資源簡介

拔高點(diǎn)突破01 一網(wǎng)打盡平面向量中的范圍與最值問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 5
題型一：利用三角向量不等式 5
題型二：定義法 6
題型三：基底法 7
題型四：幾何意義法 7
題型五：坐標(biāo)法 8
題型六：極化恒等式 9
題型七：矩形大法 10
題型八：等和線、等差線、等商線 10
題型九：平行四邊形大法 12
題型十：向量對(duì)角線定理 14
03 過關(guān)測試 14
技巧一．平面向量范圍與最值問題常用方法：
（1）定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題
第三步：得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
技巧二．極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：
證明：不妨設(shè) ，則，
①
②
①②兩式相加得：
（2）極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
①平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）
技巧三．矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：．
【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy，
則，設(shè)，則
技巧四．等和線
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然．
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；
技巧五．平行四邊形大法
1、中線長定理
2、為空間中任意一點(diǎn)，由中線長定理得：
兩式相減：
技巧六．向量對(duì)角線定理
題型一：利用三角向量不等式
【典例1-1】已知，，則的范圍是 .
【典例1-2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知，則向量的范圍是 ．
【變式1-1】已知，，且，則的最大值為（ ）
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【變式1-2】（2024·高三·浙江金華·開學(xué)考試）已知向量滿足，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2024·河北保定·二模）如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【變式1-4】已知平面向量滿足，設(shè)，若，則的取值范圍為________．
題型二：定義法
【典例2-1】已知向量、滿足：，.設(shè)與的夾角為，則的最大值為___________.
【典例2-2】八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則的值為（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【變式2-1】已知點(diǎn)A，B，C均位于單位圓（圓心為O，半徑為1）上，且的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】已知是半徑為5的圓上的兩條動(dòng)弦，，則最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
題型三：基底法
【典例3-1】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的最大值為 .
【典例3-2】在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若，則的最大值為 .
【變式3-1】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為 ；若，則的最大值為 ．
【變式3-2】在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，的面積為，則取最小值時(shí)，則（ ）
A．2 B． C．6 D．4
【變式3-3】如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．為定值10 B．為定值6
C．為變量且有最大值為10 D．為變量且有最小值為6
題型四：幾何意義法
【典例4-1】已知是同一平面上的3個(gè)向量，滿足，，，則向量與的夾角為 ，若向量與的夾角為，則的最大值為 ．
【典例4-2】已知向量，滿足，則的最小值是 ，最大值是 ．
【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式4-2】已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】已知是平面向量，且是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【變式4-4】（2024·山東青島·三模）已知向量，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．－1 B． C．2 D．1
題型五：坐標(biāo)法
【典例5-1】（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角中，斜邊，點(diǎn)在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B．8 C． D．12
【典例5-2】已知，，若動(dòng)點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A，M共面，且滿足，，則的最大值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【變式5-1】在梯形中，，，，，，，分別為線段和線段上（包括線段端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．3
【變式5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【變式5-3】在中，，，是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
題型六：極化恒等式
【典例6-1】已知中，，若所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值為 .
【典例6-2】在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為 .
【變式6-1】在邊長為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【變式6-2】點(diǎn)是邊長為1的正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式6-3】勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知為?。ê它c(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為 ．
【變式6-4】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為12，轉(zhuǎn)盤的直徑為10，A，B為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座，，點(diǎn)P為摩天輪的座艙，則的范圍為 ．
題型七：矩形大法
【典例7-1】已知圓與，定點(diǎn)，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是 ．
【典例7-2】在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______．
【變式7-2】設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
題型八：等和線、等差線、等商線
【典例8-1】如圖，在中，，是線段上一點(diǎn)，若，則的最大值為 .
【典例8-2】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量 滿足，，， .則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為
B．若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)， 在上的投影的數(shù)量的取值范圍是
C．若點(diǎn)P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，取得最大值時(shí)，的值為3
D．若點(diǎn)P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，的范圍是
【變式8-1】如圖所示，是的中點(diǎn)，是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則當(dāng)時(shí)，的范圍是 .
【變式8-2】如圖，點(diǎn)是半徑為的扇形圓弧上一點(diǎn)，且，若，則的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【變式8-3】如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【變式8-4】（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊中，，以三條邊為直徑向外作三個(gè)半圓，是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式8-5】平行四邊形中，，，以C為圓心作與直線BD相切的圓，P為圓C上且落在四邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)，，若，則角的范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型九：平行四邊形大法
【典例9-1】如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【典例9-2】如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.
【變式9-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知為單位向量，平面向量，滿足，的取值范圍是____.
