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重難點(diǎn)突破02 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 4
題型一：平移法求異面直線所成角 4
題型二：定義法求線面角 5
題型三：等體積法法求線面角 7
題型四：定義法求二面角 9
題型五：三垂線法求二面角 11
題型六：射影面積法求二面角 13
題型七：垂面法求二面角 15
題型八：補(bǔ)棱法求二面角 16
題型九：距離問題 18
03過關(guān)測試 20
技巧一：二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．
法二：三垂線法
在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：
①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)，作于；
②過點(diǎn)（與①中是同一個點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接；
③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．
圖1 圖2 圖3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；
法四：補(bǔ)棱法
當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．
技巧二：線與線的夾角
（1）位置關(guān)系的分類：
（2）異面直線所成的角
①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
②范圍：
③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．
技巧三：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍：
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；
題型一：平移法求異面直線所成角
【典例1-1】在正三棱柱中，，，分別是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（ ）
A．1 B． C． D．
【變式1-1】在正四棱臺中，，點(diǎn)為底面的中心，則異面直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】如圖，在正四面體ABCD中．點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】已知空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，，，則與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
題型二：定義法求線面角
【典例2-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）如圖，在四面體中，.若從直線，，，中任選兩條，則它們互相垂直的概率為.
(1)證明：平面；
(2)若四面體的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.
【典例2-2】如圖，四邊形是矩形，，，平面，，.點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求和平面所成角的正弦值.
【變式2-1】如圖，已知平面，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的大小．
【變式2-2】如圖，在四棱錐，底面，，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
題型三：等體積法法求線面角
【典例3-1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，是棱PA上一點(diǎn)，且.
(1)求證:平面MCD;
(2)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.
【典例3-2】如圖1，在四邊形中，，將沿邊BD翻折至，使得平面平面，如圖2所示．E是線段PD上的一點(diǎn)，且．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線BE與平面所成角的正弦值．
【變式3-1】正方體的棱長為，是線段上的動點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)與平面所成的角的余弦值為，求的長．
【變式3-2】在直三棱柱中，D、E分別是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時，求的值．
題型四：定義法求二面角
【典例4-1】如圖，在邊長為4的菱形中，分別是的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到的位置，且．
(1)若平面平面，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求二面角大小的余弦值．
【典例4-2】如圖為三棱錐的高，點(diǎn)在三角形內(nèi)，為中點(diǎn)（圖中未畫），，平面.
(1)求直線與平面所成角；
(2)若，且，求二面角的大小.
【變式4-1】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個不同的動點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)二面角的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.
【變式4-2】五面體中，，，，均為正三角形.
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.
【變式4-3】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若，.
求二面角的余弦值；
題型五：三垂線法求二面角
【典例5-1】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，分別為的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【典例5-2】如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．
(1)當(dāng)側(cè)面底面時，求點(diǎn)到平面的距離；
(2)在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)．使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式5-1】如圖，在四棱錐中，為邊上的中點(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，平面平面，．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)若直線與底面所成角的余弦值為，求二面角的正切值．
【變式5-2】如圖，已知四棱錐中，平面，且.

(1)證明：平面；
(2)已知銳二面角的正弦值為，求二面角的余弦值.
題型六：射影面積法求二面角
【典例6-1】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，求平面與平面所成二面角的大小．
【典例6-2】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
(1)證明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．
【變式6-1】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，求平面與平面所成二面角的大小．
【變式6-2】類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線、、構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則.
(1)如圖2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
(2)當(dāng)時，證明以上三面角余弦定理；
(3)如圖3，斜三棱柱中側(cè)面，，的面積分別為，，，記二面角，二面角，二面角的大小分別為，，，試猜想正弦定理在三維空間中推廣的結(jié)論，并證明.
題型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形.
(1)證明：.
(2)若，求二面角的余弦值.
【典例7-2】已知二面角，若直線，直線，且直線所成角的大小為，則二面角的大小為_________.
【變式7-1】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面底面，為正三角形，E是AB的中點(diǎn)，.

(1)求點(diǎn)C到平面的距離.
(2)求二面角的余弦值.
【變式7-2】在三棱臺中，，，且平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
題型八：補(bǔ)棱法求二面角
【典例8-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺中，為正三角形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面．
(1)若，證明：平面平面；
(2)若，記平面與平面的交線為，求二面角的余弦值．
【典例8-2】如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點(diǎn)．
(1)證明：直線平面；
(2)設(shè)平面與平面的交線為，求點(diǎn)到直線的距離及二面角的余弦值．
【變式8-1】《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.
（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.
（i）證明：平面平面；
（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.
題型九：距離問題
【典例9-1】（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面BCD；
(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.
【典例9-2】如圖，在四棱錐中，，．
(1)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若二面角的平面角為，求點(diǎn)到平面的距離．
【變式9-1】多面體中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且．
(1)求與平面所成角；
(2)求平面與平面所成二面角的大小；
(3)求側(cè)棱到側(cè)面的距離．
【變式9-2】如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，D是的中點(diǎn)，，如圖②，將沿邊DH翻折至.
(1)在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為，求點(diǎn)B到直線CH的距離.
1．平面過正方體的頂點(diǎn)平面平面，平面，則所成角的正弦值為 .
2．在三棱錐中，平面，，且最長的棱長為，為棱的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，直線與所成角的余弦值為 .
3．菱形ABCD的對角線，沿BD把平面ABD折起與平面BCD成的二面角后，點(diǎn)A到平面BCD的距離為 ．
4．在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，如圖所示．
(1)求證：平面；
(2)若二面角的大小為，求直線和平面所成角的正弦值．
5．如圖，在三棱臺中，與都垂直，已知．
(1)求證：平面平面．
(2)直線與底面所成的角為多少時，二面角的余弦值為？
6．如圖，是半球O的直徑，P是半球底面圓周上一點(diǎn)，Q是半球面上一點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值．
7．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，是棱上的一點(diǎn).
(1)若，求證：平面；
(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.
8．如圖，在長方形中，，，，將沿折起至，使平面平面.
(1)證明：平面；
(2)若二面角的平面角的余弦值為，求的長；
(3)設(shè)直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，證明：.
（注：本題用空間向量法求解或證明不給分，若需要作輔助線，請在答題卡上作出相應(yīng)的輔助線.）
9．“陽馬”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，它是底面為矩形，一條側(cè)棱垂于底面的四棱錐．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，平面平面，平面平面.
