資源簡介

第02講 空間點、直線、平面之間的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：四個公理 4
知識點2：直線與直線的位置關系 5
知識點3：直線與平面的位置關系 6
知識點4：平面與平面的位置關系 7
知識點5：等角定理 7
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點” 8
題型二：截面問題 12
題型三：異面直線的判定 20
題型四：異面直線所成的角 23
題型五：平面的基本性質 29
題型六：等角定理 32
04真題練習·命題洞見 35
05課本典例·高考素材 38
06易錯分析·答題模板 40
易錯點：空間點、線、面間的位置關系判斷錯誤 40
答題模板：異面直線所成的角 41
考點要求 考題統計 考情分析
（1）基本事實的應用 （2）空間位置關系的判斷 （3）異面直線所成的角 2023年上海卷第15題，5分 2022年上海卷第15題，5分 2022年I卷第9題，5分 2021年乙卷（文）第10題，5分 本節內容是高考命題的熱點，重點關注異面直線的判定和成角問題、空間點線面的位置關系問題．對于空間幾何體的點、線、面 的位置關系，除了題目難度逐步提升，還增加了截面問題，對考生的空間想象能力要求有所提升，需要考生有更強大的邏輯推理能力．
復習目標： （1）借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義． （2）了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．
知識點1：四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
【診斷自測】在長方體中，直線與平面的交點為，與交于點，則下列結論正確的是（ ）
A．，，三點確定一個平面 B．，，三點共線
C．，，，四點共面 D．，，，四點共面
【答案】B
【解析】如下圖所示：
根據題意，連接，則，
所以四點共面，所以面，
又，所以面，
又面，所以點在面與面的交線上面，
同理可得點在面與面的交線上面，
所以，，三點共線，
故A選項錯誤，B選項正確；
由異面直線判定定理可知C選項中為異面直線，
故C選項錯誤；
由異面直線判定定理可知D選項中為異面直線，
故D選項錯誤.
故選：B.
知識點2：直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
【診斷自測】兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
【答案】D
【解析】已知直線與是異面直線，直線與直線分別與兩條直線與直線相交于點，
根據題意可得當點與點重合時，兩條直線相交，當點與點不重合時，兩條直線異面，
所以直線的位置關系是異面或相交.
故選:D．
知識點3：直線與平面的位置關系
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
【診斷自測】四棱錐如圖所示，則直線PC（ ）
A．與直線AD平行 B．與直線AD相交
C．與直線BD平行 D．與直線BD是異面直線
【答案】D
【解析】根據異面直線的定義，不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直線AD、直線BD是異面直線.
故選：D.
知識點4：平面與平面的位置關系
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
【診斷自測】下列說法正確的是（ ）
A．若直線兩兩相交，則直線共面
B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行
C．若平面上有三個不共線的點到平面的距離相等，則平面與平面平行
D．若不共面的4個點到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個
【答案】D
【解析】對于A中，當直線交于同一點時，則直線可能不共面，所以A錯誤；
對于B中，當直線傾斜方向不同時，直線與平面所成的角也可能相等，所以B錯誤；
對于C中，當這3個點不在平面的同側時，平面與平面相交，所以C錯誤；
對于D中，根據題意，顯然這4個點不可能在平面的同側，
當這4個點在平面兩側1，3分布時，這樣的平面有4個，
當這4個點在平面兩側2，2分布時，這樣的平面有3個，
所以這樣的平面有且只有7個，所以D正確.
故選：D．
知識點5：等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【診斷自測】已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 ．
【答案】或
【解析】根據等角定理知：或，
若，則或.
故答案為：或
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
【典例1-1】如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

證明：直線MQ，，NP相交于同一點．
【解析】證明：在正四棱臺中，因為，，，，
所以四邊形，均為梯形，則直線MQ與必相交，NP與必相交．
延長MQ，，NP，設MQ的延長線與的延長線交于點E，NP的延長線與的延長線交于點F．
在正四棱臺中，，，
則，，
得，所以點E，F重合，
即直線MQ，，NP相交于同一點．
【典例1-2】空間四邊形中，點分別在上，且．求證：四點共面．
【解析】∵，
所以，，得到，
所以四點共面.
【方法技巧】
共面、共線、共點問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內．
（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
【變式1-1】在直三棱柱中，，側棱長為3，側面積為.

(1)求三棱錐的體積;
(2)若點D、E分別在三棱柱的棱上，且，線段的延長線與平面交于三點，證明：共線.
【解析】（1）由題意知，
所以該三棱柱的側面積為，
又，直三棱柱中，
且平面，
所以平面，
又，所以平面，
故三棱錐的體積為；
（2）由基本事實的推論知兩條相交直線共面，所以平面，
又平面，所以平面，
而平面，平面平面，
所以，即共線.