【變式9-2】（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_______.
【變式9-3】設(shè)圓，圓的半徑分別為1，2，且兩圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是圓，圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
題型十：向量對(duì)角線定理
【典例10-1】已知平行四邊形，，，，與交于點(diǎn)，若記，，，則（ ）
B． C． D．
【典例10-2】如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（ ）
B． C． D．
【變式10-1】在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
1．如圖，的三邊長為，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，記，分別考查的所有可能結(jié)果，則（ ）
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
2．在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
3．（2024·湖北黃岡·二模）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（ ）
A．9 B．3 C． D．10
4．已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（ ）
A．9 B．2 C． D．8
5．如圖，在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心的半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在矩形中，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足.在平面中，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·貴州貴陽·三模）已知，則的最大值為（ ）
A． B．4 C．6 D．
8．已知非零平面向量，的夾角為，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
9．如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
10．如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長為4的正六邊形，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）

A．-8 B．-4 C．0 D．4
12．已知點(diǎn)、在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
13．已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．已知向量的夾角為，且，則的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
15．扇形的半徑為1，，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A． B．0 C． D．-1
16．（多選題）在中，，點(diǎn)是等邊（點(diǎn)與在的兩側(cè)）邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)必在線段的中點(diǎn)處 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的范圍是
A．的最小值為 B．的最大值為18
C．的最大值為 D．的面積的最大值為
21．（多選題）（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（ ）
A． B．的最大值為
C． D．若，則的最小值為
22．（2024·甘肅·一模）已知單位向量滿足，則的范圍是 .
23．（2024·高三·上海閔行·開學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的范圍為 .
24．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為 .
25．（2024·天津河西·三模）如圖，動(dòng)點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），，，， ；的最大值為 ．
26．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)P在以的中點(diǎn)O為圓心、為半徑的半圓上，若，則下列說法正確的是 ．
① ②的最大值為
③最大值為9 ④

27．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，則的最大值為 ．

21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)拔高點(diǎn)突破01 一網(wǎng)打盡平面向量中的范圍與最值問題
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 5
題型一：利用三角向量不等式 5
題型二：定義法 8
題型三：基底法 10
題型四：幾何意義法 14
題型五：坐標(biāo)法 19
題型六：極化恒等式 23
題型七：矩形大法 28
題型八：等和線、等差線、等商線 31
題型九：平行四邊形大法 37
題型十：向量對(duì)角線定理 43
03 過關(guān)測試 44
技巧一．平面向量范圍與最值問題常用方法：
（1）定義法
第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系
第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題
第三步：得出結(jié)論
（2）坐標(biāo)法
第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（3）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（4）幾何意義法
第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
技巧二．極化恒等式
（1）平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：
證明：不妨設(shè) ，則，
①
②
①②兩式相加得：
（2）極化恒等式：
上面兩式相減，得：————極化恒等式
①平行四邊形模式：
幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．
②三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）
技巧三．矩形大法
矩形所在平面內(nèi)任一點(diǎn)到其對(duì)角線端點(diǎn)距離的平方和相等已知點(diǎn)O是矩形ABCD與所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，證明：．
【證明】（坐標(biāo)法）設(shè)，以AB所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系xoy，
則，設(shè)，則
技巧四．等和線
（1）平面向量共線定理
已知，若，則三點(diǎn)共線；反之亦然．
（2）等和線
平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)在直線上或者在平行于的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線稱為等和線．
①當(dāng)?shù)群途€恰為直線時(shí)，；
②當(dāng)?shù)群途€在點(diǎn)和直線之間時(shí)，；
③當(dāng)直線在點(diǎn)和等和線之間時(shí)，；
④當(dāng)?shù)群途€過點(diǎn)時(shí)，；
⑤若兩等和線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則定值互為相反數(shù)；
技巧五．平行四邊形大法
1、中線長定理
2、為空間中任意一點(diǎn)，由中線長定理得：
兩式相減：
技巧六．向量對(duì)角線定理
題型一：利用三角向量不等式
【典例1-1】已知，，則的范圍是 .
【答案】
【解析】設(shè)，，
，…①；
，…②；
①②得：，，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），
則，；
（當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào)），
的取值范圍為.
故答案為：.
【典例1-2】（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）已知，則向量的范圍是 ．
【答案】
【解析】設(shè)，
所以①,
一方面，，
當(dāng)且僅當(dāng)與同向，與同向時(shí)取得最大值，
另一方面，，
其中，當(dāng)且僅當(dāng)與反向時(shí)取得最小值．
故．
故答案為：
【變式1-1】已知，，且，則的最大值為（ ）
A．5.5 B．5 C．6.5 D．6
【答案】A
【解析】，
又，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取得等號(hào)；
故.