(1)求證：四棱錐是“陽馬”；
(2)點(diǎn)M在正方形內(nèi)（包括邊界）．平面平面且，
（i）求M點(diǎn)軌跡長度；
（ii）是否存在M點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，請說明理由．
10．如圖（1）梯形中，，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面，與和交于O，點(diǎn)P在上，且，R是的中點(diǎn)，過O、P、R三點(diǎn)的平面交于Q．在圖（2）中：
(1)證明：Q是的中點(diǎn)；
(2)M是上一點(diǎn)，已知二面角的正切值為，求的值．
11．空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)的曲率為，，分別為，的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率（多面體有頂點(diǎn)的曲率之和）是常數(shù).
12．如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求直線到平面的距離．
13．如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的距離．
的大小為，則．如圖2，四棱柱中，為菱形，，，，且點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為的中點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)直線與平面內(nèi)任意一條直線夾角為，證明：；
(3)過點(diǎn)作平面，使平面平面，且與直線相交于點(diǎn)，若，求值．
17．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AD，PC的中點(diǎn)．
(1)若，，求異面直線EF與AB的夾角的大小；
(2)若直線PC與平面ABCD所成角的大小為．
①求二面角的余弦值；
②求點(diǎn)F到平面PAB的距離．
18．如圖，在六面體中，為等邊三角形，平面平面，，，，，
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的平面角的余弦值為.若存在，求出值；若不存在，請說明理由.
19．在三棱錐中，，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影為H，連接AH．
(1)如圖1，證明：；
(2)如圖2，記，直線AP與平面ABC的夾角為，，求證：，并比較和的大小；
(3)如圖3，已知，M為平面PBC內(nèi)一點(diǎn)，且，求異面直線AM與直線BC夾角的最小值．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點(diǎn)突破02 利用傳統(tǒng)方法求線線角、線面角、二面角與距離
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 4
題型一：平移法求異面直線所成角 4
題型二：定義法求線面角 7
題型三：等體積法法求線面角 12
題型四：定義法求二面角 17
題型五：三垂線法求二面角 24
題型六：射影面積法求二面角 33
題型七：垂面法求二面角 38
題型八：補(bǔ)棱法求二面角 42
題型九：距離問題 48
03過關(guān)測試 54
技巧一：二面角的求法
法一：定義法
在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角，如圖在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以為垂足，分別在半平面和內(nèi)作垂直于棱的射線和，則射線和所成的角稱為二面角的平面角（當(dāng)然兩條垂線的垂足點(diǎn)可以不相同，那求二面角就相當(dāng)于求兩條異面直線的夾角即可）．
法二：三垂線法
在面或面內(nèi)找一合適的點(diǎn)，作于，過作于，則為斜線在面內(nèi)的射影，為二面角的平面角．如圖1，具體步驟：
①找點(diǎn)做面的垂線；即過點(diǎn)，作于；
②過點(diǎn)（與①中是同一個點(diǎn)）做交線的垂線；即過作于，連接；
③計算：為二面角的平面角，在中解三角形．
圖1 圖2 圖3
法三：射影面積法
凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（，如圖2）求出二面角的大小；
法四：補(bǔ)棱法
當(dāng)構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線時，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題．當(dāng)二平面沒有明確的交線時，也可直接用法三的攝影面積法解題．
法五：垂面法
由二面角的平面角的定義可知兩個面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個面的交線所成的角，就是二面角的平面角．
技巧二：線與線的夾角
（1）位置關(guān)系的分類：
（2）異面直線所成的角
①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．
②范圍：
③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．
技巧三：線與面的夾角
①定義：平面上的一條斜線與它在平面的射影所成的銳角即為斜線與平面的線面角．
②范圍：
③求法：
常規(guī)法：過平面外一點(diǎn)做平面，交平面于點(diǎn)；連接，則即為直線與平面的夾角．接下來在中解三角形．即（其中即點(diǎn)到面的距離，可以采用等體積法求，斜線長即為線段的長度）；
題型一：平移法求異面直線所成角
【典例1-1】在正三棱柱中，，，分別是中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn),
易知,,
所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角.
由正三棱柱的幾何特征可得,，.
,
,
，，
,
在中，由余弦定理可得,
所以直線與所成角的余弦值為.
故選:A.
【典例1-2】如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，易知，
所以異面直線與所成角就是直線與直線所成的角，即（或其補(bǔ)角），
由題意可知正三棱柱的所有棱長都相等，
可設(shè)三棱柱的棱長都為，則，，，
因為，所以為直角三角形，
所以
即異面直線與所成角的余弦值為.
故選：.
【變式1-1】在正四棱臺中，，點(diǎn)為底面的中心，則異面直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，連接，則，連接，因為，
所以．易知四邊形為平行四邊形，則，且，
所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成的角，
同理知，又，所以為等邊三角形，所以，
故選：C．
【變式1-2】如圖，在正四面體ABCD中．點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】過點(diǎn)E作直線BD的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接CF，
則為異面直線EC與BD所成角或其補(bǔ)角，
不妨設(shè)，易得，
，
在中，由余弦定理得，
所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．
故選：A．
【變式1-3】已知空間四邊形中，、分別是、的中點(diǎn)，若，，，則與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，又、分別是、的中點(diǎn)，
所以、分別為、的中線，
所以且，且，
所以與所成的角即為與所成的角，
又，所以，所以為直角三角形，且，
所以，所以，
即與所成的角為.
故選：C
題型二：定義法求線面角
【典例2-1】（2024·高三·貴州黔東南·開學(xué)考試）如圖，在四面體中，.若從直線，，，中任選兩條，則它們互相垂直的概率為.
(1)證明：平面；
(2)若四面體的體積為，且，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）證明：從直線，，，中任選兩條，不同的選法共有種，
因為它們互相垂直的概率為，所以互相垂直的直線有3對.
又，所以與，均不垂直.
若，則恰與，，的其中兩條垂直，
不妨設(shè)，，則平面，則，不符合題意.
若與不垂直，則，，，
，平面，
則平面，符合題意，故平面.
（2）設(shè)，則，
解得，則或.
若，則為正三角形，則，不符合題意.
若，則，符合題意.
如圖，過點(diǎn)作，垂足為.
因為平面，平面，所以，
，平面，所以平面.
連接，則為直線與平面所成的角.
，
則，
故直線與平面所成角的正弦值為.
【典例2-2】如圖，四邊形是矩形，，，平面，，.點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求和平面所成角的正弦值.
【解析】（1）連接交于，連接，因為為、的中點(diǎn)，
所以為的中位線；
所以，而平面，平面，
故平面；
（2）因為平面，平面，所以，
又由，而，平面，
故平面；
故即為和平面所成的角.
由已知，，，
在直角三角形中，可得，
所以和平面所成角的正弦值為.
