資源簡介

重難點突破01 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 7
題型一：外接球之正方體、長方體模型 7
題型二：外接球之正四面體模型 7
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型 8
題型四：外接球之直棱柱模型 8
題型五：外接球之直棱錐模型 9
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型 9
題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型 10
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型 10
題型九：外接球之垂面模型 11
題型十：外接球之二面角模型 12
題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型 13
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型 14
題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型 15
題型十四：外接球之空間多面體 15
題型十五：與球有關(guān)的最值問題 16
題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型 17
題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型 18
題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型 18
題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺模型 19
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型 20
題型二十一：棱切球之正四面體模型 20
題型二十二：棱切球之正棱錐模型 20
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型 21
題型二十四：多球相切問題 21
03 過關(guān)測試 22
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
知識點十二：坐標(biāo)法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內(nèi)接圓錐
如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當(dāng)時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2、球內(nèi)接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3、球內(nèi)接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
知識點十四：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形
題型一：外接球之正方體、長方體模型
【典例1-1】正方體的表面積為96，則正方體外接球的表面積為
【典例1-2】已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為，則球的表面積為 ．
【變式1-1】長方體的外接球的表面積為，，，則長方體的體積為 .
題型二：外接球之正四面體模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長為a的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長a為（ ）
A． B． C．3 D．
【典例2-2】已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的棱長為（ ）
A．1 B． C． D．2
【變式2-1】（2024·陜西咸陽·一模）已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】如圖所示，正四面體中,是棱的中點,是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
【典例3-1】（2024·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·四川涼山·二模）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
題型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，則該三棱柱的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知正四棱柱(底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型五：外接球之直棱錐模型
【典例5-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .
【典例5-2】《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，已知“鱉臑”中，平面，，，，則“鱉臑”外接球體積的最小值為 ．
【變式5-1】（2024·高三·貴州·開學(xué)考試）在三棱錐中，，，D為AC的中點，平面ABC，且，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【變式5-2】（2024·河南開封·三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
【典例6-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為，，且側(cè)棱與底面所成角的正切值為3，則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三棱錐中，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-1】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·黑龍江·二模）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型
【典例7-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
【變式7-1】在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【變式7-2】已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為 .
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
【典例8-1】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知某圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】若一個圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，球是該圓柱的外接球，則球的表面積為 ．
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知某圓臺的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，若該圓臺的外接球球心為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（ ）

A． B． C． D．
題型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為4的正三角形，D是BC的中點，沿AD將折疊，形成三棱錐．當(dāng)二面角為直二面角時，三棱錐外接球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【典例9-2】如圖，在三棱錐中，，，平面平面，是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【變式9-1】（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-2】（2024·四川·三模）如圖，在梯形中，，將沿對角線折起，使得點翻折到點，若面面，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式9-3】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱錐中，二面角的大小為，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
【典例10-2】如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【變式10-1】（2024·陜西咸陽·二模）已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【變式10-2】（2024·高三·河南·期末）在邊長為1的菱形中，將沿折起，使二面角的平面角等于，連接，得到三棱錐，則此三棱錐外接球的表面積為 .

題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型
【典例11-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖①，將兩個直角三角形拼在一起得到四邊形，且，，現(xiàn)將沿折起，使得點到達點處，且二面角的大小為，連接，如圖②，若三棱錐的所有頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【典例11-2】（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）已知三棱錐的外接球為球，為球的直徑，且，，，則三棱錐的體積為 .
【變式11-1】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式11-2】（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
【典例12-1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例12-2】已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式12-1】在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型
【典例13-1】空間直角坐標(biāo)系中，則四面體ABCD外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【典例13-2】（2024·河南開封·開封高中校考一模）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為 .
【變式13-1】如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
題型十四：外接球之空間多面體
【典例14-1】阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例14-2】（2024·廣西賀州·一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式14-1】截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
題型十五：與球有關(guān)的最值問題
【典例15-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）在四棱錐中，若，其中是邊長為2的正三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【典例15-2】在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式15-1】（2024·高三·山東青島·期中）如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐外接球表面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式15-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型
【典例16-1】棱長為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例16-2】在正三棱柱中，D是側(cè)棱上一點，E是側(cè)棱上一點，若線段的最小值是﹐且其內(nèi)部存在一個內(nèi)切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-1】若一個正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【變式16-2】（2024·高三·遼寧錦州·開學(xué)考試）已知一個正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，且外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型
【典例17-1】已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例17-2】已知正四面體的棱長為，則其內(nèi)切球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【變式17-1】邊長為的正四面體內(nèi)切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型
【典例18-1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例18-2】若正四棱錐體積為，內(nèi)接于球O，且底面過球心O，則該四棱錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A． B．4 C． D．
【變式18-1】在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【變式18-2】已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（ ）

A． B．
C． D．
題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例19-2】（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（ ）
A． B．
C． D．
【變式19-1】（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則 ．
【典例20-2】已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【變式20-1】已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為 .
【變式20-2】已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型二十一：棱切球之正四面體模型
【典例21-1】已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【典例21-2】所有棱長均相等的三棱錐構(gòu)成一個正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【變式21-1】球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
【典例22-1】（2024·四川樂山·一模）若一個正三棱錐底面邊長為1，高為，求與該三棱錐6條棱都相切的球的表面積為 .