故選：A.
【變式1-2】（2024·高三·浙江金華·開學(xué)考試）已知向量滿足，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
由于：，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
所以，
所以，
所以.
故選：B
【變式1-3】（2024·河北保定·二模）如圖，圓和圓外切于點(diǎn)，，分別為圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，已知圓和圓的半徑都為1，且，則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
，
所以，
所以，即，
解得.
.
故選：D
【變式1-4】已知平面向量滿足，設(shè)，若，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】設(shè)，則，則由條件知，
所以，所以，
又
所以．
故答案為：.
題型二：定義法
【典例2-1】已知向量、滿足：，.設(shè)與的夾角為，則的最大值為___________.
【答案】/
【解析】設(shè)，則，設(shè)向量、的夾角為，
若，則，可得，
由題意可得，解得，
所以，，，
所以，，
當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)取得最大值，
且.
故答案為：.
【典例2-2】八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋．八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣．八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺．八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長，傳播范圍亦廣，在長江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見刻有八角大汶口文化八角星紋．圖2是圖1抽象出來的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如△ACD）為等腰直角三角形，點(diǎn)O為圓心，中間部分是正方形且邊長為2，定點(diǎn)A，B所在位置如圖所示，則的值為（ ）
A．14 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【解析】如圖：連接
因?yàn)橹虚g是邊長為2的正方形，且圖中的各個(gè)三角形均為等腰直角三角形，
所以，，，.
所以
.
故選：A
【變式2-1】已知點(diǎn)A，B，C均位于單位圓（圓心為O，半徑為1）上，且的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)為圓心，則，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以
，
因?yàn)?，所?
故選：C.
【變式2-2】已知是半徑為5的圓上的兩條動(dòng)弦，，則最大值是（ ）

A．7 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【解析】
如圖，連接，作，，
易知是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，由勾股定理得，，
故，
故，當(dāng)反向時(shí)等號(hào)成立，故C正確.
故選：C
題型三：基底法
【典例3-1】已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，
所以,
因?yàn)椋?，所?br/>則，
所以.
因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ淼茫?br/>所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
故答案為：
【典例3-2】在中，，，點(diǎn)D為的中點(diǎn)，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，若，則的最大值為 .
【答案】
【解析】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
設(shè)，則，
設(shè)，
由余弦定理可得，
因?yàn)?，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又因?yàn)椋瑒t，
則
，
即的最大值為．
故答案為：．
【變式3-1】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為 ；若，則的最大值為 ．
【答案】 ．
【解析】在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
由，則，
設(shè)，
由余弦定理可得，
因?yàn)椋傻茫矗?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
又因?yàn)椋瑒t，
則
，
即的最大值為．
故答案為：；．
【變式3-2】在中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．若，的面積為，則取最小值時(shí)，則（ ）
A．2 B． C．6 D．4
【答案】D
【解析】在中，由，的面積為，得，則，
由是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，得，
，
則
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
在中，由余弦定理得：，
所以.
故選：D
【變式3-3】如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（ ）
A．為定值10 B．為定值6
C．為變量且有最大值為10 D．為變量且有最小值為6
【答案】A
【解析】設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以,
又，
，
所以，
故選：A.
題型四：幾何意義法
【典例4-1】已知是同一平面上的3個(gè)向量，滿足，，，則向量與的夾角為 ，若向量與的夾角為，則的最大值為 ．
【答案】 /
【解析】因?yàn)?，，?br/>所以，
又，所以，
因?yàn)椋?，，如圖，設(shè)，，，
則，，
又向量與的夾角為，則，又，
所以四點(diǎn)共圓，又，
所以，
設(shè)外接圓的半徑為，
由正弦定理，所以的最大值為.
故答案為：；
【典例4-2】已知向量，滿足，則的最小值是 ，最大值是 ．
【答案】
【解析】(幾何法)：本題的關(guān)鍵是要挖掘隱含條件: 和是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，
故．
如圖，是以為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線，是以為圓心的單位圓上一動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)造2個(gè)全等的平行四邊形．
所以．
易知當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí);
當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí) ．
(坐標(biāo)法)：設(shè)，，則，，
所以，
則，
所以．
(不等式法)：最小值:．
(當(dāng)且僅當(dāng)和方向相反，即時(shí)，取“”)．
最大值:． (當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”)．
(轉(zhuǎn)化為二元最值問題)：令原題轉(zhuǎn)化為，且， 求的最值．
方法1(數(shù)形結(jié)合):直線與圓弧有交點(diǎn)，如圖可得．
方法2(判別式法):化簡得得，所以．
故答案為：；
【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測）已知O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，，則的最大值為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)，可得，
即可得；
即可知點(diǎn)軌跡是以為圓心，半徑為的圓，如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)與圓相切時(shí)，取到最大，
又，可知此時(shí).