【變式2-1】如圖，已知平面，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的大小．
【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，，，如圖所示，
又因為，所以，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
（2）因為平面，，
所以平面，
因為平面，
所以平面平面，
因為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
所以，
因為平面平面平面，
所以平面，
由（1）得四邊形為平行四邊形，所以，
所以直線與平面所成角和直線與平面所成角相等，
因為平面，
所以即為直線與平面所成角，
因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，，
所以，
所以，由，
所以，
所以直線與平面所成角為．
【變式2-2】如圖，在四棱錐，底面，，，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）在中，，，，則，，所以
在中，，
故，所以為直角三角形，故，
又因為底面，底面，所以，
又因為，平面，所以平面，
又平面，故平面平面.
（2）如圖：作于，
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，故為與平面所成的角，
中，，，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
題型三：等體積法法求線面角
【典例3-1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點(diǎn)，是棱PA上一點(diǎn)，且.
(1)求證:平面MCD;
(2)，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值.
【解析】（1）取PA的中點(diǎn)S，連接SM，SD，SC，因為為PB的中點(diǎn)，
所以，又，所以，故S，M，C，D四點(diǎn)共面，
由題意知Q，N分別為PS，PC的中點(diǎn)，故，
又平面平面MCD，因此平面MCD；
（2）連接AC，BD交于點(diǎn)，則為平行四邊形ABCD的中心，
又，
則等腰中，根據(jù)三線合一，有，
又，平面，
故平面，
設(shè)，
則，
，
，
相加并整理得，①
在Rt，Rt中，有，
即，（2），，③
解方程組①②③得，，
故，
于是，
在中，是PC中點(diǎn)，
故，
于是，
設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，由，得，
故，
故所求線面角的正弦值.
【典例3-2】如圖1，在四邊形中，，將沿邊BD翻折至，使得平面平面，如圖2所示．E是線段PD上的一點(diǎn)，且．
(1)求證：平面平面；
(2)求直線BE與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因為平面平面BCD，平面平面，
且平面，由題意易知，所以平面PBD，
又平面，所以，
又，且平面PCD，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）在中，結(jié)合已知有．
因為平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
平面，所以，
所以中，易得，
所以．
因為平面PBD，所以CD是三棱錐的高，
解法一：所以．
設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為h，因為，
所以，解得，
易得，所以點(diǎn)E到平面的距離為，
所以直線BE與平面所成角的正弦值為．
解法二：在中，BE是邊PD的高，可求出，
所以，
設(shè)點(diǎn)E到平面的距離為d，則，
由等體積可知，令，解出，
所以直線BE與平面所成角的正弦值為．
【變式3-1】正方體的棱長為，是線段上的動點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)與平面所成的角的余弦值為，求的長．
【解析】（1）因為平面，且平面，可得，
四邊形為正方形，則，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）設(shè)在平面上的射影點(diǎn)為，連接，
可知是以邊長為的等邊三角形，則，
因為，即，解得，
設(shè)與平面所成的角的大小為，因為，則，
則，可得，
在中，由余弦定理得，
即，解得.
【變式3-2】在直三棱柱中，D、E分別是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段上的點(diǎn)．
(1)證明：平面；
(2)若，當(dāng)與平面所成角的正弦值為時，求的值．
【解析】（1）如圖，連接、、、、，
由直棱柱性質(zhì)且，
所以四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面；
又由直棱柱性質(zhì)有且，且，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，故，
又平面，平面，所以平面，
因為，、平面，
所以平面平面，因為平面，
所以平面.
（2）因為，
所以，，，
設(shè)，則，所以，
由（1）可知點(diǎn)F到平面的距離是一個定值，將其設(shè)為，
由直棱柱性質(zhì)平面，平面，故，
又，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
所以，
，
又，所以.
所以與平面所成角的正弦值為即，
所以即，故.
題型四：定義法求二面角
【典例4-1】如圖，在邊長為4的菱形中，分別是的中點(diǎn)，將沿折起，使點(diǎn)到的位置，且．
(1)若平面平面，判斷與的位置關(guān)系并說明理由；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)求二面角大小的余弦值．
【解析】（1），理由如下：
由分別是的中點(diǎn)，得，而平面，平面，
則平面，又平面平面，平面，
所以.
（2）令，連接，由是菱形，，得都是正三角形，
則，，而平面，
于是平面，又平面，則平面平面，
在平面內(nèi)過作于，由平面平面，
因此平面，連接，則是直線與平面所成的角，
在正中，，，
，則，
于是，，
所以直線與平面所成角的正弦值是.
（3）在中，，
即，顯然，則有，同理，
取的中點(diǎn)，連接，則，有，
因此是二面角的平面角，而，
則，
所以二面角大小的余弦值是.
【典例4-2】如圖為三棱錐的高，點(diǎn)在三角形內(nèi)，為中點(diǎn)（圖中未畫），，平面.
(1)求直線與平面所成角；
(2)若，且，求二面角的大小.
【解析】（1）
因為為三棱錐的高，故平面.
又平面，故.
因為點(diǎn)為的中點(diǎn)，則
又，故，
則為等邊三角形，故.
又平面，則即為直線與平面所成的角，
故與平面所成角的大小為.
（2）如圖，延長交于點(diǎn)，連接.
由平面,平面，
故，又，則.
在與中，
故，.
又在與中，
故，故，
即為的平分線，
又，則，且為的中點(diǎn)，
又，則，
則即為二面角的平面角，
由平面，平面，平面平面，故.
，
由（1）知，，
即二面角的大小為.
【變式4-1】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個不同的動點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)二面角的大小是否為定值，若是，求出其余弦值，說明理由.
【解析】（1）直線就是直線，
根據(jù)正方體的性質(zhì)知，
∵平面，平面，
∴平面；
（2）平面就是平面，平面就是平面，
∵平面與平面固定，
∴二面角的大小是定值，
設(shè)，，
∵，是的中點(diǎn)，∴，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，，
∴里二面角的平面角，
在直角中，，
∴.
∴二面角的余弦值為.
【變式4-2】五面體中，，，，均為正三角形.
(1)證明：；
(2)求平面與平面所成夾角的余弦值.
【解析】（1）因為，，均為正三角形，
所以，
記的中點(diǎn)為，連接，則，
因為，所以，
所以，則，所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以.
易知在中，，
由余弦定理可得，
所以，所以，
又平面，所以平面，
因為平面，所以.
（2）記的交點(diǎn)為，連接，的中點(diǎn)為，
作，垂足分別為，連接，
因為，所以，所以，
由題設(shè)易得，平面，平面，所以平面，
又平面，平面平面，所以，
所以四邊形為菱形，所以，，
所以，則，
解得，
在中，，
由余弦定理得，
所以，
所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，，
所以，所以或者其補(bǔ)角即為平面與平面所成夾角，
又，
所以，
所以平面與平面所成夾角的余弦值為.
【變式4-3】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)若，.