【典例22-2】在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為 ．
【變式22-1】正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型
【典例23-1】已知四面體中，，，，，球心在該四面體內(nèi)部的球與這個四面體的各棱均相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例23-2】（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
題型二十四：多球相切問題
【典例24-1】如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若，則該模型中一個小球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【典例24-2】已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【變式24-1】棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（ ）
A． B． C． D．
【變式24-2】（2024·高三·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知體積為3的正三棱錐P-ABC，底面邊長為，其內(nèi)切球為球O，若在此三棱錐中再放入球，使其與三個側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·重慶·三模）已知直三棱柱的外接球表面積為，則該三棱柱的體積為（ ）
A．2 B． C．4 D．
2．（2024·安徽·三模）已知圓臺的上、下底面積分別為，，體積為，線段，分別為圓臺上、下底面的兩條直徑，且A，B，C，D四點不共面，則四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
3．在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川涼山·二模）已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
6．已知四面體的體積為3，從頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，若，則該四面體外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱錐中，，若是等邊三角形，則三棱錐的外接球的體積是（ ）
若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的側(cè)面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
18．棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的最大半徑為（ ）
A． B． C． D．
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
20．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
21．已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（ ）
A． B． C． D．
22．（多選題）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為6，則（ ）
A．設(shè)圓錐的軸截面三角形為，則其為等邊三角形
B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
C．設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則
D．設(shè)是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為
23．（多選題）（2024·廣東茂名·一模）如圖，已知圓錐頂點為，其軸截面是邊長為2的為等邊三角形，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），是球與圓錐母線的交點，是底面圓弧上的動點，則（ ）
A．球的體積為
B．三棱錐體積的最大值為
C．的最大值為3
D．若為中點，則平面截球的截面面積為
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)重難點突破01 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球
目錄
01 方法技巧與總結(jié) 2
02 題型歸納與總結(jié) 7
題型一：外接球之正方體、長方體模型 7
題型二：外接球之正四面體模型 8
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型 11
題型四：外接球之直棱柱模型 13
題型五：外接球之直棱錐模型 15
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型 18
題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型 22
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型 25
題型九：外接球之垂面模型 27
題型十：外接球之二面角模型 32
題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型 36
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型 39
題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型 42
題型十四：外接球之空間多面體 45
題型十五：與球有關(guān)的最值問題 47
題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型 51
題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型 53
題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型 55
題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺模型 58
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型 60
題型二十一：棱切球之正四面體模型 63
題型二十二：棱切球之正棱錐模型 65
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型 68
題型二十四：多球相切問題 69
03 過關(guān)測試 73
知識點一：正方體、長方體外接球
1、正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
2、長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半．
3、補成長方體
（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖1所示．
（2）若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構(gòu)造長方體，如圖2所示．
（3）正四面體可以補形為正方體且正方體的棱長，如圖3所示．
（4）若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內(nèi)，如圖4所示
圖1 圖2 圖3 圖4
知識點二：正四面體外接球
如圖，設(shè)正四面體的的棱長為，將其放入正方體中，則正方體的棱長為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．
知識點三：對棱相等的三棱錐外接球
四面體中，，，，這種四面體叫做對棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長方體來解決這類問題．
如圖，設(shè)長方體的長、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．
知識點四：直棱柱外接球
如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
圖1 圖2 圖3
第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；
第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
知識點五：直棱錐外接球
如圖，平面，求外接球半徑．
解題步驟：
第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑，連接，則必過球心；
第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①；
②．
知識點六：正棱錐與側(cè)棱相等模型
1、正棱錐外接球半徑： ．
2、側(cè)棱相等模型：
如圖，的射影是的外心
三棱錐的三條側(cè)棱相等
三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點點也是圓錐的頂點．
解題步驟：
第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點共線；
第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；
第三步：勾股定理：，解出．
知識點七：側(cè)棱為外接球直徑模型
方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．
知識點八：共斜邊拼接模型
如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點為公共斜邊的中點，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點到，，，四點的距離相等，故點就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．
知識點九：垂面模型
如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
圖1 圖2
知識點十：最值模型
這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等
知識點十一：二面角模型
如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：
（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．
（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點為球心，記為．
（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．
（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個頂點共圓且為該圓的直徑．
知識點十二：坐標(biāo)法
對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長．坐標(biāo)的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來，轉(zhuǎn)化為向量的計算，大大降低了解題的難度．
知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型
1、球內(nèi)接圓錐
如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計算．如圖，當(dāng)時，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．
由圖、圖可知，或，故，所以．
2、球內(nèi)接圓柱
如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．
3、球內(nèi)接圓臺
，其中分別為圓臺的上底面、下底面、高．
知識點十四：錐體內(nèi)切球
方法：等體積法，即
知識點十五：棱切球
方法：找切點，找球心，構(gòu)造直角三角形
題型一：外接球之正方體、長方體模型
【典例1-1】正方體的表面積為96，則正方體外接球的表面積為
【答案】
【解析】設(shè)正方體的棱長為，因為正方體的表面積為，可得，解得，
則正方體的對角線長為，
設(shè)正方體的外接球的半徑為，可得，解得，
所以外接球的表面積為.
故答案為：.
【典例1-2】已知正方體的頂點都在球面上，若正方體棱長為，則球的表面積為 ．
【答案】
【解析】該球為正方體外接球，其半徑與正方體棱長之間的關(guān)系為，
由，可得，所以球的表面積.
答案：
【變式1-1】長方體的外接球的表面積為，，，則長方體的體積為 .
【答案】
【解析】因為長方體的外接球的表面積為，
設(shè)球的半徑為，由題意，，，
長方體的外接球的一條直徑為.
因為，，所以，，
則長方體的體積為.
故答案為：
題型二：外接球之正四面體模型
【典例2-1】（2024·天津和平·二模）已知圓錐底面圓的直徑為3，圓錐的高為，該圓錐的內(nèi)切球也是棱長為a的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長a為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】A
【解析】由題意可知，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為，球的半徑為，圓錐的底面半徑為R，軸截面上球與圓錐母線的切點為Q，圓錐的軸截面如圖所示，
由已知可得， 所以△SAB為等邊三角形，故點P是△SA B的中心，
連接BP，則BP平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故，
解得，故正四面體的外接球的半徑.
又正四面體可以從正方體中截得，如圖所示，
從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長為時，截得它的正方體的棱長為，而正四面體的四個頂點都在正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，
所以，解得,
故選：A
【典例2-2】已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的棱長為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】正四面體的外接球表面積為，
，解得（負值舍去），
設(shè)四面體的棱長為，取的中點，連接，
設(shè)頂點在底面的射影為，則是底面的重心，連接，則外接球的球心在上，設(shè)為，連接，
則，，
則，
所以，
在直角中，，即，
即，得，得（舍或.
故選：D
【變式2-1】（2024·陜西咸陽·一模）已知正四面體的外接球表面積為，則正四面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)外接球半徑為，則，解得,
將正四面體恢復(fù)成正方體，知正四面體的棱為正方體的面對角線，
則正四面體的外接球即為正方體的外接球，
則正方體的體對角線等于外接球的直徑，
故，解得，正方體棱長為 ，
故該正四面體的體積為，
故選：A．
【變式2-2】如圖所示，正四面體中,是棱的中點,是棱上一動點，的最小值為，則該正四面體的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形,如圖所示,菱形,
在菱形中,連接,交于點,則的長即為的最小值,即,
因為正四面體,所以,所以,
因為是棱的中點,所以，
所以,
設(shè),則,
所以,則,所以,
則正四面體的棱長為,
所以正四面體的外接球半徑為,
所以該正四面體外接球的表面積為,
故選：A
題型三：外接球之對棱相等的三棱錐模型
【典例3-1】（2024·河南·開封高中校考模擬預(yù)測）已知四面體ABCD中，，，，則四面體ABCD外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)四面體的外接球的半徑為,
則四面體在一個長寬高為的長方體中，如圖，
則故，
故四面體ABCD外接球的體積為，
故選：C
【典例3-2】在三棱錐中，，，，則該三棱錐的外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因為，
所以可以將三棱錐如圖放置于一個長方體中，如圖所示：
設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，
則有，整理得，
則該棱錐外接球的半徑即為該長方體外接球的半徑，
所以有，
所以所求的球體表面積為：．
故選：A．
【變式3-1】（2024·四川涼山·二模）在四面體中，，則四面體外接球表面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，此四面體可以看成一個長方體的一部分，長方體的長、寬、高分別為，，，四面體如圖所示，
所以此四面體的外接球的直徑為長方體的體對角線，即,解得.
所以四面體外接球表面積是.
故答案為：B.