故選：B.
【變式4-2】已知平面向量，，，且，.已知向量與所成的角為60°，且對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據(jù)題意，，
，兩邊平方，整理得到，
對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則，解得，則.
由于，如上圖，，則
，則的最小值為．
當(dāng)且僅當(dāng)終點(diǎn)在同一直線上時(shí)取等號(hào).
故選：B．
【變式4-3】已知是平面向量，且是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由，
設(shè)，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
由，得點(diǎn)在以為圓心，以1為半徑的圓上，
又非零向量與的夾角為，設(shè)的起點(diǎn)為原點(diǎn)，則的終點(diǎn)在不含端點(diǎn)的兩條射線上，設(shè)，
則的最小值為
，
表示點(diǎn)到和的距離之和的最小值的倍，
則最小值為，
故選：B.
【變式4-4】（2024·山東青島·三模）已知向量，，滿足，，，則的最小值為（ ）
A．－1 B． C．2 D．1
【答案】A
【解析】由題意設(shè)，，，
則，即，且，
解得，或.
由可得 ，即，
則，即的終點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上,
故.
由圓的對(duì)稱性，不妨令，即，
如圖，連接，交圓于，
由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，.
故選：A.
題型五：坐標(biāo)法
【典例5-1】（2024·河北滄州·一模）如圖，在等腰直角中，斜邊，點(diǎn)在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B．8 C． D．12
【答案】D
【解析】如圖：以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.
則，，可設(shè)，
則，
所以
所以.
又因?yàn)?，所?
故選：D
【典例5-2】已知，，若動(dòng)點(diǎn)P，Q與點(diǎn)A，M共面，且滿足，，則的最大值為（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】C
【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，
由，得點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上，
由，得點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，
設(shè)，
則
，
當(dāng)時(shí)，能取到所有等號(hào)，
所以的最大值為1.
故選：C
【變式5-1】在梯形中，，，，，，，分別為線段和線段上（包括線段端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】
以AB為x軸，過A垂直于AB的直線為y軸，
因?yàn)?，所?
因?yàn)?，所?
,
當(dāng)時(shí)，的最大值為3.
故選：D.
【變式5-2】在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，即，
所以．
因?yàn)椋渣c(diǎn)A在以BC為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)）．
設(shè)所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，
則MD⊥BC，，可得，，．
以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，
可得，圓M的方程為，
設(shè)，則，結(jié)合，
可得，
因?yàn)锳點(diǎn)在圓M：上運(yùn)動(dòng)，
所以，可得當(dāng)時(shí)，，達(dá)到最大值．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有最大值．
故選：D．
【變式5-3】在中，，，是以為直徑的圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖：以中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，設(shè)，，
所以，，
所以.
因?yàn)?，（其中且?
所以.
從而.
故選：A
題型六：極化恒等式
【典例6-1】已知中，，若所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】如圖，設(shè)中點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br/>所有，
所以為中點(diǎn)，
所以,
又，
所以，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
又
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
所以
所以.
故答案為：.
【典例6-2】在中，，點(diǎn)Q滿足，則的最大值為 .
【答案】
【解析】設(shè)中點(diǎn)為M，則，則，
，
又
，
由余弦定理可得：
，
有，
即，
即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
則，
即.
故答案為：.
【變式6-1】在邊長為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】C
【解析】方法一：設(shè)的中點(diǎn)為，
則
（當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）.
方法二：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)，
因?yàn)樵谶呴L為2的正方形中，動(dòng)點(diǎn)P，Q在線段上，且，
所以，，
所以
，
所以當(dāng)時(shí)，有最小值1.
故選：C.
【變式6-2】點(diǎn)是邊長為1的正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【解析】分別取，中點(diǎn)Q，R，連接，，
則由題，，即，
所以，
作圖如下，由圖可知當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D或E時(shí)PQ最大，
所以
，
所以的最大值為3.
故選：C.
【變式6-3】勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知為?。ê它c(diǎn)）上的一點(diǎn)，則的范圍為 ．
【答案】
【解析】取中點(diǎn)為，
則
，
其中易得，故．
故答案為：.
