資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
25.1 隨機事件與概率
■重點01 事件的分類
1．確定性事件 （1）必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件． 例如：太陽東升西落． （2）不可能事件：在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件． 例如：任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是360° 2．隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件． 隨機事件發(fā)生與否，事先是不能確定的． 例如：拋擲一枚硬幣，正面向上．
【典例1】　（2024秋 婺城區(qū)期中）“足球運動員射門一次，球進了”這一事件是　　
A．不可能事件 B．必然事件 C．隨機事件 D．確定事件
【典例2】　（2023秋 上城區(qū)期末）下列事件是必然事件的是　　
A．圓內(nèi)接四邊形對角和是
B．九年級開展籃球賽，901班獲得冠軍
C．拋擲一枚硬幣，正面朝上
D．打開電視，正好播放神舟十七號載人飛船發(fā)射實況
【典例3】　（2024秋 甌海區(qū)校級期中）在一個全部裝有白色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是　　
A．必然事件 B．不確定事件 C．不可能事件 D．隨機事件
【典例4】　（2024秋 鎮(zhèn)江期中）下列事件是隨機事件的是　　
A．三角形有且只有一個外接圓
B．方程是一元二次方程
C．直徑是圓中最長的弦
D．同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等
■重點02 簡單隨機事件概率的計算
一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果（n≠0），并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=．
【典例1】　（2024秋 江都區(qū)期中）抽屜里有三副手套，任取一只恰好是右手的概率為　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2024秋 龍華區(qū)期中）一組數(shù)據(jù)為，2，3，4，6，6，從這組數(shù)據(jù)中抽取一個數(shù)，抽到的數(shù)為6的概率是　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 瑞安市校級模擬）有11個杯子，其中有一等品5個，二等品4個，次品2個，任取1個杯子是次品的概率是　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024秋 東臺市期中）在六張卡片上分別寫有6，，3.1415，，0，六個數(shù)，從中隨機抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是　　
A． B． C． D．
　
注意試驗特點：①有限個結(jié)果；②結(jié)果等可能性．
■重點03 幾何概型
幾何概型：如果區(qū)域I上有一個區(qū)域A，假設(shè)每次試驗結(jié)果都能夠落在區(qū)域I上，并且落在區(qū)域I上任意一點的可能性總是相同的．記區(qū)域I的面積為S總，區(qū)域A的面積為SA，那么一次試驗結(jié)果落在區(qū)域A上的概率為P（A）=． 特別地，如果區(qū)域A被劃分成m等份，用其中的一等份作為基本面積單位來劃分區(qū)域I，區(qū)域I被分成n等份（其中n>m），那么一次試驗結(jié)果落在區(qū)域A上的概率為P（A）=．
【典例1】　（2024秋 南寧校級期中）一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，小球停在陰影區(qū)域的概率為　　
A． B． C． D．
【典例2】　（2023秋 西和縣期末）如圖，將一個飛鏢隨機投擲到的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分的概率為　　
A． B． C． D．
【典例3】　（2024 徐州）如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤內(nèi)，若飛鏢落在鏢盤內(nèi)各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為　　
A． B． C． D．
【典例4】　（2024春 岱岳區(qū)期末）某商場為吸引顧客設(shè)計了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當指針指向陰影部分時，該顧客可獲獎品一份，那么該顧客獲獎的概率為　　