求二面角的余弦值；
【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，
因為底面為菱形，所以為的中點(diǎn)，
因為為的中點(diǎn)，所以，
又因為平面，平面，
所以平面；
（2）因為，所以為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連接，則，
在中，作交于點(diǎn)，
所以為二面角的平面角，
在中，因為，所以，
所以，
在中，，
所以，
在中，，
由余弦定理得，
在中，由余弦定理，
所以二面角的余弦值為；
題型五：三垂線法求二面角
【典例5-1】如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，分別為的中點(diǎn).
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）因為，
所以，
又，所以，所以，
又、平面，所以平面，
又平面，所以
因為是等邊三角形，是的中點(diǎn)，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因為平面平面，所以平面平面，
在中，過作的垂線，垂足為，過作的垂線，垂足為，
連接，如圖所示，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
因為平面，所以平面，
又平面，所以，所以為二面角的平面角，
在中，，
又平面平面，所以，
在中，，
又，
所以，解得，
因為平面平面，所以，又，
在中，，
所以，即二面角的平面角的余弦值為.
【典例5-2】如圖1，平面圖形由直角梯形和拼接而成，其中，，，，，與相交于點(diǎn)，現(xiàn)沿著將其折成四棱錐（如圖2）．
(1)當(dāng)側(cè)面底面時，求點(diǎn)到平面的距離；
(2)在（1）的條件下，線段上是否存在一點(diǎn)．使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）在中，，所以，
因為在直角梯形中，，，，
所以，所以四邊形為正方形，
所以，，
因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，
所以底面，
連接，因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，所以平面，
所以點(diǎn)到平面的距離與點(diǎn)到平面的距離相等，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由題意得，
則，
因為，所以，
所以，解得，
所以點(diǎn)到平面的距離為；
（2）過作交于點(diǎn)，
因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，
所以底面，
作交于點(diǎn)，連接，
因為底面，底面，所以，
因為，平面，所以平面，
因為平面，
所以，所以為二面角的平面角，
則，所以，
所以，
連接，交于點(diǎn)，因為四邊形為正方形，所以，
所以，設(shè)，
由，得，得，
因為，所以，解得，
因為底面，底面，所以
所以，所以，即,
所以線段上存在一點(diǎn)．使得平面與平面夾角的余弦值為，
此時.
【變式5-1】如圖，在四棱錐中，為邊上的中點(diǎn)，為邊上的中點(diǎn)，平面平面，．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)若直線與底面所成角的余弦值為，求二面角的正切值．
【解析】（1）證明：法一：連接，
在中，因為為對應(yīng)邊上的中點(diǎn)，
所以為中位線，，
又平面平面，
平面；
法二：設(shè)中點(diǎn)為中點(diǎn)為，連接，
在中，因為為對應(yīng)邊上的中點(diǎn)，
所以為中位線，且，
同理，在中，且，
且，
四邊形為平行四邊形，
，
又平面平面，
平面；
（2）在四邊形中，，
所以都為等腰直角三角形，即，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以直線平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面．
（3）直線與底面所成角的余弦值為，且平面，
直線與底面所成的角為，又，
則，
在中，，
，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，過點(diǎn)作的垂線交于，連接，
由（1）知，，且平面，
則平面，平面，，
平面，平面，
平面，，又，
則是二面角的平面角，
，
，
設(shè)二面角的平面角為，則二面角的正切值為．
【變式5-2】如圖，已知四棱錐中，平面，且.

(1)證明：平面；
(2)已知銳二面角的正弦值為，求二面角的余弦值.
【解析】（1）法一：如圖1，延長和相交于點(diǎn)，連接，
，，則，
又，，
則平面平面平面.
法二：如圖2，過作平行交于點(diǎn)，
，則，
，
，，，
，均平行于平面，
且是平面內(nèi)的兩條相交直線，
平面平面，又平面平面.
法三：如圖2，過作平行交于點(diǎn)，連接，
，且，
平行，，則，
平行于，，
..均平行于平面，且是平面內(nèi)的兩條相交直線，
平面平面，又平面平面.
（2）法一：平面平面平面平面，
如圖3，過點(diǎn)作交于平面平面，
平面平面.
過點(diǎn)作交于，又，
且平面，平面，
為二面角的平面角，則，
設(shè)，則，
平面平面，，
又，，
中，，則，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，
則為二面角的平面角，
，
綜上所述，二面角的余弦值為.
法二：如圖4，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線于的延長線交于點(diǎn)
過作交于，連接，
平面平面平面平面，
平面平面平面，
平面，
平面，
又平面，即為二面角的平面角，
平面平面，，又，
中，，則，
，
，
中，邊上的高，
設(shè)二面角的平面角為平面，
，
綜上所述，二面角的余弦值為.
題型六：射影面積法求二面角
【典例6-1】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，求平面與平面所成二面角的大小．
【解析】因為平面平面，
所以，
又，且，平面，
所以平面，
同理平面，
所以在平面上的射影為．
設(shè)平面與平面所成二面角為，所以，所以．
故平面與平面所成二面角的大小為．
【典例6-2】在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD．
(1)證明：AB⊥平面PAD；
(2)求面PAD與面PDB所成的二面角的正切值．
【解析】（1）證明：∵底面ABCD是正方形，
∴AB⊥AD，
∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴由面面垂直的性質(zhì)定理得，AB⊥平面PAD；
（2）(法一)由題意，△PBD在面PAD上的射影為△PAD．
設(shè)AD＝a，則S△PAD，
△PBD中，PD＝a，BDa，PBa，
∴S△PBD，
∴面PAD與面PDB所成的二面角的余弦值為，
∴面PAD與面PDB所成的二面角的正切值為．
（法二）如圖所示：取中點(diǎn)，連接.
設(shè)AD＝a，則，
所以,
所以是平面PAD與平面PDB所成的二面角的平面角，
在中，,
所以.
【變式6-1】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，求平面與平面所成二面角的大小．
【解析】因為平面平面，
所以，
又，且，平面，
所以平面，
同理平面，
所以在平面上的射影為．
設(shè)平面與平面所成二面角為，所以，所以．
故平面與平面所成二面角的大小為．
【變式6-2】類比于平面三角形中的余弦定理，我們得到三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線、、構(gòu)成的三面角，，，，二面角的大小為，則.
(1)如圖2，四棱柱中，平面平面，，，求的余弦值；
(2)當(dāng)時，證明以上三面角余弦定理；
(3)如圖3，斜三棱柱中側(cè)面，，的面積分別為，，，記二面角，二面角，二面角的大小分別為，，，試猜想正弦定理在三維空間中推廣的結(jié)論，并證明.
