資源簡介

第03講 直線、平面平行的判定與性質
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線和平面平行 4
知識點2：兩個平面平行 5
解題方法總結 6
題型一：平行的判定 7
題型二：線面平行構造之三角形中位線法 9
題型三：線面平行構造之平行四邊形法 10
題型四：利用面面平行證明線面平行 13
題型五：利用線面平行的性質證明線線平行 15
題型六：面面平行的證明 17
題型七：面面平行的性質 20
題型八：平行關系的綜合應用 21
04真題練習·命題洞見 23
05課本典例·高考素材 25
06易錯分析·答題模板 27
易錯點：線面平行定理的理解不夠準確 27
答題模板：面面平行的證明 28
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與平面平行的判定與性質 （2）平面與平面平行的判定與性質 2024年北京卷第17（1）題，5分 2024年I卷第17（1）題，5分 2022年甲卷（文）第19題，12分 2022年乙卷（文）第9題，5分 2021年浙江卷第6題，4分 本節內容是高考中的熱點，線線、線面、面面平行與證明通常出現在解答題的第一問．本節內容將空間中平行的判定與性質綜合在一起復習，通常在高考題目中，雖然證明的結論是平行，但是過程中經常交叉使用空間直線、平面平行的判定定理或性質，因此題目的綜合性增強．
復習目標： （1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明． （2）掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用．
知識點1：直線和平面平行
1、定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥線線∥面 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面 如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面線∥線 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
【診斷自測】如圖，在長方體中，E是棱的中點，試判斷與平面的位置關系，并說明理由.

知識點2：兩個平面平行
1、定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理線∥面面∥面 如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面 如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行 ∥
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
面//面 線//面 如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面 線面 如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
【診斷自測】如圖1，在矩形中，，將三角形沿著線段向上折起，使得點到達點的位置，且平面平面，將正方形沿著向上折起，使得點分別到達點的位置，且平面平面，構成如圖2所示的多面體，點為線段的中點，點在線段上，且滿足．
(1)證明：平面平面；
(2)求三棱錐的體積．
解題方法總結
線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示．
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
題型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．
若則下列說法正確的是（　　）
A．a與l相交 B．b與l相交 C．a∥b D．a與β相交
【典例1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）設是三個不同平面，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【方法技巧】
排除法：畫一個正方體，在正方體內部或表面找線或面進行排除．
【變式1-1】（多選題）（2024·河南·三模）已知，是兩個不同平面，m，n是兩條不同直線，則下列命題為假命題的是（ ）．
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么m與所成的角和n與所成的角的大小不相等
【變式1-2】（2024·貴州遵義·二模）已知平面滿足，下列結論正確的是（ ）
A．若直線，則或
B．若直線，則與和相交
C．若，則，且
D．若直線過空間某個定點，則與成等角的直線有且僅有4條
【變式1-3】下列四個正方體中，，，為所在棱的中點，，，為正方體的三個頂點，則能得出平面平面的是（ ）
A． B．
C． D．
題型二：線面平行構造之三角形中位線法
【典例2-1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點，是棱PA上一點，且.
求證:平面MCD;
【典例2-2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點在棱上（不與端點重合），E，F分別是PD，AC的中點.
證明：平面.
【方法技巧】
利用三角形中位線找線線平行.
【變式2-1】（2024·山東濟南·三模）如圖所示，為矩形，為梯形，平面平面，.
若點為的中點，證明:平面；
【變式2-2】（2024·陜西銅川·三模）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點是的中點，是線段上靠近的三等分點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
題型三：線面平行構造之平行四邊形法
【典例3-1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．
證明：平面PAD；
【典例3-2】如圖，在棱長為1的正方體中，E、F及G分別為棱、和的中點.

求證：平面DEG；
【方法技巧】
利用平行四邊形找線線平行.
【變式3-1】（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點，.
若為的中點，證明：平面；
【變式3-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，分別是和的中點，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積.
【變式3-3】如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，的邊長為2．
求證：：平面；
題型四：利用面面平行證明線面平行
【典例4-1】（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點，，側面與底面所成角為.

求證：平面；
【典例4-2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，，，點、在平面的同側，，，，平面平面，.

求證：平面；
【方法技巧】
本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行
【變式4-1】（2024·四川達州·二模）如圖，在直角梯形中，，，，把梯形繞旋轉至，，分別為，中點．
證明：平面；
【變式4-2】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考開學考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．
求證：平面；
題型五：利用線面平行的性質證明線線平行
【典例5-1】如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.
【典例5-2】如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．
【方法技巧】
如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
【變式5-1】如圖所示，圓臺的上 下底面圓半徑分別為和為圓臺的兩條不同的母線.分別為圓臺的上 下底面圓的圓心，且為等邊三角形. 求證：.