【變式1-2】已知在正方體中，E、F分別為、的中點，，．求證：
(1)D，B，F，E四點共面；
(2)若交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線；
(3)DE、BF、三線交于一點．
【解析】（1）證明：因為EF是的中位線，所以．
在正方體中，，所以．
所以EF、BD確定一個平面，即D、B、F、E四點共面．
（2）在正方體中，設平面為、平面BDEF為．
因為，所以．又，所以．所以Q是與的公共點．
同理，P也是與的公共點．所以．
又，所以，，且．則，
故P、Q、R三點共線．
（3）因為且，所以DE與BF相交，
設交點為M，則由，平面，得平面，
同理，點平面．又平面平面，
所以．所以DE、BF、三線交于一點M．
【變式1-3】如圖，在長方體中，、分別是和的中點．
(1)證明：、、、四點共面；
(2)對角線與平面交于點，交于點，求證：點共線；
(3)證明：、、三線共點．
【解析】（1）連接
在長方體中
、分別是和的中點
、、、四點共面
（2）
確定一個平面
面
面
對角線與平面交于點
面
在面與面的交線上
面且面
面 面
即點共線.
（3）延長交于
面
面
面
面
面 面
、、三線共點.
題型二：截面問題
【典例2-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點，則平面截球的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
設正方體外接球的半徑為，棱長為，
因為正方體外接球的體積為，
所以，則，
由，得，
設球心到平面的距離為，平面截球的截面圓的半徑為，
設到平面的距離為,
因為、、分別為棱的中點，
所以是邊長為的正三角形,
由,得,
則,
解得,又,
所以到平面的距離為，
則，
，
所以平面截球的截面面積為，.
故選：A.
【典例2-2】（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點，過A，B，P三點作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】正方體的外接球球心是的中點，而，
則點到平面的距離等于點到平面的距離的一半，又平面過線段的中點P，
因此點與點到平面的距離相等，由平面，，得平面，
在平面內過作于，而平面，于是，
又，從而，又球的半徑，
則正方體的外接球被平面截得的截面圓半徑，有，
所以正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積.
故選：D
【方法技巧】
（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【答案】C
【解析】如圖，設，分別延長交于點，此時，
連接交于，連接，
設平面與平面的交線為，則，
因為平面平面，平面平面，平面平面，
所以，設，則，
此時，故，連接，
所以五邊形為所求截面圖形，
故選：C．
【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（ ）

A． B．9 C． D．
【答案】A
【解析】
如圖，取AB的中點G，連接GE，，．
因為E為BC的中點，所以，，
又，，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，，
所以，，
所以用過點，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，
其周長為．
故選：A．
【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）設正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】連結，因為平面，平面，所以
且，平面，所以平面，平面，
所以，同理，且，平面，
所以平面；
所以平面為平面或與其平行的平面，只能為三角形或六邊形.
當為三角形時，其面積的最大值為；
當為六邊形時，此時的情況如圖所示，
設，則，
依次可以表示出六邊形的邊長，如圖所示：六邊形可由兩個等腰梯形構成，
其中，兩個等腰梯形的高分別為，，
則，
當且僅當時，六邊形面積最大，即截面是正六邊形時截面面積最大，最大值為.
【變式2-4】已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在正方體中，平面平面，
因為平面，平面，平面平面，
則平面與平面的交線過點，且與直線平行，與直線相交，
設交點為，如圖所示，
又因為平面，平面，
即分別為，與平面所成的角，
因為，則，且有，當與重合時，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時，即為棱中點；
當點由點向點移動過程中，逐漸減小，點由點向點方向移動；
當點為線段上任意一點時，平面只與該正方體的4個表而有交線，即可用成四邊形；
當點在線段延長線上時，直線必與棱交于除點外的點，
又點與不重合，此時，平面與該正方體的5個表面有交線，截面為五邊形，
如圖所示．
因此．當為棱上異于端點的動點，截面為四邊形，點只能在線段（除點外）上，即，可得，則，
所以線段的取值范圍是，
所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.
故選：B．
【變式2-5】已知正方體的棱長為，為棱的中點，為側面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面周長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，取的中點，分別連接，
在正方形中，因為分別為的中點，可得，
所以，，
因為，所以，所以，即，
又因為分別為的中點，所以，
因為平面，平面，所以，所以，
又因為且平面，所以平面，
因為平面，所以，同理可證：，
又因為且平面，所以平面，
即平面截正方體的截面為，
由正方體的棱長為，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的周長為.
故選：A.