【解析】（1）由平面平面，得，
由三面角余弦定理得，
因為，，
所以；
（2）過射線PC上一點(diǎn)H作交PA于M點(diǎn)，
作交PB于N點(diǎn)，連接MN，如圖所示：
則是二面角的平面角，
在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
兩式相減得：
，
則：，
兩邊同除以，
得；
（3）已知三棱錐，，，，側(cè)面，，的面積分別為，，，以，，為棱的二面角分別為，，，
求證：.
證明：
在上取點(diǎn)，使得，過作平面，，，
設(shè)，，，
則，，
同理，
所以，即，
同理可證，
所以，
又因為，所以，
同理，，
所以，同乘得：
.
題型七：垂面法求二面角
【典例7-1】（2024·高三·山東濟(jì)南·開學(xué)考試）如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形.
(1)證明：.
(2)若，求二面角的余弦值.
【解析】（1）連結(jié)，
因為底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形，
所以四邊形是邊長為2的菱形，則，
且四邊形和也是邊長為2的正方形，
所以，且，，平面，
所以平面，平面
所以，且，且平面，
所以平面，平面,
所以；
（2）由（1）可知，平面，且，
所以平面，且平面，
所以平面平面，又因為平面平面，
所以平面平面，且平面平面，
因為，所以，
所以為等邊三角形，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，則，平面
所以平面，
再取的中點(diǎn)，連結(jié),則，
因為平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，
所以，
所以為二面角的平面角，
，，，
所以，
所以二面角的余弦值為.
【典例7-2】已知二面角，若直線，直線，且直線所成角的大小為，則二面角的大小為_________.
【答案】或
【解析】設(shè)點(diǎn)是二面角內(nèi)的一點(diǎn)，過P分別作直線的平行線，且垂直于于，垂直于于，設(shè)平面交直線于點(diǎn)，連接，，由于，，，，
故，，又，平面，
故平面，又，平面，故，，
所以為二面角的平面角，
因為直線所成角的大小為，所以或，
當(dāng)時，如圖
因為，所以；
當(dāng)時，
如圖
因為，所以;
綜上，二面角的大小為或
故答案為：或
【變式7-1】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面底面，為正三角形，E是AB的中點(diǎn)，.

(1)求點(diǎn)C到平面的距離.
(2)求二面角的余弦值.
【解析】（1）由題設(shè)，面面，面，面面，
所以面，面，故，即，
所以，而，，
中上的高，故，
令點(diǎn)C到平面的距離為，又，且，到面的距離為正三角形的高，
所以，可得，故點(diǎn)C到平面的距離為.
（2）由，面面，面，面面，
所以面，面，故，則，
又，故為等腰三角形，則上的高為，
令到的距離為，則，
由（1）知：點(diǎn)C到平面的距離為，
若銳二面角為，則，故，
所以二面角的余弦值為.
【變式7-2】在三棱臺中，，，且平面平面．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正弦值．
【解析】（1）平面平面，平面平面，，
平面，故平面，平面，故，中點(diǎn)為，連接，，則，，
，則，，，
故四邊形為矩形，
，，，
故，即，
，平面，故平面，
又平面，故平面平面.
（2）設(shè)，連接，平面，面，故，
又因為，所以二面角的平面角為，
，，
平面，平面，所以，
在中，，解得，從而，故二面角的正弦值為.
題型八：補(bǔ)棱法求二面角
【典例8-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）如圖，在三棱臺中，為正三角形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平面平面．
(1)若，證明：平面平面；
(2)若，記平面與平面的交線為，求二面角的余弦值．
【解析】（1）因為平面平面，且平面平面，
因為，且點(diǎn)是，所以，又面，
所以平面，平面，
所以，，且，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
（2）由題意知，，，
因為是等邊三角形，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，則，
又因為平面平面，平面平面，面，
所以平面，且平面，
所以，可得，
取的中點(diǎn)，連結(jié)，，
因為，，則，，
且，平面，則平面，
對于梯形，故點(diǎn)作，垂足為，
因為，則，可得，
由，可知，且，，
將三棱臺補(bǔ)成三棱錐，則，
設(shè)，可知即為直線，則，即，可得，
由，則、、三點(diǎn)共線，且，
可知為線段的中垂線，則，
過點(diǎn)作，垂足為，過作，垂足為，連結(jié)，
因為平面，平面，所以，
且，平面，
可得平面，由平面
可得，且，平面，
所以平面，由平面，可得，
可知二面角的平面角為，
因為平面，由平面，所以，
在中，，，，
可得，，則，
在中，，，可得，
在中，可得，
在中，則，可得，
所以二面角的余弦值為.
【典例8-2】如圖，已知正方體的棱長為，、分別為棱、的中點(diǎn)．
(1)證明：直線平面；
(2)設(shè)平面與平面的交線為，求點(diǎn)到直線的距離及二面角的余弦值．
【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，
在正方體中，且，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
故四邊形為平行四邊形，則且，
又因為且，則且，
故四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面，
因為且，故四邊形為平行四邊形，則，
、分別為、的中點(diǎn)，則，則，
平面，平面，平面，
，、平面，所以，平面平面，
平面，平面.
（2）延長、交與點(diǎn)，連接，則直線即為直線，
因為且，為的中點(diǎn)，則，
故點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
在中，，，，
由余弦定理可得，則，
，則，
過點(diǎn)在平面內(nèi)作直線，垂足為點(diǎn)，連接，
，所以，，
平面，平面，，
，，、平面，平面，
平面，，故二面角的平面角為，
且，故點(diǎn)到直線的距離為，
，因此，二面角的平面角的余弦值為.
【變式8-1】《九章算術(shù)》是中國古代的一部數(shù)學(xué)專著，是《算經(jīng)十書》中最重要的一部，成于公元一世紀(jì)左右.它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最簡練有效的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系.《九章算術(shù)》中將由四個直角三角形組成的四面體稱為“鱉臑”，已知在三棱錐中，平面.
（1）從三棱錐中選擇合適的兩條棱填空：________________，則三棱錐為“鱉臑”；
（2）如圖，已知，垂足為，，垂足為，.
（i）證明：平面平面；
（ii）設(shè)平面與平面交線為，若，，求二面角的大小.
【解析】（1）因為“鱉臑”是由四個直角三角形組成的四面體，又平面，所以，，；即，為直角三角形；
若，由，平面，可得：平面；
所以，即，為直角三角形；滿足四個面都是直角三角形；
同理，可得或或，都能滿足四個面都是直角三角形；
故可填：或或或；
（2）（i）證明：
∵平面，平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴，
又，，平面，
∴平面，
又平面，
∴平面平面.
（ii）由題意知，在平面中，直線與直線相交.
如圖所示，設(shè)，連結(jié)，則即為.
∵平面，平面，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，平面，
∴平面，
又平面，
∴，.
