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重難點突破03 解三角形中的范圍與最值問題　
目錄
01方法技巧與總結 2
02題型歸納與總結 2
題型一：周長問題 2
題型二：面積問題 6
題型三：長度和差比問題 10
題型四：轉化為角范圍問題 15
題型五：倍角問題 17
題型六：角平分線問題與斯庫頓定理 21
題型七：中線問題 24
題型八：四心問題 28
題型九：坐標法 36
題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問題 40
題型十一：兩邊逼近思想 45
題型十二：轉化為正切有關的最值問題 47
題型十三：最大角（米勒問題）問題 51
題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題 55
題型十五：托勒密定理及旋轉相似 61
題型十六：三角形中的平方問題 66
題型十七：等面積法、張角定理 70
03過關測試 73
1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：
（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數求范圍或最值；
（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；
（4）根據三角形解的個數求范圍或最值；
（5）利用二次函數求范圍或最值．
要建立所求量（式子）與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數的定義域）找完善，避免結果的范圍過大．
2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：
（1）求角的最值；
（2）求邊和周長的最值及范圍；
（3）求面積的最值和范圍．
題型一：周長問題
【典例1-1】（2024·全國·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，則△ABC周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，
由正弦定理得，
因為，所以，由于，故，則，
由正弦定理得，
故，
又，則，所以，則，
故△ABC周長的最大值為.
故選：D.
【典例1-2】（2024·廣西河池·模擬預測）已知中角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的周長的最大值，并求出此時角，角的大小.
【解析】（1）由，
則有，
即，
由，故，則有，即，即；
（2）由余弦定理，可得，
則，故，
當且僅當時，等號成立，即，即，
即的周長的最大值為，此時，即.
【變式1-1】（2024·江西南昌·三模）在銳角中，，，
(1)求角A；
(2)求的周長l的范圍.
【解析】（1）∵，
，
所以，
所以，
因為，所以，
，所以.
（2），
所以,
所以，，
所以
,
因為是銳角三角形，且，
所以，解得，
所以，所以，
所以.
【變式1-2】（2024·廣東廣州·一模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周長的范圍．
【解析】（1）由余弦定理，，
化簡得，
所以，
因為，所以
（2）由正弦定理：，
則，，
由（1），故
因為，則，
所以，即周長范圍是．
【變式1-3】（2024·貴州貴陽·模擬預測）記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
【解析】（1）在中，由射影定理得，
則題述條件化簡為，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
則周長，
因為，則，
因為為銳角三角形，，
則得，
故．
題型二：面積問題
【典例2-1】（2024·四川德陽·模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.
【解析】（1）因為，，
所以，
因為，
所以，則，
因為，
所以，又，則，
所以.
（2）設的外接圓半徑為，則，
所以，
，
，
，
，
因為為銳角三角形，
所以，解得，
則，
則，
所以，
所以的面積范圍.
【典例2-2】（2024·全國·模擬預測）已知在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面積的范圍．
【解析】（1）∵，，，
∴
．
又，∴．又為銳角三角形，
∴或 ∴或（舍去），∴．
（2）由正弦定理知，
又∵，，∴，
∴．
故得到：，∴，
∴面積的范圍為
【變式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知的內角的對邊分別為其面積為,且.
（Ⅰ）求角；
（II）若,當有且只有一解時,求實數的范圍及的最大值.
【解析】分析：（Ⅰ）利用余弦定理和三角形的面積公式化簡得到
,再解這個三角方程即得A的值. （II）先根據有且只有一解利用正弦定理和三角函數的圖像得到m的取值范圍，再寫出S的函數表達式求其最大值.
(Ⅰ)由已知
由余弦定理得，
所以，即,
，
所以.
(Ⅱ)由已知，當有且只有一解時，
或,所以；
當時，為直角三角形，
當 時，
由正弦定理 ，
，
所以，當時，
綜上所述，.
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在平面四邊形ABCD中，，當四邊形ABCD的面積最大時，的最小值為 .
【答案】
【解析】
如圖，設,,
則四邊形ABCD的面積為，
因，故當且僅當，即時，.
當時，設，則,
于是，
因,即,
由，則有，當且僅當時取等號，
即當時，的最小值為.
故答案為：.
【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則面積的最大值為 .
【答案】/
【解析】因為，，所以，
由正弦定理可得，即，
，因為，所以，故，
由余弦定理得，
所以，即，當且僅當時取等號，
由，，得，
所以.
故答案為：.
題型三：長度和差比問題
【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角A的大小；
(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求的最小值．
【解析】（1）由題意知中，，
故
即，
即，
所以，
而，故，
故，即，
又，故；
（2）由余弦定理：，
又，
所以，所以，
所以，
當且僅當時，取等號，則的最小值為.
【典例3-2】（2024·山西運城·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
（1）求證：；
（2）若是銳角三角形，，求的范圍.
【解析】（1）由兩角差的正弦公式，可得，
又由正弦定理和余弦定理，可得
，
所以
（2）由（1）知
因為是銳角三角形，所以，可得，
又由，可得，所以，所以，
所以，可得，符合.
所以實數的取值范圍是.
【變式3-1】（2024·山東濰坊·一模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.
問題：在中，角所對的邊分別為，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【解析】（1）若選①：整理得，因為，
所以，因為，所以；
若選②：因為，
由正弦定理得，
所以，所以，因為，所以；
若選③：由正弦定理整理得，所以，
即，因為，所以；
（2）將代入正弦定理，得，所以，
因為，角的解有兩個，所以角的解也有兩個，所以，
即，又，所以，解得.
【變式3-2】在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，
(1)求角B﹔
(2)求的范圍．
【解析】（1），又，所以，因為，所以.
（2）在中，由（1）及，得，
故，
，
因為，則，
﹒
所以的范圍為.
【變式3-3】（2024·重慶·模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求AP的最小值．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得
又由知，
即，得，得，
得，所以；
又因為，所以．
（2）由，得，
所以
，
當且僅當，即時等號成立，故AP的最小值為．
【變式3-4】（2024·安徽亳州·高三統考期末）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）設為的垂心，且，求的范圍.
【解析】（1）由，結合正弦定理得
，
整理得，
又為銳角，故.
（2）由是銳角三角形，則垂心必在內部，
不妨設，則.
由為的垂心，則.
在中使用正弦定理得，
，整理得：.
同理在中使用正弦定理得，.
，
結合
可得.
題型四：轉化為角范圍問題
【典例4-1】在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）因為，
所以，即.
因為，所以.
因為，所以.
（2）由（1）知
.
因為，所以，
因為，所以，
所以，
即的取值范圍是.
【典例4-2】已知的內角、、的對邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【解析】（1）為等腰三角形或直角三角形，證明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、為的內角，所以或，
因此為等腰三角形或直角三角形．
（2）由（1）及知為直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因為，故，
得，所以，
因此的取值范圍為．
【變式4-1】（2024·山西·模擬預測）鈍角中，角的對邊分別為，，，若，則的最大值是 .
【答案】
【解析】因為，由正弦定理得，
又因為，可得，所以，則或.
當時，可得，與是鈍角三角形矛盾，所以，
由，則，可得，
所以
，
所以當時，的最大值為.
故答案為：.
【變式4-2】在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
∵，∴或，
當時，此時，所以舍去，所以.
（2）
（或者用積化和差公式一步得到）
∵，∴，所以A為銳角，又，
所以，所以，
所以，
所以.