【變式2-6】（2024·四川宜賓·三模）已知E，F分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則下列說法正確的是（ ）
A．截面多邊形不可能是平行四邊形 B．截面多邊形的周長是定值
C．截面多邊形的周長的最小值是 D．截面多邊形的面積的取值范圍是
【答案】D
【解析】對于A，當平面過或時，截面為三角形.
易知正四面體關于平面對稱，將平面從平面開始旋轉與交于點時，
由對稱性可知，此時平面與交于點，且，
此時截面為四邊形，且注意到當分別為的中點時，此時滿足，
且，即此時截面四邊形是平行四邊形，故A錯誤；
對于BC，設，由余弦定理得，
，
由兩點間距離公式知，表示動點到定點和的距離之和，
當三點共線時取得最小值，
由二次函數單調性可知，當或時，取得最大值，
所以截面多邊形周長的取值范圍是，故BC錯誤；
對于D，記與的交點為，由對稱性，，
所以，，
因為，
所以，所以，
記，
則，
因為，
所以
，
由二次函數性質可知，，即，
所以，故D正確；
故選：D.
題型三：異面直線的判定
【典例3-1】如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由平面展開圖得到該正方體的直觀圖如圖所示，與直線是異面直線的是，
其中，所以與共面、與共面、與共面．
故選：C
【典例3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
【答案】D
【解析】如圖，在底面半徑為1的圓柱中，母線，，是的中點，則，
因為是的中點，又，則，
，，
，
在中，是的中點，是的中點，，
與是共面直線，
若AC與EF是共面直線，則在同一平面，顯然矛盾，故AC與EF是異面直線
故選：D．
【方法技巧】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過B點的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
【變式3-1】將下面的平面圖形（每個點都是正三角形的頂點或邊的中點）沿虛線折成一個四面體后，直線MN與PQ是異面直線的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【答案】A
【解析】①對應圖1，是平面外一點，在平面內，且不在直線上，因此與是異面直線，①正確；
②對應圖2，重合，與是相交直線，②錯；
③對應圖3，由于由中位線定理得，都與棱平等，從而，③錯；
④與圖1類似得與是異面直線，④正確．
故選：A．
【變式3-2】已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列說法不正確的是（ ）
A．存在點，使得； B．存在點，使得；
C．直線始終與直線異面； D．直線始終與直線異面.
【答案】C
【解析】在正方體中，可得，
又由平面，且平面，所以，
因為，且平面，所以平面，
由點在直線上，為線段的中點，
當點和重合時，可得平面，所以，所以A正確；
連接，如圖所示，
當點為線段的中點時，為的中位線，即，所以B正確；
因為平面，當點和點重合時，平面，
則直線和在同一平面內，所以C錯誤；
由平面，平面，且，
所以直線始終與直線不相交，且不平行，所以與是異面直線，所以D正確.
故選：C.
題型四：異面直線所成的角
【典例4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，連接，則，取的中點，連接，則，
所以（或其補角）為直線與所成的角，
又正四棱柱的體積為16，則該棱柱的高為，
又，
所以，
即直線與所成角的余弦值為.
故選：C
【典例4-2】已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內一定點的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【答案】C
【解析】如圖：
通過平移過點P作a∥BD，b∥CE，由題意，,,
而的角平分線與a和b的所成角為，
的角平分線與a和b的所成角為，
因為，所以直線l和a，b所成角均為的直線有4條，
其中直線l在平面BPE的射影為的角平分線時存在2條直線滿足條件，
當直線l在平面EPD的射影為的角平分線時存在2條滿足條件，故共4條.
故選：C.
【方法技巧】
（1）點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【變式4-1】（2024·高三·河南鶴壁·期中）如圖，在正三棱柱中，，，則直線與直線所成角的正切值為 ．
【答案】/
【解析】在正三棱柱中，連接交于O點，取的中點F，連接OF，
顯然是的中點，則，是與所成的角或其補角，
在中，，，，
，，
所以直線與直線所成角的正切值為.
故答案為：
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 ．
【答案】
【解析】取的中點，連接，如圖所示：
因為為的中點，為的中點，
則根據三角形的中位線定理可得，且.
所以為異面直線與所成的角或其補角．
因為在中，，，，
所以，則.
又，所以．
又在中，，,
所以由余弦定理可得：.
又因為在中，，
所以由余弦定理可得：.
則在中，由余弦定理可得，，
所以異面直線與所成角的余弦值為．
故答案為：.
【變式4-3】如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱長相等且為4，E為CD的中點，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】取的中點，連接，由E為CD的中點，得，，
則是異面直線CM與AE所成的角或其補角，
正方形中，，在中，，
，，
于是，
所以異面直線CM與AE所成的角的余弦值為.