【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預測）如圖，在四棱臺中，，，．
記平面與平面的交線為，證明：；
【變式5-3】（2024·甘肅·一模）如圖，空間六面體中,,，平面平面為正方形，平面平面.
求證：；
題型六：面面平行的證明
【典例6-1】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，平面，．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求多面體的體積．
【典例6-2】（2024·高三·陜西西安·期中）如圖，在圓臺中，為軸截面，，，為下底面圓周上一點，為下底面圓內一點，垂直下底面圓于點，．
(1)求證：平面平面；
【方法技巧】
常用證明面面平行的方法是在一個平面內找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時垂直于這兩個平面．證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行．
【變式6-1】（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱中，底面為梯形，，且分別是棱，的中點.

證明：平面平面；
【變式6-2】（2024·四川眉山·三模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面平面，平面平面是等腰直角三角形，且.
證明：平面平面；
【變式6-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，M，N分別為AC，的中點．
求證：平面平面；
題型七：面面平行的性質
【典例7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面體中，為棱的中點，過點的平面與平面平行，平面平面，平面平面，則，所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】已知正方體，平面與平面的交線為，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
【變式7-1】如圖，平面平面，所在的平面與，分別交于，，若，，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【變式7-2】如圖，梯形中，四邊形是梯形在平面α內的投影（），則對四邊形的判斷正確的是（ ）
A．可能是平行四邊形不可能是梯形 B．可能是任意四邊形
C．可能是平行四邊形也可能是梯形 D．只可能是梯形
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）在長方體中，，過頂點作平面，使得平面，若平面，則直線l和直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
題型八：平行關系的綜合應用
【典例8-1】（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點在棱上，滿足，點在棱上，且，點在直線上，若平面，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例8-2】如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.
在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【方法技巧】
證明平行關系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．
【變式8-1】在三棱柱中，點、分別是、上的點，且平面平面，試求的值.
【變式8-2】（2024·上海嘉定·三模）在長方體中，，，E、F、G分別為AB、BC、的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)點P在矩形內，若直線平面，求線段長度的最小值.
【變式8-3】如圖，在正四面體中，，E，F，R分別是，，的中點，取，的中點M，N，Q為平面內一點．

(1)求證：平面平面；
(2)若平面，求線段的最小值．
【變式8-4】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH的中點，.
(1)求證：；
(2)求點C到平面ABH的距離；
(3)在線段PB上是否存在點N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
1．（2021年浙江省高考數學試題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
2．（2008年普通高等學校招生考試數學（文）試題（瓊、寧卷））已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
3．（多選題）（2017年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（新課標1卷精編版））如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2011年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（福建卷））如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則 .
1．如圖，是異面直線，，求證：.
2．如圖，，直線a與b分別交于點A，B，C和點D，E，F，求證.
3．一木塊如圖所示，點在平面 內，過點將木塊鋸開，使截面平行于直線 和，應該怎樣畫線？
4．如圖，在長方體中，E，F分別是AB，BC的中點，求證.
5．如圖，在長方體木塊中，面上有一點P，怎樣過點P畫一條直線與棱CD平行？
平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【易錯題2】如圖，已知四棱錐中，底面是平行四邊形，為側棱的中點.
求證：平面；
答題模板：面面平行的證明
1、模板解決思路
解決這類面面平行問題，關鍵在于利用面面平行的判定定理。核心步驟是在一個平面內找到兩條相交的直線，這兩條直線需要平行于另一個平面。為了找到這樣的直線，我們需要仔細分析題目給出的條件，并結合所給的立體圖形，從中尋找和平行關系相關的信息。有時候，我們也需要勇于做出合理的猜測，以輔助我們找到解決問題的線索。
2、模板解決步驟
第一步：在一個平面內找到平行于平面的兩條相交直線a，b
第二步：通過線面平行的判定定理證明直線a，b都平行于平面 .
第三步：通過面面平行的判定定理得到平面平行于平面.
【典型例題1】如圖所示，在三棱柱中，若、D分別為、BC的中點，求證：平面平面．
【典型例題2】如圖，已知三棱柱中，與交于點為邊上一點，為中點，且平面.求證：平面平面.