A． B． C． D．
求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計算方法是長度比，面積比，體積比等． 面積類型：如果隨機試驗時向S區(qū)域內(nèi)擲一小球，那么擲在A（A在S內(nèi)）的概率P=．
■難點 根據(jù)概率的結(jié)果還原事件
與求概率的思路一致，根據(jù)P（A）=求解．
【典例1】　（2024秋 龍華區(qū)校級期中）一個不透明的袋中裝有只有顏色不同的6個紅球、2個黃球和若干個白球．從袋中任意摸出一個球，是白球的概率為，則白球的個數(shù)為 　　．
【典例2】　（2024 成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為 　　．
【典例3】　（2023秋 富錦市校級期末）一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．則布袋里紅球有 　　個．
【典例4】　（2024秋 西湖區(qū)校級期中）在一個不透明的袋子中裝有6個白球，個黑球，這些球除顏色外都相同．若從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為，則的值為 　　．
　
方程的思想．根據(jù)隨機事件的概率公式列方程求解．
■易錯點 事件發(fā)生的可能性
要知道事件發(fā)生的可能性大小，首先要確定這個事件是什么事件．必然事件一定會發(fā)生；不可能事件一定不會發(fā)生；隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性大小有可能相同．
【典例1】　（2024秋 青島期中）小穎從一定高度隨機擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，她已經(jīng)擲了三次硬幣，結(jié)果都是“反面朝上”．那么，小穎第四次擲硬幣時，“正面朝上”與“反面朝上”的可能性的大小為　　
A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大
C．兩者的可能性相同 D．無法確定
【典例2】　（2023秋 龍灣區(qū)月考）一個布袋里裝有6個球，分別是1個紅球，2個白球，3個黑球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是　　
A．摸出的是紅球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是綠球
【典例3】　（2024秋 蓬江區(qū)校級月考）下列事件中發(fā)生的可能性為0的是　　
A．拋一枚均勻硬幣，落地后正面朝上
B．今天黃岡市最高氣溫為
C．路邊拋擲一石頭，石頭終將落地（空中無任何遮攔）
D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金屬球，從中去摸取出乒乓球
【典例4】　（2024春 漣水縣期末）如圖是某天氣預報軟件的顯示屏，下列對降水信息的說法中正確的是　　
淮安市漣水縣天氣 日出453日落 體感溫度 降水概率 降水量 空氣質(zhì)量 優(yōu)
A．漣水縣明天將有的時間下雨
B．漣水縣明天將有的地區(qū)下雨
C．漣水縣明天下雨的可能性較大
D．漣水縣明天下雨的可能性較小
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25.1 隨機事件與概率
■重點01 事件的分類
1．確定性事件 （1）必然事件：在一定條件下，必然會發(fā)生的事件． 例如：太陽東升西落． （2）不可能事件：在一定條件下，必然不會發(fā)生的事件． 例如：任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是360° 2．隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件． 隨機事件發(fā)生與否，事先是不能確定的． 例如：拋擲一枚硬幣，正面向上．
【典例1】　（2024秋 婺城區(qū)期中）“足球運動員射門一次，球進了”這一事件是　　
A．不可能事件 B．必然事件 C．隨機事件 D．確定事件
【答案】
【解答】解：“某足球運動員射門一次，踢進球門”這一事件是隨機事件，
故選：．
【典例2】　（2023秋 上城區(qū)期末）下列事件是必然事件的是　　
A．圓內(nèi)接四邊形對角和是
B．九年級開展籃球賽，901班獲得冠軍
C．拋擲一枚硬幣，正面朝上
D．打開電視，正好播放神舟十七號載人飛船發(fā)射實況
【答案】
【解答】解：、圓內(nèi)接四邊形對角和是是必然事件，符合題意；
、九年級開展籃球賽，901班獲得冠軍是隨機事件，不符合題意；
、拋擲一枚硬幣，正面朝上是隨機事件，不符合題意；
、打開電視，正好播放神舟十七號載人飛船發(fā)射實況是隨機事件，不符合題意；
故選：．
