資源簡介

重難點突破02 解三角形圖形類問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法） 2
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關系 8
題型三：張角定理與等面積法 12
題型四：角平分線問題 16
題型五：中線問題 21
題型六：高問題 30
題型七：重心性質及其應用 33
題型八：外心及外接圓問題 37
題型九：兩邊夾問題 42
題型十：內心及內切圓問題 44
03 過關測試 49
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）
【典例1-1】（2024·河南·三模）已知是內一點，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【解析】（1）如圖所示，
在中，，所以.
所以.
在中，由正弦定理得，即，解得.
（2）如圖所示，
當時，.
設，則.
在中，由正弦定理得.
在中，由正弦定理得.
因為，所以，即，
整理得，即，解得，即.
【典例1-2】的內角的對邊分別為為平分線，.
(1)求；
(2)上有點，求.
【解析】（1）
設，
，
，，
，
（2）由（1）知：，
中，，
，故得：，
設中，
，
，
中，，，
，
兩式相除得：，
，
，，
，
為銳角，故.
【變式1-1】如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求；
(2)若，求．
【解析】（1）在中，，所以，
在中，，所以，又，
所以，
在中由余弦定理，
即，
所以.
（2）由已知可得，又，所以，，
設，，則，
在中由正弦定理，即，所以，
在中由正弦定理，即，所以，
又，所以，解得或，
由，
當時，
當時，
所以或.
【變式1-2】（2024·廣東廣州·二模）記的內角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若點在邊上，且，，求.
【解析】（1）因為，
由余弦定理可得，
化簡可得，由余弦定理可得，
因為，所以，.
（2）因為，則為銳角，所以，，
因為，所以，，
所以，，
設，則，
在和中，由正弦定理得，，
因為，上面兩個等式相除可得，
得，即，
所以，.
【變式1-3】在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是內一點，，，，，求．
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理得；
，，，則；
（2）
，，；
在中，由正弦定理得：；
在中，由正弦定理得：；
，
即，
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關系
【典例2-1】如圖，四邊形中，，．
(1)求；
(2)若，求．
【解析】（1）中，設，則，解得
，；
（2）設，則
設，，
中，
中，
，，可得，化簡得，即
又，，即
，解得
【典例2-2】如圖，在梯形ABCD中，，．
(1)求證：；
(2)若，，求梯形ABCD的面積．
【解析】（1）連接BD．
因為，所以．
在中，由正弦定理得，①
在中，由正弦定理得，②
由，，結合①②可得．
（2）由（1）知，，
，又，所以，則．
連接BD，
在中，由余弦定理得
；
在中，由余弦定理得
，
所以，解得或．
當時，連接AC，在中，由余弦定理，得
，
所以，而此時，故不滿足題意，經檢驗滿足題意，
此時梯形ABCD的高，
當時，梯形ABCD的面積；
所以梯形ABCD的面積為．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求角；
(2)若點在上，，，求的值.
【解析】（1）因為，
所以，解得或（舍去），
所以，即，
因為，所以.
（2）如圖，因為，，設，，

在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
因為，所以，
即，所以，
所以，
因為，所以，
所以.
【變式2-2】平面四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求四邊形周長的取值范圍；
(3)若為邊上一點，且滿足，，求的面積．
【解析】（1）因為，，所以，
在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，當且僅當時取等號，
又，
則，即，所以，
所以，
即四邊形周長的取值范圍為；
（3）因為，所以，又，
所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
題型三：張角定理與等面積法
【典例3-1】（2024·吉林·模擬預測）的內角的對邊分別是，且，
(1)求角的大小；
(2)若，為邊上一點，，且為的平分線，求的面積．
【解析】（1）因為，由正弦定理得，
化簡得，
所以由余弦定理得，又因為，
所以.
（2）如圖所示
因為即，
化簡得①,
又由余弦定理得即②，
①②聯立解得（舍去）或，
所以.
【典例3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點，若，求的周長.
【解析】（1）由已知，得，
根據正弦定理，得，
即，
即，
由于，，
所以，所以；
（2）因為，
所以，
因為直線為的平分線，
所以，
所以，
則，即，
由余弦定理得，即，
所以，
解得或（舍），
故的周長為.
【變式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知銳角的內角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，角的平分線交于點，，求的面積．
【解析】（1）因為，由正弦定理得，整理得，
又由余弦定理得．
因為，所以．
（2）如圖所示，因為，
所以．
又因為，所以．
由余弦定理得，
聯立方程組，可得，即，
解得或（舍去），
所以．
【變式3-2】（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學校考二模）如圖，在中，，，點在線段上.
（1）若，求的長；
（2）若，的面積為，求的值.
【解析】（1）∵，
∴，
又∵，
∴.
在中，，
∴.
（2）∵，
∴，
，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
，
∴，
在中，
由余弦定理得.
∴，
∴.
題型四：角平分線問題
【典例4-1】（2024·全國·模擬預測）已知在△中，內角的對邊分別為，且．
(1)若為邊上的高線，求的最大值；
(2)已知為上的中線，的平分線交于點，且，求△的面積．
【解析】（1）方法一：由余弦定理得
，
所以（當且僅當時取等號）．
又因為，
所以．
故的最大值為.
