資源簡介

24.1.2垂直與弦的直徑
教材來源：初中九年級《數(shù)學(xué)（上冊）》教科書/人民教育出版社
內(nèi)容來源：初中九年級《數(shù)學(xué)（上冊）》第24 章
主 題：垂直與弦的直徑
課 時(shí)： 1課時(shí)
授課對象：九年級學(xué)生
目標(biāo)確定的依據(jù) ：
1.課程標(biāo)準(zhǔn)相關(guān)要求：*探索并證明垂徑定理。
2. 教材分析 ：本節(jié)是《圓》這一章的重要內(nèi)容，也是本章的基礎(chǔ)。它揭示了垂直于弦的直徑和這條弦及這條弦所對的弧之間的內(nèi)在關(guān)系，是圓的軸對稱性的具體化；也是今后證明線段相等、角 相等、 弧相等、 垂直關(guān)系的重要依據(jù)；同時(shí)也為進(jìn)行圓的有關(guān)計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)。所 以它在教材中處于非常重要的位置。
3.學(xué)情分析： 由垂徑定理的得出，使學(xué)生的認(rèn)識從感性到理性，從具體到抽象，有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。同時(shí)，通過本節(jié)課的教學(xué)，對學(xué)生滲透類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、方程、建模等數(shù)學(xué)思 想和方法，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、抽象、概括、推理等邏輯思維能力和識圖能力。
學(xué)習(xí)目標(biāo) ：1.探索圓的對稱性，進(jìn)而得到垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)；
2.能夠利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)解決相關(guān)實(shí)際問題．
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)以及證明
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：垂直于弦的直徑所具有的性質(zhì)以及證明
學(xué)習(xí)方法：觀察法 演示法 討論法 講解法和啟發(fā)式教學(xué)相結(jié)合
評價(jià)任務(wù)：掌握垂徑定理及其推論，并會應(yīng)用其解決實(shí)際問題。
學(xué)習(xí)過程：
一、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣，引出本節(jié)內(nèi)容
活動1：用紙剪一個圓，沿著圓的任意一條直徑對折，重復(fù)做幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結(jié)論？（出示：探究圓的性質(zhì)）
學(xué)生動手操作，觀察操作結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)沿著圓的任意一條直徑對折，直徑兩旁的部分能夠完全重合，由此可以發(fā)現(xiàn)：圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．
二、問題引申，探究垂直于弦的直徑的性質(zhì)
活動2：按下面的步驟做一做：
第一步，在一張紙上任意畫一個⊙O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合；第二步，得到一條折痕CD；第三步，在⊙O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕的垂線，得到新的折痕，其中點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足；第四步，將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，如圖1．
圖1 圖2
在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧 為什么？
學(xué)生活動設(shè)計(jì)：如圖2所示，連接OA、OB，得到等腰△OAB，即OA＝OB．因CD⊥AB，故△OAM與△OBM都是直角三角形，又OM為公共邊，所以兩個直角三角形全等，則AM＝BM．又⊙O關(guān)于直徑CD對稱，所以A點(diǎn)和B點(diǎn)關(guān)于CD對稱，當(dāng)圓沿著直徑CD對折時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，與重合．因此AM=BM，=，同理得到．
在學(xué)生操作、分析、歸納的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納垂直于弦的直徑的性質(zhì)：
（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧；
（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．
活動3：如圖3，所在圓的圓心是點(diǎn)O，過O作OC⊥AB于點(diǎn)D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圓的半徑．
學(xué)生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質(zhì)分析圖形條件，發(fā)現(xiàn)若OC⊥AB，則有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構(gòu)造方程．
在學(xué)生解決問題的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就可以求出來．
〔解答〕設(shè)圓的半徑為R，由條件得到OD=R－4，AD=8，
在Rt△ADO中，
即．
解得 R＝10（m）． 圖4
答：此圓的半徑是10 m．
活動4：如圖4，已知，請你利用尺規(guī)作圖的方法作出的中點(diǎn)，說出你的作法．
根據(jù)基本尺規(guī)作圖可以發(fā)現(xiàn)不能直接作出弧的中點(diǎn)，但是利用垂徑定理只需要作出弧所對的弦的垂直平分線，垂直平分線與弧的交點(diǎn)就是弧的中點(diǎn)．
〔解答〕1．連接AB；
2．作AB的中垂線，交 于點(diǎn)C，點(diǎn)C就是所求的點(diǎn)．
三、拓展創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性以及創(chuàng)新意識．
活動5 解決下列問題
1．如圖5，某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點(diǎn)C離水面的高度2．4米．現(xiàn)在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，問：這艘船是否能夠通過這座拱橋？說明理由．
圖5 圖6
學(xué)生活動：學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題，首先分析題意，然后采取一定的策略來說明能否通過這座拱橋，這時(shí)要采取一定的比較量，才能說明能否通過，比如，計(jì)算一下在上述條件下，在寬度為3米的情況下的高度與2米作比較，若大于2米說明不能經(jīng)過，否則就可以經(jīng)過這座拱橋．
〔解答〕如圖6，連接AO、GO、CO，由于弧的最高點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，所以得到
OC⊥AB，OC⊥GF，
根據(jù)勾股定理容易計(jì)算
OE=1．5米，
OM=3．6米．
所以ME=2．1米，因此可以通過這座拱橋．
2．銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道．如圖7所示，污水水面寬度為60 cm，水面至管道頂部距離為10 cm，問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道
圖7 圖8
師生活動設(shè)計(jì)：讓學(xué)生在探究過程中，進(jìn)一步把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理的基本結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維．
〔解答〕
如圖8所示，連接OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，
則AE=AB = 30 cm．令⊙O的半徑為R，
則OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．
在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．
解得R =50 cm．
修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100 cm的管道．
四、歸納小結(jié)、布置作業(yè)
1、小結(jié)：垂直于弦的直徑的性質(zhì)，圓對稱性．
2、作業(yè)：第88頁練習(xí)，習(xí)題24．1 第1題，第8題，第9題．
圖3

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