故選：D
【變式4-4】（2024·高三·江蘇南京·期中）已知矩形中，是邊的中點．和交于點，將沿折起，在翻折過程中當與垂直時，異面直線和所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖1，在矩形中，是邊的中點，
故，故，
又，故，所以，
則，故．
如圖2，將沿折起，點的對應點為，在翻折過程中，當與垂直時，
因為平面，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
因為平面，平面平面，
所以平面，
連接，因為，
所以或其補角即為異面直線和所成角，
因為，所以，
故，則，又，
故，即所求角的余弦值為，
故選：D．
【變式4-5】四面體中，，，，求與所成角的余弦值的取值范圍 ．
【答案】
【解析】如圖，取，分別為，的中點．
，，
，所以，
在中，，當，重合時取等．
過作于，設，則,即，即，得．
所以．當，，，共面時取等．
取中點，則，，所以所求的角即為，
于是
由知，于是．
故答案為：
題型五：平面的基本性質
【典例5-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定1個平面 B．三條直線最多可確定2個平面
C．三條直線最多可確定3個平面 D．三條直線最多可確定4個平面
【答案】C
【解析】在空間中，三條直線最多可確定個平面，
例如：三棱錐中的三個側面.
故選：C
【典例5-2】（2024·陜西榆林·二模）下列說法中正確的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．垂直于同一平面的兩個平面垂直
C．一塊蛋糕3刀可以切成6塊
D．一條直線上有兩個點到一平面的距離相等，則這條直線在平面內
【答案】C
【解析】對A，平行于同一直線的兩個平面可以平行也可以相交，故A錯誤；
對于B，垂直同一個平面的兩個平面不一定互相垂直，也可以相交、平行，故B錯誤.
對C，作蛋糕截面如圖所示，
一個蛋糕切3刀可以切成塊，故C正確；
對D，一條直線上有兩個點到一平面的距離相等，則這條直線在平面內或該直線與平面平行或直線與平面相交，故D錯誤.
故選： C.
【方法技巧】
平面具有三大基本性質：一、任意三點不共線則確定一個唯一平面；二、任意兩條平行直線確定一個唯一平面；三、過不在同一直線上的三點，有且僅有一個平面。這些性質揭示了平面作為二維空間的基本構成單元，其存在與確定的唯一性。
【變式5-1】（2024·寧夏銀川·三模）是兩個不同的點，為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】A，直線上兩個不同點在某個平面內，則直線在該平面內，故正確；
B，兩個不同點同時在兩個不同平面內，則兩點所在直線為兩平面的交線，故正確；
C，有兩種情況，與相交或，其中與相交，且交點為A點，則C錯誤；
D，直線在面內，則直線上的點都在面內，故結論正確；
故選：C.
【變式5-2】空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作的平面個數為（ ）
A．42 B．56 C．64 D．81
【答案】B
【解析】根據題意知“三個不共線的點確定一個平面”，且所確定的平面與點的順序無關，
所以共可確定的平面個數是個.
故選：B
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓柱中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且，若是弧BC的中點，是線段AB的中點，則（ ）
A．四點不共面 B．四點共面
C．為直角三角形 D．為直角三角形
【答案】D
【解析】因為點，而平面，結合圓柱結構，所以平面，故四點不共面；
圓柱中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且，
若是弧BC的中點，是線段AB的中點，故，
所以，故；
連接，則依題有為在平面內的射影，在平面內顯然與不垂直，故與不垂直；
，則為直角三角形，
故選：．
題型六：等角定理
【典例6-1】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則 ， .
【答案】 /0.5 /
【解析】在正方體中，是棱的中點，
延長與延長線交于點，連接，則直線即為直線，，
由，得，又，于是，
由平面平面，平面平面，平面平面，
則，又，因此，，
所以.
故答案為：；
【典例6-2】設與的兩邊分別平行，若，則 .
【答案】或
【解析】根據等角定理：一個角的兩邊平行于另外一個角的兩邊，則這兩個角相等或互補．
所求角為或.
故答案為：或.
【方法技巧】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【變式6-1】已知空間中兩個角，且，若，則 .
【答案】或
【解析】因為兩個角，且，
則的兩邊分別平行，
所以相等或互補，
又，所以或
故答案為：或
【變式6-2】過正方體的頂點在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有 條．
【答案】2
【解析】在正方體中，與平面垂直，再根據等角定理，問題可以轉化為過點A與、都成的直線有幾條．
考慮到，夾角為，所以同一平面的角平分線與，的夾角大小為，
因為，從而存在兩條直線滿足條件．而，的外角為120度，所以不存在外角平分線滿足條件．
綜上，滿足條件的直線共2條．
故答案為：2.