【典例3】　（2024秋 甌海區(qū)校級期中）在一個全部裝有白色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是　　
A．必然事件 B．不確定事件 C．不可能事件 D．隨機事件
【答案】
【解答】解：在一個全部裝有白色圍棋的盒子中摸出一顆棋子，摸到一顆白棋是必然事件．
故選：．
【典例4】　（2024秋 鎮(zhèn)江期中）下列事件是隨機事件的是　　
A．三角形有且只有一個外接圓
B．方程是一元二次方程
C．直徑是圓中最長的弦
D．同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等
【答案】
【解答】解：．三角形有且只有一個外接圓，是必然事件，不是隨機事件，故該選項不符合題意；
．方程是一元二次方程，當時，方程不是一元二次方程，故原說法是隨機事件，故該選項符合題意；
．直徑是圓中最長的弦是必然事件，不是隨機事件，故該選項不符合題意；
．同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等是必然事件，不是隨機事件，故該選項不符合題意．
故選：．
■重點02 簡單隨機事件概率的計算
一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果（n≠0），并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=．
【典例1】　（2024秋 江都區(qū)期中）抽屜里有三副手套，任取一只恰好是右手的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：抽屜里有三副手套，任取一只共有6種等可能結(jié)果，其中恰好是右手的有3種結(jié)果，
所以任取一只恰好是右手的概率為，
故選：．
【典例2】　（2024秋 龍華區(qū)期中）一組數(shù)據(jù)為，2，3，4，6，6，從這組數(shù)據(jù)中抽取一個數(shù)，抽到的數(shù)為6的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：在數(shù)據(jù)，2，3，4，6，6中，隨機抽取一個數(shù)據(jù)共有6種等可能結(jié)果，抽到的數(shù)為6的有2種可能結(jié)果，
所以抽到眾數(shù)的概率為，
故選：．
【典例3】　（2024 瑞安市校級模擬）有11個杯子，其中有一等品5個，二等品4個，次品2個，任取1個杯子是次品的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：有11個杯子，其中有一等品5個，二等品4個，次品2個，任取1個杯子可能出現(xiàn)11種結(jié)果，是次品的有2種可能，
次品的概率是，
故選：．
【典例4】　（2024秋 東臺市期中）在六張卡片上分別寫有6，，3.1415，，0，六個數(shù)，從中隨機抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：六個數(shù)中有，，一共2個無理數(shù)，
從中隨機抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是．
故選：．
　
注意試驗特點：①有限個結(jié)果；②結(jié)果等可能性．
■重點03 幾何概型
幾何概型：如果區(qū)域I上有一個區(qū)域A，假設(shè)每次試驗結(jié)果都能夠落在區(qū)域I上，并且落在區(qū)域I上任意一點的可能性總是相同的．記區(qū)域I的面積為S總，區(qū)域A的面積為SA，那么一次試驗結(jié)果落在區(qū)域A上的概率為P（A）=． 特別地，如果區(qū)域A被劃分成m等份，用其中的一等份作為基本面積單位來劃分區(qū)域I，區(qū)域I被分成n等份（其中n>m），那么一次試驗結(jié)果落在區(qū)域A上的概率為P（A）=．
【典例1】　（2024秋 南寧校級期中）一個小球在如圖所示的地面上自由滾動，小球停在陰影區(qū)域的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：整個圖形面積，
陰影部分面積，
小球停在陰影區(qū)域的概率，
故選：．
【典例2】　（2023秋 西和縣期末）如圖，將一個飛鏢隨機投擲到的方格紙中，則飛鏢落在陰影部分的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：的方格紙的面積為，陰影部分面積為4，
飛鏢落在陰影區(qū)域的概率是．
故選：．
【典例3】　（2024 徐州）如圖，將一枚飛鏢任意投擲到正方形鏢盤內(nèi)，若飛鏢落在鏢盤內(nèi)各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：如圖：設(shè)，則圓的直徑為，
則小正方形的邊長為：，
則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為：．
故選：．