【變式6-4】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以在高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪的最高點(diǎn)距離地面的高度為12，轉(zhuǎn)盤的直徑為10，A，B為摩天輪在地面上的兩個(gè)底座，，點(diǎn)P為摩天輪的座艙，則的范圍為 ．
【答案】
【解析】設(shè)C為AB的中點(diǎn)，如圖示：由題意可知： ,
則，
又因?yàn)椋缘娜≈捣秶?
故答案為：
題型七：矩形大法
【典例7-1】已知圓與，定點(diǎn)，A、B分別在圓和圓上，滿足，則線段AB的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】以為鄰邊作矩形，則
由得
，即，
的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，
，
．
【典例7-2】在平面內(nèi)，已知，，，若，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因?yàn)椋?br/>所以四邊形是平行四邊形，
又，所以四邊形是矩形，
從而，因?yàn)椋?，?br/>【變式7-1】已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______．
【答案】/
【解析】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形?br/>設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，
所以，
又為直角三角形，所以，故①，
設(shè)，則由①可得，
整理得：，
從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，
顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，
因?yàn)?，所?；
解法2：如圖，因?yàn)?，所以?br/>故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，
所以，從而，
故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，
顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以．
故答案為： ．
【變式7-2】設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐標(biāo)系，以向量，的角平分線所在的直線為軸，使得，的坐標(biāo)分別為，，設(shè)的坐標(biāo)為，
因?yàn)椋?br/>所以，化簡得，
表示以為圓心，為半徑的圓，
則的最小值表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值，
因?yàn)閳A到原點(diǎn)的距離為，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為，
故選：B
題型八：等和線、等差線、等商線
【典例8-1】如圖，在中，，是線段上一點(diǎn)，若，則的最大值為 .
【答案】
【解析】因?yàn)?所以,
因?yàn)樵谝粭l直線上，所以,
所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以的最大值為.
故答案為：.
【典例8-2】（多選題）（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量 滿足，，， .則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取得最大值時(shí)，的值為
B．若點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)， 在上的投影的數(shù)量的取值范圍是
C．若點(diǎn)P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，取得最大值時(shí)，的值為3
D．若點(diǎn)P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，的范圍是
【答案】BD
【解析】因?yàn)?，即有，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，由，得，
點(diǎn)確定的直線方程為：，即，
當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，，即，，
因此當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)，，A錯(cuò)誤；
在上的投影的數(shù)量，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹愠闪?，則，
所以，即在上的投影的數(shù)量的取值范圍是，B正確；
當(dāng)點(diǎn)P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上時(shí)，因?yàn)榕c直線AB相切，
且半徑為的圓的圓心軌跡是與直線平行，到直線距離為的兩條平行直線，
設(shè)這兩條與平行的直線方程為，則，解得或，
因此動(dòng)圓圓心的軌跡為直線或直線，
設(shè)圓心為，則點(diǎn)在圓上，其中或，
于是令，
，顯然點(diǎn)是直線或上任意一點(diǎn)，
即，從而無最大值，即無最大值，C錯(cuò)誤；
，其中銳角滿足，
顯然，當(dāng)圓心在直線時(shí)，，則，
當(dāng)圓心在直線時(shí)，，則，
所以的范圍是，D正確.
故選：BD
【變式8-1】如圖所示，是的中點(diǎn)，是平行四邊形內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且，則當(dāng)時(shí)，的范圍是 .
【答案】
【解析】如圖，過作，交于，作，交的延長線于，
則：，
又因?yàn)椋?，則點(diǎn)為中點(diǎn)，
又是的中點(diǎn)，所以，則點(diǎn)在上，
由圖形看出，當(dāng)與重合時(shí)：，此時(shí)取最小值，
當(dāng)與重合時(shí)：，此時(shí)取最大值，
所以的范圍是
故答案為：
【變式8-2】如圖，點(diǎn)是半徑為的扇形圓弧上一點(diǎn)，且，若，則的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【解析】
如圖所示，以為軸，過作與垂直的線作為軸，
，，，，
則，，
設(shè)，
，，
，
其中，又，所以，
，即時(shí)，取得最大值，即．
故選：C．
【變式8-3】如圖，邊長為2的等邊三角形的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)平行于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖所示，可得，
因?yàn)槭沁呴L為2的等邊三角形，可得其外接圓的半徑為，
因?yàn)辄c(diǎn)在的外接圓上，設(shè)，其中，
則，且，
又因?yàn)椋傻们遥?br/>所以，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值為，
所以取得最大值為.
故選：C.
【變式8-4】（2024·河北滄州·三模）對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，他普遍存在于初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中，在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力.如圖，在等邊中，，以三條邊為直徑向外作三個(gè)半圓，是三個(gè)半圓弧上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則的最大值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】如圖所示，過點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，
設(shè)，可得.
