資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
25.2 用列舉法求概率
■重點01 列表法
當一次試驗涉及兩個因素并且可能出現的結果數較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法． 列表法一般用于解決涉及兩步發生的概率問題．
【典例1】　（2024秋 南海區校級期中）小王、小李和小張3名都報名參加所在社區的志愿工作，但社區根據實際情況只需要他們中的2人．有人建議他們采用隨機抽簽的方式確定參加人，則小王和小李同時參加的概率為　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 青島期中）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，假設這三種可能性相同．如果有兩輛汽車經過該路口，那么這兩輛車都直行的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 東明縣一模）2024年央視春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”．“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發有為、昂揚向上的精神風貌．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”四張質地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機抽取一張不放回，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的概率為　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 沾益區月考）為弘揚中華優秀傳統文化，學校舉辦“經典誦讀”比賽，將比賽內容分為“唐詩、宋詞、元曲”三類．現將正面寫有、、的三張完全相同的卡片背面朝上洗勻，由選手抽取卡片確定比賽內容．選手小明從三張卡片中隨機抽取一張，記下字母后放回洗勻，選手小亮再隨機抽取一張，記下字母．
（1）小明抽取到唐詩的概率是　　；
（2）用列表或畫樹狀圖的方法求出小明和小亮恰好抽到同一類比賽內容的概率．
（1）“涉及兩個因素”包括兩種情況：①同時進行兩種相同的操作；②先后進行兩次相同的操作，即兩步試驗． （2）列表的方法：選一次操作（或一個條件）為橫行，另一次操作（或另一個條件）為豎行． （3）如果第一個因素有a種可能的結果，第二個因素有b種可能的結果，那么這個試驗所有可能的結果數有ab種． （4）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．
■重點02 樹狀圖法
（1）當一次試驗涉及三個或更多因素時，列表法就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用畫樹狀圖法． （2）用樹狀圖法求概率的一般步驟 ①把所有可能發生的實驗結果用樹狀圖表示出來； ②把所求事件所有可能出現的結果都找出來； ③運用公式P（A）=計算概率．
【典例1】　（2024 青山區模擬）中國古代數學有著輝煌的成就，《周髀算經》、《算學啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》是我國古代數學的重要文獻．某中學擬從這4部數學名著中選擇2部作為校本課程“數學文化”的學習內容，恰好選中《周髀算經》的概率為　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 南山區校級期中）某公園有，，，四個入口，每個游客都是隨機從一個入口進入公園，則甲、乙兩位游客恰好從同一個入口進入公園的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 二道區校級模擬）明明和家人去西安旅游購買了甲、乙、丙、丁四個系列擺件，如圖，甲系列有3個擺件，乙系列有1個擺件，丙系列有2個擺件，丁系列有3個擺件，每個系列各帶有一個禮品盒（擺件均裝入對應的禮品盒內），這四個禮品盒的外觀和重量都相同．明明先讓媽媽從四個禮品盒中隨機選擇一個拿走，再讓爸爸從剩下的三個中隨機選擇一個拿走．
（1）媽媽拿走的禮品盒里裝有3個擺件的概率是 　　；
（2）請用畫樹狀圖或列表法，求媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的概率．