方法二：由知，點A在的優弧上運動（如圖所示）．
顯然，當點A在的中垂線上時，即點位于點處時，邊上的高最大．
此時△為等腰三角形，
又，故△為正三角形，
根據得．故的最大值為.
（2）方法一：因為，
所以，
所以，
即．
由正弦定理得，
結合（1）可得，所以，
所以．
因為平分，所以，
所以．
又因為是邊上的中線，所以，
所以．
方法二：同方法一可得．
又因為，所以△是以角為直角的直角三角形．
由于平分是邊的中線，且
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
方法三：由得，
則．
又因為，所以．
由是角平分線知，
在中易得，
又因為，所以，
所以．
【典例4-2】如圖所示，在中，，AD平分，且.
(1)若，求BC的長度；
(2)求k的取值范圍；
(3)若，求k為何值時，BC最短.
【解析】（1）在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
因為AD平分，所以，
因為，
所以，
所以，
因為，，
所以，得，
所以；
（2）因為，
所以，
因為，，
所以，
因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以；
（3）由余弦定理得，
因為，所以，
因為，所以，所以，
所以，
令，則，
所以（其中），
所以當時，取得最小值4，
即當時，取得最小值4，此時，
所以，
因為，
所以，所以，
由（2）知，
所以，
即當時，最短.
【變式4-1】在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，.
(1)求；
(2)作角的平分線，交邊于點，若，求的長度；
(3)在（2）的條件下，求的面積.
【解析】（1）在中，由及正弦定理，得，
由，得，則，
于是，
整理得，而，則，
所以.
（2）由AD為的平分線，得，由（1）知，，
在中，由正弦定理，則，
由余弦定理得，即，
整理得，而，
所以.
（3）由（2）知，，
由正弦定理得，則，
所以的面積．
【變式4-2】已知的內角的對邊分別為，其面積為，且
(1)求角A的大小；
(2)若的平分線交邊于點，求的長.
【解析】（1），
由正弦定理得：，即
即，即
所以，
因為，所以.
（2）由（1）知：，所以，
即，解得：，
由余弦定理得：，所以，
解得：，解得：或
當得：，
則，
所以，
在三角形ABT中，由正弦定理得：，，
即，解得：；
當時，同理可得：；
綜上：
題型五：中線問題
【典例5-1】如圖，在中，已知，，，邊上的中點為，點是邊上的動點（不含端點），，相交于點．
(1)求的正弦值；
(2)當點為中點時，求的余弦值．
(3)當取得最小值時，設，求的值．
【解析】（1）解法1、由余弦定理得，
即，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因為與互補，所以，解得，
在中，由余弦定理，得，
因為，所以．
解法2、由題意可得，，
由為邊上的中線，則，
兩邊同時平方得，，
故，
因為為邊中點，則的面積為面積的，
所以，
即，
化簡得，．
解法3：以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點的垂線為軸，建立平面直角坐標系
則，，，
所以，，
所以，
因為，所以．
（2））方法1、在中，由余弦定理，
得，
所以，
由，分別為邊，上的中線可知為重心，
可得，，
在中，由余弦定理，得，
又由，所以．
解法2：因為為邊上的中線，所以，
，
，即．
所以．
解法3：以為坐標原點，以所在直線為軸，以過點的垂線為軸，建立平面直角坐標系：
則，，，，
所以，．
所以．
（3）設，，
當即時，取最小值，
，
，，
，
，，三點共線，
.
【典例5-2】（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學校校考一模）如圖，設中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．
(1)求b邊的長度；
(2)求的面積；
(3)設點E，F分別為邊AB，AC上的動點（含端點），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．
【解析】（1）由已知條件可知：
在中，由正弦定理
得
在中，由余弦定理
得
，又
（2）設
為BC邊上中線
則
①
或
由①，得
（3）設，，（）
，
根據三點共線公式，得
（，為∠BAC）
【變式5-1】阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數學家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個關于三角形邊長與中線長度關系的定理，內容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.
(1)若在中，，，，求此三角形BC邊上的中線長；
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖中，若，D為BC中點，，，，求的值.
【解析】（1）
如圖所示，
由余弦定理得，，
代值計算得到，求得；
由于，代值計算得，求得
（2）在中，；
在中，；
兩式相加，且，得到，則原式得證．
（3）由于
則由正弦定理，得，
即，
去分母整理得到，即．
且，則，則．
由于，且，即
聯立解出
由于，則，
解得，則（負數不滿足）.
由余弦定理得到，代值計算，， 則，
則．
【變式5-2】在中，內角，，所對的邊分別為，，，
(1)已知，
（i）求；
（ii）若，為邊上的中點，求的長.
(2)若為銳角三角形，求證：
【解析】（1）（i）因為，，所以，
由正弦定理可得：，即，
因為在，，，
則，
因為，所以或；
（ii），所以，則，則，
由正弦定理可得：，即，
又，解得，，
因為為中點，則，
在中，由余弦定理可得：，
即，則.
（2）因為為銳角三角形，，則，則，
要證，即證，
由于
，
由，則，所以，
故，則，則，證畢.
【變式5-3】（2024·江蘇南通·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，其中為的面積.
