資源簡介

第04講 直線、平面垂直的判定與性質
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線與平面垂直的定義 4
知識點2：直線與平面垂直的判定定理 4
知識點3：直線與平面垂直的性質定理 5
知識點4：平面與平面垂直的定義 6
知識點5：平面與平面垂直的判定定理 7
知識點6：平面與平面垂直的性質定理 7
解題方法總結 8
題型一：垂直性質的簡單判定 9
題型二：證明線線垂直 10
題型三：證明線面垂直 12
題型四：證明面面垂直 13
題型五：面面垂直的性質定理 15
題型六：垂直關系的綜合應用 17
題型七：鱉臑幾何體中的垂直 19
04真題練習·命題洞見 20
05課本典例·高考素材 22
06易錯分析·答題模板 23
易錯點：忽視用證明垂直的方法求夾角 23
答題模板：線線垂直、線面垂直的證明 23
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與平面垂直的判定與性質 （2）平面與平面垂直的判定與性質 2024年II卷第17（1）題，7分 2023年II卷第20（1）題，6分 2023年北京卷第16（1）題，5分 2022年乙卷（文）第9題，5分 2022年乙卷（文）第18題，12分 2021年浙江卷第6題，4分 2021年II卷第10題，5分 選擇題、填空題中考查直線、平面位置關系判斷；解答題第一問中多考查平行、垂直的證明．證明一些空間位置關系，利用性質定理、判定定理探究平行、垂直位置關系的存在性問題．
復習目標： （1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系． （2）掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單的應用．
知識點1：直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．
【診斷自測】（2024·高三·河北·期末）已知、是不重合的兩條直線，、是不重合的兩個平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
知識點2：直線與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判斷定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面 線⊥面 兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
平行與垂直的關系 一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直
平行與垂直的關系 兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
【診斷自測】如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點，點在棱上，，且.
證明：平面；
知識點3：直線與平面垂直的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 垂直于同一平面的兩條直線平行
垂直與平行的關系 垂直于同一直線的兩個平面平行
線垂直于面的性質 如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內所有直線都垂直
【診斷自測】（2024·高三·江蘇南通·期中）如圖，且，，且，且，平面，.
(1)設面BCF與面EFG的交線為，求證：；
(2)證明:
知識點4：平面與平面垂直的定義
如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
【診斷自測】（2024·福建泉州·模擬預測）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
知識點5：平面與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
【診斷自測】如圖，在三棱錐中，平面平面，和均為等腰直角三角形，且，．

證明：平面平面；
知識點6：平面與平面垂直的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
【診斷自測】如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點.如圖2，將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面.求證：四點共面.

解題方法總結
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數量積為零；
⑥線面垂直的性質；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關系結構圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關系中處于核心位置．
題型一：垂直性質的簡單判定
【典例1-1】（2024·四川·模擬預測）設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，，則
D．若，則
【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【方法技巧】
此類問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除．
【變式1-1】在四邊形中，，將折起，使平面平面，構成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
【變式1-2】已知下面給出的四個圖都是正方體，A，B為頂點，E，F分別是所在棱的中點，
則滿足直線的圖形的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【變式1-3】已知正四面體中，是的中點，連接是的中點，點滿足，則（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．平面平面
題型二：證明線線垂直
【典例2-1】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，E為線段AB的中點，．
求證：；
【典例2-2】（2024·四川·模擬預測）如圖，多面體中，已知面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，，，平面平面．
求證：；
【方法技巧】
【變式2-1】（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，已知多面體的底面ABCD是菱形，側棱底面，且．

證明：；
【變式2-2】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，E為線段的中點，．
(1)求證：；
(2)求點E到平面的距離．
【變式2-3】（2024·河南·模擬預測）如圖所示，在三棱錐中，平面平面，，為銳角.
證明：；
題型三：證明線面垂直
【典例3-1】如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC．
求證：平面；
【典例3-2】在中，，，D為邊上一點，，E為上一點，，將沿翻折，使A到處，.

證明：平面；
【方法技巧】
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質．
面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
【變式3-1】（2024·河南駐馬店·二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現沿進行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.