題型四：外接球之直棱柱模型
【典例4-1】已知直三棱柱的6個頂點都在球的球面上，若，則該三棱柱的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)的外心為，的外心為，連接，如圖所示，
由題意可得該三棱柱的外接球的球心為的中點．
在中，由余弦定理可得
，則，
由正弦定理可得外接圓的直徑，則，
而球心O到截面ABC的距離，
設(shè)直三棱柱的外接球半徑為，
由球的截面性質(zhì)可得，故，
所以該三棱柱的外接球的體積為，
故選：B．
【典例4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知直三棱柱的6個頂點都在球的表面上，若，，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示，在中，，且，
由余弦定理得，
設(shè)底面的外接圓的半徑為，由正弦定理得，即
再設(shè)直三棱柱外接球的球心為，外接球的半徑為，
在直角中，可得，
所以球的表面積為.
故選：B.
【變式4-1】已知正六棱柱的每個頂點都在球O的球面上，且，，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以正六邊形ABCDEF外接圓的半徑，
所以球O的半徑，故球O的表面積為．
故選：D
【變式4-2】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知正四棱柱(底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱)的底面邊長為3，側(cè)棱長為4，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正四棱柱即長方體，其體對角線長為，
因此其外接球的半徑為，則其表面積為，
故選:B.
題型五：外接球之直棱錐模型
【典例5-1】（2024·高三·遼寧大連·期中）在三棱錐中，平面，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為 .
【答案】
【解析】設(shè)，在等腰中，，
設(shè)的外心是，外接圓半徑是，
則，∴，
設(shè)外接球球心是，則平面，平面，則，
同理，，
又平面，所以，是直角梯形，
設(shè)，外接球半徑為，即，
則，所以，
在直角中，，，
，，∴，
，
令，則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
所以的最小值是．
故答案為：.
【典例5-2】《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，已知“鱉臑”中，平面，，，，則“鱉臑”外接球體積的最小值為 ．
【答案】
【解析】根據(jù)題意三棱錐可以補成分別以，，為長、寬、高的長方體，如圖所示，
其中為長方體的對角線，則三棱錐的外接球球心即為的中點，
要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．
設(shè)，則，，，
所以當(dāng)時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．
故答案為：.
【變式5-1】（2024·高三·貴州·開學(xué)考試）在三棱錐中，，，D為AC的中點，平面ABC，且，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】在中，，，
由余弦定理得，
所以，設(shè)的外接圓的半徑為，
則由正弦定理得，解得
結(jié)合圖形分析：
因為D為AC的中點，平面ABC，且，
在中，，，
又，則圓心到點的距離為，
另設(shè)三棱錐的外接球球心到平面的距離為，設(shè)外接球的半徑為，
則中，，即，
直角梯形中，，即，
解得，，所以.
故答案為：.
【變式5-2】（2024·河南開封·三模）在三棱錐中，，平面ABC，，，則三棱錐外接球體積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根據(jù)題意三棱錐可以補成分別以為長、寬、高的長方體，其中為長方體的對角線，
則三棱錐的外接球球心即為的中點，要使三棱錐的外接球的體積最小，則最小．
設(shè)，則，，，
所以當(dāng)時，，則有三棱錐的外接球的球半徑最小為，
所以．
故選：A
題型六：外接球之正棱錐、正棱臺模型
【典例6-1】（2024·安徽蕪湖·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為，，且側(cè)棱與底面所成角的正切值為3，則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分別取、的中心，連結(jié)，過作，
因為，由正弦定理得，得，同理可得，所以，
因為正三棱臺，所以平面，∥，
所以平面，所以為側(cè)棱與底面所成的角，
所以，所以，
設(shè)正三棱臺的外接球球心O，因為為上底面截面圓的圓心，為下底面截面圓的圓心，
所以由正三棱臺的性質(zhì)可知，其外接球的球心在直線EF上，
設(shè)外接球O的半徑為R，所以，，，
即，，
當(dāng)在EF的延長線上時，可得，無解；
當(dāng)在線段EF上時，軸截面中由幾何知識可得，解得，
所以正三棱臺的外接球表面積為.
故選：D
【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正三棱錐中，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：如圖，取正三角形的中心為，連接，
則三棱錐的外接球球心在上，連接.
在正三角形中，，所以.
在中，，所以.
設(shè)外接球的半徑為，
由，，解得，
所以三棱錐的外接球表面積.
故選:C.
方法二：在正三棱錐中，過點作底面于點，
則為底面正三角形的中心，
因為正三角形的邊長為2，所以.
因為，所以.
如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，
則，.
設(shè)三棱錐的外接球球心為，半徑為.
由，得，解得，
所以，
則三棱錐的外接球表面積.
故選：C.
【變式6-1】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為，體積為，則該正三棱臺的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令給定的正三棱臺為正三棱臺，，
令正的中心分別為，而，
則，解得，
的外接圓半徑，的外接圓半徑，
顯然正三棱臺的外接球球心在直線，設(shè)外接球半徑為，則，
因此，解得，
所以該正三棱臺的外接球表面積為.
故選：C
【變式6-2】（2024·黑龍江·二模）已知正四棱錐的側(cè)棱長為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)正方形中心為，取中點，連接、、，
則，，平面，
所以為二面角的平面角，即，
設(shè)正方形的邊長為，則，
又，，所以，
即，解得（負值已舍去），
則，，設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，
則，解得，
所以外接球的表面積.
故選：A
題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型
【典例7-1】（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，
分別取，的中點，，連接，，，
又，
所以，，，
由圖形的對稱性可知：球心必在的延長線上，
設(shè)球心為，連接，，
設(shè)半徑為，，，
可知，為直角三角形，
所以，所以，
解得，，
所以球的表面積為.
故選：.
【典例7-2】（2024·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測）三棱錐中，，，，則該三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【解析】因為，，所以由余弦定理可得，解得，所以，
所以是以為斜邊的直角三角形，
因為，
所以點P在平面內(nèi)的射影是的外心，
即斜邊的中點，且平面平面，
于是的外心即為三棱錐的外接球的球心，
因此的外接圓半徑等于三棱錐的外接球半徑．
因為，，
所以，
于是，
根據(jù)正弦定理知的外接圓半徑R滿足，
所以三棱錐的外接球半徑為，
因此三棱錐的外接球的表面積為．
故答案為：
【變式7-1】在三棱錐中，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為 ．
【答案】/
【解析】取的中點，連接，因為，
所以和都是等邊三角形，所以，
所以是二面角的平面角，即，
設(shè)球心為，和的中心分別為，則平面，平面，
因為，公共邊，所以≌，
所以，
因為，所以，
所以，
所以三棱錐的外接球的表面積為
故答案為：
【變式7-2】已知三棱錐的各側(cè)棱長均為，且，則三棱錐的外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】如圖：
過P點作平面ABC的垂線，垂足為M，則都是直角三角形，
又，同理可得，，
所以M點是的外心；
又，是以斜邊的直角三角形，
在底面的射影為斜邊的中點，如下圖：
則，設(shè)三棱錐外接球的球心為，半徑為，
則在上，則，即，得，外接球的表面積為；
故答案為：
題型八：外接球之圓錐、圓柱、圓臺模型
【典例8-1】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）已知某圓錐底面半徑為1，高為2，則該圓錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓錐外接球的半徑為，
則有，解得，
則該圓錐的外接球表面積．
故選：C．
【典例8-2】若一個圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，球是該圓柱的外接球，則球的表面積為 ．
【答案】
【解析】設(shè)圓柱的高為，其外接球的半徑為，
因為圓柱的底面半徑為1，側(cè)面積為，所以，解得；
由圓柱和球的對稱性可知，球心位于圓柱上下底面中心連線的中點處，
所以，所以球的表面積為.