【變式6-3】如圖，已知直線，為異面直線，為直線上三點，，，為直線上三點，，，，，分別為，，，，的中點.若，則 .

【答案】/
【解析】因為，分別是，的中點，
所以，
同理，，，
所以，．
又的兩邊和的兩邊的方向都相同，
所以，
所以.
故答案為：.
1．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
如圖，連接，因為∥，
所以或其補角為直線與所成的角，
因為平面，所以，又，，
所以平面，所以，
設正方體棱長為2，則，
，所以.
故選：D
2．（2012年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（重慶卷））設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】設四面體的底面是，，，頂點為，
在三角形中，因為兩邊之和大于第三邊可得：，①
取中點，是中點，直角三角形全等于直角，
所以在三角形中，，
兩邊之和大于第三邊
，得，（負值0值舍）②
由①②得．
故答案為．
3．（2010年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）數學）過正方體的頂點A作直線，使與棱AB，AD，所成的角都相等，這樣的直線可以作（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【解析】如圖：
由于平面，平面，平面上不存在滿足條件的直線，只需考慮正方體內部和正方體外部滿足條件的直線的條數.第一類：在正方體內部,由三余弦定理知在平面內的射影為的角平分線,在平面內的射影為的角平分線，則在正方體內部的情況為體對角線；第二類：在圖形外部與每條棱的外角度數和另條棱夾角度數相等，有條.所以共有條滿足條件的直線,故選D.
4．（2007年普通高等學校招生考試數學（理）試題（上海卷））已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線在上的射影是直線.用與，與的位置關系，寫出一個總能確定與是異面直線的充分條件： .
【答案】
，并且與相交
【解析】當異面時，在上的射影是直線，可能平行或相交：
過上的射影是直線，可能平行或相交：
但當直線與直線，同時成立時，則：
而當直線與 直線與，均相交時，則與可能相交；
故能確定與是異面直線的充分條件是，并且與相交
（或，并且與相交）.
故答案為：，并且與相交.
5．（2009年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（全國卷Ⅰ））已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，若在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】設的中點為，由題意可知平面，
連接、、，在三棱柱中，
所以即為異面直線與所成的角；
設三棱柱的側棱與底面邊長為， 則，
分別在和中，由勾股定理，可知 ，，
在中，由余弦定理，得；
所以異面直線與所成的角的余弦值為．
故選：D．
1．（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．一條直線和直線外一點確定一個平面
C．圓心和圓上兩點可確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
【答案】BD
【解析】平面上不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；
一條直線和直線外一點確定一個平面，故B正確；
如果圓上兩點和圓心共線，不能確定一個平面，故C錯誤；
梯形上下底是兩平行直線，可以確定一個平面，故D正確；
故選：BD.
2．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么在AB，CD，EF，GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線？
【解析】
還原正方體如圖，由經過平面外一點和平面內一點的直線和平面內不進過該點的直線是異面直線可得，
AB，CD，EF，GH這四條線段所在直線是異面直線為：
直線EF和直線HG，直線AB和直線HG，直線AB和直線CD.
3．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.
【解析】證明：法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB 平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由基本事實3可知：點P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.
∴P，Q，R三點共線.
法二：∵AP∩AR＝A，
∴直線AP與直線AR確定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC 平面APR.
∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，
∴P，Q，R三點共線.
4．如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條直線確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直線相交于一點，它們最多可以確定幾個平面？
【解析】①三條直線兩兩平行，這三條直線象三棱柱的三條側棱，其中每兩條直線可以確定一個平面,則可以確定3個平面；
②三條直線兩兩相交每兩條確定一個平面，當這三條直線在同一個平面時則可以確定1個平面；當這三條直線不在同一個平面時，則可以確定3個平面；
這三條直線能夠確定一個平面或三個平面,最多可以確定3個平面.
5．正方體各面所在平面將空間分成幾部分？
【解析】
如圖，圖中畫出了正方體最上層把空間分成9個部分，
同理中層、下層也分別把空間分成9個部分，
因此共將空間分成27個部分.