求證：平面；
【變式3-2】（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．
證明：平面；
【變式3-3】（2024·高三·湖北武漢·開學考試）如圖，在三棱錐中，為上的動點.
若，求證：平面；
【變式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，，為線段的中點，.
證明：平面；
題型四：證明面面垂直
【典例4-1】（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.
求證：平面平面；
【典例4-2】在三棱臺中，底面是等邊三角形，側面是等腰梯形，是的中點，是兩異面直線和的公垂線，且，．
證明：側面平面；
【方法技巧】
主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．
【變式4-1】（2024·四川德陽·三模）如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，，D為的中點，過的平面交棱于E，交于F.
求證：平面平面；
【變式4-2】如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，，是的中點．

(1)證明：平面平面．
(2)求點到平面的距離．
【變式4-3】（2024·陜西寶雞·三模）如圖，在三棱柱中，與的距離為，，.
證明：平面平面ABC；
【變式4-4】（2024·新疆烏魯木齊·三模）由平行六面體截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，其體積為5，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點O，．

(1)證明平面；
(2)證明平面平面；
題型五：面面垂直的性質定理
【典例5-1】（2024·陜西西安·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，．
證明：．
【典例5-2】（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.
求證：為的中點；
【方法技巧】
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
【變式5-1】（2024·高三·河南·開學考試）如圖，在三棱錐中，為的中點，平面平面是等腰直角三角形，.
證明：；
【變式5-2】如圖，在三棱臺.中，，平面平面.

求證：平面；
【變式5-3】（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，四棱錐，側面PAD是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是的菱形，為棱PC上的動點且.
(1)求證: 為直角三角形;
(2)試確定的值，使得三棱錐的體積為.
題型六：垂直關系的綜合應用
【典例6-1】如圖，在直三棱柱中，，．試在平面內確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；

【典例6-2】在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．

在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；
【方法技巧】
（1）三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．
（2）對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證．
【變式6-1】如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.
【變式6-2】（2024·高三·浙江溫州·開學考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式6-3】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，側面底面，M是的中點．

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由．
題型七：鱉臑幾何體中的垂直
【典例7-1】如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面，分別是，的中點．
證明：直線平面；
【典例7-2】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面為線段的中點，為線段（不含端點）上的動點.
證明：平面平面；
【方法技巧】
若一條直線垂直于一個平面，如果在被垂直的平面內找到兩條相交的相互垂直的直線與，則與異面的直線垂直于和構成的平面．
【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，且，，E為棱PC的中點，F為棱PB上的點.