故答案為：
【變式8-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知某圓臺的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，若該圓臺的外接球球心為，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由圓臺的上底面圓心為，半徑為，下底面圓心為，半徑為，高為，
如圖所示，因為，所以，
所以，解得，所以.
故選：B.
【變式8-2】（2024·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖所示，已知一個球內(nèi)接圓臺，圓臺上、下底面的半徑分別為和，球的體積為，則該圓臺的側(cè)面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)球的半徑為，則，所以，，
取圓臺的軸截面，如下圖所示：
設(shè)圓臺的上、下底面圓心分別為、，則、分別為、的中點，
連接、、、、、，則，
由垂徑定理可知，，，
所以，，，
因為，，，所以，，
所以，，所以，，
所以，，則，
因此，圓臺的側(cè)面積為，
故選：D.
題型九：外接球之垂面模型
【典例9-1】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）如圖，是邊長為4的正三角形，D是BC的中點，沿AD將折疊，形成三棱錐．當(dāng)二面角為直二面角時，三棱錐外接球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于二面角為直二面角，且和都是直角三角形，
故可將三棱錐補形成長方體來求其外接球的半徑R，
即，解得，
從而三棱錐外接球的體積．
故選：D
【典例9-2】如圖，在三棱錐中，，，平面平面，是的中點，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依題意，為等邊三角形，且高，則，
而，又，則為等邊三角形，
平面平面，，平面平面，平面，于是平面，
令的外心為，三棱錐外接球的球心為，則平面，
又三棱錐的外接球球心在線段的中垂面上，此平面平行于平面，
因此，等邊外接圓半徑，
三棱錐的外接球，則，
所以三棱錐的外接球的表面積，
故選：C
【變式9-1】（2024·江西鷹潭·三模）在菱形中，，，將沿對角線折起，使點到達的位置，且二面角為直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示：
由題意在菱形中，互相垂直且平分，點為垂足，
，
由勾股定理得，
所以，
設(shè)點為外接圓的圓心，
則外接圓的半徑為，，
設(shè)點為外接圓的圓心，同理可得外接圓的半徑為，
，
如圖所示：
設(shè)三棱錐的外接球的球心、半徑分別為點，
而均垂直平分，
所以點在面，面內(nèi)的射影分別在直線上，
即，
由題意，且二面角為直二面角，
即面面，，
所以，即，可知四邊形為矩形，所以，
由勾股定理以及，
所以三棱錐的外接球的表面積為.
故選：C.
【變式9-2】（2024·四川·三模）如圖，在梯形中，，將沿對角線折起，使得點翻折到點，若面面，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，
設(shè)為的中點，為的中點，為的外心，為三棱錐的外接球球心，
則面面.
由題意得為的外心，
在中，，
所以，
又四邊形為矩形，
，設(shè)外接球半徑為，
則外接球表面積，
故選：B.
【變式9-3】（2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測）在三棱錐中，已知，且平面平面ABC，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)外接球的半徑為R，取AB的中點，連接，則由，得，
因為平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，則球心O在直線上．
連接OA，則，
因為，所以；
因為，所以.
因為，所以球心在線段上．
在中，由勾股定理，得，
即，解得，
所以三棱錐的外接球表面積為.
故選：B．
題型十：外接球之二面角模型
【典例10-1】在三棱錐中，二面角的大小為，，，則三棱錐外接球表面積的最小值為 ．
【答案】
【解析】
取外心，外心，中點為，
則，，面，面
所以，，
設(shè)，
由正弦定理得，
余弦定理得，所以，
所以由正弦定理得，即，
所以，，，
在四邊形中，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以三棱錐外接球表面積最小值為，
故答案為：.
【典例10-2】如圖，在三棱錐中，，，，二面角的大小為，則三棱錐的外接球表面積為 .
【答案】/
【解析】取和的中點分別為，，過點作面于點，
連結(jié)，，,平面,故，
又，則又平面,
故平面，平面，故
則為二面角的補角， ，
因為，，則，且，
易知，
因為為等腰直角三角形，所以是的外心.
設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則面，易知，
作，易知為矩形，，
設(shè)，，則在中，，
且中，，解得，
所以外接球表面積為.
故答案為：.
【變式10-1】（2024·陜西咸陽·二模）已知三棱錐中，，三角形為正三角形，若二面角為，則該三棱錐的外接球的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖，∵，即，∴.
∴球心在過的中點與平面垂直的直線上，
同時也在過的中心與平面垂直的直線上，.
∴這兩條直線必相交于球心.
∵二面角的大小為，
易知，，
，，
，
∴三棱錐的外接球的半徑為.
∴三棱錐的外接球的體積為.
故答案為：
【變式10-2】（2024·高三·河南·期末）在邊長為1的菱形中，將沿折起，使二面角的平面角等于，連接，得到三棱錐，則此三棱錐外接球的表面積為 .

【答案】/
【解析】取的中點，連接，
因為為菱形，所以即為二面角的平面角，
因為，所以和均為正三角形，
取靠近的三等分點，取靠近的三等分點，
過點作平面，過點作平面，交于點，
則為三棱錐外接球的球心，連接，
由對稱性知，則，，
因為，
所以，
所以外接球的半徑，
所以外接球的表面積為.
故答案為：
題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型
【典例11-1】（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖①，將兩個直角三角形拼在一起得到四邊形，且，，現(xiàn)將沿折起，使得點到達點處，且二面角的大小為，連接，如圖②，若三棱錐的所有頂點均在同一球面上，則該球的表面積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】過點作且，連接、，則四邊形為平行四邊形，
所以，因為，所以，又，
所以是二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理可得，
即，所以，所以，
又，，所以，，平面，
所以平面，平面，所以，
所以為三棱錐的外接球的直徑，
所以外接球的半徑，
所以外接球的表面積.
故選：B
【典例11-2】（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）已知三棱錐的外接球為球，為球的直徑，且，，，則三棱錐的體積為 .
【答案】/
【解析】如圖，易知，，所以，
作于點，易知，所以，
，
，
故三棱錐的體積為
.
故答案為：.
【變式11-1】已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，是球的直徑.若平面平面，，，三棱錐的體積為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中點，連接，
因為，，所以，.
因為平面平面，所以平面.
設(shè)，
所以，
所以球的體積為.
故選：
【變式11-2】（2024·四川巴中·高三統(tǒng)考期末）已知三棱錐的體積為，，，若是其外接球的直徑，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由是其外接球的直徑，得中點是外接球球心，設(shè)是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．求出中長（用余弦定理），由正弦定理求得外接圓半徑，求出面積，求體積求出，從而可得外接圓半徑，得表面積．如圖，是中點，則是外接球球心，設(shè)是的外心，則平面，且等于到平面的距離的一半．
∵，，∴，
，，
，，
，
∴，
．
故選：D.