∴即為二面角的一個平面角.
在中，，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴二面角的大小為.
題型九：距離問題
【典例9-1】（2024·四川資陽·二模）如圖，在四面體ABCD中，，，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn).
(1)證明：平面平面BCD；
(2)求點(diǎn)A到平面BDF的距離.
【解析】（1）
取CD的中點(diǎn)O，連接OA，OB，
因為，，所以，且，
又，，，，
所以，可得，
又，平面，所以平面BCD，
又平面ACD，所以平面平面BCD；
（2）因為，所以由（1）可得，，
，
，
又F為AC的中點(diǎn)，所以，
在△BDF中，，，，
則，
所以，
則.
設(shè)點(diǎn)A到平面BDF的距離為d，則，
解得，即點(diǎn)A到平面BDF的距離為.
【典例9-2】如圖，在四棱錐中，，．
(1)若點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：平面；
(2)若二面角的平面角為，求點(diǎn)到平面的距離．
【解析】（1）
取中點(diǎn)，連接．
因為，
所以，即，，
因為，所以四邊形是矩形，
所以，
又因為，平面，，
故平面．
（2）
因為，平面，平面，平面平面，
故即為二面角的平面角，所以．
過點(diǎn)作于點(diǎn)，
因為平面，平面，所以，
因為平面，
所以平面．
因為，，
所以三角形是等邊三角形，
從而，
故．
因為，
又，
則等腰三角形的面積為：，
記到平面的距離為，由
可求得．
【變式9-1】多面體中，，平面平面，平面底面ABC，，，，，且．
(1)求與平面所成角；
(2)求平面與平面所成二面角的大小；
(3)求側(cè)棱到側(cè)面的距離．
【解析】（1）（1）取的中點(diǎn)D，連接，
∵.，∴，
∵平面底面，平面底面，平面，∴底面，
∴為與底面所成的角，
∵且，∴.
即與平面ABC所成角為.
（2）取中點(diǎn)，則，
∵，∴，∴，
連接，∵底面，∴在平面上的射影為，
∴，∴為側(cè)面與底面所成二面角的平面角.
在等腰中，，∴，
在中，，∴，
在中，，
∴，即側(cè)面與底面所成二面角的大小為.
（3）過作于，∵底面，底面，∴，
∵平面底面，平面底面，
∴平面，
在中，，，∴，
∴，即側(cè)棱到側(cè)面的距離為.
【變式9-2】如圖①，已知是邊長為2的等邊三角形，D是的中點(diǎn)，，如圖②，將沿邊DH翻折至.
(1)在線段BC上是否存在點(diǎn)F，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由；
(2)若平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為，求點(diǎn)B到直線CH的距離.
【解析】（1）在圖①中，取的中點(diǎn)M，連接AM，如圖所示，
因為是等邊三角形，的中點(diǎn)為M，
所以,
因為，
所以，
在圖②中，，平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，且，
在線段BC上取點(diǎn)F使，連接MF，F(xiàn)A，如圖所示，
因為，
所以，
又因為平面BDH，平面BDH，
所以平面BDH，
又因為平面AMF，
所以平面平面，
又因為平面，
所以平面BDH，
所以存在點(diǎn)F滿足題意，且；
（2）如圖所示，連接，取的中點(diǎn)，連接，
由折疊性質(zhì)可得平面，平面，
因為平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為為的中點(diǎn)，
所以，
所以即為平面BHC與平面BDA所成的二面角的平面角，
由（1）可得，，
因為平面BHC與平面BDA所成的二面角的正切值為，
所以，所以，
所以，所以，
設(shè)點(diǎn)B到直線CH的距離為，
則，
即，解得，
即點(diǎn)B到直線CH的距離為.
1．平面過正方體的頂點(diǎn)平面平面，平面，則所成角的正弦值為 .
【答案】
【解析】由題意可知，延長與平面交于點(diǎn)，延長與平面交于點(diǎn)，連接，即平面所在平面為平面，如圖所示
因為平面平面，平面平面，又，
所以.
同理可證,
所以所成角的大小與所成角的大小相等，
在正方體中，，
所以是等邊三角形，
所以所成角就是,
所以所成角的正弦值為.
故答案為：.
2．在三棱錐中，平面，，且最長的棱長為，為棱的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐的體積最大時，直線與所成角的余弦值為 .
【答案】
【解析】因為，所以，所以，
又因為平面，所以，所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，當(dāng)時取最大值，
取的中點(diǎn)，連接，所以，
所以（或其補(bǔ)角）為直線與所成的角，
因為，，，
所以，
直線與所成角的余弦值為.
3．菱形ABCD的對角線，沿BD把平面ABD折起與平面BCD成的二面角后，點(diǎn)A到平面BCD的距離為 ．
【答案】/0.75
【解析】為了區(qū)別，設(shè)折起后的點(diǎn)A為，
設(shè)，連接，可知為的中點(diǎn)，，
則，可知，即，
過點(diǎn)作，垂足為，
則，，平面，
可知平面，由平面，可知，
且，，平面，
可得平面，
所以點(diǎn)到平面BCD的距離為即為.
故答案為：.
4．在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，如圖所示．
(1)求證：平面；
(2)若二面角的大小為，求直線和平面所成角的正弦值．
【解析】（1）
證明：連接，設(shè)，連接，
在中，，，∴，
又平面，平面，
∴平面．
（2）由正三棱柱，可得平面，
∵平面，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，
又，，平面，
故平面，
而，平面，故，，
∴二面角的平面角是，
在平面內(nèi)作，連接，
∵平面，∴平面平面，
又平面平面，平面，
故平面，
∴直線和平面所成的角為，
又平面，∴，
∴，
∴直線和平面所成角的正弦值為．
5．如圖，在三棱臺中，與都垂直，已知．
(1)求證：平面平面．
(2)直線與底面所成的角為多少時，二面角的余弦值為？
【解析】（1）與都垂直，由棱臺的性質(zhì)得，
．又平面，
平面．又平面ABC，
∴平面平面，即平面平面．
（2）由（1）知，平面平面ABC．如圖，
過作于D，平面平面平面，
則平面，
是與平面ABC所成的角，即．
作于E，連接平面ABC，平面ABC，．
又，平面，
平面平面，
則為二面角的平面角．
在中，，得．
平面，平面，所以，則，
在中，．
由∽-，得，則．
，則，
，即，
于是，則，
.
6．如圖，是半球O的直徑，P是半球底面圓周上一點(diǎn)，Q是半球面上一點(diǎn)，且．
(1)求證：；
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值．
【解析】（1）因為為半球的直徑，為半球底面圓周上一點(diǎn),
所以,
因為、平面,
所以平面，又因為平面,
所以,
又因為為半球面上一點(diǎn),
所以,
又因為平面
所以平面,又平面,
所以;
（2）因為三角形為直角三角形,
所以,
又因為平面,
所以，
又因為三角形也是直角三角形，
所以,
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,
則有，即,
所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，則.