【典例4】　（2023秋 柯橋區期末）為響應國家“雙減”政策，大力推行課后服務，豐富學生課后生活，某校開設班剪紙、班戲曲、班武術、班圍棋四門特色課程，甲、乙兩位同學各需選擇一門課程學習．
（1）求甲同學選擇班剪紙課的概率．
（2）利用樹狀圖或列表法，求甲、乙兩人選擇同一門課程的概率．
注意 （1）列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖． （2）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n． （3）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
■重點03 游戲的公平性
游戲的公平性是聽過計算概率來判斷的，在條件相同的前提下，如果對于參加游戲的每個個體獲勝的概率都相等，那么游戲公平，否則不公平．
【典例1】　（2024秋 鄠邑區期中）甲、乙兩位同學相約打乒乓球，雙方約定：兩人各投挪一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發球，否則乙先發球，這個約定是否公平？請用列表或者樹狀圖的方法說明理由．
【典例2】　（2024秋 雁塔區校級期中）如圖是兩個可以自由轉動的轉盤，，轉盤中數字1所對扇形區域的圓心角為，轉盤被分成面積相等的三個扇形，依次轉動轉盤，，當轉盤停止后，若指針指向的兩個區域的數字之和大于5，則甲獲勝；否則乙獲勝；如果落在分割線上，則需要重新轉動轉盤．
（1）轉動轉盤，指向的數字為3的概率是 　　；
（2）試用列表或畫樹狀圖的方法說明游戲是否公平．若公平，請說明理由；若不公平，誰獲勝的可能性更大？
【典例3】　（2024秋 五華區校級期中）在一個不透明的袋子中裝有1個紅球、2個白球、1個黑球，這些小球除顏色外完全相同，將球搖勻．
（1）從中任意摸出一個小球，恰好摸到紅球的概率是 　　；
（2）甲乙兩人做游戲：從袋子中一次摸出兩個球，若摸出的兩個球是一紅一黑，則甲獲勝；若摸出的兩個小球都是白球，則乙獲勝，請用列表或畫樹狀圖的方法分析游戲規則是否公平？
【典例4】　（2024秋 銀川期中）家住某一小區一單元的甲、乙二人同時從地下車庫進入電梯回家，已知兩人1至4層任意一層出電梯．
（1）用畫樹狀圖或列表法表示所有可能結果．并求甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率．
（2）小亮和小芳打賭，若甲、乙住在同樓層或相鄰樓層，則小亮勝，否則小方勝，請判斷上述游戲是否公平，并說明理由．
判斷游戲公平性本質上還是計算概率的問題．使用列舉法時主要要不重不漏．
■難點 放回與不放回
有放回抽取和無放回抽取是兩種完全不同的抽取方式．一般來說，有放回抽取允許有重復的事件結果，無放回抽取則不能有重復的事件結果．在列舉時，要注意這兩種抽取方式的不同造成的結果的差異．
【典例1】　（2024秋 鄭州期中）將標有“最”“美”“河”“南”的四個小球裝在一個不透明的口袋中（每個小球上僅標一個漢字），這些小球除所標漢字不同外，其余均相同．從中隨機摸出一個球，放回后再隨機摸出一個球，則摸到的球上的漢字可以組成“河南”的概率是　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 城陽區期中）在一個不透明的袋子里裝有一個紅球和一個黃球，它們除顏色外都相同，隨機從中摸出一球，記下顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機摸出一球，兩次都摸到黃球的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024秋 昆山市期中）在一個不透明的袋子里裝有除數字外完全相同的3個小球，上面分別標有數字2，3，4．先從袋中隨機摸出一個小球，再從袋中剩下的2個小球中隨機摸出一個小球．則摸出2個球上的數字之和為偶數的概率是　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 寧波期中）在一個不透明的口袋里有3個完全相同的小球，把它們分別標號1、2、3．求下列事件的概率．
（1）隨機地摸出一個小球是奇數；
（2）隨機地摸出一個小球后放回，再隨機地摸出一個小球，兩次摸出的小球標號的和為4．
放回是從某個容器中取出來，做好相應的數據后，再將取出來的物品放回容器中，然后再進行下一個實驗． 不放回是從容器中取出來之后就不再放回容器里，下一個實驗的結果與之前的取出來的數據無關，只與容器中的有關．
■易錯點 概率與其他學科綜合
應對跨學科試題,需要具備綜合運用各個學科知識的能力．