易錯點：空間點、線、面間的位置關系判斷錯誤
易錯分析： 在空間幾何中，點、線、面間的位置關系判斷錯誤常源于對基本概念的模糊理解或忽視。
【易錯題1】若直線，，滿足，，異面，則與（ ）
答題模板：異面直線所成的角
1、模板解決思路
根據異面直線所成角的定義，我們可以通過平移的方式，將兩條原本不在同一平面內的異面直線轉化為在同一平面內相交的直線。接下來，我們需要證明這兩條相交直線所形成的角，實際上就是原本那兩條異面直線所成的角。一旦證明了這一點，我們就可以利用解三角形等數學方法，來求解這個角的具體大小。
2、模板解決步驟
第一步：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
第二步：證明作出的角是異面直線所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例題1】如圖所示，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，且，則直線與所成角的大小為 ．

【答案】
【解析】如圖，延長交底面圓于點，連接，，
由，均為圓的直徑知，且，
所以即為異面直線與所成的角（或其補角）．
在中，，
在中，，
所以，所以為正三角形，
所以，即直線與所成的角為.
故答案為：.
【典型例題2】如圖，直線平面為正方形，，則直線與所成角的大小為 ．
【答案】
【解析】令，取中點分別為，
連結，則，
就是直線與所成角或其補角.
又因為在中，，
連結，得，
，
則，
∴直線與所成角為.
故答案為：.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)第02講 空間點、直線、平面之間的位置關系
目錄
01 考情透視·目標導航 2
02 知識導圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：四個公理 4
知識點2：直線與直線的位置關系 4
知識點3：直線與平面的位置關系 5
知識點4：平面與平面的位置關系 6
知識點5：等角定理 6
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點” 7
題型二：截面問題 9
題型三：異面直線的判定 10
題型四：異面直線所成的角 11
題型五：平面的基本性質 13
題型六：等角定理 14
04真題練習·命題洞見 15
05課本典例·高考素材 16
06易錯分析·答題模板 18
易錯點：空間點、線、面間的位置關系判斷錯誤 18
答題模板：異面直線所成的角 18
考點要求 考題統計 考情分析
（1）基本事實的應用 （2）空間位置關系的判斷 （3）異面直線所成的角 2023年上海卷第15題，5分 2022年上海卷第15題，5分 2022年I卷第9題，5分 2021年乙卷（文）第10題，5分 本節內容是高考命題的熱點，重點關注異面直線的判定和成角問題、空間點線面的位置關系問題．對于空間幾何體的點、線、面 的位置關系，除了題目難度逐步提升，還增加了截面問題，對考生的空間想象能力要求有所提升，需要考生有更強大的邏輯推理能力．
復習目標： （1）借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出空間點、直線、平面的位置關系的定義． （2）了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題．
知識點1：四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內．
注意：（1）此公理是判定直線在平面內的依據；（2）此公理是判定點在面內的方法
公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面．
注意：（1）此公理是確定一個平面的依據；（2）此公理是判定若干點共面的依據
推論①：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面；
注意：（1）此推論是判定若干條直線共面的依據
（2）此推論是判定若干平面重合的依據
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
推論②：經過兩條相交直線，有且只有一個平面；
推論③：經過兩條平行直線，有且只有一個平面；
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．
注意：（1）此公理是判定兩個平面相交的依據
（2）此公理是判定若干點在兩個相交平面的交線上的依據（比如證明三點共線、三線共點）
（3）此推論是判定幾何圖形是平面圖形的依據
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
【診斷自測】在長方體中，直線與平面的交點為，與交于點，則下列結論正確的是（ ）
A．，，三點確定一個平面 B．，，三點共線
C．，，，四點共面 D．，，，四點共面
知識點2：直線與直線的位置關系
位置關系 相交（共面） 平行（共面） 異面
圖形
符號 a∥b
公共點個數 1 0 0
特征 兩條相交直線確定一個平面 兩條平行直線確定一個平面 兩條異面直線不同在如何一個平面內
【診斷自測】兩條直線分別和異面直線都相交，則直線的位置關系是（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．可能是平行直線 D．可能是異面直線，也可能是相交直線
知識點3：直線與平面的位置關系
位置關系 包含（面內線） 相交（面外線） 平行（面外線）
圖形
符號 ∥
公共點個數 無數個 1 0
【診斷自測】四棱錐如圖所示，則直線PC（ ）
A．與直線AD平行 B．與直線AD相交
C．與直線BD平行 D．與直線BD是異面直線
知識點4：平面與平面的位置關系
位置關系 平行 相交（但不垂直） 垂直
圖形
符號 ∥ ，
公共點個數 0 無數個公共點且都在唯一的一條直線上 無數個公共點且都在唯一的一條直線上
【診斷自測】下列說法正確的是（ ）
A．若直線兩兩相交，則直線共面
B．若直線與平面所成的角相等，則直線互相平行
C．若平面上有三個不共線的點到平面的距離相等，則平面與平面平行
D．若不共面的4個點到平面的距離相等，則這樣的平面有且只有7個
知識點5：等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【診斷自測】已知空間中兩個角，，且角與角的兩邊分別平行，若，則 ．
題型一：證明“點共面”、“線共面”或“點共線”及“線共點”
【典例1-1】如圖，在正四棱臺中，M，N，P，Q分別為棱AB，BC，，上的點．已知，，，，正四棱臺的高為6．

證明：直線MQ，，NP相交于同一點．
【典例1-2】空間四邊形中，點分別在上，且．求證：四點共面．
【方法技巧】
共面、共線、共點問題的證明
（1）證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線（或點）在這個平面內．
（2）證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上．
（3）證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點．
【變式1-1】在直三棱柱中，，側棱長為3，側面積為.