題型五：倍角問題
【典例5-1】（多選題）在銳角中，角所對的邊分別為，且，則下列結論正確的有（ ）
A． B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】因為，所以由正弦定理得，
又因為，所以，
即，
整理得，即
對于A項，因為A、B、C均為銳角，所以，即，故A項正確；
對于B項，因為，，所以，
因為A、B、C均為銳角，所以，即，解得，
所以的取值范圍為，故B項錯誤．
對于C項，由正弦定理得，，
所以，所以．故C項正確．
對于D項，由A項知，，由B項知，，所以，
所以，，
令，則，所以，，
令，，則，所以在上單調遞增，
又，，所以，即范圍為，故D項正確.
故選：ACD.
【典例5-2】（多選題）（2024·河北·三模）已知內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，則（ ）
A． B．的最小值為3
C．若為銳角三角形，則 D．若，，則
【答案】BCD
【解析】由，得，
由正弦定理得，由余弦定理得，
則，當時，，即，
當時，，又，所以，
所以，所以，
所以，故選項A錯誤；
由，則，當且僅當時，故選項B正確；
在中，，由正弦定理，，
若為銳角三角形，又，則，故，
所以，所以，則，
所以，故選項C正確；
在中，由正弦定理，又，，，
得，則
由余弦定理，， 得，
整理得，解得，或，
當時，有，又，所以，
因為，則不成立，故選項D正確.
故選：BCD.
【變式5-1】（2024·江西九江·一模）銳角三角形ABC中，若，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理得，由于三角形為銳角三角形，故，所以，所以.故選C.
【變式5-2】在銳角中，內角所對的邊分別為，若，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】由余弦定理得，
又，
所以，
即，所以，
由正弦定理得，
即，
因為，所以，
所以或（舍去），
所以，
，
當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
故答案為：.
題型六：角平分線問題與斯庫頓定理
【典例6-1】中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
【解析】（1）因為中，，
故
，
因為，故；
（2）（i）證明：中，由正弦定理得①，
又②，
同理在中，③，
④，
BD是的角平分線，則，
則，
又，故，
故①÷③得⑤，即，
由②④得，
，
則
，
即；
（ii）因為，故，
則由⑤得，則，
由以及（i）知，
即，則，
當且僅當，結合，即時等號成立，
故，即的最大值為.
【典例6-2】在中，內角的對邊分別是，，.
(1)求角的大小；
(2)設的平分線與交于點，當的面積最大時，求的長.
【解析】（1），
所以，
由正弦定理得，
即，
得，又，
所以，即，又，
所以；
（2）由余弦定理得
即，而，
，即，
.當且僅當取等號
此時，則，
在中，由正弦定理得，
即，解得.
【變式6-1】（2024·山西呂梁·一模）設的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)設的角平分線交于點，求的最小值．
【解析】（1）.
由正弦定理，得
，即
，即
（2）由題意可得，
即
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為9.
【變式6-2】（2024·廣東佛山·模擬預測）記銳角的內角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分線交于點，求的取值范圍．
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，
所以，又，所以.
（2）因為
，
因為為銳角三角形，所以，解得，所以，
所以，即的取值范圍為.
題型七：中線問題
【典例7-1】在△ABC中，，D在邊AC上，∠A，∠B．∠C對應的邊為a，b，c．
(1)當BD為 的角平分線且時，求的值；
(2)當D為AC的中點且時，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意知，BD為角平分線且長度已知，則利用面積相等可得
，
整理可得 ，所以 .
（2）以a，c為邊做平行四邊形，另一個端點設為M，連接BM，易知BM交AC于點D.
設∠DBC=θ，則由正弦定理知：
化簡可得，，．
則，合并化簡可，
易知，則，
∴．
∴的取值范圍為.
【典例7-2】（2024·高三·黑龍江大慶·期末）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)求的邊中線的最大值.
【解析】（1）由題意，結合已知有，
所以，而，
所以，而，
所以，解得.
（2）
由題意，
所以，
而由余弦定理有，
所以，
由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，
即，所以，
即的邊中線的最大值為.
【變式7-1】（2024·河北·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得：，則，
即，
由余弦定理可得：，
因為，所以.
（2）因為為的中點，所以，
則，
又由余弦定理得，，
即，所以.
由得，，
則，當且僅當取等號，
即，
所以，即中線長的最大值為.
【變式7-2】（2024·高三·河北張家口·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)若，，求的面積；
(2)已知為邊的中線，且，求的最大值．
【解析】（1）由正弦定理，得，
所以．
又，
所以，又，
所以，又，故．
由余弦定理，得，
由，解得，所以的面積．
（2）設，則．
由及正弦定理可得，，
所以，，
故
，
其中，，
當時，的最大值為．
【變式7-3】（2024·浙江·模擬預測）在中，角的對邊分別為且，
(1)求；
(2)求邊上中線長的取值范圍．
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，
整理得，
且，則，可得，即，
且，則，
由正弦定理，其中為的外接圓半徑，
可得，
又因為，
所以.
（2）在中，由余弦定理，即，
則，當且僅當時，等號成立，
可得，即
設邊上的中點為D，
因為，則
，
即，所以邊上中線長的取值范圍為.
題型八：四心問題
【典例8-1】（2024·全國·模擬預測）已知銳角三角形的內角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為的垂心，，求面積的最大值.
【解析】（1）由題可得，
結合正弦定理可得，即，
∴，又，∴.
（2）設邊，上的高分別為，則為與的交點，
則在四邊形中，，
∵，∴，故，
在中，，，
則，即，
當且僅當時取等號.∴，故面積的最大值為.
【典例8-2】在銳角中，，點O為的外心．
(1)若，求的最大值；
(2)若．
①求證：；
②求的取值范圍．
【解析】（1）
取的中點，連接,則,不妨設，
因，同理可得，
則由可得
，即得：①
又由可得
，即得：②
聯立① ,②，解得：
則，
因，當且僅當時等號成立.即當時，取得最大值.
（2）①由，則，由圖知,則,
設的外接圓半徑為，
則,
即,又
，而
,
則，而，
故,
不妨設與的夾角為，
則,
因，故，即，
故，得證.
②因則,即，
，其中，，且為銳角，故，
因可得,則，.
又由解得：
因，而函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又由
故，則，
于是，
即的范圍為.
【變式8-1】已知的角，，所對的邊分別為，，，點是所在平面內的一點．
(1)若點是的重心，且，求的最小值；
(2)若點是的外心，（，），且，，有最小值，求的取值范圍．
【解析】（1）延長，，分別交邊，，于點，，，
依題意有，．
在和中，由余弦定理有，
即，化簡有，．
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為．
（2）由題意可知：，解得，
則
．
今，
原式有最小值，所以．
解得．
【變式8-2】從①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：______．
(1)求角C的大小；
(2)若，的內心為I，求周長的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．
【解析】（1）選擇條件①，，
在中，由正弦定理得，
整理得，則由余弦定理，，
又，所以．
選擇條件②，，
于是，
在中，由正弦定理得，，
因為，則，即，
因為，因此，即，又，所以．
（2）
如圖，由（1）知，，有，
因為的內心為，所以，于是．
設，則，且，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以的周長為，
由，得，所以，
所以周長的取值范圍為．
【變式8-3】已知的內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若為的內心，求的取值范圍.
【解析】（1）由及正弦定理，得：
即：，所以：，
又：，所以：，
又：，所以：，
所以：.