設(shè)，，則，
因?yàn)椋裕?br/>由圖可知，當(dāng)與半圓相切時(shí)，最大，
又由，，可得，
所以，即最大為，所以的最大值為.
故選：B.
【變式8-5】平行四邊形中，，，以C為圓心作與直線BD相切的圓，P為圓C上且落在四邊形內(nèi)部任意一點(diǎn)，，若，則角的范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，當(dāng)在直線上時(shí)，，
當(dāng)圓與的切點(diǎn)在延長線上時(shí)，圓落在四邊形內(nèi)部部分與直線沒有公共點(diǎn)，此時(shí)，
當(dāng)恰好切于點(diǎn)時(shí)，則，又，，
所以，則，
所以，則，故.
故選：B
題型九：平行四邊形大法
【典例9-1】如圖，圓是半徑為1的圓，，設(shè)，為圓上的任意2個(gè)點(diǎn)，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】連接，，設(shè)是線段的中點(diǎn)，連接，則有.
設(shè)為和的夾角.
則
，
，
（當(dāng)即時(shí)取等）
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有最小值.
，
（當(dāng)即時(shí)取等）
當(dāng)時(shí)，有最大值為3，
即有最大值3，所以的取值范圍是.
故答案為：
【典例9-2】如圖，C，D在半徑為1的上，線段是的直徑，則的取值范圍是_________.
【答案】
【解析】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)點(diǎn)，，
則，，
則，
其中，
所以的最大值為：
，
則當(dāng)時(shí)，取得最大值，
最小值為，
則當(dāng)時(shí)，取得最小值，
綜上，的取值范圍為.
故答案為：.
【變式9-1】（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知為單位向量，平面向量，滿足，的取值范圍是____.
【答案】
【解析】建系，不妨設(shè)，，，則，再利用柯西不等式將所求轉(zhuǎn)化為，利用換元法求出最大值，最小值顯然為共線方向時(shí)取得.不妨設(shè)，，，由已知，得，，
，令
，則，又顯然當(dāng)，向量反
向時(shí)，最小，即，，此時(shí)，綜上，的取值范圍是.
故答案為：.
【變式9-2】（2024·江西宜春·校聯(lián)考模擬預(yù)測）半徑為的兩圓和圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)，則的取值范圍為_______.
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，則點(diǎn)在圓上，
所以，
，
因?yàn)?br/>，
所以，，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)、同向且、反向時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，則，所以，，
所以，，所以，，
因?yàn)?，則，
故當(dāng)且四邊形為菱形時(shí)，，
因此，.
故答案為：.
【變式9-3】設(shè)圓，圓的半徑分別為1，2，且兩圓外切于點(diǎn)，點(diǎn)，分別是圓，圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】連接分別與兩圓交于，又兩圓外切于點(diǎn)，
三點(diǎn)共線，連，延長交圓與，連，
分別為圓，圓的直徑，
，
又，，
設(shè)為中點(diǎn)，連，
先固定，根據(jù)向量數(shù)量積的定義，
當(dāng)在同向投影最大值時(shí)為與平行的圓切線的切點(diǎn)，
記為圖中的點(diǎn)，此時(shí)在投影
，
當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立，
同理當(dāng)在投影最小（在反向上）時(shí)，
為與平行的圓切線的切點(diǎn)，
記為圖中的點(diǎn)，此時(shí)在投影，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
，
所以的數(shù)量積取值范圍是.
故選：C.
題型十：向量對(duì)角線定理
【典例10-1】已知平行四邊形，，，，與交于點(diǎn)，若記，，，則（ ）
B． C． D．
【答案】C
【解析】由對(duì)角線向量定理得，
所以，
而，
所以，選擇C．
【典例10-2】如圖，在圓中，若弦，弦，則的值是（ ）
B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示，由對(duì)角向量定理得
所以選D．
【變式10-1】在四邊形ABCD中，，若，，，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，由對(duì)角線向量定理得
=，所以選A．
1．如圖，的三邊長為，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上移動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，記，分別考查的所有可能結(jié)果，則（ ）
A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值
C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值
【答案】B
【解析】設(shè)，
由余弦定理得
過點(diǎn)作軸，設(shè)垂足為，
在中，，
所以
在中，
，
所以
由
即
得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取最小值，沒有最大值．
，
其中，
因?yàn)椋裕?br/>所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取最大值，沒有最小值．
故選：B.
2．在矩形中，，，為矩形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最大值是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，中點(diǎn)為，
因?yàn)椋?，所?，，，
得到，所以，
又因?yàn)?，所以?br/>又，當(dāng)且僅當(dāng)（在的延長線上）三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，
所以，
故選：B.
