資源簡介

4.4.2 計算函數(shù)零點(diǎn)的二分法
一、教學(xué)目標(biāo)：
知識與技能：
（1）通過具體實例理解二分法的概念及其適用條件，了解二分法是求方程近似解的常用方法。
（2）能借助計算器用二分法求方程的近似解；
過程與方法：
（1）借助計算器用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生充分體驗近似的思想、逼近的思想和程序化地處理問題的思想及其重要作用，并為下一步學(xué)習(xí)算法做知識準(zhǔn)備．　
情感態(tài)度與價值觀：
（1）從中體會函數(shù)與方程之間的聯(lián)系及其在實際問題中的應(yīng)用；
（2）體會數(shù)學(xué)逼近過程，感受精確與近似的相對統(tǒng)一．
二、重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：二分法原理及其探究過程，用二分法求方程的近似解。
難點(diǎn)：對二分法原理的探究，對精確度、近似值的理解。
三、教學(xué)方法
通過讓學(xué)生觀察、思考、交流、討論、發(fā)現(xiàn)二分法的思想.
四、教學(xué)過程
（一） 設(shè)置情景，提出問題
問題： 中央電視臺有一檔娛樂節(jié)目“幸運(yùn)52”，主持人會給選手在限定時間內(nèi)猜某一物品的售價的機(jī)會，如果猜中，就把物品獎勵給選手，同時獲得一枚商標(biāo)．某次猜一種品牌的手機(jī)，手機(jī)價格在500～1000元之間。選手開始報價：1000元，主持人回答：高了；緊接著報價900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了。
表面上看猜價格具有很大的碰運(yùn)氣的成分，實際中，游戲報價過程體現(xiàn)了“逼近”的數(shù)學(xué)思想，你能設(shè)計出更優(yōu)的猜價方案來幫助選手猜價嗎？
（二） 互動探究，獲得新知
1、函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，如何找出這個零點(diǎn)的近似值呢？
策略一：用幾何畫板畫出函數(shù)的圖象，求出其與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以求函數(shù)與函數(shù)y = 6 – 2x的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
合作探究：利用我們猜價格的方法，你能否求解方程ln x + 2x – 6 = 0？如果能求解的話，怎么去解？你能用函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)嗎？
策略二：“取中點(diǎn)”逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍——二分法
工具：（1）計算器或Excel表格；
（2）零點(diǎn)存在定理。
2、解決問題：
請看下面的表格：
區(qū)間 端點(diǎn)的符號 中點(diǎn)的值 中點(diǎn)函數(shù)值的符號
（2，3） f (2) < 0，f (3) > 0 2.5 f (2.5) < 0
（2.5，3） f (2.5) < 0，f (3) > 0 2.75 f (2.75) > 0
（2.5，2.75） f (2.5) < 0，f (2.75) > 0 2.625 f (2.625) > 0
（2.5，2.625） f (2.5) < 0，f (2.625) > 0 2.5625 f (2.5625) > 0
（2.5，2.5625） f (2.5) < 0，f (2.5625) > 0 2.53125 f (2.53125) < 0
（2.53125，2.5625） f (2.53125) < 0，f (2.5625) > 0 2.546875 f (2.546875) > 0
（2.53125，2.546875） f (2.53125) < 0， f (2.546875) > 0 2.5390625 f (2.5390625) > 0
（2.53125，2.5390625） f (2.53125) < 0， f (2.5390625) > 0 2.53515625 f (2.53515625) > 0
在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)相同步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任意一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值，特別地，可以將區(qū)間中點(diǎn)作為零點(diǎn)的近似值。例如，當(dāng)精確度為0.01時，由于| 2.5390625 – 2.53125 | = 0.0078125 < 0.01，所以，我們可以將x = 2.53125作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值。
3、二分法的定義：對于在區(qū)間，上連續(xù)不斷且滿足·的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
4、用二分法求零點(diǎn)近似值的步驟 ：
給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：
（1）、確定區(qū)間，，驗證·，給定精確度；
（2）、求區(qū)間，的中點(diǎn)；
（3）、計算：
①若=， 則就是函數(shù)的零點(diǎn)；
②若 <， 則令=（此時零點(diǎn)）；
③若 <， 則令=（此時零點(diǎn)）；
（4）、判斷是否達(dá)到精確度：
即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟2～4．
（三） 例題剖析，鞏固新知
例、借助計算器或計算機(jī)用二分法求方程2 x + 3x = 7的近似解（精確度為0.1）。
解：原方程即，令，用計算機(jī)作出函數(shù)的對應(yīng)值表與圖象：
x 0 1 2 3 4 5] 6 7 8
– 6 – 2 3 10 21 40 75 142 273
因為f (1) · f (2) < 0
所以在（1，2）內(nèi)有零點(diǎn)x0，
取（1，2）的中點(diǎn)x1 = 1.5，f (1.5) = 0.33，
因為f (1) · f (1.5) < 0所以x0∈（1，1.5）；
取（1，1.5）的中點(diǎn)x2 = 1.25，f (1.25) = – 0.87，
因為f (1.25) · f (1.5) < 0，所以x0∈（1.25，1.5）；
同理可得，x0∈（1.375，1.5），x0∈（1.375，1.4375），
由于| 1.375 – 1.4375 | = 0.0625 < 0.1，所以，原方程的近似解可取為1.4375。
（四） 當(dāng)堂檢測
1、方程在實數(shù)范圍內(nèi)的解有 個。
2、 用二分法求2x＋ x＝4在[1,2]內(nèi)的近似解(精確度為0.2)
五、課堂小結(jié)
本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？有哪些收獲？
六、課后作業(yè)
七、教學(xué)反思

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