(1)求角的大小；
(2)設是邊的中點，若，求的長.
【解析】（1）據，可得，
即，
結合正弦定理可得.
在中，，
所以，
整理得.
因為，，故，即，
又，所以.
（2）
法一：因為是邊的中點，，所以.
在中，，則.
在中，，，，
據正弦定理可得，，即，
所以.
所以，即，
所以，
又，，
所以，解得，
所以.
法二：因為是邊的中點，故，
所以，即，
整理得①
在中，據余弦定理得，，
即②
聯立①②，可得，.
在中，據勾股定理得，，
所以.
法三：延長到點，使得.
在中，，，故，
又是的中點，所以是的中點，
所以，，且.
在中，，，，
所以，且.
所以，即，解得（負舍），
所以.
法四：延長到，使，連結，.
因為是的中點，且，
故四邊形是平行四邊形，.
又，所以.
在中，，，，，
所以，且.
在中，，，，，
據勾股定理，可得，
將代入上式，可得（負舍），
所以.
題型六：高問題
【典例6-1】（2024·河北秦皇島·三模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，的外接圓半徑為.
(1)求的面積；
(2)求邊上的高.
【解析】（1）在中，由正弦定理可得，，則，
根據余弦定理，得，
所以，所以，
所以.
（2），所以.
【典例6-2】（2024·四川·模擬預測）在中，內角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求邊上的高.
【解析】（1）∵，
由正弦定理可得：，
∴.
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）如圖所示，
∵，
∴.
由余弦定理可知.
而，解得，
所以AB邊上的高為.
【變式6-1】在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求邊上的高.
【解析】（1）由正弦定理，，即，
因，故,即是銳角，故；
（2）
如圖，由余弦定理，，
知角是銳角，則，
作于點，在中，,
即邊上的高是.
【變式6-2】（2024·山東棗莊·一模）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若是邊上的高，且，求．
【解析】（1）中，，由正弦定理和同角三角函數的商數關系，
得，由倍角公式得．
又因為為的內角，所以，，
所以．
所以，，
則有，得．
（2）方法一 ：，，，
所以，
由題意知，所以，
即．
所以，所以．
方法二 ：中，由余弦定理得，
所以．
又因為，
所以．
所以，．
所以．
由平面向量基本定理知，，
所以．
題型七：重心性質及其應用
【典例7-1】（2024·四川內江·一模）的內角、、所對的邊分別為、、，，．
(1)求角的大小；
(2)為的重心，的延長線交于點，且，求的面積．
【解析】（1）在中，因為，
由正弦定理可得,，，即，
所以，，，
故，即.
（2）因為為的重心，的延長線交于點，且，
所以點為中點，且，在中，，，即，
在和中，,化簡得，
所以，故，
所以的面積為．
【典例7-2】（2024·江西景德鎮·一模）如圖，已知△ABD的重心為C，△ABC三內角A、B、C的對邊分別為a，b，c.且
(1)求∠ACB的大小；
(2)若，求的大小.
【解析】（1）由題意知，，，
由正弦定理，得，
整理，得，又，
所以，
有，又，所以，
由，得，即.
（2）由題意知，點C是的重心，
如圖，延長DA、BC分別交AB、AD于點E、F，則E、F分別是AB、AD的中點，
由（1）知，又，則，得，
由，知為等邊三角形，有，所以，
在直角中，，所以，
在中，由余弦定理，
得，
由，得，
即的值為.
【變式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是的重心，且．
(1)若，①直接寫出______；②設，求的值
(2)求的取值范圍．
【解析】（1）①設的中點為，則三點共線且，
因為，所以，所以，
因為，所以，
所以在中，由余弦定理得，
所以.
故答案為：.
②以為原點，所在直線為軸建立如圖平面直角坐標系，設，則
，，，
，，故，
所以，
所以.
（2）設，則，，
，故，即
所以，，
所以，
因為，所以，所以，
所以，
即.
【變式7-2】（2024·浙江溫州·模擬預測）的角對應邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的長.
(2)求的面積.
【解析】（1）在中，由O是重心，得 ，即有，
于是，解得，
而，所以.
（2）由（1）得，又O是重心，
所以的面積.
題型八：外心及外接圓問題
【典例8-1】（2024·廣東深圳·二模）已知在中，角的對邊分別為.
(1)求角的余弦值；
(2)設點為的外心（外接圓的圓心），求的值.
【解析】（1）在中，，
由余弦定理；
（2）設的中點分別為，
則，
同理.
【典例8-2】已知的內角所對的邊分別為．
(1)求；
(2)為外心，的延長線交于點，且，求的面積．
【解析】（1），在中，由正弦定理得，
又，則，即，
，即，
，，
；
（2）由（1）得，設的外接圓的半徑為，
在中，由正弦定理得，解得，
則，在中，由余弦定理得，
，，，
在中，由正弦定理得，
，即是等邊三角形，
的面積為.
【變式8-1】的內角的對邊分別為的面積為.
(1)求；
(2)設點為外心，且滿足，求.
【解析】（1），
兩式相除得：，
又，∴.
（2）為外心，故.
由正弦定理可知：.