【典例4】　（2024春 岱岳區(qū)期末）某商場為吸引顧客設(shè)計了如圖所示的自由轉(zhuǎn)盤，當指針指向陰影部分時，該顧客可獲獎品一份，那么該顧客獲獎的概率為　　
A． B． C． D．
【答案】
【解答】解：陰影部分占，
陰影部分占整個圓面積的：，
該顧客獲獎的概率為：，
故選：．
　
求概率時，已知和未知與幾何有關(guān)的就是幾何概率．計算方法是長度比，面積比，體積比等． 面積類型：如果隨機試驗時向S區(qū)域內(nèi)擲一小球，那么擲在A（A在S內(nèi)）的概率P=．
■難點 根據(jù)概率的結(jié)果還原事件
與求概率的思路一致，根據(jù)P（A）=求解．
【典例1】　（2024秋 龍華區(qū)校級期中）一個不透明的袋中裝有只有顏色不同的6個紅球、2個黃球和若干個白球．從袋中任意摸出一個球，是白球的概率為，則白球的個數(shù)為 　　．
【答案】4．
【解答】解：由題意可得，
（個，
即白球的個數(shù)為4，
故答案為：4．
【典例2】　（2024 成都）盒中有枚黑棋和枚白棋，這些棋除顏色外無其他差別．從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，則的值為 　　．
【解答】解：盒中有枚黑棋和枚白棋，共有個棋，
從盒中隨機取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，
可得關(guān)系式，
，
即，
．
故答案為：．
【典例3】　（2023秋 富錦市校級期末）一個不透明的布袋里裝有2個白球，1個黑球和若干個紅球，它們除顏色外其余都相同，從中任意摸出1個球，是白球的概率為．則布袋里紅球有 　　個．
【解答】解：設(shè)布袋里紅球有個，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是原方程的解．
布袋里紅球有1個，
故答案為：1．
【典例4】　（2024秋 西湖區(qū)校級期中）在一個不透明的袋子中裝有6個白球，個黑球，這些球除顏色外都相同．若從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為，則的值為 　　．
【答案】12．
【解答】解：若從袋子中隨機摸出1個球，摸到白球的概率為，
，
解得，
經(jīng)檢驗：是分式方程的解，
故答案為：12．
　
方程的思想．根據(jù)隨機事件的概率公式列方程求解．
■易錯點 事件發(fā)生的可能性
要知道事件發(fā)生的可能性大小，首先要確定這個事件是什么事件．必然事件一定會發(fā)生；不可能事件一定不會發(fā)生；隨機事件發(fā)生的可能性有大有小，不同的隨機事件發(fā)生的可能性大小有可能相同．
【典例1】　（2024秋 青島期中）小穎從一定高度隨機擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，她已經(jīng)擲了三次硬幣，結(jié)果都是“反面朝上”．那么，小穎第四次擲硬幣時，“正面朝上”與“反面朝上”的可能性的大小為　　
A．“正面朝上”的可能性大 B．“反面朝上”的可能性大
C．兩者的可能性相同 D．無法確定
【答案】
【解答】解：小穎第四次擲硬幣時，“正面朝上”與“反面朝上”的可能性的大小均為，
故選：．
【典例2】　（2023秋 龍灣區(qū)月考）一個布袋里裝有6個球，分別是1個紅球，2個白球，3個黑球，它們除顏色外都相同，從中任意摸出1個球，則下列事件中，發(fā)生可能性最大的是　　
A．摸出的是紅球 B．摸出的是白球 C．摸出的是黑球 D．摸出的是綠球
【答案】
【解答】解：因為黑球最多，
所以被摸到的可能性最大．
故選：．
【典例3】　（2024秋 蓬江區(qū)校級月考）下列事件中發(fā)生的可能性為0的是　　
A．拋一枚均勻硬幣，落地后正面朝上
B．今天黃岡市最高氣溫為
C．路邊拋擲一石頭，石頭終將落地（空中無任何遮攔）
D．不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金屬球，從中去摸取出乒乓球
【答案】
【解答】解：、拋一枚均勻硬幣，落地后正面朝上，是隨機事件；
、今天黃岡市最高氣溫為是不可能事件，可能性為0；
、路邊拋擲一石頭，石頭終將落地（空中無任何遮攔）是必然事件，可能性為1；
、不透明袋子中放了大小相同的乒乓球和金屬球，從中去摸取出乒乓球是隨機事件；
故選：．
【典例4】　（2024春 漣水縣期末）如圖是某天氣預報軟件的顯示屏，下列對降水信息的說法中正確的是　　
淮安市漣水縣天氣 日出453日落 體感溫度 降水概率 降水量 空氣質(zhì)量 優(yōu)
A．漣水縣明天將有的時間下雨
B．漣水縣明天將有的地區(qū)下雨
C．漣水縣明天下雨的可能性較大
D．漣水縣明天下雨的可能性較小
【答案】
【解答】解：淮安市漣水縣降水的概率為”，表示漣水縣明天下雨的可能性較大，并不代表的地區(qū)下雨或的時間下雨．
故選：．
　

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