【典例1】　（2024秋 順德區期中）如圖，電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態的開關，，，，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 蓮湖區期中）如圖，電路圖上有3個開關，，和1個小燈泡，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 綿陽）如圖，電路上有，，，四個斷開的開關和一個正常的小燈泡，將這些開關隨機閉合至少兩個，能讓燈泡發光的概率為　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024 河北一模）【背景材料】人的眼皮有單眼皮與雙眼皮，這是由對應的基因決定的．研究表明：決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因（記為，另一種是隱性基因（記為；一個人的基因總是成對出現（如，，，，在成對的基因中，一個來自父親，另一個來自母親，父母親提供基因時均為隨機的．只要出現了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮．即基因，，均為雙眼皮．
【知識應用】現有一對夫妻，兩人成對的基因都是，若不考慮其他因素，則他們的孩子是單眼皮的概率是　　
A． B． C． D．
考查概率問題，常與物理、生物等學科進行綜合考查．中小學教育資源及組卷應用平臺
25.2 用列舉法求概率
■重點01 列表法
當一次試驗涉及兩個因素并且可能出現的結果數較多時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用列表法． 列表法一般用于解決涉及兩步發生的概率問題．
【典例1】　（2024秋 南海區校級期中）小王、小李和小張3名都報名參加所在社區的志愿工作，但社區根據實際情況只需要他們中的2人．有人建議他們采用隨機抽簽的方式確定參加人，則小王和小李同時參加的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
小王 小李 小張
小王 小李，小王 小張，小王
小李 小王，小李 小張，小李
小張 小王，小張 小李，小張
所有等可能的情況有6種，其中小王和小李同時參加的情況數有2種，
小王和小李同時參加的概率為，
故選：．
【典例2】　（2024秋 青島期中）經過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉或向右轉，假設這三種可能性相同．如果有兩輛汽車經過該路口，那么這兩輛車都直行的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
直行 向左轉 向右轉
直行 （直行，直行） （直行，向左轉） （直行，向右轉）
向左轉 （向左轉，直行） （向左轉，向左轉） （向左轉，向右轉）
向右轉 （向右轉，直行） （向右轉，向左轉） （向右轉，向右轉）
共有9種等可能的結果，其中這兩輛車都直行的只有1種結果，
所以這兩輛車都直行的概率為，
故選：．
【典例3】　（2024 東明縣一模）2024年央視春晚的主題為“龍行龘龘，欣欣家國”．“龍行龘龘”寓意中華兒女奮發有為、昂揚向上的精神風貌．將分別印有“龍”“行”“龘”“龘”四張質地均勻、大小相同的卡片放入盒中，從中隨機抽取一張不放回，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：列表如下：
龍 行 龘 龘
龍 （龍，行） （龍，龘） （龍，龘）
行 （行，龍） （行，龘） （行，龘）
龘 （龘，龍） （龘，行） （龘，龘）
龘 （龘，龍） （龘，行） （龘，龘）
由表格可知，共有12種等可能的結果，其中抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的結果有8種，
抽取的兩張卡片上恰有一張印有漢字“龘”的概率為．
故選：．
【典例4】　（2024秋 沾益區月考）為弘揚中華優秀傳統文化，學校舉辦“經典誦讀”比賽，將比賽內容分為“唐詩、宋詞、元曲”三類．現將正面寫有、、的三張完全相同的卡片背面朝上洗勻，由選手抽取卡片確定比賽內容．選手小明從三張卡片中隨機抽取一張，記下字母后放回洗勻，選手小亮再隨機抽取一張，記下字母．
（1）小明抽取到唐詩的概率是　　；
（2）用列表或畫樹狀圖的方法求出小明和小亮恰好抽到同一類比賽內容的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）將比賽內容分為“唐詩、宋詞、元曲”三類．選手小明從三張卡片中隨機抽取一張，
則小明抽取到唐詩的概率是．