【變式8-2】（2024·河南·模擬預測）已知的外心為，點分別在線段上，且恰為的中點．
(1)若，求面積的最大值；
(2)證明：．
【解析】（1）由正弦定理，得，
所以，
又，所以或，
當時，
由余弦定理，得
，
所以，的面積，
當且僅當時，取等號；
當時，
同理可得，的面積，
當且僅當時，取等號．
綜上，面積的最大值為；
（2）證明：設，
由余弦定理知，，
因為，
所以，
化簡整理得，
而，因此，
又因為是外心，故，
同理可知，
因為恰為的中點，
因此，所以．
【變式8-3】（2024·安徽黃山·三模）記的內角的對邊分別為，已知，.
(1)求角的大小和邊的取值范圍；
(2)如圖，若是的外心，求的最大值.
【解析】（1）在中，由結合正弦定理可得：
，
因為，則，
化簡得，即，
又因為，則，
所以，解得，
由正弦定理，化簡得，
因為，所以，所以.
（2）解法1：由正弦定理得，且，
因為
，
當點O不在外部時（如圖），
；
當點O在外部時（如圖），，
；
由（1）可知，
即當時，則的最大值為.
解法2：由題可知：，
如圖，分別取線段的中點，
由于O是的外心，則，
則
，
所以，
由余弦定理得，即，
整理得，
所以，
由（1）可知，
即當時，則的最大值為.
題型九：兩邊夾問題
【典例9-1】在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，即，
所以，
可得，
所以，
由正弦函數與余弦函數的性質，可得且，
因為且，
所以，解得，所以，
又由正弦定理可得.
故選：C.
【典例9-2】在中，、、分別是、、所對邊的邊長.若，則的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】因為，所以，
所以，
即
所以，所以，所以，故選B.
【變式9-1】在中，已知邊所對的角分別為，若，則 _________________
【答案】
【解析】由正弦定理得 ，由余弦定理得,即
因為
所以
【變式9-2】（2024·江蘇蘇州·吳江中學模擬預測）在中，已知邊所對的角分別為，若，則_____．
【答案】-1
【解析】由得
由正弦定理得 ，
由余弦定理得,即 因為
所以
【變式9-3】在中，已知邊、、所對的角分別為、、，若，，則的面積______.
【答案】
【解析】正弦定理得，
由余弦定理得，
即，
因為，
故，
故可得，當且僅當，即時取得.
也即當時取得等號，
所以，即.
所以的面積為.
故答案為：.
【變式9-4】在中，若，則角__．
【答案】
【解析】，，
即，
，，
，等價于且，
為的內角，所以且，即．
則是等腰直角三角形，．
故答案為：．
題型十：內心及內切圓問題
【典例10-1】（2024·全國·模擬預測）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，．
(1)求的周長的取值范圍；
(2)若的內切圓半徑，求的面積S.
【解析】（1）由及余弦定理得，
，即，
所以．
又，所以，
所以由正弦定理得，
所以，，
則
，
又因為，所以，所以，
即，即，
故的周長的取值范圍為；
（2）解法一：
由（1）得，因為，
，，所以，
由得，
從而，
即，
解得或（舍去），
所以．
解法二：
如圖，設圓O是的內切圓，各切點分別為D，E，H．
由（1）知，所以．
又因為，
所以由切線長定理得，
于是，，
又，即，
所以．
【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在中，設所對的邊分別為，且滿足．
(1)求角；
(2)若的內切圓半徑，求的面積．
【解析】（1）在中，由得，
即,
故，由于，
故，而，故.
（2）由可得，而，
故，則，
由的內切圓半徑，可得，
即，即，
故，解得，
故的面積.
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，外接圓的半徑為，內切圓半徑為，求的最小值．
【解析】（1）由及正弦定理，
得，
故，
即，
即．
由，則，故，即．
因為，所以．
（2）由（1）和余弦定理可得，，
故，，
即，當且僅當時等號成立．
故．
由利用等面積法求得的最大值，易知，
故，故，
利用正弦定理，所以的最小值為2．
【變式10-2】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，求內切圓半徑取值范圍．
【解析】（1）由題意得，即，，故．
（2）因為，為內切圓半徑，
所以．
設，則，
又因為，，，，
所以三角形內切圓半徑的取值范圍為．
【變式10-3】（2024·廣西南寧·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；
(2)求內切圓半徑r的取值范圍．
【解析】（1）因為，由正弦邊角關系得，即，
由余弦定理，得，又，所以，
由，則.
（2）由正弦定理得，所以，，
由余弦定理，得，所以，
利用等面積法可得，
則
，
∵，∴，故，則，
所以，故.
【變式10-4】（2024·吉林·二模）已知 的三個內角的對邊分別為的外接圓半徑為 ，且 .
(1)求;
(2)求的內切圓半徑 的取值范圍
【解析】（1）由正弦定理可得，，即，
所以，
由可知，，
所以，故.
（2）因為的內切圓半徑 ，
所以，
即，
又因為，所以，
所以，
由正弦定理
，
又，則，
所以，故，
所以.
1．如圖所示，在中，設分別為內角的對邊，已知，．
(1)求角；
(2)若，過作的垂線并延長到點，使四點共圓，與交于點，求四邊形的面積．
【解析】（1）由，聯立方程組，解得，
不妨設，可得
由余弦定理得，
因為，所以.