3．（2024·湖北黃岡·二模）已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（ ）
A．9 B．3 C． D．10
【答案】C
【解析】根據(jù)條件得，
得到，所以，即的最大值為，
故選：C.
4．已知為單位向量，向量滿足，則的最大值為（ ）
A．9 B．2 C． D．8
【答案】C
【解析】依題意設(shè)，，
由，所以，則，
又，且，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
即的最大值為.
故選：C.
5．如圖，在等腰梯形中，，，，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心的半徑為的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，以為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系.
由題意，梯形的高長為，則.
因?yàn)橐詾閳A心的半徑為的圓的方程為：，可設(shè)點(diǎn)，.
則
其中，，
故當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）在矩形中，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且滿足.在平面中，動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
動(dòng)點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，故設(shè)，
則,
，其中銳角滿足，故的最大值為,
故選：A
7．（2024·貴州貴陽·三模）已知，則的最大值為（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
不妨設(shè)，，，，，滿足，，，
又，即，
由橢圓的定義可知點(diǎn)在以 為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓上運(yùn)動(dòng)，
，，，所以該橢圓方程為，
而，即，
即，這表明了點(diǎn)在圓上面運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)為圓心，為半徑，
又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，
故只需求的最大值即可，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上面運(yùn)動(dòng)，
所以不妨設(shè)，
則，
所以當(dāng)，且，，三點(diǎn)共線時(shí)，
有最大值，．
故選：C．
8．已知非零平面向量，的夾角為，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由向量，的夾角為及，得，即，
則，令，
于是
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
由，解得，
所以當(dāng)且時(shí)，取得最大值.
故選：B
9．如圖，在矩形中，與的交點(diǎn)為為邊上任意一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的最大值為（ ）
A．2 B．4 C．10 D．12
【答案】C
【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，
設(shè)，所以，則，
因?yàn)?，所以，即的最大值?0.
故答案為：C
10．如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】D
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，
則，
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：D
11．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù).如圖甲是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形剪紙窗花，如圖乙所示其外框是邊長為4的正六邊形，內(nèi)部圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）

A．-8 B．-4 C．0 D．4
【答案】C
【解析】
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，的垂直平分線所在直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)點(diǎn)，由題意知，，
則，，
所以，
因，則,
故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最小值0.
故選:C.
12．已知點(diǎn)、在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，且，為圓上任意一點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，是等邊三角形，則，
不妨設(shè)、，設(shè)點(diǎn)，
所以，，
所以，
即的最小值為.
故選：C.
13．已知是邊長為4的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.
則設(shè)，
則
所以
所以當(dāng)時(shí), 取得最小值為.
故選：D.
14．已知向量的夾角為，且，則的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橄蛄康膴A角為，且，則，
可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值是.
故選：C.
15．扇形的半徑為1，，點(diǎn)在弧上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（ ）
A． B．0 C． D．-1
【答案】A
【解析】以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，過作的垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，其中，，，
故，,，
，
，，，
，
的取值范圍為,，故的最小值為；
故選：A．
16．（多選題）在中，，點(diǎn)是等邊（點(diǎn)與在的兩側(cè)）邊上的一動(dòng)點(diǎn)，若，則有（ ）
A．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)必在線段的中點(diǎn)處 B．的最大值是
C．的最小值是 D．的范圍是
【答案】BCD
【解析】
如圖，過中點(diǎn)作的平行線與的三邊有兩個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)，點(diǎn)有兩種情況，故A錯(cuò)；
在三角形中由余弦定理得,
解得，則，，
，
以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)垂直向上的方向?yàn)檩S建系，
，，，，，，，，，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，，
，
則，，，
所以當(dāng)時(shí)，最大為，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，，
，
則，，，
當(dāng)時(shí)，最大為，
綜上可得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)最大為，故B正確；
根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)最小，
此時(shí)，故C正確；
取中點(diǎn)，則，
因?yàn)椋?，故D正確.
故選：BCD.