7．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是梯形，，是棱上的一點(diǎn).
(1)若，求證：平面；
(2)若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示.
因為，易得，所以，
又，，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，
則，且，所以四邊形是平行四邊形，
為中點(diǎn)，.因為平面，
所以直線是直線在平面內(nèi)的射影，
所以是直線與平面所成的角，
即為直線與平面所成角的平面角.
如圖所示，過點(diǎn)作，垂足為，連接，
因為，所以,易得，
因為平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以，所以，
在直角中，由平面平面，則，解得，
所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.
8．如圖，在長方形中，，，，將沿折起至，使平面平面.
(1)證明：平面；
(2)若二面角的平面角的余弦值為，求的長；
(3)設(shè)直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，證明：.
（注：本題用空間向量法求解或證明不給分，若需要作輔助線，請在答題卡上作出相應(yīng)的輔助線.）
【解析】（1）因為四邊形為長方形，所以,
又平面平面，平面平面,所以平面，
（2）如圖所示，在（ii）圖中過點(diǎn)S作,垂足為O,
交于點(diǎn)E,連接．由翻折知,
所以二面角的平面角為,
在（ii）圖中設(shè),可得，
因為，所以,所以,所以，
解得,即或（舍去），所以．
（i）（ii）
（3）如圖所示，由（2）知,所以平面
平面,所以．由（1）問，
知平面且,所以平面,
又平面,所以,又,
且平面,所以平面,
又平面,所以．
在（ii）圖中過點(diǎn)E作交于點(diǎn)H，
過點(diǎn)E作,連接．由（2）知平面,
又平面,所以平面平面,
因為平面平面,所以平面,
所以在平面的射影為,
所以為直線與平面所成角．
注意到,即，解得．又，,所以，
即，所以，
由（2）知,所以
（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）．
（i）（ii）
9．“陽馬”是我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中《商功》章節(jié)研究的一種幾何體，它是底面為矩形，一條側(cè)棱垂于底面的四棱錐．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，，平面平面，平面平面.
(1)求證：四棱錐是“陽馬”；
(2)點(diǎn)M在正方形內(nèi)（包括邊界）．平面平面且，
（i）求M點(diǎn)軌跡長度；
（ii）是否存在M點(diǎn)，使得平面平面，若存在，求二面角的余弦值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）因為四邊形ABCD是邊長為2的正方形，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以；
因為平面平面，平面平面，面，
所以平面，又平面，所以.
因為平面，所以平面，
所以四棱錐是“陽馬”.
（2）（i）如圖，以為直徑在平面上作一個半圓，
在該半圓周上任取點(diǎn)，連接、、，則，
又由（1）知平面，而平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故點(diǎn)的運(yùn)動軌跡在該半圓周上，
因為，所以，
所以根據(jù)扇形的弧長公式得點(diǎn)的運(yùn)動軌跡長度為.
（ii）存在M點(diǎn)，使得平面平面，且該點(diǎn)為與交點(diǎn)，
如圖，連接、，則由（i）可知此時與交點(diǎn)在（i）中所作的半圓圓周上，且滿足，
由正方體性質(zhì)可知，，又平面，而平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
所以存在M點(diǎn)為與交點(diǎn)，使得平面平面，
過點(diǎn)A作交于點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，連接，
又由平面可得，
所以由且、平面得平面，
所以且由平面得，
因為，、平面，所以平面，
所以是二面角的平面角，
因為正方體邊長為2，，
所以，
，
所以，，
所以，
所以，
所以二面角的余弦值為.
10．如圖（1）梯形中，，，，，且，將梯形沿BE折疊得到圖②，使平面平面，與和交于O，點(diǎn)P在上，且，R是的中點(diǎn)，過O、P、R三點(diǎn)的平面交于Q．在圖（2）中：
(1)證明：Q是的中點(diǎn)；
(2)M是上一點(diǎn)，已知二面角的正切值為，求的值．
【解析】（1）如圖（1）：因為，，，，且，
所以，，.
圖（2）中：
在中，，，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，所以，
在中，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn).
（2）如圖：
因為平面平面，平面平面，平面，，
所以平面.
作于，則平面，作于，連，
則為二面角的平面角.
設(shè)，
因為.
因為為等腰直角三角形，所以.
又.
在直角中，.
即.
11．空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個頂點(diǎn)均有3個面角，每個面角均為，故其各個頂點(diǎn)的曲率均為.如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)的曲率為，，分別為，的中點(diǎn)，且.
(1)證明：平面；
(2)若，求二面角的余弦值；
(3)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關(guān)于簡單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡單多面體的頂點(diǎn)數(shù)為，棱數(shù)為，面數(shù)為，則有：.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率（多面體有頂點(diǎn)的曲率之和）是常數(shù).
【解析】（1）證明：因為在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
所以點(diǎn)的曲率為，得，
因為，所以為等邊三角形，
因為為的中點(diǎn)，所以，
因為平面，平面，
所以，
因為，平面，所以平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，
因為為等邊三角形，所以，
因為三棱柱為直三棱柱，所以平面平面，
因為平面平面，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
設(shè)，則，
所以，所以，
因為，平面，
所以平面，
因為平面，所以，
所以為二面角的平面角，
因為，
所以在中，，
所以二面角的余弦值為；
（3）證明：設(shè)多面體有個面，給組成多面體的多邊形編號，分別為號，
設(shè)第號（）多邊形有條邊，
則多面體共有條棱，
由題意，多面體共有個頂點(diǎn)，
號多邊形的內(nèi)角之和為，
所以所有多邊形的內(nèi)角之和為，
所以多面體的總曲率為
所以簡單多面體的總曲率為.
12．如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，．
(1)求證：平面；
(2)求證：平面平面；
(3)求直線到平面的距離．
【解析】（1）連接，交點(diǎn)O，連接，則O是的中點(diǎn)，
因為D是的中點(diǎn)，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因為為等邊三角形，且D是的中點(diǎn)，
所以，由正三棱柱的性質(zhì)知，平面，
因為平面，所以，
又平面，
所以平面，因為平面，
所以平面平面.