（2）因為，所以，
如圖，連接，因為為的內心，所以：，
所以：，
設，則.
在中，由正弦定理得:，
所以：，
所以：，
其中：，
因為，所以不妨取，
又，所以，其中，
當時，取得最大值.
因為，所以，
又，所以，
綜上，的取值范圍是.
【變式8-4】在中，分別是角的對邊，．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點為重心，點為線段的中點，點在線段上，且，線段與線段相交于點，求的取值范圍.
【解析】（1）因為，
由正弦定理可得，
又因為，則，
可得，即，所以.
（2）由題意可得，，
所以，
因為、、三點共線，故設，
同理、、三點共線，故設，
則，解得，
所以，
則，
因為，所以，
又因為為銳角三角形，
當為銳角，則，即，
即，所以；
當為銳角，則，即，
則，即，所以；
綜上可得，
又因為，
則，
因為，則，
且在上單調遞減，，
所以，即，
所以．
題型九：坐標法
【典例9-1】（2024·山東·二模）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；
(2)求cos∠ACB的取值范圍.
【解析】（1）以為原點，所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
設的中點為，則共線且，
設，則，，，，
故，故，故，
所以.
（2）設，則，
故，，
故，
故，所以，
故，而，
，
故
，
而，故，故，
所以，.
【典例9-2】在中，，，點在內部，，則的最小值為______．
【答案】2
【解析】因為，，所以.
在中，由正弦定理得：（R為的外接圓半徑），所以，解得：.
如圖所示：設的外接圓的圓心為O，建立如圖示的坐標系.
設E為AC的中點，所以，.
所以點M的軌跡為：，可寫出（為參數）.
因為點在內部，所以（其中滿足，）.
所以
因為滿足，，所以，
所以當時最小.
故答案為：2
【變式9-1】在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為________．
【答案】
【解析】以A為原點，AC所在直線為x軸，建系，如圖所示，根據題意，可得A、B、C坐標，設，可得的坐標，根據數量積公式，可得的表達式，即可求得答案.以A為原點，AC所在直線為x軸，建立坐標系，如圖所示：
因為，，，
所以，設，
則，
所以
=，
當時，有最小值，且為，
故答案為：
【變式9-2】在等邊 中，為內一動點，，則的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
以的BC邊的中點O為原點，BC為x軸，過O點垂直于BC的直線為y軸，建立建立直角坐標系如圖，
再將 延x軸翻折得 ，求得的外接圓的圓心為Q， ， M點的劣弧 上，
不妨設等邊的邊長為2，可得：，，，，
點所在圓的方程為：.
設參數方程為：，
，
，
其中 ，
即，解得，；
故選：C.
題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問題
【典例10-1】阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現有，，當的面積最大時，則的長為 .
【答案】
【解析】因為，由正弦定理可得，即，因為，不妨令，，建立如圖所示的平面直角坐標系，
設點的坐標為，點的軌跡方程滿足：，
整理可得：，，
即點的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓（除與軸兩交點外），
當點的坐標或時三角形的面積最大，其最大值為，
由勾股定理可得．
故答案為：．
【典例10-2】阿波羅尼斯是古希臘數學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內到兩定點距離之比為定值（）的動點的軌跡.已知在中，角的對邊分別為，則面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】由已知條件結合余弦定理，可求出，，建立坐標系求出點所在的圓的方程，求出點到距離的最大值，即可求出結論.依題意，，得，
即，以邊所在的直線為軸，的垂直平分線為軸
建立直角坐標系，則，設，
由，則的軌跡為阿波羅尼斯圓，其方程為
，邊高的最大值為，
∴.
故答案為：
【變式10-1】在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D為坐標原點，DB,DC分別為x,y軸建立如圖所示直角坐標系，則,因為，，所以由平面幾何知識得A點軌跡為圓弧（因為為平面四邊形，所以取圖中第四象限部分的圓弧），設圓心為E,則由正弦定理可得圓半徑為，
因此對角線的最大值為
故選：A
【變式10-2】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【答案】/
【解析】以的中點為原點建立平面直角坐標系，，，
設，則，
當時要使，則在坐標原點，顯然不成立，
當時要使，則，解得，顯然不成立，
所以且，因為
所以，即
整理得，(且)
所以當點的縱坐標為時，的面積取得最大值為.
故答案為：
【變式10-3】已知等邊的邊長為2，點G是內的一點，且，點P在所在的平面內且滿足，則的最大值為________.
【答案】
【解析】由，可知點G為的重心，以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，表示出的坐標，設，由可知在以為圓心，為半徑的圓上，根據點與圓上的點的距離最值求出的最大值.由，可知點G為的重心.
以AB所在的直線為x軸，中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，
則，.
設，由可知P為圓上的動點，
所以的最大值為.
故答案為：
【變式10-4】在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
【答案】
【解析】如圖，以的中點為坐標原點，以方向為軸正向，建立如下平面直角坐標系.
則，，
設，則，，
因為
所以，即：
整理得：，所以點在以原點為圓心，半徑為2的圓上.
在軸上取，連接
可得，所以，所以
由圖可得：當三點共線時，即點在圖中的位置時，最小.
此時最小為.
故答案為．
題型十一：兩邊逼近思想
【典例11-1】在中，若，且的周長為12．
(1)求證：為直角三角形；
(2)求面積的最大值．
【解析】（1）在中有，，
又，
則，
可得，
可得①，
又，，是三角形內角，
若，則，此時①式不成立；
若，則，此時①式不成立；
所以，則，則，
所以是直角三角形．
（2）設直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，則直角三角形的面積，
又，則，
所以，
即，即，
所以，當且僅當時，取最大值，且最大值為．
【典例11-2】設的內角的對邊長成等比數列，，延長至，若，則面積的最大值為__________.
【答案】
【解析】 ，
，①
又成等比數列，，
由正弦定理可得，②
①-②得
，
，解得，
由，
得，
，為正三角形，
設正三角形邊長為，
則，
，時等號成立．
即面積的最大值為，故答案為.
【變式11-1】設的內角A，B，C的對邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數列，且，延長邊BC到D，若，則面積的最大值為______．
【答案】
【解析】∵，
，
∴，①
∵a，b，c依次成等比數列，
∴，
由正弦定理可得，②
①-②可得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即
∴為正三角形，設邊長a，
當且僅當即時取等號
故答案為
題型十二：轉化為正切有關的最值問題
【典例12-1】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為 .
【答案】
【解析】因為，，
所以，即，
由余弦定理，所以，
又因為，所以，
解得或，
因為為銳角三角形，
所以，所以，
所以，因為，
所以，
由正弦定理得，
因為為銳角三角形，
所以，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，所以，
設，則，
因為函數在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，有最小值為，當時，有最大值為，
所以，
所以.
故答案為：.
【典例12-2】（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【解析】因為，
由正弦定理得，
所以，
又因為，
所以，
所以，
即.
所以，
顯然必為正（否則和都為負，就兩個鈍角），
所以，
當且僅當，即取等號.
所以.
故選：B.
【變式12-1】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，所以，
由余弦定理得，，
所以，整理得，即，
由，知為鈍角，所以，則.
所以，
當且僅當即時等號成立，
所以當時，的最小值為.
故選：B
【變式12-2】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求A角的值；
(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.
【解析】（1）因為，所以，
因為，∵，
∴，∵，∴，∴，
因為，∴，∴.