題型十二：外接球之共斜邊拼接模型
【典例12-1】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是菱形， 底面ABCD， 是對角線與的交點，若，，則三棱錐的外接球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：∵底面ABCD為菱形，∴ ，又 底面ABCD，∴ ，
∴ 平面PBD，∴，即，
取PC的中點M，如下圖：
連結(jié)BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，
在中MO=PC，
∴點M為三棱椎P-BOC的外接球的球心，
在 中，由于 ，O是AC的中點，所以是等腰三角形，
，
外接球半徑為 ，外接球的體積為 ；
故選：B．
【典例12-2】已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，，，則，所以，
又因為，，，則，所以，
由，，，則，所以，
又由，，，則，所以，
可得為三棱錐的外接球的直徑，
又由，
所以此三棱錐的外接球半徑為，
所以球的表面積為．
故選：C．
【變式12-1】在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
設(shè)SC的中點為O，AB的中點為D，連接OA、OB、OD，
因為，
所以，
則，
所以O(shè)為其外接球的球心，設(shè)球的半徑為R，
因為，，
所以，
所以，
因為，
所以平面AOB，
所以，
解得，
所以其外接球的體積為，
故選：D
題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型
【典例13-1】空間直角坐標(biāo)系中，則四面體ABCD外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取，則是長方體，
其對角線長為，
∴四面體外接球半徑為．
，
故選：B．
【典例13-2】（2024·河南開封·開封高中校考一模）如圖，在三棱錐中，為等邊三角形，三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為 .
【答案】
【解析】
過C作面于H，
則三棱錐的體積為，所以，
取AD中點M，連接CM，MH，
因為為等邊三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中，所以
以AB，AD為軸，垂直于AB，AD方向為軸，建立如圖所示空間坐標(biāo)系，
設(shè)球心，在面的投影為，
由得，
所以N為的外接圓圓心，所以N為斜邊的中點，故設(shè)
由得，解得，
所以，
故外接球的表面積為，
故答案為：
【變式13-1】如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點，則四面體的外接球體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點，設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；
故選：B
題型十四：外接球之空間多面體
【典例14-1】阿基米德多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到的阿基米德多面體，如圖所示.則該多面體所在正方體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，截面三角形邊長為，
則原正方體棱長的一半為1，即多面體所在正方體的棱長為2，
可得正方體體對角線長，外接球半徑為，
所以外接球表面積為.
故選：D.
【典例14-2】（2024·廣西賀州·一模）半正多面體亦稱“阿基米德體”，是以邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體．將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，得到一個有十四個面的半正多面體．它的各棱長都相等，其中八個面為正三角形，六個面為正方形，這樣的半正多面體被稱為二十四等邊體．如圖所示，已知該半正多面體過A，B，C三點的截面面積為，則其外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將二十四等邊體補全為正方體，則該二十四等邊體的過A，B，C三點的截面為正六邊形，
設(shè)原正方體棱長為，則正六邊形邊長為，其面積為，解得，
因此原正方體的棱長為，由對稱性知，二十四等邊體的外接球球心是原正方體的體對角線的交點，
球半徑為該點到點的距離，所以外接球的表面積為.
故選：D
【變式14-1】截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟牵唇厝ニ拿骟w的四個頂點所產(chǎn)生的多面體.如圖所示，將棱長為3的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面得到所有棱長均為1的截角四面體，則該截角四面體的外接球表面積為 .
【答案】
【解析】因為棱長為的正四面體的高為，
所以截角四面體上下底面距離為，
序曲其外接球的半徑為，等邊三角形的中心為，正六邊形的中心為，則垂直于平面與平面，則,
所以，解得，
所以該截角四面體的外接球的表面積為,
故答案為：
題型十五：與球有關(guān)的最值問題
【典例15-1】（2024·河南·模擬預(yù)測）在四棱錐中，若，其中是邊長為2的正三角形，則四棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，連接，因為，
所以，所以，
所以，所以四邊形必存在一個外接圓，
且圓心為的中點設(shè)為，設(shè)外接球的球心為，則平面，
設(shè)，過作與平面的垂線，垂足設(shè)為，連接，
則為的中心，且必位于底面的上方，
設(shè)，外接球的半徑為，則，
所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，
即與重合時，外接球表面積取得最小值為.
故選：C.
【典例15-2】在中，，，E，F(xiàn)，G分別為三邊，，的中點，將，，分別沿，，向上折起，使得A，B，C重合，記為，則三棱錐的外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)，，由題設(shè).
三棱錐中，，，，
將放在棱長為x，y，z的長方體中，如圖，
則有，
三棱錐的外接球就是長方體的外接球，
所以，
由基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以外接球表面積.
故選：B.
【變式15-1】（2024·高三·山東青島·期中）如圖，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，點在上底面（包括邊界）上運動，則三棱錐外接球表面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為為等腰直角三角形，，
所以的外接圓的圓心為的中點，且，
設(shè)的中點為，連接，則，則平面，
設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得在上，
設(shè)，，外接球的半徑為，
因為，所以，
即，又，則，
因為，所以
所以三棱錐外接球表面積的最大值為.
故選：B.
【變式15-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測）在三棱錐中，，，二面角的平面角為，則三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】當(dāng)D在△ACD的外接圓上動的時候，該三棱錐的外接球不變，
故可使D點動到一個使得DA=DC的位置，取AC的中點M，連接，
因為，DA=DC，所以，，故即為二面角的平面角，
△ACB的外心為O1，過O1作平面ABC的垂線，過△ACD的外心M作平面ACD的垂線，兩條垂線均在平面BMD內(nèi)，它們的交點就是球心O，畫出平面BMD，如圖所示；
在平面ABC內(nèi)，設(shè)，則，，
因為，所以，所以，
所以
令，則，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，
故選:B
題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型
【典例16-1】棱長為2的正方體的內(nèi)切球的球心為，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正方體的內(nèi)切球的球心為，由對稱性可知為正方體的中心，球半徑為1，
即球的體積為.
故選：B.
【典例16-2】在正三棱柱中，D是側(cè)棱上一點，E是側(cè)棱上一點，若線段的最小值是﹐且其內(nèi)部存在一個內(nèi)切球（與該棱柱的所有面均相切），則該棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為高為，
對三個側(cè)面進行展開如圖，
要使線段的最小值是，則連接（左下角，右上角），
此時在連接線上，故①，
因為正三棱柱內(nèi)部存在一個半徑為的內(nèi)切球，
所以整理得，
將代入①可得，
所以正三棱柱的底面外接圓半徑為，
所以正三棱柱的外接球半徑為，
所以該棱柱的外接球表面積為
故選：B
【變式16-1】若一個正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖：分別為底面中心，為的中點，為的中點
設(shè)正六棱柱的底面邊長為
若正六棱柱有內(nèi)切球，則，即內(nèi)切球的半徑
，即外接球的半徑
則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為
故選：C．
【變式16-2】（2024·高三·遼寧錦州·開學(xué)考試）已知一個正三棱柱既有內(nèi)切球又有外接球，且外接球的表面積為，則該三棱柱的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，設(shè)正三棱柱的外接球的半徑為，
則，解得，
因三棱柱有內(nèi)切球，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則正三棱柱的高為，
連接的中心，則線段的中點即為球心，
依題意，內(nèi)切圓半徑為，得，
則，解得,
故三棱柱的體積為
故選：B．
題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型
【典例17-1】已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，在棱長為2的正方體中構(gòu)造棱長為的正四面體 ，
顯然正四面體的棱切球即為正方體的內(nèi)切球，故球的半徑，
則該球的表面積為．
故選：A．
【典例17-2】已知正四面體的棱長為，則其內(nèi)切球的表面積為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)正四面體內(nèi)切球球心為，內(nèi)切球半徑為，取中點，作平面于，則為中心，
則，.