（3）由（1）知平面，
以直線到平面的距離等價于點(diǎn)B到平面的距離，
由（2）知平面，所以點(diǎn)A到平面的距離為，
而2，
4，
設(shè)點(diǎn)B到平面ADC1的距離為d，
因為，
所以，即，解得d，
所以直線A1B到平面ADC1的距離為．
13．如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點(diǎn)，且，D、F、G分別是、、的中點(diǎn)，與相交于．
(1)求證：平面；
(2)求平面與平面的距離．
【解析】（1）證明：由直三棱柱的性質(zhì)得平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，
又平面，
，
，
在和中，，
，即，
又，平面
平面．
（2）由題意知，
在中，，
又，，
平面，平面，
平面，
、分別為、的中點(diǎn)，
，又，
，
平面，平面，
平面，
平面，平面，，
平面平面．
平面，平面平面，
平面，
為平行平面與之間的距離，
，
即平面與之間的距離為．
14．如圖，已知三棱臺，底面是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，體積為，平面平面，且.
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)到面的距離；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得二面角的大小為，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）在三棱臺中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面.
（2）由棱臺性質(zhì)知：延長交于一點(diǎn)，
由，得，點(diǎn)到平面的距離為到平面距離的2倍，則，
于是，由平面，得為點(diǎn)到平面的距離，
又，則是的中點(diǎn)，，即為正三角形，為正三角形，
設(shè)，則，
，解得，
，由平面，得，，
，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由，得，解得：.
即點(diǎn)到平面的距離為.
（3）由平面，平面，得平面平面，取中點(diǎn)，連接，
在正中，，而平面平面，則平面，而平面，
則，又平面，則平面平面，作于，
平面平面，則平面，，而平面，則，
作于，連接，，平面，則平面，
而平面，于是，即二面角的平面角，
設(shè)，由（2）知：，，
由，得，，
由，得，
若存在使得二面角的大小為，
則，解得，
，
所以存在滿足題意的點(diǎn)，.
15．如圖，在中，，點(diǎn)滿足，沿將折起形成三棱錐.
(1)若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值；
(2)若二面角為直二面角，當(dāng)取到最小值時，求的值及點(diǎn)到平面的距離.
【解析】（1）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如下圖所示：
翻折后仍有，
又因為，且平面，平面，
所以平面，
所以為二面角所成的平面角.
由在面上的射影恰好在上得平面，
所以，
由可知，因為，
所以；
又易知，
所以，可得，所以；
所以，
即二面角平面角的余弦值為
（2）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，如下圖所示：
設(shè)，
由二面角為直二面角可知平面平面，
平面平面，，
又平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
則有，
可得，
又，
所以，；
當(dāng)時，取到最小值；
.
所以，可得，所以
（注：，，由角平分線定理得也可）
則有,
，解得.
即點(diǎn)到平面的距離為.
16．類比思想在數(shù)學(xué)中極為重要，例如類比于二維平面內(nèi)的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線，，構(gòu)成的三面角，記，，，二面角的大小為，則．如圖2，四棱柱中，為菱形，，，，且點(diǎn)在底面內(nèi)的射影為的中點(diǎn)．
(1)求的值；
(2)直線與平面內(nèi)任意一條直線夾角為，證明：；
(3)過點(diǎn)作平面，使平面平面，且與直線相交于點(diǎn)，若，求值．
【解析】（1）連接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小為，因為為菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依題意可得，設(shè)平面內(nèi)任一條直線為，
若過點(diǎn)時，記與的夾角為（），
則，因為，
所以，
又，所以；
若不過點(diǎn)時，過點(diǎn)作使得，記與的夾角為（），
則，因為，
所以，
又，所以；
綜上可得.
（3）連接，，
因為，平面，平面，所以平面，
同理可證平面，
又，平面，
所以平面平面，
因為平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，顯然在的延長線上，
因為，所以，
所以，即.
17．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱AD，PC的中點(diǎn)．
(1)若，，求異面直線EF與AB的夾角的大小；
(2)若直線PC與平面ABCD所成角的大小為．
①求二面角的余弦值；
②求點(diǎn)F到平面PAB的距離．
【解析】（1）連接BD，AC，記，再連接EO，F(xiàn)O，
如圖所示，因為四邊形ABCD是菱形，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)，
又E是AD的中點(diǎn)，
所以，所以異面直線EF與AB的夾角，
因為O是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，所以，
且易知，
，
所以，
因為，所以，
即異面直線EF與AB的夾角為．
（2）連接PO，在中，，O是BD的中點(diǎn)，
所以，又四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，
所以，，，
又，AC，，所以．
在中，過點(diǎn)P作AC的垂線，垂足為G，又，
所以，又，，AC，，
所以，
所以是直線PC與平面ABCD所成的角，所以，
又，，
所以，，，又，
所以．
取PA的中點(diǎn)M，連接MB，MD，
如圖所示，在中，，，，點(diǎn)M是PA的中點(diǎn)，
所以，．
同理可得，，
所以二面角的平面角為．
在中，，，，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值為．
②在中，，，，
所以．
由①知的面積．
因為點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)，
所以．
設(shè)點(diǎn)F到平面PAB的距離為d，
所以，
解得，
即點(diǎn)F到平面PAB的距離為．
18．如圖，在六面體中，為等邊三角形，平面平面，，，，，
(1)求證：平面；
(2)求直線與平面所成角的正弦值；
(3)線段上是否存在一點(diǎn)，使得二面角的平面角的余弦值為.若存在，求出值；若不存在，請說明理由.
【解析】（1）取棱的中點(diǎn)，連接，
因為為等邊三角形，所以，
又因為平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
又平面，故，
又已知，，又平面，
所以平面.
（2）連接，
所以或（舍去），
即線段上存在一點(diǎn)，使得二面角平面角的余弦值為，
此時.
19．在三棱錐中，，點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影為H，連接AH．
(1)如圖1，證明：；
(2)如圖2，記，直線AP與平面ABC的夾角為，，求證：，并比較和的大小；
(3)如圖3，已知，M為平面PBC內(nèi)一點(diǎn)，且，求異面直線AM與直線BC夾角的最小值．
【解析】（1）取BC的中點(diǎn)為D，連接，
由，D為BC的中點(diǎn)，得，由，D為BC的中點(diǎn)，得，
而平面，則平面，又平面，
所以.
（2）由（1）知，，而平面，平面，則，
又平面，于是平面，而平面，
因此，又，為銳角，
過點(diǎn)H向AB作垂線，垂足為點(diǎn)N，連接PN，則，
由點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的投影為H，得，
由平面ABC，平面ABC，得，
而，平面PHN，則平面PHN，
由平面PHN，則，于是，顯然，
因此，當(dāng)時，重合，，等式成立，所以，
由，得，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以.
（3）設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為d，直線AM與直線BC的夾角，直線AM與平面PBC的夾角，
由（1）知，，，
，，且，
由，得，而，則直線與平面PBC所成角，
，即，
由（2）知，直線AM與直線BC的夾角，
所以異面直線AM與直線BC夾角的最小值為.
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