（2）由，由（1）知，可得，
因為過作的垂線并延長到點，使四點共圓，
在直角中，可得，則，
因為，可得，
在直角中，可得，即，
所以，
所以，
所以四邊形的面積為.
2．如圖，在梯形中，，．
(1)若，求周長的最大值；
(2)若，，求的值．
【解析】（1）在中，
，
因此，當且僅當時取等號．
故周長的最大值是．
（2）設，則，．
在中，，
在中，．
兩式相除得，，，
因為，
，
，故．
3．（2024·全國·模擬預測）在中，已知．
(1)求．
(2)若，的平分線交于點，求．
【解析】（1）因為，
又，
所以．又，所以，所以．
因為，所以．
（2）設，則．
由余弦定理，得，故．
由角平分線的性質及三角形的面積公式，知，故．
在中，由正弦定理，得．
因為，所以，所以．
因為，所以，所以，即．
又，所以為銳角，故．
4．（2024·四川成都·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，且，邊上有一動點.
(1)當為邊中點時，若，求的長度；
(2)當為的平分線時，若，求的最大值.
【解析】（1）因為，
所以，即.
由正弦定理，得.
因為，所以.
因為，所以.
又因為，所以，所以.
因為為邊中點，所以，則.
又，
所以，即，即，
所以.
（2）在中，由余弦定理，得.
又，所以，
所以，當且僅當時取等號，
所以，所以.
因為平分，
所以，
所以，
所以.
令，則.
因為在上單調遞增，
所以當即時，取得最大值為，
所以的最大值為.
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知函數，角A為△ABC的內角，且．
(1)求角A的大小；
(2)如圖，若角A為銳角，，且△ABC的面積S為，點E、F為邊AB上的三等分點，點D為邊AC的中點，連接DF和EC交于點M，求線段AM的長．
【解析】（1）
，
則，
因為，所以，所以，
所以或；
（2）若角A為銳角，則，
設角的對邊分別為，
則，所以，
如圖，連接，
因為點E、F為邊AB上的三等分點，所以為的中點，
因為點D為邊AC的中點，所以點為的重心，
則，
所以，
又，
所以，
即線段AM的長為．
6．（2024·全國·模擬預測）在中，角，的對邊分別為，的面積為，．
(1)求角．
(2)若的面積為，，為邊的中點，求的長．
【解析】（1）由題意得
，
由正弦定理，得，即，
所以．又，所以．
（2）因為的面積為，
所以，所以．
因為，所以，
即，所以．
因為是邊的中點，所以，
所以，
所以，所以的長為．
7．（2024·四川成都·三模）在中，．
(1)求的長；
(2)求邊上的高．
【解析】（1）由題，，，，由余弦定理得，
，解得，即.
（2）在中，，，設邊上的高為，
則，即，解得.
所以邊上的高為.
8．（2024·江蘇南通·三模）在中，角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．
【解析】（1）因為，
由正弦定理，得，
即，即.
因為在中，，
所以.
又因為，所以.
（2）因為的面積為，
所以，得.
由，即，
所以.由余弦定理，得，即，
化簡得，所以，即，
所以的周長為.
9．（2024·高三·河南·開學考試）在中，內角所對的邊分別為，且滿足．
(1)求；
(2)若邊上的高為，求．
【解析】（1）由正弦定理有，
有，
又由余弦定理有；
（2）由得，
又由余弦定理和，有，
，
又由邊上的高為2，有，
有，可得，
有，可得，
聯立方程組，解得或.
10．（2024·高三·山東濟南·開學考試）在中，內角，，的對邊分別為，，．已知.
(1)求；
(2)若，且邊上的高為，求的周長.
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，
所以，
即，
所以，
由正弦定理得，即；
（2）由題意得，，
由余弦定理得，
解得（負值舍去），
因為邊上的高為，
所以，
則，所以，，
故的周長．
11．在中，設，，分別表示角，，對邊．設邊上的高為，且．
(1)把表示為（，）的形式，并判斷能否等于？說明理由．
(2)已知，均不是直角，設是的重心，，，求的值．
【解析】（1）∵，∴，
∴
，
當且僅當，即時，取得最大值．
如圖, 設為等腰直角三角形，即滿足,
過作的平行線, 由平面幾何的知識得，
在平行線上存在一點,使得滿足，
故存在，當時
（2）
如圖：連結并延長交于E，作于D，
因為，所以，
因為是的重心，所以，
因為,所以D與E不會重合，
所以，
在中，E是的中點，則，
所以，
.
12．（2024·江蘇蘇州·二模）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點為的重心，且，求的面積．
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
又因為，所以．
（2）設的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，
又因為，所以．
在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，所以，
所以的面積為．
13．（2024·河南開封·模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知為的重心．
(1)若，求的長；
(2)若，求的面積．
【解析】（1）因為，
所以，，
所以，
因為，
所以，
因為，
所以，，
因為，整理得，解得，
所以
（2）由（1）知，記邊的中點為
因為為的重心，，
所以，邊上的中線長為，即，
因為，
所以，
因為，
所以，當為銳角時，，則由得，解得或，不滿足題意，舍去；
當為鈍角時，，則由得，解得或，
所以，當，的面積為
當，的面積為.