，，
，
又，，
內(nèi)切球表面積.
故選：.
【變式17-1】邊長為的正四面體內(nèi)切球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將棱長為的正四面體補成正方體，則該正方體的棱長為，
，
設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，正四面體每個面的面積均為，
由等體積法可得，解得，
因此，該正四面體的內(nèi)切球的體積為.
故選：D.
題型十八：內(nèi)切球之棱錐模型
【典例18-1】（2024·陜西西安·一模）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途．六氟化硫結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)，如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點，若相鄰兩個氟原子之間的距離為m，則該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，連接交于點，連接，
取的中點，連接，
因為,所以,
,
由可得平面，
且，所以平面，
過作，
因為平面，平面，所以,
且平面，所以平面，
所以為該正八面體結(jié)構(gòu)的內(nèi)切球的半徑，
在直角三角形中，，
由等面積法可得，,解得，
所以內(nèi)切球的表面積為，
故選:D.
【典例18-2】若正四棱錐體積為，內(nèi)接于球O，且底面過球心O，則該四棱錐內(nèi)切球的半徑為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】因為正四棱錐內(nèi)接于球O，且底面過球心O，
設(shè)球的半徑為，
所以，
所以，
于是正四棱錐的體積，解得，
所以正四棱錐的表面積，
設(shè)正四棱錐內(nèi)切球的半徑為，
則，解得.
故選：A.
【變式18-1】在《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑.在鱉臑中，平面，，且，則其內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因為四面體四個面都為直角三角形，平面，
所以，，
設(shè)四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，
則
所以，
因為四面體的表面積為，
又因為四面體的體積，
所以，
所以內(nèi)切球表面積.
故選：C.
【變式18-2】已知四棱錐的各棱長均為2，則其內(nèi)切球表面積為（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因為四棱錐的各棱長均為2，所以四棱錐是正四棱錐，
則，
過P作底面垂線，垂足為H，則，
所以，則，
故其內(nèi)切圓表面積為，
故選：B．
題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺模型
【典例19-1】（2024·安徽池州·二模）已知圓錐的底面半徑為3，其內(nèi)切球表面積為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】球表面積為，則該球半徑為，
設(shè)圓錐的高為h，則圓錐的母線長為，
則此圓錐的軸截面面積為
，解之得，
則該圓錐的側(cè)面積為
故選：B
【典例19-2】（2024·廣東梅州·一模）某圓錐的底面直徑和高均是2，則其內(nèi)切球（與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的半徑為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】圓錐的軸截面如圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為D，半徑為R，
則，所以，
又，
即，
解得，即內(nèi)切球的半徑為.
故選：B
【變式19-1】（2024·高三·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知上底面半徑為，下底面半徑為的圓臺存在內(nèi)切球（與上，下底面及側(cè)面都相切的球），則該圓臺的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圓臺的軸截面為等腰梯形，上底面半徑為，下底面半徑為，則腰長為，
故梯形的高為，
則該圓臺的體積為.
故選：D.
題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型
【典例20-1】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的所有棱長均相等，其外接球與棱切球（該球與其所有棱都相切）的表面積分別為，則 ．
【答案】
【解析】
設(shè)正三棱柱的棱長為，因為正三棱柱上下底面中心連線的中點為外接球的球心，
則外接球的半徑，，
所以，
因為，所以為棱切球的球心，則棱切球半徑，
所以.
故答案為：
【典例20-2】已知球與一正方體的各條棱相切，同時該正方體內(nèi)接于球，則球與球的表面積之比為（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)正方體棱長為，
因為球與正方體的各條棱相切，所以球的直徑大小為正方體的面對角線長度，
即半徑；
正方體內(nèi)接于球，則球的直徑大小為正方體的體對角線長度，即半徑；
所以球與球的表面積之比為.
故選：A.
【變式20-1】已知正三棱柱的體積為，若存在球與三棱柱的各棱均相切，則球的表面積為 .
【答案】
【解析】
如圖所示，取上下底面的中心，分別為上底面棱上的切點，
則為的中點，設(shè)，
由題意易知，
則，
因為，
所以.
故答案為：.
【變式20-2】已知正三棱柱的體積為18，若存在球O與三棱柱的各棱均相切，則球O的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，上底面中心為，下底面中心為，
連接，則球的球心在的中點上，設(shè)球切棱于，切棱于，
則、分別為所在棱的中點，
由題意，①
因為，，
又，所以，
所以，解得，②
聯(lián)立①②可得，
所以球的半徑為，
所以球O的表面積為，
故選：C.
題型二十一：棱切球之正四面體模型
【典例21-1】已知某棱長為的正四面體的各條棱都與同一球面相切，則該球與此正四面體的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，正方體中，棱長為，
所以，四面體是棱長為的正四面體，
當(dāng)正四面體的各條棱都與同一球面相切時，該球為正方體的內(nèi)切球，半徑為，
所以，該球的體積為，
因為正四面體的體積為，
所以，該球與此正四面體的體積之比為.
故選：A
【典例21-2】所有棱長均相等的三棱錐構(gòu)成一個正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，設(shè)為正三角形的中心，連接，
根據(jù)對稱性可知正四面體的內(nèi)切球和外接球共球心且球心在線段上，
連接，設(shè)正四面體的棱長為，則，
故．
設(shè)外接球的半徑為，則，
故，解得，
故內(nèi)切球的半徑為，所以，
故內(nèi)切球與外接球的體積之比為，
故選：A．
【變式21-1】球與棱長為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】將正四面體補形為一個正方體如圖所示（紅色線條表示正四面體），則正四面體的棱為正方體的面對角線，
因為球與正四面體的各條棱都相切，所以球與正方體的各個面都相切，所以所求的球為正方體的內(nèi)切球，
又因為正方體的棱長為，所以球的半徑，
所以球的表面積為：，
故選：C.
題型二十二：棱切球之正棱錐模型
【典例22-1】（2024·四川樂山·一模）若一個正三棱錐底面邊長為1，高為，求與該三棱錐6條棱都相切的球的表面積為 .
【答案】
【解析】如圖所示：
設(shè)底面外接圓的圓心為，連接，，延長交于點，
球與棱分別切于點，則，球的半徑為，
注意到在邊長為1的等邊三角形中，，，
且底面，底面，所以，
所以，，
所以，而，所以，即，
解得（舍去），
從而與該三棱錐6條棱都相切的球的表面積為.
故答案為：.