（2）由正弦定理，
，
∵為銳角三角形，∴，即，，
∴}
∴的取值范圍是.
【變式12-3】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范圍．
【解析】（1）因為，
所以,
因為，
，
因為.
（2）由正弦定理，
，
因為，所以，所以，
所以，所以的取值范圍是.
題型十三：最大角（米勒問題）問題
【典例13-1】某校開展數學專題實踐活動，要求就學校新建的體育館進行研究，為了提高研究效率，小王和小李打算分工調查測量并繪圖，完成兩個任務的研究．
(1)小王獲得了以下信息：
．教學樓和體育館之間有一條筆直的步道；
．在步道上有一點，測得到教學樓頂的仰角是，到體育館樓頂的仰角是；
．從體育館樓頂測教學樓頂的仰角是；
．教學樓的高度是20米．
請幫助小王完成任務一：求體育館的高度．
(2)小李獲得了以下信息：
．體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米；
．大屏幕的高度是2米；
．當觀眾所站的位置到屏幕上下兩端，所張的角最大時，觀看屏幕的效果最佳．
請幫助小李完成任務二：求步道上觀看屏幕效果最佳地點的位置．
【解析】（1）由題意知，⊥，由勾股定理得，
且可知，
，
由正弦定理可得，
則體育館的高度為10米.
（2）設，則，，
，
當且僅當時，取到最大值，即米時，觀看效果最佳．
【典例13-2】1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由米勒問題的解答可知，此人應站在離塔水平距離為處觀察，
設此時視角為，塔底離地面高度為，塔頂離地面高度為，
則，則，
故.
故選：B
【變式13-1】德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設，則，，
，
當且僅當時成立,解得，，
設的外接圓的方程為，
則，解得，，，
的外接圓的方程為．
故選：．
【變式13-2】（2024·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為 米時看A，B的視角最大.
【答案】
【解析】過C作，交AB于D，如圖所示：
則，
設，
在中，，
在中，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
所以取最大值時，最大，
所以當離此樹的水平距離為米時看A，B的視角最大.
故答案為：
【變式13-3】設中，內角，，所對的邊分別為，，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，由正弦定理及得：，
即，整理得：，
即，因，則，否則為鈍角，也為鈍角，矛盾，
，
當且僅當，即時取等號，所以的最大值為.
故選：D
題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題
【典例14-1】當的三個內角均小于時，使得的點為的“費馬點”；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為的“費馬點”.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，P是的“費馬點”.
(1)若，，.
①求；
②設的周長為，求的值；
(2)若，，求實數的最小值.
【解析】（1）①
，
則
②設
而，
在中，由余弦定理得:
同理有
則
在中由余弦定理知: 即
又則
又等面積法知：
則，，
故
（2）因為
所以
所以
所以所以為直角三角形，
點為的費馬點，則，
設，，，，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當且僅當，結合，解得時，等號成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實數的最小值為．
【典例14-2】“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，設點為的費馬點，求；
(3)設點為的費馬點，，求實數的最小值．
【解析】（1）由已知得，
由正弦定理可得，故直角三角形，即．
（2）由（1），所以三角形的三個角都小于，則由費馬點定義可知：
，設，
由得：，整理得，
則．
（3）點為的費馬點，則，
設，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，故，
當且僅當，結合，解得時，等號成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實數的最小值為．
【變式14-1】（2024·湖北·三模）內一點O，滿足，則點O稱為三角形的布洛卡點．王聰同學對布洛卡點產生興趣，對其進行探索得到許多正確結論，比如，請你和他一起解決如下問題：
(1)若a，b，c分別是A，B，C的對邊，，證明：；
(2)在（1）的條件下，若的周長為4，試把表示為a的函數，并求的取值范圍．
【解析】（1）設，
在和中，由正弦定理得
又，，
，
，又，
，即．
（2）
，即，
又成等比數列，設（公比）（），
，解得：，又，得，
由且，則，故在上遞增，
所以在上為減函數，易知，
【變式14-2】拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點．”某街角公園計劃對園內的一塊草坪進行改建，這塊草坪是由一個半徑為的圓的一段優弧與此圓弧上一條長為的弦AB圍成，改建計劃是在優弧上選取一點C，以AC、BC、AB為邊向外作三個等邊三角形，其外心依次記為、、，在區域內種植觀賞花卉．
(1)設、，用a、b表示的面積；
(2)要使面積最大，C點應選在何處？并求出面積最大值．
【解析】（1）設，的外接圓半徑為R，
在中，由正弦定理得，
因為，，所以，
因為點C在優弧上，所以，
因為點、是以AC、BC為邊向外所作等邊三角形外接圓圓心，
所以，且，，
所以，
所以，
根據拿破侖定理可知：；
（2）在中，由余弦定理得，
所以，所以，
因為，當且僅當時取等號，
所以，整理得，
（當且僅當時，等號成立）
由（1）知：，
所以，
故點C取在優弧中點時，面積最大值，最大值為．
【變式14-3】小明同學在一次數學課外興趣小組活動中，探究知函數在上單調遞增，在上單調遞減．
于是小明進一步探究求解以下問題：
法國著名的軍事家拿破侖．波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”．
在三角形中，角，以為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，若三角形的面積為，則三角形的周長最小值為 ．
【答案】6
【解析】如圖，設角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，，，都是正三角形，
在中，，，可得，
同理，在正三角形中，面積為，
解得，又，可得，
在中，，即，
在中，，則，
又，又，得，
，，令，，
所以，由題在上單調遞減，
所以當，即時，的周長最小，最小值為.
故答案為：6.
題型十五：托勒密定理及旋轉相似
【典例15-1】托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【答案】C
【解析】設，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因為，，
因此，
.
故選：C.
【典例15-2】托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，、是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設，由托勒密定理可知，
即，所以，，
又因為，，
因此，
.
故選：C.
【變式15-1】克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】連接AC，BD．
由，及正弦定理，得，
解得，．
在中，，，，
所以．
因為四邊形ABCD內接于半徑為的圓，
它的對角互補，所以，
所以,所以，
所以四邊形ABCD的周長為．
故選：A．
【變式15-2】凸四邊形就是沒有角度數大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當變化時，對角線BD的最大值為（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解析】設，，，，
在△ABC中，由余弦定理，得，
由正弦定理，得，∴.
∵，，，
在△BCD中，由余弦定理，得,
∴
，
當，即時，取得最大值，為，
即BD的最大值為.
故選：C.
【變式15-3】在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點，，兩點在直線的兩側).當角變化時，線段長度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【答案】A
【解析】中，，，，
在中，由正弦定理得：，
，
在中，
，
當時最大為9，故最大值為3，
故選：A
【變式15-4】如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在ABC中，設， ，
由余弦定理得：，
∵ACD為正三角形，
∴，
，
，
在ABC中，由正弦定理：，
∴，
∴，
∴，
，
∵，∴為銳角，，
∴，
，
當時，．
題型十六：三角形中的平方問題
【典例16-1】（2024·高三·江蘇常州·期末）已知中，，所在平面內存在點使得，則面積的最大值為 ．
【答案】
【解析】設，以所在直線為軸、其中垂線所在直線為軸建立直角坐標系（如圖所示），則，設，由，得，即，
則，
則，
即，
解得，即，
即面積的最大值為.
【典例16-2】（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內角的對邊分別為，且，則的最小值為 .
【答案】
【解析】由正弦定理得，，
因為，所以，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為.
故答案為：.