14．（2024·遼寧撫順·一模）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點為的重心，且，求的面積．
【解析】（1）因為，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
又因為，所以．
（2）設的延長線交于點，因為點為的重心，所以點為中點，
又因為，所以．
在中，由和，可得．
在和中，有，
由余弦定理可得
故，
所以，
所以的面積為．
15．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數列.
(1)若，求的面積.
(2)是否存在正整數b，使得的外心在的外部 若存在，求b的取值集合；若不存在，請說明理由.
【解析】（1），由正弦定理得，
a，b，c是公差為2的等差數列，，，
，，，，
，
，且，，
故的面積為.
（2）假設存在正整數b，使得的外心在的外部，則為鈍角三角形，
依題意可知，則C為鈍角，則，
所以，解得，
，，
，
存在正整數b，使得的外心在的外部，此時整數b的取值集合為.
16．（2024·湖北·模擬預測）已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.
(1)證明：
(2)若，，求的最大值.
【解析】（1）證明：設，
由余弦定理知：，，
由是外心知，
而，
所以，
即，
而，因此，
同理可知，
因此，
所以；
（2）由（1）知，
由余弦定理知：，，
代入得，
設，則，
因此，
當且僅當時取到等號，
因此的最大值為.
17．在中，角所對的邊分別為，滿足.
(1)求的值；
(2)當與邊上的中線長均為2時，求的周長；
(3)當內切圓半徑為1時，求面積的最小值.
【解析】（1）因為，
由正弦定理得，
又由，得.
因為，所以；
（2）由余弦定理得，
即，①
設的中點為，則，
則，
則，②
由①②得，
聯立，解得，
所以，即的周長為；
（3）由（1）得，
由內切圓半徑為1，得，即，
由余弦定理得，所以，
得，因為，所以，
解得或，
又因為的面積大于其內切圓面積，即，
得，所以，
當且僅當時，的面積取到最小值.
18．已知的內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若，求內切圓周長的最大值.
【解析】（1）由已知，
由正弦定理可得.
又，，
得，
上式化簡得，
所以，因為，
所以；
（2）由余弦定理可得，
得到，所以.
設內切圓的半徑為，，
所以，
又，
又，，且，
則，
，，
所以，
故內切圓周長為.
19．（2024·浙江杭州·模擬預測）已知的周長為20，角，，所對的邊分別為，，
(1)若，，求的面積；
(2)若的內切圓半徑為，，求的值．
【解析】（1）在中，由余弦定理，可得，
由，，則，
得,
由的周長為20，即，則，
所以，則，即，
所以，
故的面積為，.
（2）根據題意，如圖所示，
圓為的內切圓，半徑為，切點分別為，
則，且，
由內切圓性質，圓心為內角平分線的交點，
則，且，
由中，即，
所以，又，即，
所以，則，則，
在中，
故，
即.
20．（2024·高三·江蘇揚州·開學考試）已知的內角的對邊分別為，，，，的內切圓的面積為.
(1)求的值；
(2)若點在上，且三點共線，求的值.
【解析】（1）在中，由余弦定理得：
，即
設內切圓的半徑為，則
（2）在中，由（1）結合余弦定理得，
平分點到的距離相等，故，
而
21．（2024·貴州·模擬預測）在中，，，，為的中點，的角平分線交于點.
(1)求的長；
(2)求的面積.
【解析】（1）∵，
即，
∴，
∴，
∴（舍）或，
∵為的中點，
∴，
∴
，
∴.
（2）∵，
∴，
∵，
且，
∴，
∴.
22．（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，
(1)求A的大小：
(2)點D在BC上，
（Ⅰ）當，且時，求AC的長；
（Ⅱ）當，且時，求的面積．
【解析】（1）因為，
所以由正弦定理可得，
又，
所以，
因為為三角形內角，，
所以，可得，
因為，所以；
又，則，
故，即，即，
結合，解得，
則，，
而為銳角，故.
24．（2024·全國·模擬預測）如圖，四邊形為梯形，，，，．
(1)求的值；
(2)求的長．
【解析】（1）因為，且，解得，．
而，所以，
所以
因為，所以，所以．
（2）在中，由正弦定理得，
因為，所以．
在中，由余弦定理得
，
所以．
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破02 解三角形圖形類問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法） 2
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關系 4
題型三：張角定理與等面積法 5
題型四：角平分線問題 6
題型五：中線問題 7
題型六：高問題 9
題型七：重心性質及其應用 10
題型八：外心及外接圓問題 12
題型九：兩邊夾問題 13
題型十：內心及內切圓問題 14
03 過關測試 15
解決三角形圖形類問題的方法：
方法一：兩次應用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；
方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；
方法三：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；
方法四：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；
方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；
方法六：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.
題型一：妙用兩次正弦定理（兩式相除消元法）
【典例1-1】（2024·河南·三模）已知是內一點，.
(1)若，求；
(2)若，求.
【典例1-2】的內角的對邊分別為為平分線，.
(1)求；
(2)上有點，求.