(1)求三棱錐的體積;
(2)若點D、E分別在三棱柱的棱上，且，線段的延長線與平面交于三點，證明：共線.
【變式1-2】已知在正方體中，E、F分別為、的中點，，．求證：
(1)D，B，F，E四點共面；
(2)若交平面DBFE于R點，則P、Q、R三點共線；
(3)DE、BF、三線交于一點．
【變式1-3】如圖，在長方體中，、分別是和的中點．
(1)證明：、、、四點共面；
(2)對角線與平面交于點，交于點，求證：點共線；
(3)證明：、、三線共點．
題型二：截面問題
【典例2-1】（2024·云南曲靖·模擬預測）正方體外接球的體積為，、、分別為棱的中點，則平面截球的截面面積為（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·四川瀘州·三模）已知正方體的棱長為2，P為的中點，過A，B，P三點作平面，則該正方體的外接球被平面截得的截面圓的面積為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）作截面應遵循的三個原則：①在同一平面上的兩點可引直線；②凡是相交的直線都要畫出它們的交點；③凡是相交的平面都要畫出它們的交線．
（2）作交線的方法有如下兩種：①利用基本事實3作交線；
②利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線．
【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）已知正方體中，點是線段上靠近的三等分點，點是線段上靠近的三等分點，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（ ）
A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形
【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，用過點，E，的平面截正方體，則截面周長為（ ）

A． B．9 C． D．
【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）設正方體的棱長為1，與直線垂直的平面截該正方體所得的截面多邊形為，則的面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】已知正方體的棱長為，為的中點，為棱上異于端點的動點，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-5】已知正方體的棱長為，為棱的中點，為側面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面周長為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-6】（2024·四川宜賓·三模）已知E，F分別是棱長為2的正四面體的對棱的中點.過的平面與正四面體相截，得到一個截面多邊形，則下列說法正確的是（ ）
A．截面多邊形不可能是平行四邊形 B．截面多邊形的周長是定值
C．截面多邊形的周長的最小值是 D．截面多邊形的面積的取值范圍是
題型三：異面直線的判定
【典例3-1】如圖，這是一個正方體的平面展開圖，若將其還原成正方體，下列直線中，與直線是異面直線的是（ ）

A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·福建福州·三模）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉軸作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB=2，E是弧BC的中點，F是AB的中點，則（ ）
A．AE=CF，AC與EF是共面直線
B．，AC與EF是共面直線
C．AE=CF，AC與EF是異面直線
D．，AC與EF是異面直線
【方法技巧】
判定空間兩條直線是異面直線的方法如下：
（1）直接法：平面外一點A與平面內一點B的連線和平面內不經過B點的直線是異面直線．
（2）間接法：平面兩條不可能共面（平行，相交）從而得到兩線異面．
【變式3-1】將下面的平面圖形（每個點都是正三角形的頂點或邊的中點）沿虛線折成一個四面體后，直線MN與PQ是異面直線的是（ ）
A．①④ B．②③ C．①② D．③④
【變式3-2】已知正方體，點在直線上，為線段的中點，則下列說法不正確的是（ ）
A．存在點，使得； B．存在點，使得；
C．直線始終與直線異面； D．直線始終與直線異面.