故答案為：；
（2）所有可能出現的結果列表如下：
由表可知共有9種等可能出現的結果，其中相同的有3種，
．　
（1）“涉及兩個因素”包括兩種情況：①同時進行兩種相同的操作；②先后進行兩次相同的操作，即兩步試驗． （2）列表的方法：選一次操作（或一個條件）為橫行，另一次操作（或另一個條件）為豎行． （3）如果第一個因素有a種可能的結果，第二個因素有b種可能的結果，那么這個試驗所有可能的結果數有ab種． （4）列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，求出概率．
■重點02 樹狀圖法
（1）當一次試驗涉及三個或更多因素時，列表法就不方便了，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用畫樹狀圖法． （2）用樹狀圖法求概率的一般步驟 ①把所有可能發生的實驗結果用樹狀圖表示出來； ②把所求事件所有可能出現的結果都找出來； ③運用公式P（A）=計算概率．
【典例1】　（2024 青山區模擬）中國古代數學有著輝煌的成就，《周髀算經》、《算學啟蒙》、《測圓海鏡》、《四元玉鑒》是我國古代數學的重要文獻．某中學擬從這4部數學名著中選擇2部作為校本課程“數學文化”的學習內容，恰好選中《周髀算經》的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：將四部名著《周髀算經》，《算學啟蒙》，《測圓海鏡》，《四元玉鑒》分別記為，，，，
根據題意可以畫出如下的樹狀圖：
由樹狀圖可以看出，所有可能的結果有12種，并且這12種結果出現的可能性相等，
其中恰好選中《周髀算經》的情況有6種，
恰好選中《周髀算經》的概率是，
故選：．
【典例2】　（2024秋 南山區校級期中）某公園有，，，四個入口，每個游客都是隨機從一個入口進入公園，則甲、乙兩位游客恰好從同一個入口進入公園的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：作樹狀圖如下：
由樹狀圖知共有16種等可能結果，其中甲、乙兩位游客恰好從同一個入口進入公園的結果有4種，
所以甲、乙兩位游客恰好從同一個入口進入公園的概率為，
故選：．
【典例3】　（2024 二道區校級模擬）明明和家人去西安旅游購買了甲、乙、丙、丁四個系列擺件，如圖，甲系列有3個擺件，乙系列有1個擺件，丙系列有2個擺件，丁系列有3個擺件，每個系列各帶有一個禮品盒（擺件均裝入對應的禮品盒內），這四個禮品盒的外觀和重量都相同．明明先讓媽媽從四個禮品盒中隨機選擇一個拿走，再讓爸爸從剩下的三個中隨機選擇一個拿走．
（1）媽媽拿走的禮品盒里裝有3個擺件的概率是 　　；
（2）請用畫樹狀圖或列表法，求媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）根據題意有4個四個禮品盒，其中有3個擺件的禮品盒有2個，
媽媽拿走的禮品盒里裝有3個擺件的概率是：，
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如下：
由圖可得，共有12種等可能的結果，其中媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的情況有4種，
媽媽和爸爸一共拿走4個擺件的概率．
【典例4】　（2023秋 柯橋區期末）為響應國家“雙減”政策，大力推行課后服務，豐富學生課后生活，某校開設班剪紙、班戲曲、班武術、班圍棋四門特色課程，甲、乙兩位同學各需選擇一門課程學習．
（1）求甲同學選擇班剪紙課的概率．
（2）利用樹狀圖或列表法，求甲、乙兩人選擇同一門課程的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【解答】解：（1）由題意得，甲同學選擇班剪紙課的概率為．
（2）畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結果，其中甲、乙兩人選擇同一門課程的結果有4種，
甲、乙兩人選擇同一門課程的概率為．　
注意 （1）列舉法（樹形圖法）求概率的關鍵在于列舉出所有可能的結果，列表法是一種，但當一個事件涉及三個或更多元素時，為不重不漏地列出所有可能的結果，通常采用樹形圖． （2）樹形圖列舉法一般是選擇一個元素再和其他元素分別組合，依次列出，象樹的枝丫形式，最末端的枝丫個數就是總的可能的結果n． （3）當有兩個元素時，可用樹形圖列舉，也可以列表列舉．
■重點03 游戲的公平性
游戲的公平性是聽過計算概率來判斷的，在條件相同的前提下，如果對于參加游戲的每個個體獲勝的概率都相等，那么游戲公平，否則不公平．