【典例22-2】在正三棱錐中，，，若球O與三棱錐的六條棱均相切，則球O的表面積為 ．
【答案】
【解析】如圖示：
取的中心E，連接PE，則平面ABC，且與棱均相切的球的球心O在PE上.
連接AE并延長交BC于D，則D為BC的中點，，連接OD.
因為平面ABC，所有.
因為平面，平面，，所有平面.
因為平面，所有
.過O作，交PA于點F.
球O的半徑為r，則.
由題意：為正三角形，因為，所以，，.
因為，，所以，所以.
設(shè)，所以，因為，所以，解得:，所以，故球O的表面積為．
故答案為：
【變式22-1】正三棱錐的底面邊長為，側(cè)棱長為，若球H與正三棱錐所有的棱都相切，則這個球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)底面的外接圓的圓心為，連接，延長交于，
球H與棱分別切于，設(shè)球H的半徑為，
則，，
而底面，所以，可得，
在直角三角形中，，，
在直角三角形中，，
所以，即有，解得，
則這個球的表面積為．
故選：B
題型二十三：棱切球之臺體、四面體模型
【典例23-1】已知四面體中，，，，，球心在該四面體內(nèi)部的球與這個四面體的各棱均相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，是的中心，
根據(jù)對稱性，球心在上，球與、的切點分別為，，
且，，為球的半徑．
由勾股定理易得，由正弦定理可求得，
由勾股定理可求得．
∵，均為球的切線，∴，
∵與相似，∴，
即，∴，
∴球的體積為．
故選：B．
【典例23-2】（2024·浙江寧波·二模）在正四棱臺中，，若球與上底面以及棱均相切，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)棱臺上下底面的中心為,連接，
則，
所以棱臺的高,
設(shè)球半徑為,根據(jù)正四棱臺的結(jié)構(gòu)特征可知：球與上底面相切于,與棱均相切于各邊中點處，
設(shè)中點為，連接,
所以，解得，
所以球的表面積為，
故選：C
題型二十四：多球相切問題
【典例24-1】如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球為正四面體的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個面均相切，若，則該模型中一個小球的體積為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，
設(shè)為大球的球心，大球的半徑為，大正四面體的底面中心為，棱長為，高為，
的中點為，連接，，，，，，
則，正四面體的高.
因為，所以，所以，
設(shè)小球的半徑為，小球也可看作一個小的正四面體的內(nèi)切球，
且小正四面體的高，所以，
所以小球的體積為.
故選：C
【典例24-2】已知正四面體的棱長為12，先在正四面體內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及正四面體的三個側(cè)面都相切，則球的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，正四面體，設(shè)點是底面的中心，點是的中點，連接.
則由已知可得，平面，球心在線段上，球切平面的切點在線段上，分別設(shè)為.
則易知，，設(shè)球的半徑分別為.
因為，根據(jù)重心定理可知，.
，，，，.
由可得，，
即，解得，，所以.
由可得，，
即，解得，
所以，球的體積為.
故選：A.
【變式24-1】棱長為的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這樣一個小球的表面積最大為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，由題意知球和正四面體的三個側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時半徑最大，設(shè)內(nèi)切球球心為，半徑為，空隙處的最大球球心為，半徑為，為的中心，易知面，為中點，球和球分別與面相切于和.
易得，，，
由，
可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即小球的最大半徑為.
所以小球的表面積最大值為.
故選：A
【變式24-2】（2024·高三·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知體積為3的正三棱錐P-ABC，底面邊長為，其內(nèi)切球為球O，若在此三棱錐中再放入球，使其與三個側(cè)面及內(nèi)切球O均相切，則球的半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)內(nèi)切球O的半徑為r，球的半徑為R.設(shè)此棱錐的高為,底面的中心為，
因為底面邊長為，底面的高，所以，
所以三棱錐的體積,求得,
在底面中，
則側(cè)棱長為，
每個側(cè)面的三邊長為,則側(cè)面的高，
所以，所以三棱錐的表面積為.
由等積法知，得.
用一平行于底面ABC且與球上部相切的平面截此三棱錐，下部得到一個高為的棱臺，
那么截得的小棱錐的高為，即為高的，則此小棱錐的內(nèi)切球半徑即為球的半徑，
根據(jù)相似關(guān)系，截得的棱錐的體積為，表面積為，
根據(jù)等體積法，，解得.
故選:D.
1．（2024·重慶·三模）已知直三棱柱的外接球表面積為，則該三棱柱的體積為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】設(shè)直三棱柱高為，因為，
所以斜邊，底面三角形外接圓半徑，
由題有外接球表面積，可得，所以，
所以三棱柱體積為.
故選：D.
2．（2024·安徽·三模）已知圓臺的上、下底面積分別為，，體積為，線段，分別為圓臺上、下底面的兩條直徑，且A，B，C，D四點不共面，則四面體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依題意，設(shè)圓臺的高為h，則，解得；
四面體的外接球即為圓臺的外接球，
設(shè)其半徑為R，球心為，，
由已知易得圓臺的上、下底面圓半徑分別為，，
球心O在圓臺的軸所在直線上，則，
故，解得，故，
故四面體的外接球表面積為.
故選：B.
3．在直三棱柱中，，，，，該直三棱柱的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在中，由余弦定理可得，
設(shè)外接圓半徑為r，再由正弦定理，
因為三棱柱是直三棱柱，設(shè)外接球半徑為R，
所以，
所以外接球表面積為，
故選：C
4．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）邊長為1的正方體的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】其外接球直徑，所以.
故選：B．
5．（2024·四川涼山·二模）已知在三棱錐中，，，底面是邊長為1的正三角形，則該三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在三棱錐中，，，正的邊長為1，
則，即有，同理，而平面，
于是平面，令正的外心為，三棱錐外接球球心為，
則平面，顯然球心在線段的中垂面上，取的中點，則，
而，則四邊形是矩形，，
所以球半徑，表面積.
故選：B
6．已知四面體的體積為3，從頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，若，則該四面體外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設(shè)四面體體積是，外接球半徑是，表面積是，
棱兩兩垂直，，
，，
易知，
當(dāng)且僅當(dāng)時取等，故有，
則，
故選：A
7．（2024·新疆烏魯木齊·三模）三棱錐中，平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
設(shè)的外接圓半徑為，
則，所以，
平面，且，
設(shè)三棱錐外接球半徑為，
則，即，
所以三棱錐外接球的表面積為．
故選：B．
8．（2024·山西朔州·一模）在三棱錐中，，若是等邊三角形，則三棱錐的外接球的體積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖，取的中點為，連接，
因為，故為等邊三角形且，
因為為等邊三角形，故，
由余弦定理可得，
故，而為等邊的邊上的中線，
故，同理，故，
而為三角形內(nèi)角，故.
設(shè)為的中心，為的中心，則在上且在上，
因為、均為等邊三角形其它們有公共邊，
由對稱性可得在平面中，
設(shè)為外接球的球心，連接，則平面，平面，
而平面，平面，故，連接，
則由四點共圓可得，
故，所以即外接球半徑為，
故棱錐的外接球的體積為.