21世紀教育網(www.21cnjy.com)第03講 直線、平面平行的判定與性質
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：直線和平面平行 4
知識點2：兩個平面平行 5
解題方法總結 7
題型一：平行的判定 8
題型二：線面平行構造之三角形中位線法 12
題型三：線面平行構造之平行四邊形法 15
題型四：利用面面平行證明線面平行 18
題型五：利用線面平行的性質證明線線平行 21
題型六：面面平行的證明 23
題型七：面面平行的性質 27
題型八：平行關系的綜合應用 30
04真題練習·命題洞見 37
05課本典例·高考素材 41
06易錯分析·答題模板 46
易錯點：線面平行定理的理解不夠準確 46
答題模板：面面平行的證明 48
考點要求 考題統計 考情分析
（1）直線與平面平行的判定與性質 （2）平面與平面平行的判定與性質 2024年北京卷第17（1）題，5分 2024年I卷第17（1）題，5分 2022年甲卷（文）第19題，12分 2022年乙卷（文）第9題，5分 2021年浙江卷第6題，4分 本節內容是高考中的熱點，線線、線面、面面平行與證明通常出現在解答題的第一問．本節內容將空間中平行的判定與性質綜合在一起復習，通常在高考題目中，雖然證明的結論是平行，但是過程中經常交叉使用空間直線、平面平行的判定定理或性質，因此題目的綜合性增強．
復習目標： （1）理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明． （2）掌握直線與平面、平面與平面平行的判定與性質，并會簡單應用．
知識點1：直線和平面平行
1、定義
直線與平面沒有公共點，則稱此直線與平面平行，記作∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥線線∥面 如果平面外的一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行
面∥面線∥面 如果兩個平面平行，那么在一個平面內的所有直線都平行于另一個平面
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
線∥面線∥線 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
【診斷自測】如圖，在長方體中，E是棱的中點，試判斷與平面的位置關系，并說明理由.