17．（多選題）已知點(diǎn)A、B、P在上，則下列命題中正確的是（ ）
A．，則的值是
B．，則的值是
C．，則的范圍是
D．，且，則的范圍是
【答案】BCD
【解析】由
當(dāng)時(shí)， ，則A錯(cuò)，B正確；
由
因?yàn)?，所以的范圍是，故C正確；
設(shè)方程為，
由得
則，得
所以，故D正確．
故選：BCD
18．（多選題）已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A． B．的最大值為6
C． D．滿足的點(diǎn)只有一個(gè)
【答案】AB
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，圓半徑為2，弦，故為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則，所以，A正確；
對(duì)于選項(xiàng)，過點(diǎn)作平行于，交圓與點(diǎn)，
過點(diǎn)作，交延長線于點(diǎn)，連接，
則四邊形為菱形，
由投影向量可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值，
此時(shí)，
故的最大值為，B正確；
對(duì)于C選項(xiàng)，，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，且?br/>因?yàn)闉槎ㄖ担?br/>故當(dāng)與平行且方向相同時(shí)，取得最大值，最大值為，
當(dāng)與平行且方向相反時(shí)，取得最小值，最小值為，
故，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，故當(dāng)重合時(shí)，，
又當(dāng)時(shí)，滿足，故滿足的點(diǎn)有2個(gè)，D錯(cuò)誤.
故選：AB
19．（多選題）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等，如圖，已知圓的半徑2，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦均過點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．為定值
B．的取值范圍是
C．當(dāng)時(shí)，為定值
D．的最大值為16
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，如圖，過作直徑，
由題意，
所以
為定值，故A正確；
對(duì)于B，若為中點(diǎn)，連接，則
，
由題意，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，故，
則，
又，則，同理可得，故，
故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?，則當(dāng)弦均與重合時(shí)，
此時(shí)有最大值，為16，故D正確.
故選：ACD.
20．（多選題）如圖，在梯形中，分別在線段上，且線段與線段的長度相等，則（ ）
A．的最小值為 B．的最大值為18
C．的最大值為 D．的面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，
對(duì)于A,B，，故A錯(cuò)誤，B正確；
對(duì)于C，，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故C正確；
對(duì)于D，的面積
，當(dāng)時(shí)，取得最大值，且最大值為，故D正確．
故選：BCD.
21．（多選題）（2024·山東濰坊·二模）已知向量，，為平面向量，，，，，則（ ）
A． B．的最大值為
C． D．若，則的最小值為
【答案】BCD
【解析】對(duì)A，設(shè)，根據(jù)有，
即，為圓心為，半徑為的圓，又的幾何意義為原點(diǎn)到圓上的距離，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，
，則轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到的距離最大值，
為，故B正確；
對(duì)C，，因?yàn)?，故，故C正確；
對(duì)D，因?yàn)椋剩?br/>又因?yàn)?，故?br/>，
故當(dāng)時(shí)，取最小值取最小值，故D正確.
故選：BCD
22．（2024·甘肅·一模）已知單位向量滿足，則的范圍是 .
【答案】
【解析】設(shè)的夾角為，
因?yàn)椋?br/>又為單位向量，得到，
又，得到，所以，
故答案為：.
23．（2024·高三·上海閔行·開學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的范圍為 .
【答案】
【解析】以中點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸，以的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，所以?
設(shè)，因?yàn)?，所以?br/>整理得，即.
.
又，
則，則.
故答案為：
24．在中，，，，點(diǎn)P是內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若，則的最大值為 .
【答案】/
【解析】以A原點(diǎn)，以所在直線為軸，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
由，得，
設(shè)，
因?yàn)椋?br/>所以，得，
所以，又直線的方程為，
由，解得，此時(shí)最大，
所以.
故答案為：
25．（2024·天津河西·三模）如圖，動(dòng)點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），，，， ；的最大值為 ．
【答案】 2 2
【解析】由題意可知O為的中點(diǎn)，且，
則；
設(shè)，作，交的延長線于E，
在中，
故，則，
，又，故，
則，
故，
當(dāng)時(shí)，取到最大值2，
故答案為：2；2
26．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)P在以的中點(diǎn)O為圓心、為
所以，
因?yàn)?，所以?br/>所以當(dāng)時(shí)，取得最大值9，故③正確；
對(duì)于②，因?yàn)?，所以?br/>即，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，故②錯(cuò)誤．
故答案為：①③
27．如圖所示，在邊長為3的等邊三角形中，，且點(diǎn)在以的中點(diǎn)為圓心，為半徑的半圓上，則的最大值為 ．

【答案】9
【解析】如圖，過向作垂線，垂足為，則在上的投影向量是，
在上的投影向量可能與同向，也可能與反向，
在本題中與的夾角為銳角，所以是同向的，
由向量數(shù)量積的幾何意義，．
由等邊三角形邊長為3，，得，即半圓的直徑為2，
過點(diǎn)作直線的垂線，與直線的夾角為，，
則圓心到直線的距離為1，所以直線與圓相切，
記切點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在半圓上運(yùn)動(dòng)到與重合時(shí)，，最大，
取最大值，最大值為．
故答案為：9.
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