【變式16-1】已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據a2+b2+2c2＝8，得到，由余弦定理得到，由正弦定理得到，兩式平方相加得，而，兩式結合有，再用基本不等式求解.因為a2+b2+2c2＝8，
所以，
由余弦定理得，
即①
由正弦定理得，
即②
由①，②平方相加得，
所以，
即，所以，
當且僅當且即時，取等號.
故選：B
【變式16-2】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】由得： ，
故 ，
當且僅當 時取等號，
由于 ,故 ，
則 ，則 ，
故答案為：
【變式16-3】（2024·湖南常德·常德市一中校考模擬預測）秦九韶是我國南宋著名數學家，在他的著作《數書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內角A，B，C的對邊，若，且，則面積S的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，得，
所以
，當且僅當，時，等號成立.
故選：B
【變式16-4】（2024·云南·統考一模）已知的三個內角分別為、、.若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，
由余弦定理得，，
所以
，當且僅當時等號成立.
即為銳角，，，
，
所以的最大值為.
故選：B
題型十七：等面積法、張角定理
【典例17-1】（2024·江蘇·模擬預測）在中，點在邊上，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求的面積的最小值.
【解析】（1）
在中，由正弦定理，得，
在中，由正弦定理，得，
因為，所以，所以，
因為，所以，
所以，
所以，
又因為，，且，
所以.
（2）因為，
所以，
所以，
因為，所以，所以，
由（1）知，則，
因為，
所以，
又，
所以
因為，
所以，
所以，當且僅當時等號成立，
所以的面積的最小值為.
【典例17-2】已知△ABC的面積為, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分線, 則AD長度的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】中，∠BAC=, AD是角平分線得
，，
而
因此
得
而，
所以
故選D項.
【變式17-1】（2024·上海寶山·高三海市吳淞中學校考期中）給定平面上四點滿足，則面積的最大值為_______.
【答案】
【解析】，，，
，
，
設到的距離為，則由等面積可得，
，
面積的最大值為．
故答案為：．
【變式17-2】已知，內角所對的邊分別是，的角平分線交于點D．若，則的取值范圍是____________．
【答案】
【解析】
對用正弦定理，可得，設，，由于為三角形內角，則，由可得，，整理得，，對，由余弦定理，，即，故，即，于是，根據基本不等式，，即，結合，解得，即，于是.
故答案為：
【變式17-3】在中，角，，的對邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為 .
【答案】/
【解析】如圖所示，由題意知，
因為是的平分線且，，
可得，
即，即，且，，
則，
當且僅當，即也即時，等號成立，
則的最小值為.
故答案為：.
1．（2024·甘肅武威·一模）在中，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，因為，所以.
又，所以的范圍是.
故選：B
2．（多選題）（2024·山東濟南·三模）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（ ）
A． B．面積的最大值為
C． D．邊上的高的最大值為
【答案】AD
【解析】在中，由及正弦定理，得，而，
則，由余弦定理得，而，解得，
對于A，，A正確；
對于B，顯然，當且僅當時取等號，，B錯誤；
對于C，，C錯誤；
對于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.
故選：AD
3．（2024·貴州貴陽·二模）在中，角所對的邊分別為且.當取最小值時， .
【答案】/
【解析】因為，由余弦定理得：，整理得，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
則此時，此時，
又因為，所以．
故答案為：.
4．（2024·四川自貢·三模）如圖，D為的邊AC上一點，，，，則的最小值為 .
【答案】
【解析】設，則，
在中，，所以，
所以，
因為，所以，
所以，
所以，
所以，
所以，當時，有最小值，此時取最小值，
所以.
故答案為：.
5．（2024·四川南充·二模）在中，，，分別為內角，，的對邊．已知，．則的最小值為 ．
【答案】
【解析】因為，由正弦定理可得，又，
所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以，
當且僅當時取等號，所以的最小值為.
故答案為：
6．（2024·重慶九龍坡·三模）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為，已知，.則 ；的最大值為 .
【答案】 /
【解析】因為，所以由正弦定理知，
所以，因為，所以，
又，所以，所以，所以；
由已知及余弦定理得：，
所以，當且僅當時，等號成立，
則面積的最大值為.
故答案為：；
7．已知△ABC的三個內角A，B，C滿足，則A的最大值是 ．
【答案】
【解析】因為，
所以，
所以，所以，
由正弦定理得：．
由余弦定理得：，又由得：，
所以，
（當且僅當，即△為正三角形時，取“”），
因為，所以的最大值為．
故答案為：
8．在中，角A，B，C對應的邊分別為a、b、c，D是AB上的三等分點靠近點且，，則的最大值為 .
【答案】
【解析】由及正弦定理得，
整理得，所以
因為，所以，
因為點D是邊AB上靠近點A的三等分點，
則，
即，
兩邊同時平方得，
即，
整理得，即，
解得，當且僅當時取等號，
所以的最大值是
故答案為：
9．（2024·遼寧·一模）設的內角所對的邊分別為，且,則的范圍是 ．
【答案】
【解析】在中，，
因為+，
所以,
所以，即，又，
由余弦定理得 ，
所以，當且僅當時取等號，
解得，又，
所以的范圍是.
故答案為：.
10．中，所在平面內存在點P使得，，則的面積最大值為 ．
【答案】
【解析】以的中點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，
設，則，
設，由，，可得，
即，
即點P既在以為圓心，半徑為的圓上，也在為圓心，為半徑的圓上，
可得，
由兩邊平方化簡可得，
則的面積為，
由，可得．
故答案為：.
11．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)若，求的面積;
(2)若，求使得恒成立時，實數的最小值.
【解析】（1）因為，即，所以，
即，則，所以，
所以，且，由正弦定理可得，則，
所以，則.
（2）因為，由余弦定理可得，
又，則，即，
所以，化簡可得，
因為，所以，所以，
即，所以，當且僅當時，等號成立，
又，所以，故即可，所以的最小值為.
12．（2024·江西鷹潭·二模）的內角的對邊分別為，，，滿足.
(1)求證：；
(2)求的最小值.
【解析】（1）證明：由，可得且，
所以，
因為為三角形的內角，可得，即，得證.
（2）由（1）知，且，
所以
所以，當且僅當時，等號成立，
所以的最小值為
13．（2024·陜西安康·模擬預測）記的內角所對的邊分別為，已知__________.
在①，②，③，這三個條件中任選一個填在上面的橫線上，并解答問題.
(1)求角；
(2)若的面積為，求的最小值.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
【解析】（1）若選①：由，可得，
所以，即，解得，
因為，所以.
若選②：因為，由正弦定理得，
又因為，
所以，即，
因為，所以，可得，
又因為，所以.
若選③：因為，可得，即，
由余弦定理得，
又因為，所以.
（2）由（1）知，所以，可得，
所以，
當且僅當時等號成立，所以的最小值為.
14．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.
【解析】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因為是三角形內角，所以；
（2）由三角形面積公式得：
，
解得，
因為，當且僅當時取等號，
所以的最小值為，此時為等邊三角形.
15．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知在中，，
(1)求A；
(2)若點D是邊BC上一點，，△ABC的面積為，求AD的最小值.
【解析】（1）因為，所以，
因為，，則，故，
所以，，
（2）因為，則，
所以，故，
因為的面積為，所以，所以
上式當且僅當，即，時取得“”號，
所以AD的最小值是.