【解析】與平面平行，理由如下，
連接，再連接，如圖，
因為在長方體中，四邊形是長方形，
所以是的中點，又E是棱的中點，所以，
又平面，平面，所以平面.
知識點2：兩個平面平行
1、定義
沒有公共點的兩個平面叫作平行平面，用符號表示為：對于平面和，若，則∥
2、判定方法（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
判定定理線∥面面∥面 如果一個平面內有兩條相交的直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行
線面面∥面 如果兩個平面同垂直于一條直線，那么這兩個平面平行 ∥
3、性質定理（文字語言、圖形語言、符號語言）
文字語言 圖形語言 符號語言
面//面 線//面 如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面
性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
面//面 線面 如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線
【診斷自測】如圖1，在矩形中，，將三角形沿著線段向上折起，使得點到達點的位置，且平面平面，將正方形沿著向上折起，使得點分別到達點的位置，且平面平面，構成如圖2所示的多面體，點為線段的中點，點在線段上，且滿足．
(1)證明：平面平面；
(2)求三棱錐的體積．
【解析】（1）取的中點，連接，
由于，故為的中點，
又點為線段的中點，
，
，且為的中點，
，，因此四邊形為平行四邊形，
，，
，且點為線段的中點，
，
又平面平面，且平面平面，平面，
平面，
在矩形中，，所以四邊形為矩形，則，
所以，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
，
平面且，，平面且，
平面平面．
（2）因為，所以到平面的距離為到平面的距離的，
連接，則，
由（1）知，
因為平面，平面，
所以平面，
連接，
又平面，
故，
因此．
解題方法總結
線線平行、線面平行、面面平行的轉換如圖所示．
（1）證明直線與平面平行的常用方法：
①利用定義，證明直線與平面沒有公共點，一般結合反證法證明；
②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行．輔助線的作法為：平面外直線的端點進平面，同向進面，得平行四邊形的對邊，不同向進面，延長交于一點得平行于第三邊的線段；
③利用面面平行的性質定理，把面面平行轉化成線面平行；
（2）證明面面平行的常用方法：
①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結合；
②利用面面平行的判定定理；
③利用兩個平面垂直于同一條直線；
④證明兩個平面同時平行于第三個平面．
（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；
題型一：平行的判定
【典例1-1】（2024·山東淄博·二模）已知α，β，γ為三個不同的平面，a，b，l為三條不同的直線．
若則下列說法正確的是（　　）
A．a與l相交 B．b與l相交 C．a∥b D．a與β相交
【答案】C
【解析】對于AB，平面，，則，
同理可得，則AB錯誤；
對于C，由AB知道，則C正確；
對于D，由A知道平面，平面，則，故D錯誤.
故選：C.
【典例1-2】（2024·高三·北京海淀·期末）設是三個不同平面，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】若，，則由平面平行的性質定理：得；
但當，時，可能有，也可能有相交，
如是三棱柱的兩條側棱所在直線，是確定的平面，
另兩個側面所在平面分別為，此時符合條件，而相交，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
【方法技巧】
排除法：畫一個正方體，在正方體內部或表面找線或面進行排除．
【變式1-1】（多選題）（2024·河南·三模）已知，是兩個不同平面，m，n是兩條不同直線，則下列命題為假命題的是（ ）．
A．如果，，，那么
B．如果，，那么
C．如果，，那么
D．如果，，那么m與所成的角和n與所成的角的大小不相等
【答案】AD
【解析】對于A，可運用長方體，舉反例說明其錯誤，如圖，
不妨設為直線m，為直線n，平面為，平面為，
顯然這些直線和平面滿足題目條件，但不成立，故A為假命題；
對于B，設過直線n的某一個平面與平面相交于直線l，則，
由知，從而，故B為真命題；
對于C，如果，，則，故C為真命題；
對于D，如果，，那么m與所成的角和n與所成的角相等，故D為假命題．
故選：AD．
【變式1-2】（2024·貴州遵義·二模）已知平面滿足，下列結論正確的是（ ）
A．若直線，則或
B．若直線，則與和相交
C．若，則，且
D．若直線過空間某個定點，則與成等角的直線有且僅有4條
【答案】D
【解析】在正方體中，平面，平面，平面兩兩垂直，
令平面為平面，平面為平面，平面為平面，
對于A，直線，，當為直線時，，A錯誤；
對于B，，當為直線時，，B錯誤；
對于C，，當為直線時，，C錯誤；
對于D，在正方體中，直線相交于點，
它們與平面，平面，平面所成的角都相等，
而正方體過其中心的直線有且只有4條直線與該正方體各個面所成的角相等，
過空間給定點作直線平行于直線之一，所得直線與與所成角相等，
因此直線過空間某個定點，與成等角的直線有且僅有4條，D正確.
故選：D
【變式1-3】下列四個正方體中，，，為所在棱的中點，，，為正方體的三個頂點，則能得出平面平面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】對于A選項，若平面平面，平面，則平面，
由圖可知與平面相交，故平面與平面不平行，A不滿足條件；
對于B選項，如下圖所示，連接，
因為、分別為、的中點，則，
在正方體中，且，
故四邊形為平行四邊形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可證平面，，因此，平面平面，B滿足條件；
對于C選項，如下圖所示：
在正方體中，若平面平面，且平面平面，
則平面平面，但這與平面與平面相交矛盾，
因此，平面與平面不平行，C不滿足條件；
對于D選項，在正方體中，連接、、，如下圖所示：
因為且，則四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，所以，平面，
同理可證平面，，所以，平面平面，
若平面平面，則平面平面，
這與平面與平面相交矛盾，故平面與平面不平行，D不滿足條件.
故選：B.
題型二：線面平行構造之三角形中位線法
【典例2-1】如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是棱PB，PC的中點，是棱PA上一點，且.
求證:平面MCD;
【解析】取PA的中點S，連接SM，SD，SC，因為為PB的中點，
所以，又，所以，故S，M，C，D四點共面，
由題意知Q，N分別為PS，PC的中點，故，
又平面平面MCD，因此平面MCD；
【典例2-2】如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點在棱上（不與端點重合），E，F分別是PD，AC的中點.
證明：平面.
【解析】連接,
因為底面是正方形，所以是的中點，
又因為是的中點，所以是的中位線，
所以，
因為平面，平面，
所以平面
【方法技巧】
利用三角形中位線找線線平行.
【變式2-1】（2024·山東濟南·三模）如圖所示，為矩形，為梯形，平面平面，.
若點為的中點，證明:平面；
【解析】連接PC，交DE于，連接MN
為矩形為的中點
在中，M，N分別為PA，PC的中點
,
因為平面平面,
所以平面.
【變式2-2】（2024·陜西銅川·三模）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點是的中點，是線段上靠近的三等分點，.
(1)求證：平面；
(2)求點到平面的距離.
【解析】（1）證明：如圖，
連接交于點，連接，
四邊形是正方形，為中點，
是中點，，
平面平面平面.
（2）平面，平面，.
又四邊形是正方形，.
又，平面，平面.
又平面.
點是的中點，.
又，平面，平面.
又平面.
又易知.
.
.
又是線段上靠近的三等分點，
，
.
設點到平面的距離為，則，解得.
點到平面的距離為.
題型三：線面平行構造之平行四邊形法
【典例3-1】如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，點E為棱PC的中點，．
證明：平面PAD；
【解析】在PD上取中點G，連接AG，EG，如圖：
∵G和E分別為PD和PC的中點，∴，且，
又∵底面ABCD是直角梯形，，，
∴且．即四邊形ABEG為平行四邊形，
∴，
∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；
【典例3-2】如圖，在棱長為1的正方體中，E、F及G分別為棱、和的中點.