證明：；
【變式7-2】如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，，點在上，．

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面；
【變式7-3】《九章算術》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”，這里所謂的“陽馬”，就是底面是矩形且一條側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐為陽馬，底面，分別為的中點.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面；
1．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）在正方體中，E，F分別為的中點，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
2．（2021年浙江省高考數學試題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
3．（2014年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（廣東卷帶解析））若空間中四條直線、、、，滿足、、，則下列結論一定正確的是．
A． B．
C．、既不平行也不垂直 D．、位置關系不確定
4．（多選題）（2021年全國新高考II卷數學試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直.請證明；如果不垂直，請說明理由.
過所在平面外一點P，作，垂足為O，連接.（1）若，則點O是的 心.（2）若，，則點O是邊的 .（3）若，，，垂足都為P，則點O是的 心.
易錯點：忽視用證明垂直的方法求夾角
易錯分析：容易忽視垂直的特殊方法，導致方法使用不當而浪費很多時間.
【易錯題1】在三棱柱中，若是等邊三角形，底面，且，則與所成角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【易錯題2】正三棱柱中，若，則與所成的角的大小為（ ）
A．60° B．90° C．45° D．120°
答題模板：線線垂直、線面垂直的證明
1、模板解決思路
通過線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直時，關鍵是在平面內找到兩條與直線垂直的相交直線，并證明.
2、模板解決步驟
第一步：證明直線與平面內兩條相交直線都垂直.
第二步：通過線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直.
第三步：通過線面垂直的性質證明直線與平面內的直線垂直.
【典型例題1】如圖，已知三棱臺，底面是以為直角頂點的等腰直角三角形，體積為，平面平面，且.
證明：平面；
【典型例題2】如圖所示，三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，點P，D分別為AB，的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：；
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第04講 直線、平面垂直的判定與性質
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線與平面垂直的定義 4
知識點2：直線與平面垂直的判定定理 5
知識點3：直線與平面垂直的性質定理 7
知識點4：平面與平面垂直的定義 8
知識點5：平面與平面垂直的判定定理 9
知識點6：平面與平面垂直的性質定理 9
解題方法總結 11
題型一：垂直性質的簡單判定 12
題型二：證明線線垂直 16
題型三：證明線面垂直 19
題型四：證明面面垂直 23
題型五：面面垂直的性質定理 27
題型六：垂直關系的綜合應用 31
題型七：鱉臑幾何體中的垂直 36
04真題練習·命題洞見 39
05課本典例·高考素材 46
06易錯分析·答題模板 50
易錯點：忽視用證明垂直的方法求夾角 50
答題模板：線線垂直、線面垂直的證明 51
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與平面垂直的判定與性質 （2）平面與平面垂直的判定與性質 2024年II卷第17（1）題，7分 2023年II卷第20（1）題，6分 2023年北京卷第16（1）題，5分 2022年乙卷（文）第9題，5分 2022年乙卷（文）第18題，12分 2021年浙江卷第6題，4分 2021年II卷第10題，5分 選擇題、填空題中考查直線、平面位置關系判斷；解答題第一問中多考查平行、垂直的證明．證明一些空間位置關系，利用性質定理、判定定理探究平行、垂直位置關系的存在性問題．
復習目標： （1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系． （2）掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單的應用．
知識點1：直線與平面垂直的定義
如果一條直線和這個平面內的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直．
【診斷自測】（2024·高三·河北·期末）已知、是不重合的兩條直線，、是不重合的兩個平面，則下列結論正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
【答案】A
【解析】對于A，因為，，所以，
又，，所以，A正確；
對于B，在正方體中，
記平面為，平面為，為，為，
則，，，但與不平行，B錯誤；
對于C，記平面為，平面為，為，為，
由正方體性質可知，平面，平面，所以，
則，，，但不垂直，C錯誤；
對于D，記為，為，平面為，
則，，但與不垂直，D錯誤.
故選：A
知識點2：直線與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判斷定理 一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直
面⊥面 線⊥面 兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
平行與垂直的關系 一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直
平行與垂直的關系 兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直
【診斷自測】如圖，在三棱錐中，平面平面，，為棱的中點，點在棱上，，且.
證明：平面；
【解析】如圖，取棱靠近的三等分點，
連結，則是的中點，
因為為棱的中點，所以是的中位線，
所以，因為，所以，
設，因為，
所以，作，連接，
則，因為，所以．
在中，由余弦定理得，
．
又面，
平面，因為面，所以．
又由平面平面，平面平面，
平面得證.
知識點3：直線與平面垂直的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 垂直于同一平面的兩條直線平行
垂直與平行的關系 垂直于同一直線的兩個平面平行
線垂直于面的性質 如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內所有直線都垂直
【診斷自測】（2024·高三·江蘇南通·期中）如圖，且，，且，且，平面，.
(1)設面BCF與面EFG的交線為，求證：；
(2)證明:
【解析】（1）因為，，所以，
又平面，平面，
所以面，又平面，平面平面，
所以.
（2）因為且，所以四邊形ADGE為平行四邊形，
又，所以四邊形ADGE為菱形，所以AG⊥DE.
因為平面，平面，所以，
又，平面，所以CD⊥面，
又面，所以，又，
平面，所以面，又面，
所以.
知識點4：平面與平面垂直的定義
如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直．（如圖所示，若，且，則）
一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
【診斷自測】（2024·福建泉州·模擬預測）已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題是真命題的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】C
【解析】對于A,因為設，
又，則當時，，故A錯誤；
對于B，若，且，則有，故B錯誤；
對于C，因為
故，又，故存在直線，且，
此時，由面面垂直的判定定理知，故C正確；
對于D,當，則或者，故D錯誤，
故選：C.
知識點5：平面與平面垂直的判定定理
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理 一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直
【診斷自測】如圖，在三棱錐中，平面平面，和均為等腰直角三角形，且，．

證明：平面平面；
【解析】由題意，得，所以．
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面，所以，．
所以，即．
又因為為等腰直角三角形，，
所以，．
因為平面，平面，，所以平面，
又因為平面，所以平面平面．
知識點6：平面與平面垂直的性質定理
文字語言 圖形語言 符號語言
性質定理 兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
【診斷自測】如圖1，四邊形為菱形，，，分別為，的中點.如圖2，將沿向上折疊，使得平面平面，將沿向上折疊．使得平面平面.求證：四點共面.

