資源簡介

第01講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：多面體的結(jié)構(gòu)特征 4
知識點2：簡單旋轉(zhuǎn)體 5
知識點3：組合體 5
知識點4：表面積與體積計算公式 6
知識點5：空間幾何體的直觀圖 7
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 8
題型二：直觀圖 9
題型三：展開圖 10
題型四：最短路徑問題 12
題型五：空間幾何體的表面積 14
題型六：空間幾何體的體積 15
04真題練習(xí)·命題洞見 18
05課本典例·高考素材 19
06易錯分析·答題模板 21
易錯點：對斜二測畫法的掌握不牢 21
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）基本立體圖形 （2）表面積與體積 2024年I卷第5題，5分 2024年甲卷（理）第14題，5分 2024年天津卷第9題，5分 2023年乙卷（理）第8題，5分 2023年甲卷（文）第10題，5分 2023年天津卷第8題，5分 2023年II卷第14題，5分 2023年I卷第12題，5分 （1）掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，能夠解決簡單的實際問題； （2）多面體和球體的相關(guān)計算問題是近幾年考查的重點； （3）運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果，突出考查直觀想象和邏輯推理．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)． （2）知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題． （3）能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．
知識點1：多面體的結(jié)構(gòu)特征
1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．
（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；
（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；
（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；
（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；
（7）正方體：棱長都相等的長方體．
2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．
（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．
3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．
【診斷自測】如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．①是棱臺，②不是圓臺 B．②是圓臺，③是棱錐
C．③是棱錐，④是棱臺 D．③是棱錐，④是棱柱
知識點2：簡單旋轉(zhuǎn)體
1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．
2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．
3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．
4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）．
【診斷自測】下列選項中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如圖所示幾何體的是（　　）

A． B． C． D．
知識點3：組合體
由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．
【診斷自測】如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（ ）
A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成
B．一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成
C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成
D．一個球、一個五棱柱、一個棱臺構(gòu)成
知識點4：表面積與體積計算公式
表面積公式
表面積 柱體 為直截面周長
錐體
臺體
球
體積公式
體積 柱體
錐體
臺體
球
【診斷自測】正六棱臺的上、下底面邊長分別是2和6，側(cè)棱長是5，則它的表面積與體積分別為（ ）
A． B．
C． D．
知識點5：空間幾何體的直觀圖
1、斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下：
（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．
（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．
（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．
（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．
注：直觀圖和平面圖形的面積比為．
2、平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點．
【診斷自測】如圖,直角梯形滿足,它是水平放置的平面圖形的直觀圖,則該平面圖形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【典例1-1】有下列命題：
①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；
②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；
③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；
④用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺．
⑤有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例1-2】下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直四棱柱是長方體，長方體是四棱柱 B．一個棱柱至少有6個面
C．相等的角在直觀圖中仍然相等 D．有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
【方法技巧】
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
【變式1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B．一個多面體至少有4個面
C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
【變式1-2】下列說法中，正確的是（ ）
A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐
B．以正方體的頂點為頂點可以構(gòu)成正四棱錐
C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺
D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
題型二：直觀圖
【典例2-1】如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．四邊形的周長為
D．四邊形的面積為
【典例2-2】如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．
【變式2-1】由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點B到x軸的距離是 .

【變式2-2】如圖，矩形是水平放置的平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為 ．
【變式2-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（ ）

A． B． C．24 D．48
題型三：展開圖
【典例3-1】如圖，在四棱錐的平面展開圖中，底面為等腰梯形，，，，，，，則 ．
【典例3-2】如圖，將三棱錐展開為平面圖形，已知，，，，則 ．
【方法技巧】
多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
【變式3-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點共線，B，C，E三點共線，，，則PB＝ ．
【變式3-2】（2024·重慶·三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（ ）

A． B．1 C． D．2
【變式3-3】將四棱錐沿棱展開為平面圖形，如圖所示．若，，，，，，則在展開圖中，兩點之間的距離 ．
題型四：最短路徑問題
【典例4-1】在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，點為側(cè)面的中心，則的周長的最小值為 .
【典例4-2】（2024·江西九江·一模）如圖，在正三棱柱中，，為的中點，為線段上的點.則的最小值為

【方法技巧】
此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題．
【變式4-1】如圖，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為 .