求證：平面DEG；
【解析】在正方體中，E，F，G分別為棱和的中點，
，且，
四邊形是平行四邊形，，
平面平面DEG，
平面DEG.
【方法技巧】
利用平行四邊形找線線平行.
【變式3-1】（2024·江蘇南京·模擬預測）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點，.
若為的中點，證明：平面；
【解析】證明：由已知得，取的中點T，連接，
由N為的中點知，
．又，故，且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，
∴平面．
【變式3-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，分別是和的中點，平面平面.
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積.
【解析】（1）如圖，取的中點，連接，
因為是的中位線，所以，且，
又因為且，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又因為平面平面，所以平面；
（2）取的中的中點，連接，
因為，所以，且，
又因為平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
因為，
所以，
又因為是的中點，所以.
【變式3-3】如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點，，的邊長為2．
求證：：平面；
【解析】證明：取的中點，連接，，
根據題意可得，且，，
由三棱柱得性質知，所以，則四邊形是平行四邊形，
所以，
因為面，面，
所以面．
題型四：利用面面平行證明線面平行
【典例4-1】（2024·貴州貴陽·二模）由正棱錐截得的棱臺稱為正棱臺.如圖，正四棱臺中，分別為的中點，，側面與底面所成角為.

求證：平面；
【解析】連接、，由分別為的中點，則，
又平面，平面，故平面，
正四棱臺中，且，
則四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，故平面，
又，且平面，平面，
故平面平面，又平面，故平面；
【典例4-2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，，，點、在平面的同側，，，，平面平面，.

求證：平面；
【解析】因為，平面，
所以平面，同理平面，
又，平面，，
所以平面平面，平面，
所以平面；
【方法技巧】
本法原理：已知平面平面，則平面里的任意直線均與平面平行
【變式4-1】（2024·四川達州·二模）如圖，在直角梯形中，，，，把梯形繞旋轉至，，分別為，中點．
證明：平面；
【解析】證明：設中點為，連接，
為中位線，，
又平面，平面，
平面，
為梯形中位線，，
又平面，平面，
平面，
，平面，平面，
平面平面，
平面，
平面．
【變式4-2】（2024·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考開學考試）如圖，多面體中，四邊形為矩形，二面角的大小為，，，，．
（1）求證：平面；
【解析】（1）證明：因為四邊形是矩形，所以，，
因為平面，平面，所以平面，
因為，平面，平面，所以平面，
因為，、平面，則平面平面，
因為平面，所以，平面．
題型五：利用線面平行的性質證明線線平行
【典例5-1】如圖，直四棱柱被平面所截，截面為CDEF，且，，，平面與平面所成角的正切值為．證明：.
【解析】在直四棱柱中，平面平面，
平面，平面，則，
而且，又，因此且，
則四邊形是平行四邊形，所以，又，，
所以．
【典例5-2】如圖，平面ABCD,平面ADE，．求證：．
【解析】∵，平面ADE，平面ADE，∴平面ADE．
∵平面ADE，，平面BCF，
∴平面平面．
又平面平面，平面平面，
∴．
【方法技巧】
如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行
【變式5-1】如圖所示，圓臺的上 下底面圓半徑分別為和為圓臺的兩條不同的母線.分別為圓臺的上 下底面圓的圓心，且為等邊三角形. 求證：.