【解析】取的中點分別為，連接，
取的中點分別為，連接，
由四邊形為菱形，，可知，都是等邊三角形，
所以，，
因為平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
又由平面平面，同理可得平面，
所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，
則，且，又，
所以，又因為，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因為的中點分別為，所以，
所以，所以四點共面.
解題方法總結
線線線面面面
（1）證明線線垂直的方法
①等腰三角形底邊上的中線是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形對角線互相垂直；
④直徑所對的圓周角是直角；
⑤向量的數量積為零；
⑥線面垂直的性質；
⑦平行線垂直直線的傳遞性（）．
（2）證明線面垂直的方法
①線面垂直的定義；
②線面垂直的判定（）；
③面面垂直的性質（）；
平行線垂直平面的傳遞性（）；
⑤面面垂直的性質（）．
（3）證明面面垂直的方法
①面面垂直的定義；
②面面垂直的判定定理（）．
空間中的線面平行、垂直的位置關系結構圖如圖所示，由圖可知，線面垂直在所有關系中處于核心位置．
題型一：垂直性質的簡單判定
【典例1-1】（2024·四川·模擬預測）設為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若與所成的角相等，則
C．若，，則
D．若，則
【答案】D
【解析】對于A，平行于同一平面的兩條直線可能平行，也可能異面，故A錯誤；
對于B，與所成的角相等，則可能異面，可能相交，也可能平行，故B錯誤，
對于C，，，則可能垂直，但也可能平行或者相交或者異面，故C錯誤；
對于D，，則，D正確.
故選：D．
【典例1-2】（2024·湖南·三模）已知m，n是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】D
【解析】對于A，若，，則或，則m，n相交、平行、異面都有可能，A錯誤；
對于B，若，則與相交或平行，B錯誤；
對于C，若，則，又，則或，C錯誤；
對于D，由，得或，若，則存在過的平面與相交，
令交線為，則，而，于是，；若，而，則，
因此，D正確.
故選：D
【方法技巧】
此類問題可以轉化為一個正方體的棱、面等，進而進行排除．
【變式1-1】在四邊形中，，將折起，使平面平面，構成三棱錐，如圖，則在三棱錐中，下列結論不正確的是（ ）
A． B．
C．平面平面 D．平面平面
【答案】D
【解析】對于B，如圖①，因為，
所以，
又因為，，
所以，
所以，
所以，故B正確；
對于A，由B選項知，
又因為平面平面，平面， 平面平面，
所以平面，
因為平面，
所以，故A正確；
對于C，由選項A知，平面，
因為平面，
所以平面平面，故C正確;
對于D，如圖②過點A作，垂足為，
因為平面平面，平面， 平面平面，
所以平面，
顯然平面，所以平面與平面不垂直，故D錯誤.
故選：D.
【變式1-2】已知下面給出的四個圖都是正方體，A，B為頂點，E，F分別是所在棱的中點，
則滿足直線的圖形的個數為（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【解析】對于①：如下圖所示，點為所在棱的中點，由中位線定理及等腰三角形的性質，
易證，由平面，得出，平面
，從而由線面垂直的判定得出平面，則，故①正確；
對于②：如下圖所示，點為所在棱的中點，由中位線定理及等腰三角形的性質，
易證，由平面，得出，平面,
，從而由線面垂直的判定得出平面，則，故②正確；
對于③：如下圖所示，由中位線定理及等腰三角形的性質，
易證，由平面，得出，平面,
，從而由線面垂直的判定得出平面，則，故③正確；
對于④：如下圖所示，點為所在棱的中點，由③可知，，
由中位線定理及等腰三角形的性質，
易證，由平面，得出，平面，
，從而由線面垂直的判定得出平面，則，
平面，，由線面垂直的判定可得平面，
則，故④正確；
故選：D
【變式1-3】已知正四面體中，是的中點，連接是的中點，點滿足，則（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．平面平面
【答案】C
【解析】如圖，
連接，平面即平面，由是的中點和，知與相交.
對于，因為四面體為正四面體，所以.
若，又平面，且相交，所以平面.
又平面，所以，與矛盾，所以錯誤；
對于，若平面，由平面，平面平面，
得，與相交矛盾，所以錯誤；
對于，由，知三點共線，且.
取的中點，連接，所以，所以.
又平面平面，所以平面.
又是的中點，所以.
又平面平面，所以平面.
因為平面，且，所以平面平面.
因為平面，所以平面，所以正確；
對于，連接，因為是的中點，所以，
若平面平面，又平面平面，所以平面.
又平面，所以，與矛盾，所以D錯誤.
故選：C.
題型二：證明線線垂直
【典例2-1】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為正方形，E為線段AB的中點，．
求證：；
【解析】證明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴PA⊥BD．
又底面ABCD為正方形，∴．
又，且PA，平面PAC，∴平面PAC，
∵平面PAC，∴．
【典例2-2】（2024·四川·模擬預測）如圖，多面體中，已知面是邊長為4的正方形，是等邊三角形，，，平面平面．
求證：；
【解析】由是正方形，得，而平面平面，平面平面，
平面，則平面，又平面，于是，又，
所以.
【方法技巧】
【變式2-1】（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，已知多面體的底面ABCD是菱形，側棱底面，且．