題型四：異面直線所成的角
【典例4-1】（2024·新疆喀什·三模）已知底面邊長為2的正四棱柱的體積為16，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知兩條異面直線a，b所成角為，若過空間內一定點的直線l和a，b所成角均為，則這樣的直線l有（ ）
A．2條 B．3條 C．4條 D．5條
【方法技巧】
（1）點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體（長方體、正方體）模型來判斷，常借助正方體為模型．
（2）求異面直線所成的角的三個步驟
一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
二證：證明作出的角是異面直線所成的角．
三求：解三角形，求出所作的角．
【變式4-1】（2024·高三·河南鶴壁·期中）如圖，在正三棱柱中，，，則直線與直線所成角的正切值為 ．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）在三棱錐中，，，，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值是 ．
【變式4-3】如圖，已知四棱錐，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱長相等且為4，E為CD的中點，則異面直線CM與AE所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】（2024·高三·江蘇南京·期中）已知矩形中，是邊的中點．和交于點，將沿折起，在翻折過程中當與垂直時，異面直線和所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-5】四面體中，，，，求與所成角的余弦值的取值范圍 ．
題型五：平面的基本性質
【典例5-1】（2024·陜西商洛·模擬預測）在空間中，下列命題是真命題的是（ ）
A．三條直線最多可確定1個平面 B．三條直線最多可確定2個平面
C．三條直線最多可確定3個平面 D．三條直線最多可確定4個平面
【典例5-2】（2024·陜西榆林·二模）下列說法中正確的是（ ）
A．平行于同一直線的兩個平面平行
B．垂直于同一平面的兩個平面垂直
C．一塊蛋糕3刀可以切成6塊
D．一條直線上有兩個點到一平面的距離相等，則這條直線在平面內
【方法技巧】
平面具有三大基本性質：一、任意三點不共線則確定一個唯一平面；二、任意兩條平行直線確定一個唯一平面；三、過不在同一直線上的三點，有且僅有一個平面。這些性質揭示了平面作為二維空間的基本構成單元，其存在與確定的唯一性。
【變式5-1】（2024·寧夏銀川·三模）是兩個不同的點，為兩個不同的平面，下列推理錯誤的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【變式5-2】空間中有8個點，其中任何4個點不共面，過每3個點作一個平面，可以作的平面個數為（ ）
A．42 B．56 C．64 D．81
【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知圓柱中，AD，BC分別是上、下底面的兩條直徑，且，若是弧BC的中點，是線段AB的中點，則（ ）
A．四點不共面 B．四點共面
C．為直角三角形 D．為直角三角形
題型六：等角定理
【典例6-1】（2024·廣東汕頭·一模）如圖，在正方體中，是棱的中點，記平面與平面的交線為，平面與平面的交線為，若直線分別與所成的角為，則 ， .
【典例6-2】設與的兩邊分別平行，若，則 .
【方法技巧】
空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．
【變式6-1】已知空間中兩個角，且，若，則 .
【變式6-2】過正方體的頂點在空間作直線，使與平面和直線所成的角都等于，則這樣的直線共有 條．
【變式6-3】如圖，已知直線，為異面直線，為直線上三點，，，為直線上三點，，，，，分別為，，，，的中點.若，則 .

1．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
2．（2012年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（重慶卷））設四面體的六條棱的長分別為1，1，1，1，和，且長為的棱與長為的棱異面，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2010年普通高等學校招生全國統一考試（江西卷）數學）過正方體的頂點A作直線，使與棱AB，AD，所成的角都相等，這樣的直線可以作（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
4．（2007年普通高等學校招生考試數學（理）試題（上海卷））已知是兩個相交平面，空間兩條直線在上的射影是直線在上的射影是直線.用與，與的位置關系，寫出一個總能確定與是異面直線的充分條件： .
5．（2009年普通高等學校招生全國統一考試理科數學（全國卷Ⅰ））已知三棱柱的側棱與底面邊長都相等，若在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線AB與所成的角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
1．（多選題）下列命題正確的是（ ）
A．三點確定一個平面
B．一條直線和直線外一點確定一個平面
C．圓心和圓上兩點可確定一個平面
D．梯形可確定一個平面
2．如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么在AB，CD，EF，GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線？
3．已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點共線.
4．如圖，三條直線兩兩平行且不共面，每兩條直線確定一個平面，一共可以確定幾個平面？如果三條直
【易錯題1】若直線，，滿足，，異面，則與（ ）
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
【易錯題2】在空間四邊形的邊、、、上分別取點E、F、G、H，若與相交于一點M，則M（ ）
A．一定在直線上；
B．一定在直線上；
C．可能在直線上，也可能在直線上；
D．不在直線上，也不在直線上．
答題模板：異面直線所成的角
1、模板解決思路
根據異面直線所成角的定義，我們可以通過平移的方式，將兩條原本不在同一平面內的異面直線轉化為在同一平面內相交的直線。接下來，我們需要證明這兩條相交直線所形成的角，實際上就是原本那兩條異面直線所成的角。一旦證明了這一點，我們就可以利用解三角形等數學方法，來求解這個角的具體大小。
2、模板解決步驟
第一步：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角．
第二步：證明作出的角是異面直線所成的角．
第三步：解三角形，求出所作的角．
【典型例題1】如圖所示，圓錐的底面直徑，高，為底面圓周上的一點，且，則直線與所成角的大小為 ．

【典型例題2】如圖，直線平面為正方形，，則直線與所成角的大小為 ．
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