【變式1-1】如圖，在平面四邊形中，，，．

(1)若，求；
(2)若，求．
【變式1-2】（2024·廣東廣州·二模）記的內角、、的對邊分別為、、，已知.
(1)求；
(2)若點在邊上，且，，求.
【變式1-3】在中，內角，，所對的邊分別為，，，且.
(1)求角；
(2)若是內一點，，，，，求．
題型二：兩角使用余弦定理建立等量關系
【典例2-1】如圖，四邊形中，，．
(1)求；
(2)若，求．
【典例2-2】如圖，在梯形ABCD中，，．
(1)求證：；
(2)若，，求梯形ABCD的面積．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）在銳角中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.
(1)求角；
(2)若點在上，，，求的值.
【變式2-2】平面四邊形中，，，，．
(1)求；
(2)求四邊形周長的取值范圍；
(3)若為邊上一點，且滿足，，求的面積．
題型三：張角定理與等面積法
【典例3-1】（2024·吉林·模擬預測）的內角的對邊分別是，且，
(1)求角的大小；
(2)若，為邊上一點，，且為的平分線，求的面積．
【典例3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）記的內角，，的對邊分別為，，，已知，.
(1)求角的大小;
(2)已知直線為的平分線，且與交于點，若，求的周長.
【變式3-1】（2024·吉林通化·梅河口市第五中學校考模擬預測）已知銳角的內角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若，角的平分線交于點，，求的面積．
【變式3-2】（2024·江西撫州·江西省臨川第二中學校考二模）如圖，在中，，，點在線段上.
（1）若，求的長；
（2）若，的面積為，求的值.
題型四：角平分線問題
【典例4-1】（2024·全國·模擬預測）已知在△中，內角的對邊分別為，且．
(1)若為邊上的高線，求的最大值；
(2)已知為上的中線，的平分線交于點，且，求△的面積．
【典例4-2】如圖所示，在中，，AD平分，且.
(1)若，求BC的長度；
(2)求k的取值范圍；
(3)若，求k為何值時，BC最短.
【變式4-1】在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，.
(1)求；
(2)作角的平分線，交邊于點，若，求的長度；
(3)在（2）的條件下，求的面積.
【變式4-2】已知的內角的對邊分別為，其面積為，且
(1)求角A的大小；
(2)若的平分線交邊于點，求的長.
題型五：中線問題
【典例5-1】如圖，在中，已知，，，邊上的中點為，點是邊上的動點（不含端點），，相交于點．
(1)求的正弦值；
(2)當點為中點時，求的余弦值．
(3)當取得最小值時，設，求的值．
【典例5-2】（2024·遼寧沈陽·東北育才雙語學校校考一模）如圖，設中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知且，．
(1)求b邊的長度；
(2)求的面積；
(3)設點E，F分別為邊AB，AC上的動點（含端點），線段EF交AD于G，且的面積為面積的，求的取值范圍．
【變式5-1】阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數學家，他提出的阿波羅尼奧斯定理是一個關于三角形邊長與中線長度關系的定理，內容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及第三邊之半的平方和的兩倍，即如果AD是中BC邊上的中線，則.
(1)若在中，，，，求此三角形BC邊上的中線長；
(2)請證明題干中的定理；
(3)如圖中，若，D為BC中點，，，，求的值.
【變式5-2】在中，內角，，所對的邊分別為，，，
(1)已知，
（i）求；
（ii）若，為邊上的中點，求的長.
(2)若為銳角三角形，求證：
【變式5-3】（2024·江蘇南通·模擬預測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，其中為的面積.
(1)求角的大小；
(2)設是邊的中點，若，求的長.
題型六：高問題
【典例6-1】（2024·河北秦皇島·三模）在中，內角，，所對的邊分別為，，，且，的外接圓半徑為.
(1)求的面積；
(2)求邊上的高.
【典例6-2】（2024·四川·模擬預測）在中，內角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大小；
(2)若，的面積為，求邊上的高.
【變式6-1】在中，角所對的邊分別為，已知.
(1)若，求角的大小；
(2)若，求邊上的高.
【變式6-2】（2024·山東棗莊·一模）在中，角的對邊分別為，且．
(1)求；
(2)若是邊上的高，且，求．
題型七：重心性質及其應用
【典例7-1】（2024·四川內江·一模）的內角、、所對的邊分別為、、，，．
(1)求角的大小；
(2)為的重心，的延長線交于點，且，求的面積．
【典例7-2】（2024·江西景德鎮·一模）如圖，已知△ABD的重心為C，△ABC三內角A、B、C的對邊分別為a，b，c.且
(1)求∠ACB的大小；
(2)若，求的大小.
【變式7-1】（2024·高三·福建福州·期中）已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點G是的重心，且．
(1)若，①直接寫出______；②設，求的值
(2)求的取值范圍．
【變式7-2】（2024·浙江溫州·模擬預測）的角對應邊是 a，b，c ，三角形的重心是 O.已知.
(1)求 a 的長.
(2)求的面積.
題型八：外心及外接圓問題
【典例8-1】（2024·廣東深圳·二模）已知在中，角的對邊分別為.
(1)求角的余弦值；
(2)設點為的外心（外接圓的圓心），求的值.