證明：；
【解析】因為，所以，
又因為平面，所以平面，
又因為平面，所以，
因為四邊形是菱形，所以，
又因為，，平面，
所以平面，
又因為平面，
所以；
【變式2-2】（2024·陜西榆林·模擬預測）如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，E為線段的中點，．
(1)求證：；
(2)求點E到平面的距離．
【解析】（1）證明：平面，平面，，
又底面ABCD為正方形，，
又，且平面，
平面PAC，
平面PAC，．
（2）E為線段AB的中點，
若點A到平面PBD的距離為d，則點E到平面PBD的距離為．
由題易知，
．
，，解得．
點E到平面的距離為．
【變式2-3】（2024·河南·模擬預測）如圖所示，在三棱錐中，平面平面，，為銳角.
證明：；
【解析】在平面中，過點作的垂線，垂足為.
平面平面，且平面平面，平面，
故平面.又平面，所以
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故.
題型三：證明線面垂直
【典例3-1】如圖，AB是圓的直徑，平面PAC面ACB，且APAC．
求證：平面；
【解析】因為平面PAC面ACB，且APAC.，平面PAC面ACB ，平面PAC，
所以PA面ACB，又因為平面PBC，
所以PA，又因為AB是圓的直徑，所以，
因為平面，
所以平面；
【典例3-2】在中，，，D為邊上一點，，E為上一點，，將沿翻折，使A到處，.

證明：平面；
【解析】證明：由題意知，，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以平面
【方法技巧】
方法一：線面垂直的判定．
線線垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
方法二：面面垂直的性質．
面面垂直線面垂直，符號表示為：，那么．
【變式3-1】（2024·河南駐馬店·二模）在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現沿進行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.

求證：平面；
【解析】證明：.
在菱形中，，
因為平面，平面，所以，
又，平面，所以平面.
因為分別為的中點，所以，，
又， ，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，所以平面.
【變式3-2】（2024·四川樂山·三模）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的菱形，且，與平面所成的角為與交于．
證明：平面；
【解析】
連結，
底面是邊長為2的菱形，．
，
．
點為線段中點，．
為菱形，平面，平面
又平面，平面平面，
在平面上的射影為，
為直線與平面所成的角，即．
在中，，
．
則．
又平面平面，
平面．
【變式3-3】（2024·高三·湖北武漢·開學考試）如圖，在三棱錐中，為上的動點.
若，求證：平面；
【解析】
在中，，則，
又，所以
由勾股定理可得為直角三角形，,
所以，所以
在中，因為，由余弦定理可得：
則，所以，
又，在中由余弦定理可得：
，
則，所以，
又平面平面，
所以平面
【變式3-4】（2024·四川雅安·三模）四棱錐中，，底面為等腰梯形，，，為線段的中點，.
證明：平面；
【解析】因為為線段的中點，所以，
在等腰梯形中，作于，則由得，
所以，所以，
因為，所以，所以，
所以，所以，所以，
因為，平面，所以平面，
因為在平面內，所以，
因為在平面內，所以平面.
題型四：證明面面垂直
【典例4-1】（2024·湖南·三模）如圖，四棱錐的底面是梯形，平面.
求證：平面平面；
【解析】因為平面，平面，所以，
因為，所以，
所以，
又因為平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面；
【典例4-2】在三棱臺中，底面是等邊三角形，側面是等腰梯形，是的中點，是兩異面直線和的公垂線，且，．
證明：側面平面；
【解析】由是兩異面直線與的公垂線可得，，
又是等邊三角形，是的中點，所以，
因平面，故得平面，
又平面，則，
因，平面,故平面，
又平面，所以側面平面.
【方法技巧】
主要證明方法是利用面面垂直的判定定理（線面垂直面面垂直）．證明時，先從現有的直線中尋找平面的垂線，若圖中不存在這樣的直線，則可通過作輔助線來解決．
【變式4-1】（2024·四川德陽·三模）如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，，D為的中點，過的平面交棱于E，交于F.
求證：平面平面；
【解析】證明：連接，.
因為，，
所以，所以.
因為為的中點，所以.
因為為的中點，所以.
因為，，平面
所以平面.
又，所以平面.
又平面
所以平面平面.
【變式4-2】如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為菱形，，，是的中點．

(1)證明：平面平面．
(2)求點到平面的距離．
【解析】連接．因為底面為菱形，，所以是正三角形．
又為的中點，所以，則．
因為平面平面，平面平面，平面．
所以平面．
因為平面，所以．
因為，所以，則．
因為，平面,所以平面．
又平面，所以平面平面．
【變式4-3】（2024·陜西寶雞·三模）如圖，在三棱柱中，與的距離為，，.
證明：平面平面ABC；
【解析】取棱中點D，連接BD，
因為，所以
因為三棱柱，所以
所以，所以
因為，所以，；
因為，，
所以，
所以，
同理，
因為，且，平面，所以平面，
因為平面ABC，所以平面平面ABC；
【變式4-4】（2024·新疆烏魯木齊·三模）由平行六面體截去三棱錐后得到如圖所示的幾何體，其體積為5，底面ABCD為菱形，AC與BD交于點O，．