【解析】證明：圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，
所以圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.
母線與母線的延長線必交于一點，四點共面.
圓面圓面，且平面圓面，平面圓面.
.
【變式5-2】（2024·江蘇·模擬預測）如圖，在四棱臺中，，，．
記平面與平面的交線為，證明：；
【解析】
因為 平面，平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面，所以 .
【變式5-3】（2024·甘肅·一模）如圖，空間六面體中,,，平面平面為正方形，平面平面.
求證：；
【解析】平面平面，
平面.
為正方形，，
同理可得平面.
平面平面，
平面平面.
平面平面
平面平面，
.
題型六：面面平行的證明
【典例6-1】如圖，在多面體中，四邊形是正方形，平面，平面，．
(1)求證：平面平面；
(2)若，求多面體的體積．
【解析】（1）因為平面，平面，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
因為四邊形是正方形，所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又平面平面，且，
所以平面平面．
（2）如圖，連接，記．
因為四邊形是正方形，
所以，
因為平面平面，
所以，
因為平面平面，且，
所以平面，
因為，且，所以，
因為四邊形是正方形，所以，
則，
故多面體ABCDEF的體積
．
【典例6-2】（2024·高三·陜西西安·期中）如圖，在圓臺中，為軸截面，，，為下底面圓周上一點，為下底面圓內一點，垂直下底面圓于點，．
(1)求證：平面平面；
【解析】（1）因為，所以，
又平面，平面，所以平面．
因為垂直下底面圓于點，垂直下底面圓于點，所以，
又平面，平面，
故平面．
又，，平面，
所以平面平面．
【方法技巧】
常用證明面面平行的方法是在一個平面內找到兩條相交直線與另一個平面分別平行或找一條直線同時垂直于這兩個平面．證明面面平行關鍵是找到兩組相交直線分別平行．
【變式6-1】（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱中，底面為梯形，，且分別是棱，的中點.

證明：平面平面；
【解析】在中，分別為的中點，則，
而平面平面，因此平面，
又，而，
于是且，四邊形為平行四邊形，則，
又平面平面，因此平面.
而為平面中兩相交直線，所以平面平面.
【變式6-2】（2024·四川眉山·三模）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，平面平面，平面平面是等腰直角三角形，且.
證明：平面平面；
【解析】如圖，取的中點，連接.
因為是等腰直角三角形，故，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面.
同理，平面.
所以.
又和是等腰直角三角形，四邊形為菱形，所以，
四邊形為平行四邊形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因為，平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面.
【變式6-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）如圖，在三棱柱中，側面為矩形，M，N分別為AC，的中點．
求證：平面平面；
【解析】因為M，N分別為側面為矩形的邊AC，的中點，
所以，即四邊形是平行四邊形，
所以,
因為，
所以，即四邊形是平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
因為M，N分別為側面為矩形的邊AC，的中點，
所以，即四邊形是平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
因為平面，且，平面，平面，
所以平面平面；
題型七：面面平行的性質
【典例7-1】（2024·福建南平·二模）在正四面體中，為棱的中點，過點的平面與平面平行，平面平面，平面平面，則，所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為平面平面，平面，平面面，
所以，
因為平面平面，平面，平面面，
所以，
所以，所成角即為所成角，
而所成角為，設正四面體的棱長為，
所以，所以，
所以.
故選：B.
【典例7-2】已知正方體，平面與平面的交線為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方體中，平面平面，
平面平面，平面平面，所以，
正方體中，且，四邊形為平行四邊形，
則有，所以，C選項正確；
都與相交，則與都不平行，ABD選項都錯誤.
故選：C.
【方法技巧】
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）
【變式7-1】如圖，平面平面，所在的平面與，分別交于，，若，，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】因為平面平面，且平面平面，平面平面，
所以，所以，
可得，所以.
故選：C.
【變式7-2】如圖，梯形中，四邊形是梯形在平面α內的投影（），則對四邊形的判斷正確的是（ ）
A．可能是平行四邊形不可能是梯形 B．可能是任意四邊形
C．可能是平行四邊形也可能是梯形 D．只可能是梯形
【答案】D
【解析】由題意，因為，所以與確定平面，
與確定平面，
平面，平面，平面，
又在梯形中，平面，
平面，平面.
又平面，平面，
平面平面.
易知平面，
平面.
在平面中，與長度不相等，必然會相交于一點，
則平面與平面相交，必然會相交于一點，
則四邊形只可能是梯形，
故選：D
【變式7-3】（2024·全國·模擬預測）在長方體中，，過頂點作平面，使得平面，若平面，則直線l和直線所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為平面，平面，平面平面，
所以，所以即直線l和直線所成角或其補角，
在中，，，，
由余弦定理得，
故直線l和直線所成角的余弦值為．
故選：C．
題型八：平行關系的綜合應用
【典例8-1】（2024·四川樂山·三模）在三棱柱中，點在棱上，滿足，點在棱上，且，點在直線上，若平面，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】如圖所示：
因為，所以，
所以
所以，所以，則，
設三棱柱的側棱長為6，則，，
又為的中點，取的中點，連接，則。
過作，且，連接，又，
所以平面平面，又平面，
所以平面，所以，
所以，所以，則，
故選：D
【典例8-2】如圖1，是邊長為3的等邊三角形，點分別在線段上，且，沿將翻折到的位置，使得，如圖2.
在線段上是否存在點，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【解析】在平面中，過點E作，交于，
在平面中，過點作，交于，連接，如圖所示，
因為，平面，平面，所以平面，
同理可得平面，
又因為，平面，所以平面平面，
平面，所以平面，即為所求的點，
在中，，即，如圖所示，
所以，
在中，，所以，即此時.
【方法技巧】
證明平行關系的常用方法
熟練掌握線線、線面、面面平行關系間的相互轉化是解決線線、線面、面面平行的綜合問題的關鍵．面面平行判定定理的推論也是證明面面平行的一種常用方法．
【變式8-1】在三棱柱中，點、分別是、上的點，且平面平面，試求的值.
【解析】連接交于點，連接，如下圖所示：
由棱柱的性質可知，四邊形為平行四邊形，所以，為的中點，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
，則為的中點，則，
平面平面，平面平面，平面平面，
所以，，
又因為，所以，四邊形為平行四邊形，
所以，，因此，.
【變式8-2】（2024·上海嘉定·三模）在長方體中，，，E、F、G分別為AB、BC、的中點.

