，其中所有正確的結論的序號是
①若，，則；
②若，則；
③若，則；
④若，則
11．（2024·河南·模擬預測）向量的夾角為，定義運算“”:，若，，則的值為 .
12．我們把由平面內夾角成的兩條數軸，構成的坐標系，稱為“@未來坐標系”，如圖所示，分別為正方向上的單位向量，若向量，則把實數對叫做向量的“@未來坐標”，記，已知，分別為向量，的“@未來坐標”，若向量，的“@未來坐標”分別為，，則向量，的夾角的余弦值為 .

13．已知對任意平面向量，把B繞其起點沿逆時針方向旋轉得到向量叫做把點B繞點A沿逆時針方向旋轉得到點P.已知平面內點，點，把點B繞點A沿逆時針后得到點P，向量為向量在向量上的投影向量，則 .
14．定義平面非零向量之間的一種運算“”，記（其中是非零向量，的夾角）．若
．復數u，v，w分別滿足：，，，則（ ）
A． B． C． D．
20．對于任意的復數，定義運算．
(1)集合，，，均為整數，試用列舉法寫出集合；
(2)若，為純虛數，求的最小值；
(3)直線上是否存在整點（坐標，均為整數的點），使復數經運算后，對應的點也在直線上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．
21．（2024·河南鄭州·三模）復數除了代數形式之外，還有兩種形式，分別是三角形式和指數形式，著名的歐拉公式體現了兩種形式之間的聯系．利用復數的三角形式進行乘法運算，我們可以定義旋轉變換．根據，我們定義：在直角坐標系內，將任一點繞原點逆時針方向旋轉的變換稱為旋轉角是的旋轉變換．設點經過旋轉角是的旋轉變換下得到的點為，且旋轉變換的表達式為曲線的旋轉變換也如此，比如將“對勾”函數圖象上每一點繞原點逆時針旋轉后就得到雙曲線：．
(1)求點在旋轉角是的旋轉變化下得到的點的坐標；
(2)求曲線在旋轉角是的旋轉變化下所得到的曲線方程；
(3)等邊中，在曲線上，求的面積．
22．（2024·河南·模擬預測）從數據組中取出個不同的數構成一個新數據組：．若，，，使得，，則稱數據組為數據組的一個k維基本數據庫.
(1)判斷數據組：是否為數據組：的一個2維基本數據庫；
(2)判斷數據組：是否為數據組：的一個3維基本數據庫.
(3)若數據組是數據組的一個k維基本數據庫，求證：.
23．（2024·全國·模擬預測）設有維向量，，稱為向量和的內積，當，稱向量和正交．設為全體由和1構成的元數組對應的向量的集合．
(1)若，寫出一個向量，使得．
(2)令．若，證明：為偶數．
(3)若，是從中選出向量的個數的最大值，且選出的向量均滿足，猜測的值，并給出一個實例．
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