(1)證明平面；
(2)證明平面平面；
【解析】（1）如圖補全平行六面體，連接交于點，連接，
在平行六面體，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又為的中點，為的中點，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又所以平面，平面，所以平面.
（2）因為底面是菱形，所以，
又因為，，所以，
又平面，平面，，
所以平面，又平面，所以平面平面.
題型五：面面垂直的性質定理
【典例5-1】（2024·陜西西安·三模）在四棱錐中，平面平面，，，，．
證明：．
【解析】因為，，所以，，
由余弦定理可得，所以，則．
因為平面平面，且平面平面，平面，
所以平面PAD．
因為平面PAD，所以．
【典例5-2】（2024·江蘇·三模）如圖，在三棱錐中，底面為上一點，且平面平面，三棱錐的體積為.
求證：為的中點；
【解析】過作于點，由平面平面，
平面平面平面，
平面，
又底面平面，
，平面，
所以底面平面，，
又為的中點；
【方法技巧】
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直
【變式5-1】（2024·高三·河南·開學考試）如圖，在三棱錐中，為的中點，平面平面是等腰直角三角形，.
證明：；
【解析】證明：因為是等腰直角三角形，為的中點，
所以， 平面，
又因為平面平面，平面平面，
所以平面
因為平面，所以，又為的中點，
所以是等腰三角形，故.
【變式5-2】如圖，在三棱臺.中，，平面平面.

求證：平面；
【解析】證明：因為平面平面，且平面平面，
又因為，且平面，所以平面，
因為平面，所以，
又因為，且，平面，所以平面.
【變式5-3】（2024·陜西西安·模擬預測）如圖，四棱錐，側面PAD是邊長為2的正三角形且與底面垂直，底面ABCD是的菱形，為棱PC上的動點且.
(1)求證: 為直角三角形;
(2)試確定的值，使得三棱錐的體積為.
【解析】（1）證明：取AD中點，連結
因為四邊形為菱形，且，
所以均為等邊三角形，
因為也為等邊形三角形，
所以.
又因為平面平面POC，
所以平面，
又平面，所以，
因為，所以，
即，從而為直角三角形；
（2）由（1）可知，
又平面平面，平面平面，平面PAD，
所以平面，
因為為棱PC上的動點且，
所以，
因為，都是邊長為2的正三角形，
所以，
所以，
因為三棱錐的體積為，
所以.
題型六：垂直關系的綜合應用
【典例6-1】如圖，在直三棱柱中，，．試在平面內確定一點H，使得平面，并寫出證明過程；

【解析】取棱BC的中點D，連接，AD．在等腰直角△ABC中，，
又平面，平面，所以，
平面，故平面．
又平面，故平面平面，這兩個平面的交線為．
在中，作，平面,
則有平面；
【典例6-2】在四棱錐中，是等邊三角形，且平面平面，，．

在AD上是否存在一點M，使得平面平面，若存在，請證明；若不存在，請說明理由；
【解析】存在，當M為的中點時，平面平面．
證明：取AD的中點M，連接，
由是等邊三角形，可得，
由平面平面，平面，
平面平面，可得平面，
由平面，可得平面平面．
【方法技巧】
（1）三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化．
（2）對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相關定理、性質進行推理論證．
【變式6-1】如圖，在直三棱柱中，M為棱的中點，，，.在棱上是否存在點N，使得平面平面？如果存在，求此時的值；如果不存在，請說明理由.
【解析】當點為的中點，即時，平面平面.
證明如下：設的中點為，連接，，
因為，分別為，的中點，
所以且，
又為的中點，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
因為，M為棱的中點，故,
又因為平面ABC,平面ABC,
故，由平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
【變式6-2】（2024·高三·浙江溫州·開學考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形且，，．
(1)求的值；
(2)若，是否存在，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）取線段的中點，連接、，
因為四邊形是邊長為的菱形，則，，
因為，由余弦定理可得，
，所以，即，
又且是的中點，,
，、平面，平面，
平面，，，，
，；
（2）過點在平面內作，垂足為點，
因為平面，平面，
所以，平面平面，
平面平面，平面，，
所以，平面，
過點作，分別交、于點、，
因為，則，
所以，、、、四點共面，
因為平面，
所以，平面平面，
因為，，，
則，
因為，，由余弦定理可得，
所以，，
，
所以，,
，
因為，所以，.
【變式6-3】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側面是正三角形，側面底面，M是的中點．