【典例1】　（2024秋 鄠邑區期中）甲、乙兩位同學相約打乒乓球，雙方約定：兩人各投挪一枚質地均勻的硬幣，如果兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上，那么甲先發球，否則乙先發球，這個約定是否公平？請用列表或者樹狀圖的方法說明理由．
【解答】解：這個約定公平；理由如下：
依據甲、乙兩位同學相約打乒乓球的雙方約定，畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知：一共有4種等可能的結果，其中兩枚硬幣全部正面向上或全部反面向上的結果有2種，
（甲先發球），（乙先發球），
（甲先發球）（乙先發球），
這個約定公平．
【典例2】　（2024秋 雁塔區校級期中）如圖是兩個可以自由轉動的轉盤，，轉盤中數字1所對扇形區域的圓心角為，轉盤被分成面積相等的三個扇形，依次轉動轉盤，，當轉盤停止后，若指針指向的兩個區域的數字之和大于5，則甲獲勝；否則乙獲勝；如果落在分割線上，則需要重新轉動轉盤．
（1）轉動轉盤，指向的數字為3的概率是 　　；
（2）試用列表或畫樹狀圖的方法說明游戲是否公平．若公平，請說明理由；若不公平，誰獲勝的可能性更大？
【答案】（1）；
（2）這個游戲不公平，甲獲勝的可能性較大．
【解答】解：（1）轉動轉盤，指向的數字為3的概率是．
故答案為：；
（2）如圖，將盤4等分，使得指向每個區域的可能性均等，用列表法表示所有等可能出現的結果如下：
共有12種等可能出現的結果，其中指針指向的兩個區域的數字之和大于5，即甲獲勝的有7種，
所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，
所以這個游戲不公平，甲獲勝的可能性較大．
【典例3】　（2024秋 五華區校級期中）在一個不透明的袋子中裝有1個紅球、2個白球、1個黑球，這些小球除顏色外完全相同，將球搖勻．
（1）從中任意摸出一個小球，恰好摸到紅球的概率是 　　；
（2）甲乙兩人做游戲：從袋子中一次摸出兩個球，若摸出的兩個球是一紅一黑，則甲獲勝；若摸出的兩個小球都是白球，則乙獲勝，請用列表或畫樹狀圖的方法分析游戲規則是否公平？
【答案】（1）；
（2）這個游戲公平．理由見解答．
【解答】解：（1）一個不透明的袋子中裝有1個紅球、2個白球、1個黑球，
一共有4個球．
從中任意摸出一個球，摸到紅球的概率為．
故答案為：；
（2）所有可能出現的結果列表如下：
紅 白1 白2 黑
紅 （紅，白1） （紅，白2） （紅，黑）
白1 （白1，紅） （白1，白2） （白1，黑）
白2 （白2，紅） （白2，白1） （白2，黑）
黑 （紅，黑） （黑，白1） （黑，白2）
由表可知，共有12種可能出現的結果，其中摸出的兩個小球一紅一黑的有2種，兩個小球都是白球的有2種，
，
這個游戲公平．
【典例4】　（2024秋 銀川期中）家住某一小區一單元的甲、乙二人同時從地下車庫進入電梯回家，已知兩人1至4層任意一層出電梯．
（1）用畫樹狀圖或列表法表示所有可能結果．并求甲、乙二人在同一層樓出電梯的概率．
（2）小亮和小芳打賭，若甲、乙住在同樓層或相鄰樓層，則小亮勝，否則小方勝，請判斷上述游戲是否公平，并說明理由．
【答案】（1）；
（2）不公平，理由見解析．
【解答】解：（1）列表如下：
甲 乙 1 2 3 4
1
2
3
4
一共出現16種結果，每種結果都為等可能事件，其中出現在同一層樓梯的有4種結果，
（甲、乙在同一層樓梯或相鄰樓層），
（2）不公平，理由如下：
由（1）列知：甲、乙住在同層或相鄰樓層的有10種結果，
故（小亮勝）（同層），（小芳勝），
則不公平．　
判斷游戲公平性本質上還是計算概率的問題．使用列舉法時主要要不重不漏．
■難點 放回與不放回
有放回抽取和無放回抽取是兩種完全不同的抽取方式．一般來說，有放回抽取允許有重復的事件結果，無放回抽取則不能有重復的事件結果．在列舉時，要注意這兩種抽取方式的不同造成的結果的差異．
【典例1】　（2024秋 鄭州期中）將標有“最”“美”“河”“南”的四個小球裝在一個不透明的口袋中（每個小球上僅標一個漢字），這些小球除所標漢字不同外，其余均相同．從中隨機摸出一個球，放回后再隨機摸出一個球，則摸到的球上的漢字可以組成“河南”的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有16種等可能的結果，其中兩次摸出的球上的漢字可以組成“河南”的結果有2種，
摸到的球上的漢字可以組成“河南”的概率是．
故選：．
