資源簡介

方程的根與函數的零點（教案）
【教學目標】
1. 掌握零點存在定理，并會運用該定理解決問題；
2. 理解函數與方程的關系，會利用圖象或函數解決方程根的相關問題，滲透函數與方程思想、數形結合思想、轉化與化歸思想等數學思想方法；
3. 讓學生在探究中逐步提升觀察能力和數學的抽象與概括能力。
【教學重點】 零點存在定理
【教學難點】 方程的根與函數的零點間關系
【教學方法】 啟發式教學，引導學生探索發現．
【教學手段】 計算機、投影儀．
【核心素養】 直觀想象，邏輯推理，數學抽象．
【教學過程】
一、問題引入、直觀感知
1. 從學生熟知的一元二次方程和二次函數引入，提出問題：一元二次方程的根與二次函數的圖象之間存在怎樣的聯系？
2. 求下列一元二次方程的根，并畫出對應二次函數的圖象.
（1）與
（2）與
（3）與
〖設計意圖〗教師引導學生探索一元二次方程的根和對應二次函數圖象與軸交點橫坐標（二次函數零點）間的關系，并將其準確概括表達。
3．是否對于所有的一元二次方程來說，其根均與相應二次函數零點相同？對于其他類型的方程，是否還是如此呢？
〖設計意圖〗過渡到討論一般方程與其對應的函數零點間的關系。
二、交流互動、領悟新知
我們一起來看一看方程解法的歷史，花拉子米(約780～約850)給出了一次方程和二次方程的一般解法。阿貝爾(1802～1829)證明了五次以上一般方程沒有求根公式。也即并非所有的方程根均可像一元二次方程一樣有公式可尋，那么對于一般的、可能并不容易求解的方程，它的根能否進行一定的轉化呢？
〖設計意圖〗從數學史角度出發，并回顧上述討論過程，可以將方程的根的問題轉化為其所對應的的函數圖象的零點問題，再利用函數的圖象等知識進一步解決，體現數形結合思想。
一般地，求方程的實數根，就是確定函數的零點，而對于不能用公式法求根的方程，可將其與所對應的函數聯系起來，通過函數的性質，進而對方程的根進行求解和估計。
那么現在關鍵的問題是函數的零點如何確定呢？先體會下面的例子。
1. 觀察函數的圖象，回答問題：
（1）函數在上 （“有”或“無”）零點；
， ；
（“＞”，“＜”或“＝”）
（2）函數在上 （“有”或“無”）零點；
， ；
（“＞”，“＜”或“＝”）
2. 觀察函數的圖象
（1）函數在上 （“有”或“無”）零點； （“＞”，“＜”或“＝”）；
（2）函數在上 （“有”或“無”）零點； （“＞”，“＜”或“＝”）；
（3）函數在上 （“有”或“無”）零點； （“＞”，“＜”或“＝”）；
問題1.對于上面兩個問題的探索，在怎樣的條件下可以判斷在給定區間上是否存在函數的零點？引導學生概括出零點存在定理。
若學生只回答異號，則給出如下反例，旨在強化函數圖象連續不斷的條件.
函數在上端點對應函數值異號，但不存在零點.
進而，概括出零點存在定理：設函數在上的圖象是一段連續不斷的曲線，且，則存在，使.
問題2.存在零點意味著存在幾個零點呢？什么時候存在唯一零點？
結合波動圖像，說明若函數在上單調，則函數在上存在唯一零點。
問題3 函數在上的圖象是一段連續不斷的曲線，且，則不存在零點，能否舉出反例？
三、實踐運用、掌握方法
例1. 討論函數在區間內零點的個數.
【分析】，，，由零點存在定理知函數在存在零點，又由于函數在上單調遞增，故零點個數為.
〖設計意圖〗零點存在性定理的直接運用
例2. 判斷方程的解的個數與分布情況
【分析】此方程無法直接求解，因此轉化為函數的問題，此時問題是如何轉化為函數？有幾種途徑？
思路（1）直接轉化.將該方程左右兩邊分別看作一個函數，即和
再研究其圖象交點，作出兩函數圖象知二者有唯一交點，且橫坐標在內，因此原方程有唯一解，且在內.
思路（2）移項轉化.設函數，將方程的根轉化為函數的零點，再利用零點存在定理判斷. ，，則有，由零點存在定理知函數在存在零點，又由于函數在上單調遞增，故零點個數為.
例3. 判斷方程的解的個數與分布情況.
【分析】此方程也屬于無法直接求解的方程，需要借助函數來分析，那么利用什么函數呢？如何將該方程進行變形？
思路（1）：如例2的思路（2），移項轉化為函數的零點問題，
經計算，可知內至少存在一個零點，但是由于目前尚未清楚這類函數單調性的求法，因此對于零點的具體個數還無法得知.經過軟件作圖，觀察得知在內存在唯一零點，但該函數在并非單調.
思路（2）變形轉化：即為，因此可將原方程的根看作函數和圖象的交點橫坐標，通過作圖可知二者存在唯一公共點，且在之間.
例4. 判斷方程的解的個數與分布情況.
【分析】將方程進行變形得：，因此原方程的解即為函數與函數圖象的交點，又注意到函數均為偶函數，又由于二者交點不在軸上，因此只需判斷的部分.作圖知二者在內存在唯一交點，因此在上也存在一個交點，故原方程在和內各有一個實根，共兩個實根.
四、歸納總結、內化于心
1. 小結
（1）一個圖象連續不斷的函數，若在某個區間端點上函數值異號，則其上至少存在一個零點；
（2）方程的根和函數的零點間存在聯系，常常通過相互轉化解決問題；
（3） 在將方程轉化為函數之前需要進行具體分析，何種函數最有利于解決問題，將“數”和“形”結合起來，根據具體問題具體分析.
2. 作業
（1）判斷下列函數零點個數
①
②
③
（2）判斷下列方程根的個數與分布情況
①
②
③

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