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點N使平面平面成立？如果存在，求出；如果不存在，說明理由．
【解析】（1）由側面是正三角形，M是的中點，得，
由正方形，得，而平面平面，平面平面，
且平面，則平面，又平面，于是，
而平面，
所以平面.
（2）取的中點，的中點，連接，連接，連接，連接，
于是，由正方形，得，則，令，
顯然是正的中心，，，
又平面平面，平面平面，則平面，
平面，即有，而平面，
則平面，平面，在平面內過作交于，
顯然，而平面，因此平面，
連接并延長交于，連接，于是平面平面，
過作，則有，，，
，，則，又，，
從而點是線段的中點，，過作交于，
于是，即，顯然，因此，
所以在棱上存在點N使平面平面成立，.
題型七：鱉臑幾何體中的垂直
【典例7-1】如圖，在四棱錐中，四邊形為菱形，，，平面，分別是，的中點．
證明：直線平面；
【解析】因為四邊形為菱形，，
所以為正三角形，
又是的中點，所以，
又，所以，
又平面，平面，
所以，又，平面，
所以平面.
【典例7-2】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面為線段的中點，為線段（不含端點）上的動點.
證明：平面平面；
【解析】因為底面為正方形，則，
又因為平面，平面，。
且，平面，
可得平面，由平面，可得，
因為，且E為的中點，則，
由，平面，可得平面，
且平面，所以平面平面.
【方法技巧】
若一條直線垂直于一個平面，如果在被垂直的平面內找到兩條相交的相互垂直的直線與，則與異面的直線垂直于和構成的平面．
【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在三棱錐中，平面平面ABC，且，，E為棱PC的中點，F為棱PB上的點.

證明：；
【解析】證明：因為平面平面ABC，平面平面，，
即，平面ABC，所以平面PAC.
因為平面PAC，所以.
因為，E是PC的中點，所以.
又，平面PBC，所以平面PBC.
因為平面PBC，所以.
【變式7-2】如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，，點在上，．

