資源簡介

教案標題：弧度制
【教學目標】
1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉換.
2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數集一一對應關系.
3.掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式.
【教學重點】 弧度與角度之間的換算
【教學難點】 弧長公式、扇形面積公式的應用
【教學方法】 教師啟發講授，學生探究學習
【教學手段】 計算機、投影儀．
【核心素養】 數學抽象、數學運算．
【教學過程】
一、創設情境，引入課題
思考1　在初中學過的角度制中，把圓周角等分成360份，其中的一份是多少度？
答　 1度.
思考2　長度等于半徑長的弧所對的圓心角有多大？是否有其他單位制來度量該角？
答　若長度等于半徑長的弧所對的圓心角為60°，用弧度制度量該角為1弧度.
二、歸納探索，形成概念
1.角度制和弧度制
角度制 用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規定1度的角等于周角的
弧度制 長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作弧度.以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制
2.角的弧度數的計算
如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的
絕對值是|α|＝.
思考　角度制和弧度制都是度量角的單位制，它們之間如何進行換算呢？
答　 利用1°＝rad和1 rad＝()°進行弧度與角度的換算.
3.角度與弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝2π rad 2π rad＝360°
180°＝π rad π rad＝180°
1°＝rad≈0.017_45 rad 1 rad＝°≈57.30°
4.一些特殊角的度數與弧度數的對應關系.
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π 2π
扇形的弧長及面積公式
思考　扇形的面積與弧長公式用弧度怎么表示？
設扇形的半徑為R，弧長為l，α為其圓心角，則
α為度數 α為弧度數
扇形的弧長 l＝ l＝αR
扇形的面積 S＝ S＝lR＝αR2
三、掌握知識，適當延展
類型一　角度與弧度的互化
例1　將下列角度與弧度進行互化.
(1)20°；(2)－15°；(3)；(4)－.
解 (1)20°＝＝.
(2)－15°＝－＝－.
(3)＝×180°＝105°.
(4)－＝－×180°＝－396°.
反思與感悟　(1)進行角度與弧度換算時，要抓住關系：π rad＝180°.(2)熟記特殊角的度數與弧度數的對應值.
跟蹤訓練1　(1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度.
解　(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
類型二　利用弧度制表示終邊相同的角
例2　把下列各角化成2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角：
(1)－1 500°；　(2)；　(3)－4.
解　(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋，是第四象限角.
(2)∵＝2π＋，
∴與終邊相同，是第四象限角.
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，＜2π－4＜π.
∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角.
反思與感悟　用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時，其中2kπ是π的偶數倍，而不是整數倍，還要注意角度制與弧度制不能混用.
跟蹤訓練2　設α1＝－570°，α2＝750°，β1＝，β2＝－.
(1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；
(2)將β1，β2用角度制表示出來，并在[－720°，0°)范圍內找出與它們終邊相同的所有角.
解　(1)∵180°＝π rad，
∴α1＝－570°＝－＝－＝－2×2π＋，
α2＝750°＝＝＝2×2π＋.
∴α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限.
(2)β1＝π＝×180°＝108°，
設θ＝108°＋k·360°(k∈Z)，
則由－720°≤θ<0°，即－720°≤108°＋k·360°<0°，
得k＝－2，或k＝－1.
故在[－720°，0°)范圍內，與β1終邊相同的角是－612°和－252°.
β2＝－＝－60°，
設θ＝－60°＋k·360°(k∈Z)，
則由－720°≤θ＜0°，即－720°≤－60°＋k·360°<0°，
得k＝－1或k＝0.
故在[－720°，0°)范圍內，與β2終邊相同的角是－420°和－60°.
類型三　扇形的弧長及面積公式的應用
例3　已知一個扇形的周長為a，求當扇形的圓心角多大時，扇形的面積最大，并求這個最大值.
解　設扇形的弧長為l，半徑為r，圓心角為α，面積為S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.
∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r
＝－2＋.
∵r>0，l＝a－2r>0，∴0∴當r＝時，Smax＝.
此時，l＝a－2·＝，
∴α＝＝2.
故當扇形的圓心角為2 rad時，扇形的面積最大，最大值為.
反思與感悟　(1)聯系半徑、弧長和圓心角的有兩個公式：一是S＝lr＝|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中兩個，就可以求出另一個.
(2)當扇形周長一定時，其面積有最大值，最大值的求法是把面積S轉化為r的函數.
跟蹤訓練3　一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數.
解　設扇形的半徑為R，弧長為l，則2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根據扇形面積公式S＝lR，
得1＝(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝＝＝2，
即扇形的圓心角為2 rad.
四、歸納小結，提高認識
1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角(即弧度數等于這個實數的角)與它對應．
2．解答角度與弧度的互化問題的關鍵在于充分利用
“180°＝π rad”這一關系式．
易知：度數× rad＝弧度數，弧度數×°＝度數．
3.在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，具體應用時，要注意角的單位取弧度.

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