(1)求三棱錐的體積；
(2)點P在矩形內，若直線平面，求線段長度的最小值.
【解析】（1）依題意有，
所以三棱錐的體積；
（2）如圖，
連結，
∵分別為的中點，
∴平面，平面，
∴平面
∵平面，平面，
∴平面，
∵，∴平面平面，
∵平面，
∴點在直線上，在中，，
，
∴當時，線段的長度最小，最小值為＝.
【變式8-3】如圖，在正四面體中，，E，F，R分別是，，的中點，取，的中點M，N，Q為平面內一點．

(1)求證：平面平面；
(2)若平面，求線段的最小值．
【解析】（1）證明：因為，，分別是，，的中點，
所以，平面，平面，
所以平面．
同理，平面，又因為，
所以平面平面．
（2）由（1）可得平面平面，若平面，則點Q在線段上移動，
在中，，，，的最小值為R到線段的距離，
因為是等腰三角形，故的最小值為．
【變式8-4】如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H為PC的中點，M為AH的中點，.
(1)求證：；
(2)求點C到平面ABH的距離；
(3)在線段PB上是否存在點N，使MN平面ABC？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.
【解析】（1）因為底面，平面，所以.
又因為，平面，
所以平面，
又因為平面，所以.
（2）設點到平面的距離為.
因為底面，，為的中點，
所以點到平面的距離為.
又因為在中，，，．
則，
.
又因為底面，平面，所以，
又因為，，為的中點，
所以，
又因為由（1）知平面，平面，所以，
則.
所以，則，
則的面積為，
所以，解得.
（3）線段上當點滿足，使平面.
證明：取CH的中點K，連接MK，NK．
因為為的中點，
所以由為的中位線，可得.
又因為平面，平面ABC，所以平面；
由，可得，則，
又因為平面ABC，平面ABC，所以平面．
又因為平面，
所以平面平面，
又因為平面MNK，所以平面ABC．
1．（2021年浙江省高考數學試題）如圖已知正方體，M，N分別是，的中點，則（ ）
A．直線與直線垂直，直線平面
B．直線與直線平行，直線平面
C．直線與直線相交，直線平面
D．直線與直線異面，直線平面
【答案】A
【解析】
連，在正方體中，
M是的中點，所以為中點，
又N是的中點，所以，
平面平面，
所以平面.
因為不垂直，所以不垂直
則不垂直平面，所以選項B,D不正確；
在正方體中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直線是異面直線，
所以選項C錯誤，選項A正確.
故選：A.
2．（2008年普通高等學校招生考試數學（文）試題（瓊、寧卷））已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是（ ）
A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β
【答案】D
【解析】如圖所示：
由于，，，所以，又因為，所以，故A正確，
由于，，所以，故B正確，
由于，，在外，所以，故C正確；
對于D，雖然，當不一定在平面內，故它可以與平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正確；
故選：D
3．（多選題）（2017年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（新課標1卷精編版））如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面平行的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】對于選項A，OQ∥AB，OQ與平面MNQ是相交的位置關系，故AB和平面MNQ不平行，故A錯誤；
對于選項B，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ，故B正確；
對于選項C，由于AB∥CD∥MQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故C正確；
對于選項D，由于AB∥CD∥NQ，結合線面平行判定定理可知AB∥平面MNQ：故D正確；
故選：BCD