(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面；
【解析】（1）證明：設，則，
所以，
因為為的中點，則，所以，
又因為，則，
因為，
則
，解得，所以為的中點，
又因為為的中點，所以，
因為分別為的中點，所以，所以，
又因為平面，平面，所以平面.
（2）證明：因為分別為的中點，所以，
所以，
因為，
所以，所以，所以，
因為，則，
又因為，，且平面，
所以平面，
因為平面，所以平面平面.
【變式7-3】《九章算術》中有這樣一段話：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑”，這里所謂的“陽馬”，就是底面是矩形且一條側棱垂直于底面的四棱錐.如圖，四棱錐為陽馬，底面，分別為的中點.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面；
【解析】（1）作的中點，連接，
由得分別為的中點，
所以且，
又因為且，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
因為平面平面，所以平面
（2）因為，所以，
因為底面，所以，
又因為平面，且，
所以平面，
所以，
因為，，所以，，
又因為平面，
所以平面；
1．（2022年高考全國乙卷數學（理）真題）在正方體中，E，F分別為的中點，則（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】A
【解析】在正方體中，
且平面，
又平面，所以，
因為分別為的中點，
所以，所以，
又，
所以平面，
又平面，
所以平面平面，故A正確；
選項BCD解法一：
如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，設，
則，
，
則，，
設平面的法向量為，
則有，可取，
同理可得平面的法向量為，
平面的法向量為，
平面的法向量為，
則，
所以平面與平面不垂直，故B錯誤；
因為與不平行，
所以平面與平面不平行，故C錯誤；
因為與不平行，
所以平面與平面不平行，故D錯誤，
故選：A.
選項BCD解法二：
對于選項B，如圖所示，設，，則為平面與平面的交線，
在內，作于點，在內，作，交于點，連結，
則或其補角為平面與平面所成二面角的平面角，
由勾股定理可知：，，
底面正方形中，為中點，則，
由勾股定理可得，
從而有：，
據此可得，即，
據此可得平面平面不成立，選項B錯誤；
對于選項C，取的中點，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項C錯誤；
對于選項D，取的中點，很明顯四邊形為平行四邊形，則，
由于與平面相交，故平面平面不成立，選項D錯誤；
故選：A.
2．（2021年浙江省高考數學試題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【解析】
連，在正方體中，
M是的中點，所以為中點，
又N是的中點，所以，
平面平面，
所以平面.
因為不垂直，所以不垂直
則不垂直平面，所以選項B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項C錯誤，選項A正確.
故選：A.
3．（2014年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（廣東卷帶解析））若空間中四條直線、、、，滿足、、，則下列結論一定正確的是．
A． B．
C．、既不平行也不垂直 D．、位置關系不確定
【答案】D
【解析】如下圖所示，在正方體中，取 為， 為，取 為， 為，
；取為 ，為 ，則；取為 ，為，則 與異面，因此、的位置關系不確定，故選D.
4．（多選題）（2021年全國新高考II卷數學試題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點．則滿足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】設正方體的棱長為，
對于A，如圖（1）所示，連接，則，
故（或其補角）為異面直線所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A錯誤.
對于B，如圖（2）所示，取的中點為，連接，，則，，
由正方體可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正確.
對于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，
故，故C正確.
對于D，如圖（4），取的中點，的中點，連接，
則，
因為，故，故，
所以或其補角為異面直線所成的角，
因為正方體的棱長為2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D錯誤.
故選：BC.
1．如圖，在三V-ABC中，已知，判斷平面VAB與平面VBC的位置關系，并說明理由.
【解析】平面VBA和平面VBC垂直.
因為，
所以平面ABC，所以.
因為.所以.
因為，所以平面VAB.
又平面VBC，所以平面平面VBC.
2．如圖，在V-ABC中，平面ABC，，你能判定，以及嗎？
【解析】能判定以及AC=BC.
理由如下：
平面ABC，平面ABC.
.
.
，平面VDO.
平面VDO，.
又.
3．如圖，在正方形中，E，F分別是的中點，D是EF的中點，若沿SE，SF及EF把這個正方形折成一個四面體，使三點重合，重合后的點記為G，則在四面體S-EFG中，哪些棱與面互相垂直？
【解析】折前
∴折后.
又SG，EG，FG交于一點G.
根據EG，FG交于一點G，可得平面GEF，
同理可證：平面GSE，平面GSF.
4．如圖，AB是的直徑，點C是上的動點，過動點C的直線VC垂直于所在平面，D，E分別是VA，VC的中點，判斷直線DE與平面VBC的位置關系，并說明理由.
【解析】直線DE與平面VBC垂直
理由：由VC垂直于所在平面，知，即是二面角A-VC-B的平面角.
由AB是的直徑，知.
因此，平面平面VBC.
由兩個平面垂直的性質定理，
平面平面VBC，交線為VC，，平面VAC，
可知直線AC與平面VBC垂直，
由D，E分別是VA，VC的中點，知，
所以直線DE與平面VBC垂直.
5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，底面ABCD，，E為線段PB的中點，F為線段BC上的動點，平面AEF與平面PBC是否互相垂直？如果垂直.請證明；如果不垂直，請說明理由.
【解析】垂直，證明如下：
底面ABCD，平面ABCD，
又底面ABCD為正方形，，而.
平面PAB
平面PAB，.
，E為PB的中點，
.而,
平面PBC.
平面AEP，
∴平面平面PBC.
過所在平面外一點P，作，垂足為O，連接.（1）若，則點O是的 心.（2）若，，則點O是邊的 .（3）若，，，垂足都為P，則點O是的 心.
【答案】 外 中點 垂
【解析】解（1）如圖，因為
所以，
故，
又，,
所以
故可得，
同理可得：
所以點O是的外心；
（2）由（1）可得點O是的外心，
又因為，
根據在直角三角形中，斜邊的中線是斜邊的一半
得到點O為斜邊的中點，
即為邊的中點；
（3）因為，，且
平面
所以平面，
所以，
因為
所以
又，
平面，
所以平面，
所以，
同理可得：,
故，點O是的垂心。
則，，
，
∴，∴與所成的角的大小是，
故選：B
答題模板：線線垂直、線面垂直的證明
1、模板解決思路
通過線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直時，關鍵是在平面內找到兩條與直線垂直的相交直線，并證明.
2、模板解決步驟
第一步：證明直線與平面內兩條相交直線都垂直.
第二步：通過線面垂直的判定定理證明直線與平面垂直.
第三步：通過線面垂直的性質證明直線與平面內的直線垂直.
【典型例題1】如圖，已知三棱臺，底面是以為直角頂點的等腰直角三角形，體積為，平面平面，且.
證明：平面；
【解析】在三棱臺中，平面平面，，
而平面平面，平面，
所以平面.
【典型例題2】如圖所示，三棱柱中，側棱垂直于底面，，，，點P，D分別為AB，的中點．

(1)求證：平面；
(2)求證：；
【解析】（1）如圖，連接，在中，D，P分別是，AB的中點，則，
而平面，平面，所以平面.
（2）由，得，則，即，
由平面，平面，則，
而，平面，于是平面，
又平面，則，又，所以．
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