16．（2024·江蘇揚州·模擬預測）記的內角的對邊分別為，若，且的面積為.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
【解析】（1），
結合余弦定理得，，
，，
即，又，，故；
（2）由（1）知：，
，，
，
又，
當且僅當時，長取最小值，此時，
長的最小值為.
17．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．
【解析】（1）因為
，
因為，所以，
由△ABC為鈍角三角形且，知，為鈍角，
所以，即，
所以.
（2）因為，
所以，
由余弦定理，，
當且僅當時，等號成立，
此時的最小值為，所以c的最小值為.
18．（2024·四川·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足.
(1)求；
(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.
【解析】（1）因為 ，
由正弦定理可得，
又，，故，，
所以，又，故.
（2），又，
在中，由余弦定理，
，
當且僅當時取等號，
的最小值為．
19．在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周長的范圍.
【解析】（1）由正弦定理得：，
，，
，
，，，.
（2）由正弦定理：，則，，
，，
周長為
，
又銳角，，結合
，，，，即周長的范圍是.
20．（2024·四川·二模）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．
【解析】（1）由，
，
，，，．
（2），，，
由余弦定理有：，，
所以，，
由正弦定理，，，，
，
，因為為銳角三角形，所以且，
則，,則，．
21．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點.在中，內角，，的對邊分別為，，.
(1)若.
①求；
②若的面積為，設點為的費馬點，求的取值范圍；
(2)若內一點滿足，且平分，試問是否存在常實數，使得，若存在，求出常數；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）①因為，且，
所以，
所以，
即，
因為，，所以，，
所以，
因為，所以；
②因為，所以的內角均小于，
所以點在的內部，且，
由，得，
設，，則，
在中，由正弦定理得，即
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
因為，所以，
所以，
所以的取值范圍為；
（2）因為，
即，
所以，
在，，中，
分別由余弦定理得：，
，，
三式相加整理得，
，
將代入得：
，
因為平分，所以，，
所以，③
又由余弦定理可得：，④
由③④得：，
所以，即，
所以常數，使得.
22．在中，內角所對的邊分別為，滿足．
(1)求證：；
(2)求的最大值．
【解析】（1）由題，
由正弦定理：，
所以，
整理，
所以，結合三角形內角性質，
或（舍）,
.
（2）由，則由（1）問，得：，
所以，
且
又，
令，則，
所以
因為,
當時，所求的最大值為.
23．在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．
(1)求證：；
(2)若，求a邊的范圍；
(3)求的取值范圍．
【解析】（1）因為，
所以，
由正弦定理可得，
又因為，
代入可得，
即，
因為，，則，故，
所以或，即或（舍去），
所以．
法二：由正弦定理可得：，
則，
則，
又，故，
因為，，則，故，
所以或，即或（舍去），
（2）因為為銳角三角形，，
所以，
由，解得，
又故．
（3）由（2）知．
由，
，
令，則在上單調遞增，所以，
所以的取值范圍為．
24．三邊長度均為整數的三角形稱為“整邊三角形”.若整邊三角形的內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)證明：；
(2)若，當取最小值時，求整邊三角形的面積.
【解析】（1）證明：因為，
所以，
因為，
所以，
所以，
由正弦定理，
得.
（2）因為，由正弦定理
及余弦定理可得，
，
解得（舍）或，
故，
則，
所以.
因為，所以的最小值為4，
此時，
所以整邊三角形的面積為.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破03 解三角形中的范圍與最值問題　
目錄
01方法技巧與總結 2
02題型歸納與總結 3
題型一：周長問題 3
題型二：面積問題 4
題型三：長度和差比問題 5
題型四：轉化為角范圍問題 7
題型五：倍角問題 7
題型六：角平分線問題與斯庫頓定理 8
題型七：中線問題 9
題型八：四心問題 10
題型九：坐標法 12
題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問題 13
題型十一：兩邊逼近思想 13
題型十二：轉化為正切有關的最值問題 14
題型十三：最大角（米勒問題）問題 15
題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題 16
題型十五：托勒密定理及旋轉相似 18
題型十六：三角形中的平方問題 20
題型十七：等面積法、張角定理 21
03過關測試 21
1、在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內容的重點、難點．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：
（1）利用基本不等式求范圍或最值；
（2）利用三角函數求范圍或最值；
（3）利用三角形中的不等關系求范圍或最值；
（4）根據三角形解的個數求范圍或最值；
（5）利用二次函數求范圍或最值．
要建立所求量（式子）與已知角或邊的關系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數值，轉化為函數關系，將原問題轉化為求函數的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數的定義域）找完善，避免結果的范圍過大．
2、解三角形中的范圍與最值問題常見題型：
（1）求角的最值；
（2）求邊和周長的最值及范圍；
（3）求面積的最值和范圍．
題型一：周長問題
【典例1-1】（2024·全國·二模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，且，則△ABC周長的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·廣西河池·模擬預測）已知中角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若，求的周長的最大值，并求出此時角，角的大小.
【變式1-1】（2024·江西南昌·三模）在銳角中，，，
(1)求角A；
(2)求的周長l的范圍.
【變式1-2】（2024·廣東廣州·一模）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且滿足，．
(1)求角A的大小；
(2)求周長的范圍．
【變式1-3】（2024·貴州貴陽·模擬預測）記內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若為銳角三角形，，求周長范圍．
題型二：面積問題
【典例2-1】（2024·四川德陽·模擬預測）在中，角、、所對的邊分別為、、，且，.
(1)求；
(2)若為銳角三角形，求的面積范圍.
【典例2-2】（2024·全國·模擬預測）已知在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，，．
(1)求角A的值；
(2)若，求面積的范圍．
【變式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知的內角的對邊分別為其面積為,且.
（Ⅰ）求角；
（II）若,當有且只有一解時,求實數的范圍及的最大值.
【變式2-2】（2024·陜西安康·模擬預測）如圖，在平面四邊形ABCD中，，當四邊形ABCD的面積最大時，的最小值為 .
【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預測）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則面積的最大值為 .
題型三：長度和差比問題
【典例3-1】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．
(1)求角A的大小；
(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求的最小值．
【典例3-2】（2024·山西運城·模擬預測）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.
（1）求證：；
（2）若是銳角三角形，，求的范圍.
【變式3-1】（2024·山東濰坊·一模）在①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中并作答.
問題：在中，角所對的邊分別為，且__________.
(1)求角的大小；
(2)已知，且角有兩解，求的范圍.
【變式3-2】在中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，，
(1)求角B﹔
(2)求的范圍．
【變式3-3】（2024·重慶·模擬預測）在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．
(1)求角A的大小；
(2)若，且，求AP的最小值．
【變式3-4】（2024·安徽亳州·高三統考期末）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）設為的垂心，且，求的范圍.
題型四：轉化為角范圍問題
【典例4-1】在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)求的取值范圍.
【典例4-2】已知的內角、、的對邊分別為、、，且．
(1)判斷的形狀并給出證明；
(2)若，求的取值范圍．
【變式4-1】（2024·山西·模擬預測）鈍角中，角的對邊分別為，，，若，則的最大值是 .
【變式4-2】在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范圍.
題型五：倍角問題
【典例5-1】（多選題）在銳角中，角所對的邊分別為，且，則下列結論正確的有（ ）
A． B．的取值范圍為
C．的取值范圍為 D．的取值范圍為
【典例5-2】（多選題）（2024·河北·三模）已知內角A、B、C的對邊分別是a、b、c，，則（ ）
A． B．的最小值為3
C．若為銳角三角形，則 D．若，，則
【變式5-1】（2024·江西九江·一模）銳角三角形ABC中，若，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】在銳角中，內角所對的邊分別為，若，則的最小值為 .