故選：A
9．（2024·陜西寶雞·三模）與都是邊長為2的正三角形，沿公共邊折疊成三棱錐且長為，若點，，，在同一球的球面上，則球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設(shè)的中點為，正與正的中心分別為，，如圖，
根據(jù)正三角形的性質(zhì)有，分別在，上，平面，平面，
因為與都是邊長為2的正三角形，則，又，
則是正三角形，
又，，，平面，
所以平面，所以在平面內(nèi)，
故，易得，
故，
故，又，故球的半徑，
故球的表面積為．
故選：D．
10．已知三棱錐中，平面，若，，，，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，在中，由余弦定理，得，
即，則，故，
又而平面，將三棱錐置于一個長方體中，可知三棱錐的外接球半徑，
則外接球表面積，
故選:D．
11．（2024·四川自貢·二模）在中，，，為的中點，將繞旋轉(zhuǎn)至，使得，則三棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下圖所示：
圓柱的底面圓直徑為，母線長為，則的中點到圓柱底面圓上每點的距離都相等，則為圓柱的外接球球心.
翻折前，在中，，，為的中點，則，
且，
翻折后，則有，，
又因為，、平面，所以，平面，
由已知，則是邊長為的等邊三角形，
將三棱錐置于圓柱上，使得的外接圓為圓，
所以，的外接圓直徑為，
所以，三棱錐的外接球直徑為，則，
因此，三棱錐的外接球表面積為.
故選：C.
12．正四棱錐的底面邊長為，則平面截四棱錐外接球所得截面的面積為（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設(shè)正方形邊長為，底面中心為中點為，
連接，如圖所示，
由題意得，且正四棱錐的外接球球心，
設(shè)外接球半徑為，則，
在中，，且，
所以，解得，即，
在中，，
過作，則即為點到平面的距離，且為平面截其外接球所得截面圓的圓心，
所以，
則，
所以，
所以截面的面積.
故選：C
13．（2024·河南開封·三模）已知正方體的棱長為1，P為棱的中點，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
設(shè)四棱錐的外接球球心為，取中點，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，
因為正方體的棱長為1，點為中點，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.
故選：C.
14．（2024·陜西咸陽·二模）如圖，四棱錐中，平面，底面為邊長為的正方形，，則該四棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】四邊形為邊長為的正方形，四邊形的外接圓半徑，
又平面，，四棱錐的外接球半徑，
四棱錐的外接球表面積.
故選：D.
15．在直三棱柱中，為等邊三角形，若三棱柱的體積為，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)直三棱柱的高為，外接球的半徑為，外接圓的半徑為，則，所以，又，令，則，易知的最小值為，此時，所以該三棱柱外接球表面積的最小值為.
故選：A.
16．（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）在四棱錐中，底面為等腰梯形，底面.若，，則這個四棱錐的外接球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取BC中點E，連接EA、ED，取PC中點H，連接EH、BH，
等腰梯形中，，，
則有，則四邊形為平行四邊形，
則，又，則為等邊三角形，
則，則△為等邊三角形
則，故點E為等腰梯形的外接圓圓心，
△中，，則
又底面，則底面，
又，
即，
故點H為四棱錐的外接球球心，
球半徑
則四棱錐外接球表面積為
故選：C
17．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正三棱柱的側(cè)面積為36，則與三棱柱各棱均相切的球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，設(shè)上下底面的中心分別為，由對稱性可知，
球的球心為的中點，取的中點，連接，
連接并延長，交于，連接，則，
設(shè)，則，
，
而，聯(lián)立兩式，解得，則球的半徑為，
則其表面積為，故B正確.
故選：B.
18．棱長為2的正四面體內(nèi)切一球，然后在正四面體和該球形成的空隙處各放入一個小球，則這些小球的最大半徑為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題，當(dāng)球和正四面體的三個側(cè)面以及內(nèi)切球都相切時半徑最大，
設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為R，空隙處最大球的球心為，半徑為，
為的中心，得平面，為中點，
球和球分別和平面相切于，，
在底面正三角形中，易求，，，
又，
由，即得，又，
，，，
又，可得即，即球的最大半徑為.
故選：C.
19．（2024·湖北·二模）已知直三棱柱存在內(nèi)切球，若，則該三棱柱外接球的表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，故，
故的內(nèi)切圓的半徑為.
因為直三棱柱存在內(nèi)切球，故直三棱柱的高即為內(nèi)切球的直徑.
而內(nèi)切球的半徑即為底面三角形內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切球的半徑為1，
故直三棱柱的高為2.
將直三棱柱補成如圖所示的長方體，則外接球的直徑即為該長方體的體對角線，
故外接球的半徑為，
故外接球的的表面積為.
故選：D.
20．（2024·福建龍巖·模擬預(yù)測）如圖，已知正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體為正八面體，則該正八面體的內(nèi)切球表面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據(jù)圖形，已知正方體的棱長為2，易知正八面體的棱長為正方體面對角線長的一半，
即為，
如圖，
在正八面體中連接，，，可得，，互相垂直平分，為正八面體的中心，平面，平面，則，，.
在中，，
則該正八面體的體積，
該八面體的表面積
設(shè)正八面體的內(nèi)切球半徑為，
，即，解得，
.
故選：C.
21．已知正三棱錐中，側(cè)面與底面所成角的正切值為，，這個三棱錐的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為三棱錐為正三棱錐，底面邊長為6，
且側(cè)面與底面所成角的正切值為，所以可得正三棱錐的高，側(cè)面的高；
設(shè)正三棱錐底面中心為，其外接球的半徑為，內(nèi)切球半徑為，
則有，也即，解得：，
正三棱錐的體積，
也即，解得：，
所以，
故選：B.
22．（多選題）圓錐內(nèi)半徑最大的球稱為該圓錐的內(nèi)切球，若圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，則稱該球為圓錐的外接球.如圖，圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，且圓錐的底面直徑為6，則（ ）
A．設(shè)圓錐的軸截面三角形為，則其為等邊三角形
B．設(shè)內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則
C．設(shè)圓錐的體積為，內(nèi)切球的體積為，則
D．設(shè)是圓錐底面圓上的兩點，且，則平面截內(nèi)切球所得截面的面積為
【答案】ABD
【解析】作出圓錐的軸截面如下：
因為圓錐的內(nèi)切球和外接球的球心重合，所以為等邊三角形，故A正確；
又，所以，
設(shè)球心為（即為的重心），所以，，
A．球的體積為
B．三棱錐體積的最大值為
C．的最大值為3
D．若為中點，則平面截球的截面面積為
【答案】ACD
【解析】選項A，如圖，設(shè)底面圓心為，則，，，
因為是邊長為2的為等邊三角形，則，為中點，
則球的半徑球的體積為，故A正確.
選項，作，因為面，，
所以底面，，
，故B錯誤.
選項C，設(shè)，，
..
.，
設(shè)，則令，解得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，則，
易知在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞減，且，
則當(dāng)時，， 單調(diào)遞增；
，故C正確.
選項，當(dāng)為中點時，，
由，，，得..
設(shè)點到平面的距離為，，，，代入數(shù)據(jù)解得.
截面面積為，故D正確.
故選：ACD.
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