【典例2】　（2024秋 城陽區期中）在一個不透明的袋子里裝有一個紅球和一個黃球，它們除顏色外都相同，隨機從中摸出一球，記下顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機摸出一球，兩次都摸到黃球的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：畫樹狀圖得：
共有4種等可能的結果，兩次都摸到黑球的只有1種情況，
兩次都摸到黑球的概率是．
故選：．
【典例3】　（2024秋 昆山市期中）在一個不透明的袋子里裝有除數字外完全相同的3個小球，上面分別標有數字2，3，4．先從袋中隨機摸出一個小球，再從袋中剩下的2個小球中隨機摸出一個小球．則摸出2個球上的數字之和為偶數的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有6種等可能的結果，其中摸出的兩個小球上的數字和為偶數的結果有2種，
摸出2個球上的數字之和為偶數的概率為，
故選：．
【典例4】　（2024秋 寧波期中）在一個不透明的口袋里有3個完全相同的小球，把它們分別標號1、2、3．求下列事件的概率．
（1）隨機地摸出一個小球是奇數；
（2）隨機地摸出一個小球后放回，再隨機地摸出一個小球，兩次摸出的小球標號的和為4．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）依題意，標號1、2、3這三個小球，其中是奇數的小球有兩個，
，
隨機地摸出一個小球是奇數的概率是；
（2）摸出一個小球后放回，再隨機地摸出一個小球，兩次摸出的小球標號的和的情況作樹狀圖如下：
共有9種等可能的情況，兩次摸出的小球標號的和為4的情況有3種，
，
兩次摸出的小球標號的和為4的概率是．　
放回是從某個容器中取出來，做好相應的數據后，再將取出來的物品放回容器中，然后再進行下一個實驗． 不放回是從容器中取出來之后就不再放回容器里，下一個實驗的結果與之前的取出來的數據無關，只與容器中的有關．
■易錯點 概率與其他學科綜合
應對跨學科試題,需要具備綜合運用各個學科知識的能力．
【典例1】　（2024秋 順德區期中）如圖，電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態的開關，，，，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：電路圖上有1個小燈泡以及4個斷開狀態的開關，，，，現隨機閉合兩個開關，畫樹狀圖得：
共有12種等可能的結果，現任意閉合其中兩個開關，則小燈泡發光的有4種情況，
小燈泡發光的概率為，
故選：．
【典例2】　（2024秋 蓮湖區期中）如圖，電路圖上有3個開關，，和1個小燈泡，現隨機閉合兩個開關，小燈泡發光的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：畫出樹狀圖如圖所示：
由圖可得，共有6種等可能出現的結果，其中能讓燈泡發光的情況有4種，
能讓燈泡發光的概率是，
故選：．
【典例3】　（2024 綿陽）如圖，電路上有，，，四個斷開的開關和一個正常的小燈泡，將這些開關隨機閉合至少兩個，能讓燈泡發光的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：將這些開關隨機閉合至少兩個，所有等可能的結果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共11種，
其中能讓燈泡發光的結果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9種，
將這些開關隨機閉合至少兩個，能讓燈泡發光的概率為．
故選：．
【典例4】　（2024 河北一模）【背景材料】人的眼皮有單眼皮與雙眼皮，這是由對應的基因決定的．研究表明：決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因（記為，另一種是隱性基因（記為；一個人的基因總是成對出現（如，，，，在成對的基因中，一個來自父親，另一個來自母親，父母親提供基因時均為隨機的．只要出現了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮．即基因，，均為雙眼皮．
【知識應用】現有一對夫妻，兩人成對的基因都是，若不考慮其他因素，則他們的孩子是單眼皮的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：畫樹狀圖如下：
共有4種等可能的結果，其中他們的孩子是單眼皮的結果有1種，即，
他們的孩子是單眼皮的概率是，
故選：．　
考查概率問題，常與物理、生物等學科進行綜合考查．

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