題型六：角平分線問題與斯庫頓定理
【典例6-1】中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.
(1)求的值；
(2)若BD是的角平分線.
（i）證明：；
（ii）若，求的最大值.
【典例6-2】在中，內角的對邊分別是，，.
(1)求角的大小；
(2)設的平分線與交于點，當的面積最大時，求的長.
【變式6-1】（2024·山西呂梁·一模）設的內角的對邊分別為，已知．
(1)求；
(2)設的角平分線交于點，求的最小值．
【變式6-2】（2024·廣東佛山·模擬預測）記銳角的內角、、的對邊分別為、、，已知．
(1)求；
(2)已知的角平分線交于點，求的取值范圍．
題型七：中線問題
【典例7-1】在△ABC中，，D在邊AC上，∠A，∠B．∠C對應的邊為a，b，c．
(1)當BD為 的角平分線且時，求的值；
(2)當D為AC的中點且時，求的取值范圍．
【典例7-2】（2024·高三·黑龍江大慶·期末）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)求的邊中線的最大值.
【變式7-1】（2024·河北·模擬預測）在中，角的對邊分別為，且.
(1)求角的大小；
(2)若邊，邊的中點為，求中線長的最大值.
【變式7-2】（2024·高三·河北張家口·期末）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
(1)若，，求的面積；
(2)已知為邊的中線，且，求的最大值．
【變式7-3】（2024·浙江·模擬預測）在中，角的對邊分別為且，
(1)求；
(2)求邊上中線長的取值范圍．
題型八：四心問題
【典例8-1】（2024·全國·模擬預測）已知銳角三角形的內角的對邊分別為，且.
(1)求角；
(2)若為的垂心，，求面積的最大值.
【典例8-2】在銳角中，，點O為的外心．
(1)若，求的最大值；
(2)若．
①求證：；
②求的取值范圍．
【變式8-1】已知的角，，所對的邊分別為，，，點是所在平面內的一點．
(1)若點是的重心，且，求的最小值；
(2)若點是的外心，（，），且，，有最小值，求的取值范圍．
【變式8-2】從①；②這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答．
在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足：______．
(1)求角C的大小；
(2)若，的內心為I，求周長的取值范圍．
注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分．
【變式8-3】已知的內角的對邊分別為，且.
(1)求；
(2)若為的內心，求的取值范圍.
【變式8-4】在中，分別是角的對邊，．
(1)求角A的大小；
(2)若為銳角三角形，且其面積為，點為重心，點為線段的中點，點在線段上，且，線段與線段相交于點，求的取值范圍.
題型九：坐標法
【典例9-1】（2024·山東·二模）已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是△ABC的重心，且.
(1)若，求tan∠GAC的值；
(2)求cos∠ACB的取值范圍.
【典例9-2】在中，，，點在內部，，則的最小值為______．
【變式9-1】在中，，，，M是所在平面上的動點，則的最小值為________．
【變式9-2】在等邊 中，為內一動點，，則的最小值是（ ）
A．1 B． C． D．
題型十：隱圓（阿波羅尼斯圓）問題
【典例10-1】阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，它將圓錐曲線的性質網羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數（且）的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現有，，當的面積最大時，則的長為 .
【典例10-2】阿波羅尼斯是古希臘數學家，他與阿基米德、歐幾里得被稱為亞歷山大時期的“數學三巨匠”，以他名字命名的阿波羅尼斯圓是指平面內到兩定點距離之比為定值（）的動點的軌跡.已知在中，角的對邊分別為，則面積的最大值為 ．
【變式10-1】在平面四邊形中，連接對角線，已知，，，，則對角線的最大值為（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【變式10-2】已知中，，為的重心，且滿足，則的面積的最大值為______.
【變式10-3】已知等邊的邊長為2，點G是內的一點，且，點P在所在的平面內且滿足，則的最大值為________.
【變式10-4】在平面四邊形ABCD中，， ，．若， 則的最小值為____．
題型十一：兩邊逼近思想
【典例11-1】在中，若，且的周長為12．
(1)求證：為直角三角形；
(2)求面積的最大值．
【典例11-2】設的內角的對邊長成等比數列，，延長至，若，則面積的最大值為__________.
【變式11-1】設的內角A，B，C的對邊為，b，c．已知，b，c依次成等比數列，且，延長邊BC到D，若，則面積的最大值為______．
題型十二：轉化為正切有關的最值問題
【典例12-1】在銳角中，角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為 .
【典例12-2】（2024·河南·三模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．4
【變式12-1】（2024·內蒙古呼和浩特·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，若，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-2】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
(1)求A角的值；
(2)若為銳角三角形，利用（1）所求的A角值求的取值范圍.
【變式12-3】在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．求：
(1)；
(2)的取值范圍．
題型十三：最大角（米勒問題）問題
【典例13-1】某校開展數學專題實踐活動，要求就學校新建的體育館進行研究，為了提高研究效率，小王和小李打算分工調查測量并繪圖，完成兩個任務的研究．
(1)小王獲得了以下信息：
．教學樓和體育館之間有一條筆直的步道；
．在步道上有一點，測得到教學樓頂的仰角是，到體育館樓頂的仰角是；
．從體育館樓頂測教學樓頂的仰角是；
．教學樓的高度是20米．
請幫助小王完成任務一：求體育館的高度．
(2)小李獲得了以下信息：
．體育館外墻大屏幕的最低處到地面的距離是4米；
．大屏幕的高度是2米；
．當觀眾所站的位置到屏幕上下兩端，所張的角最大時，觀看屏幕的效果最佳．
請幫助小李完成任務二：求步道上觀看屏幕效果最佳地點的位置．
【典例13-2】1471年德國數學家米勒向諾德爾教授提出一個問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長（即視角最大，視角是指由物體兩端射出的兩條光線在眼球內交叉而成的角），這個問題被稱為米勒問題，諾德爾教授給出解答，以懸桿的延長線和水平地面的交點為圓心，懸桿兩端點到地面的距離的積的算術平方根為半徑在地面上作圓，則圓上的點對懸桿視角最大.米勒問題在實際生活中應用十分廣泛.某人觀察一座山上的鐵塔，塔高，山高，此人站在對塔“最大視角”（忽略人身高）的水平地面位置觀察此塔，則此時“最大視角”的正弦值為（ ）
A． B．
C． D．
【變式13-1】德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角原理”：對定點、和在直線上的動點，當與的外接圓相切時，最大．若，，是軸正半軸上一動點，當對線段的視角最大時，的外接圓的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式13-2】（2024·山東濱州·二模）最大視角問題是1471年德國數學家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為 米時看A，B的視角最大.
【變式13-3】設中，內角，，所對的邊分別為，，，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型十四：費馬點、布洛卡點、拿破侖三角形問題
【典例14-1】當的三個內角均小于時，使得的點為的“費馬點”；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為的“費馬點”.已知在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，P是的“費馬點”.
(1)若，，.
①求；
②設的周長為，求的值；
(2)若，，求實數的最小值.