4．（2011年普通高等學校招生全國統一考試文科數學（福建卷））如圖，在正方體中，，E為AD的中點，點F在CD上，若平面，則 .
【答案】
【解析】根據題意，因為平面，平面，
且平面平面
所以.
又是的中點，所以是的中點.
因為在中，，故.
故答案為：
1．如圖，是異面直線，，求證：.
【解析】
如圖，過直線作平面，平面與相交于直線，與交于點.
.
又平面平面，.
又且.
2．如圖，，直線a與b分別交于點A，B，C和點D，E，F，求證.
【解析】證明：如圖，連接AF交于點M，連接MB，CF，ME，AD.
因為平面，平面，
所以，所以.
同理,且，
所以.
3．一木塊如圖所示，點在平面 內，過點將木塊鋸開，使截面平行于直線 和，應該怎樣畫線？
【解析】利用線面平行的判定定理去確定．
試題解析：過平面
內一點
作直線
，交
于
，交
于
；過平面
內一點
作直線
，交
于
，則
，
所確定的截面為所求．
考點：棱錐的結構特征，線面平行的判定和實際應用．
4．如圖，在長方體中，E，F分別是AB，BC的中點，求證.
【解析】
連接AC.
∵在長方體中，.
∴四邊形為平行四邊形.
.
又∵E，F分別是AB，BC的中點，.
5．如圖，在長方體木塊中，面上有一點P，怎樣過點P畫一條直線與棱CD平行？
【解析】在面內，過點P作直線EF，
使，分別交棱于點E，F，
因為，
所以，
即EF就是過點P與棱CD平行的直線.
6．如圖，透明塑料制成的長方體ABCD﹣A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC于水平地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度不同，有下面五個命題：
①有水的部分始終呈棱柱形；
②沒有水的部分始終呈棱柱形；
③水面EFGH所在四邊形的面積為定值；
④棱A1D1始終與水面所在平面平行；
⑤當容器傾斜如圖(3)所示時，BE BF是定值．
其中所有正確命題的序號是　 ．
【答案】①②④⑤
【解析】根據棱柱的定義知，有兩個面是互相平行且是全等的多邊形，其余每相鄰兩個面的交線也互相平行，而這些面都是平行四邊形，所以①②正確；
因為水面EFGH所在四邊形，從圖2，圖3可以看出，有兩條對邊邊長不變而另外兩條對邊邊長隨傾斜度變化而變化，所以水面四邊形EFGH的面積是變化的，③不對；
因為棱始終與平行，與水面始終平行，所以④正確；
因為水的體積是不變的，高始終是BC也不變，所以底面積也不會變 ，即BE BF是定值，
所以⑤正確；綜上知①②④⑤正確，
故填①②④⑤.
易錯點：線面平行定理的理解不夠準確
易錯分析：在應用線面平行的判定定理進行平行轉化時，定要注意定理成立的條件，通常應嚴格按照定理成立的條件規范書寫步驟.
【易錯題1】如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】對于A,如下圖所示，
易得,
則，
又平面,平面,
則平面，故A滿足；
對于B，如下圖所示，
為所在棱的中點，連接,
易得,
則四邊形為平行四邊形，
四點共面，
又易知，
又平面,平面,
則平面，故B滿足；
對于C,如下圖所示，
點為所在棱的中點，連接,
易得四邊形為平行四邊形，四點共面，
且,
又平面,平面,
輔助我們找到解決問題的線索。
2、模板解決步驟
第一步：在一個平面內找到平行于平面的兩條相交直線a，b
第二步：通過線面平行的判定定理證明直線a，b都平行于平面 .
第三步：通過面面平行的判定定理得到平面平行于平面.
【典型例題1】如圖所示，在三棱柱中，若、D分別為、BC的中點，求證：平面平面．
【解析】證明：如圖所示，連接交于點M，
∵四邊形是平行四邊形，∴M是的中點．連接MD．
∵D為BC的中點，∴．
∵平面，平面，∴平面．
又由三棱柱的性質知，，∴四邊形為平行四邊形，∴．
又平面，平面，∴平面．
又∵，平面，平面，
∴平面平面．
【典型例題2】如圖，已知三棱柱中，與交于點為邊上一點，為中點，且平面.求證：平面平面.

【解析】由題意，因為平面，
且平面
又因為平面平面，
所以由線面平行的性質得.
又因為點為的中點，
所以為的中點，即，
因為為的中點，即，
又因為,
所以，
所以四邊形為平行四邊形，
所以,
又因為平面,平面，
所以平面，
又平面，，平面,平面，
所以平面平面.
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