【典例8-2】已知的內角所對的邊分別為．
(1)求；
(2)為外心，的延長線交于點，且，求的面積．
【變式8-1】的內角的對邊分別為的面積為.
(1)求；
(2)設點為外心，且滿足，求.
【變式8-2】（2024·河南·模擬預測）已知的外心為，點分別在線段上，且恰為的中點．
(1)若，求面積的最大值；
(2)證明：．
【變式8-3】（2024·安徽黃山·三模）記的內角的對邊分別為，已知，.
(1)求角的大小和邊的取值范圍；
(2)如圖，若是的外心，求的最大值.
題型九：兩邊夾問題
【典例9-1】在中，角所對的邊分別為，若，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】在中，、、分別是、、所對邊的邊長.若，則的值是（ ）.
A．1 B． C． D．2
【變式9-1】在中，已知邊所對的角分別為，若，則 _________________
【變式9-2】（2024·江蘇蘇州·吳江中學模擬預測）在中，已知邊所對的角分別為，若，則_____．
【變式9-3】在中，已知邊、、所對的角分別為、、，若，，則的面積______.
【變式9-4】在中，若，則角__．
題型十：內心及內切圓問題
【典例10-1】（2024·全國·模擬預測）設的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足，．
(1)求的周長的取值范圍；
(2)若的內切圓半徑，求的面積S.
【典例10-2】（2024·湖南永州·一模）在中，設所對的邊分別為，且滿足．
(1)求角；
(2)若的內切圓半徑，求的面積．
【變式10-1】（2024·全國·模擬預測）已知中，角，，的對邊分別是，，，．
(1)求角的大小；
(2)若，外接圓的半徑為，內切圓半徑為，求的最小值．
【變式10-2】（2024·全國·模擬預測）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．
(1)求；
(2)若，求內切圓半徑取值范圍．
【變式10-3】（2024·廣西南寧·一模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，且．
(1)求的外接圓半徑R；
(2)求內切圓半徑r的取值范圍．
【變式10-4】（2024·吉林·二模）已知 的三個內角的對邊分別為的外接圓半徑為 ，且 .
(1)求;
(2)求的內切圓半徑 的取值范圍
1．如圖所示，在中，設分別為內角的對邊，已知，．
(1)求角；
(2)若，過作的垂線并延長到點，使四點共圓，與交于點，求四邊形的面積．
2．如圖，在梯形中，，．
(1)若，求周長的最大值；
(2)若，，求的值．
3．（2024·全國·模擬預測）在中，已知．
(1)求．
(2)若，的平分線交于點，求．
4．（2024·四川成都·模擬預測）在中，角所對的邊分別為，且，邊上有一動點.
(1)當為邊中點時，若，求的長度；
(2)當為的平分線時，若，求的最大值.
5．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知函數，角A為△ABC的內角，且．
(1)求角A的大小；
(2)如圖，若角A為銳角，，且△ABC的面積S為，點E、F為邊AB上的三等分點，點D為邊AC的中點，連接DF和EC交于點M，求線段AM的長．
6．（2024·全國·模擬預測）在中，角，的對邊分別為，的面積為，．
(1)求角．
(2)若的面積為，，為邊的中點，求的長．
7．（2024·四川成都·三模）在中，．
(1)求的長；
(2)求邊上的高．
8．（2024·江蘇南通·三模）在中，角的對邊分別為．
(1)求；
(2)若的面積為邊上的高為1，求的周長．
9．（2024·高三·河南·開學考試）在中，內角所對的邊分別為，且滿足．
(1)求；
(2)若邊上的高為，求．
10．（2024·高三·山東濟南·開學考試）在中，內角，，的對邊分別為，，．已知.
(1)求；
(2)若，且邊上的高為，求的周長.
11．在中，設，，分別表示角，，對邊．設邊上的高為，且．
(1)把表示為（，）的形式，并判斷能否等于？說明理由．
(2)已知，均不是直角，設是的重心，，，求的值．
12．（2024·江蘇蘇州·二模）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點為的重心，且，求的面積．
13．（2024·河南開封·模擬預測）記的內角的對邊分別為，已知為的重心．
(1)若，求的長；
(2)若，求的面積．
14．（2024·遼寧撫順·一模）記的內角的對邊分別為，已知．
(1)求角；
(2)若，點為的重心，且，求的面積．
15．在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a，b，c是公差為2的等差數列.
(1)若，求的面積.
(2)是否存在正整數b，使得的外心在的外部 若存在，求b的取值集合；若不存在，請說明理由.
16．（2024·湖北·模擬預測）已知的外心為，為線段上的兩點，且恰為中點.
(1)證明：
(2)若，，求的最大值.
(1)求的長；
(2)求的面積.
22．（2024·廣東梅州·二模）在中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，，，
(1)求A的大小：
(2)點D在BC上，
（Ⅰ）當，且時，求AC的長；
（Ⅱ）當，且時，求的面積．
23．（2024·甘肅隴南·一模）在中，內角A，B，C的對邊分別為.已知
(1)求b；
(2)D為邊上一點， ，求的長度和 的大小.
24．（2024·全國·模擬預測）如圖，四邊形為梯形，，，，．
(1)求的值；
(2)求的長．
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