【典例14-2】“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題．該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小．”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點．試用以上知識解決下面問題：已知的內角所對的邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，設點為的費馬點，求；
(3)設點為的費馬點，，求實數的最小值．
【變式14-1】（2024·湖北·三模）內一點O，滿足，則點O稱為三角形的布洛卡點．王聰同學對布洛卡點產生興趣，對其進行探索得到許多正確結論，比如，請你和他一起解決如下問題：
(1)若a，b，c分別是A，B，C的對邊，，證明：；
(2)在（1）的條件下，若的周長為4，試把表示為a的函數，并求的取值范圍．
【變式14-2】拿破侖定理是法國著名軍事家拿破侖最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊，向外構造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形（此等邊三角形稱為拿破侖三角形）的頂點．”某街角公園計劃對園內的一塊草坪進行改建，這塊草坪是由一個半徑為的圓的一段優弧與此圓弧上一條長為的弦AB圍成，改建計劃是在優弧上選取一點C，以AC、BC、AB為邊向外作三個等邊三角形，其外心依次記為、、，在區域內種植觀賞花卉．
(1)設、，用a、b表示的面積；
(2)要使面積最大，C點應選在何處？并求出面積最大值．
【變式14-3】小明同學在一次數學課外興趣小組活動中，探究知函數在上單調遞增，在上單調遞減．
于是小明進一步探究求解以下問題：
法國著名的軍事家拿破侖．波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等邊三角形的頂點”．
在三角形中，角，以為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為，若三角形的面積為，則三角形的周長最小值為 ．
題型十五：托勒密定理及旋轉相似
【典例15-1】托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和.其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積.從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質.已知四邊形ABCD的四個頂點在同一個圓的圓周上，AC、BD是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形ABCD的面積為（ ）
A． B．16 C． D．12
【典例15-2】托勒密是古希臘天文學家、地理學家、數學家，托勒密定理就是由其名字命名，該定理原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和．其意思為：圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積．從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．已知四邊形的四個頂點在同一個圓的圓周上，、是其兩條對角線，，且為正三角形，則四邊形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式15-1】克羅狄斯·托勒密是古希臘著名數學家、天文學家和地理學家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對角線的乘積小于或等于兩組對邊乘積之和，當且僅當凸四邊形的對角互補時取等號，后人稱之為托勒密定理的推論．如圖，四邊形ABCD內接于半徑為的圓，，，，則四邊形ABCD的周長為（ ）
A． B． C． D．
【變式15-2】凸四邊形就是沒有角度數大于180°的四邊形，把四邊形任何一邊向兩方延長，其他各邊都在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，如圖，在凸四邊形ABCD中，，，，，當變化時，對角線BD的最大值為（　　）
A．4 B． C． D．
【變式15-3】在中，，，以為邊作等腰直角三角形(為直角頂點，，兩點在直線的兩側).當角變化時，線段長度的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【變式15-4】如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD為正三角形，則BCD面積的最大值為（　　）
A． B． C． D．
題型十六：三角形中的平方問題
【典例16-1】（2024·高三·江蘇常州·期末）已知中，，所在平面內存在點使得，則面積的最大值為 ．
【典例16-2】（2024·遼寧遼陽·一模）在中，內角的對邊分別為，且，則的最小值為 .
【變式16-1】已知△ABC的三邊分別為a，b，c，若滿足a2+b2+2c2＝8，則△ABC面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-2】在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，則的取值范圍是___________.
【變式16-3】（2024·湖南常德·常德市一中校考模擬預測）秦九韶是我國南宋著名數學家，在他的著作《數書九章》中有已知三邊求三角形面積的方法：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實一為從陽，開平方得積．”如果把以上這段文字寫成公式就是，其中a，b，c是的內角A，B，C的對邊，若，且，則面積S的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-4】（2024·云南·統考一模）已知的三個內角分別為、、.若，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
題型十七：等面積法、張角定理
【典例17-1】（2024·江蘇·模擬預測）在中，點在邊上，且滿足.
(1)求證：；
(2)若，，求的面積的最小值.
【典例17-2】已知△ABC的面積為, ∠BAC=, AD是△ABC的角平分線, 則AD長度的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式17-1】（2024·上海寶山·高三海市吳淞中學校考期中）給定平面上四點滿足，則面積的最大值為_______.
【變式17-2】已知，內角所對的邊分別是，的角平分線交于點D．若，則的取值范圍是____________．
【變式17-3】在中，角，，的對邊分別為，，，，的平分線交于點，且，則的最小值為 .
1．（2024·甘肅武威·一模）在中，，則的范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（多選題）（2024·山東濟南·三模）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（ ）
A． B．面積的最大值為
C． D．邊上的高的最大值為
3．（2024·貴州貴陽·二模）在中，角所對的邊分別為且.當取最小值時， .
4．（2024·四川自貢·三模）如圖，D為的邊AC上一點，，，，則的最小值為 .
5．（2024·四川南充·二模）在中，，，分別為內角，，的對邊．已知，．則的最小值為 ．
6．（2024·重慶九龍坡·三模）設的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其面積為，已知，.則 ；的最大值為 .
7．已知△ABC的三個內角A，B，C滿足，則A的最大值是 ．
8．在中，角A，B，C對應的邊分別為a、b、c，D是AB上的三等分點靠近點且，，則的最大值為 .
9．（2024·遼寧·一模）設的內角所對的邊分別為，且,則的范圍是 ．
10．中，所在平面內存在點P使得，，則的面積最大值為 ．
11．（2024·江蘇蘇州·三模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)若，求的面積;
(2)若，求使得恒成立時，實數的最小值.
12．（2024·江西鷹潭·二模）的內角的對邊分別為，，，滿足.
(1)求證：；
(2)求的最小值.
13．（2024·陜西安康·模擬預測）記的內角所對的邊分別為，已知__________.
在①，②，③，這三個條件中任選一個填在上面的橫線上，并解答問題.
(1)求角；
(2)若的面積為，求的最小值.
注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.
14．（2024·上海寶山·二模）在中，角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求角的大小；
(2)若的面積為，求的最小值，并判斷此時的形狀.
15．（2024·貴州貴陽·模擬預測）已知在中，，
(1)求A；
(2)若點D是邊BC上一點，，△ABC的面積為，求AD的最小值.
16．（2024·江蘇揚州·模擬預測）記的內角的對邊分別為，若，且的面積為.
(1)求角；
(2)若，求的最小值.
17．（2024·陜西西安·一模）已知△ABC為鈍角三角形，它的三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且，，．
(1)求的值；
(2)若△ABC的面積為，求c的最小值．
18．（2024·四川·三模）在中，內角，，的對邊分別為，，，且滿足.
(1)求；
(2)若的面積為，為的中點，求的最小值.
19．在銳角中，三個內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求周長的范圍.
20．（2024·四川·二模）銳角三角形ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求角C的值；
(2)若，D為AB的中點，求中線CD的范圍．
21．“費馬點”是由十七世紀法國數學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點.在中，內角，，的對邊分別為，，.
(1)若.
①求；
②若的面積為，設點為的費馬點，求的取值范圍；
(2)若內一點滿足，且平分，試問是否存在常實數，使得，若存在，求出常數；若不存在，請說明理由.
22．在中，內角所對的邊分別為，滿足．
(1)求證：；
(2)求的最大值．
23．在銳角中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足．
(1)求證：；
(2)若，求a邊的范圍；
(3)求的取值范圍．
24．三邊長度均為整數的三角形稱為“整邊三角形”.若整邊三角形的內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)證明：；
(2)若，當取最小值時，求整邊三角形的面積.
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