【變式4-2】正三棱柱的底邊長側(cè)棱長都是2，為的中點，為的中點，則在棱柱表面上，從到的最短路程是 ．
【變式4-3】已知在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，P是上一動點，則的最小值為 ．
【變式4-4】如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，，分別為線段和棱上的動點，則的最小值為 ．
【變式4-5】（2024·上海虹口·二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點為棱的中點，點在上，則線段的長度和的最小值為 .
題型五：空間幾何體的表面積
【典例5-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．18
【典例5-2】（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為 ．
【方法技巧】
（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．
（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．
【變式5-1】（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A． B． C． D．
【變式5-2】（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）正四棱臺中，上底面邊長為2，下底面邊長為4，若側(cè)面與底面所成的二面角為60°，則該正四棱臺的側(cè)面積為（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【變式5-3】（2024·廣東江門·一模）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖)，則該幾何體共有 個面；若被截正方體的棱長是60cm，那么該幾何體的表面積是 cm2.
題型六：空間幾何體的體積
【典例6-1】（2024·福建龍巖·三模）已知球的體積為，且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積相等，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】（2024·山東·模擬預(yù)測）陶瓷茶壺是中國人很喜愛的一種茶具，不少陶瓷茶壺兼具實用性與藝術(shù)性，如圖所示的陶瓷茶壺的主體可近似看作一個圓臺型容器，忽略茶壺的壁厚，該圓臺型容器的軸截面下底為10cm，上底為6cm，面積為，則該茶壺的容積約為 L（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：；）．

【方法技巧】
求空間幾何體的體積的常用方法
公式法 規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補法 把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體
等體積法 通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
【變式6-1】如圖“四角反棱臺”，它是由兩個相互平行的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn) 連接而成，且上底面正方形的四個頂點在下底面的射影點為下底面正方形各邊的中點.若下底面正方形邊長為4，“四角反棱臺”高為3，則該幾何體體積為 .
【變式6-2】（2024·新疆·二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個羨除的體積 ．
【變式6-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上、下底面棱長分別為1和2，側(cè)棱長為1，則該正四棱臺的體積為 .
【變式6-4】（2024·山東菏澤·二模）已知在棱長為2的正方體中，挖去一個以上下底面各邊中點為頂點的四棱柱，再挖去一個以左右兩側(cè)面各邊中點為頂點的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為 ．
【變式6-5】（2024·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為 ，體積為 .

【變式6-6】已知正三棱柱的棱長均為分別是棱的中點，則幾何體的體積為 .
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
1．下列命題是否正確？若正確，請說明理由；若錯誤，請舉出反例.
（1）有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱；
（2）有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺.
2．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是多少？
3．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8，若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為多少？
4．如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，
（1）求圓柱的表面積；
（2）求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積．
5．如圖是一個獎杯的三視圖，試根據(jù)獎杯的三視圖計算它的表面積和體積（可用計算工具，尺寸如圖，單位：cm，π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）
易錯點：對斜二測畫法的掌握不牢
易錯分析：在用斜二測畫法畫直觀圖時，角度、距離發(fā)生改變，故解此類問題要先畫出圖形，再根據(jù)圖形求解.
【易錯題1】如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形周長是 ．
【易錯題2】若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形的面積為 ．
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)第01講 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積
目錄
01 考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 2
02 知識導(dǎo)圖·思維引航 3
03 考點突破·題型探究 4
知識點1：多面體的結(jié)構(gòu)特征 4
知識點2：簡單旋轉(zhuǎn)體 5
知識點3：組合體 5
知識點4：表面積與體積計算公式 6
知識點5：空間幾何體的直觀圖 8
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 9
題型二：直觀圖 11
題型三：展開圖 15
題型四：最短路徑問題 19
題型五：空間幾何體的表面積 25
題型六：空間幾何體的體積 28
04真題練習(xí)·命題洞見 35
05課本典例·高考素材 39
06易錯分析·答題模板 42
易錯點：對斜二測畫法的掌握不牢 42
考點要求 考題統(tǒng)計 考情分析
（1）基本立體圖形 （2）表面積與體積 2024年I卷第5題，5分 2024年甲卷（理）第14題，5分 2024年天津卷第9題，5分 2023年乙卷（理）第8題，5分 2023年甲卷（文）第10題，5分 2023年天津卷第8題，5分 2023年II卷第14題，5分 2023年I卷第12題，5分 （1）掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，能夠解決簡單的實際問題； （2）多面體和球體的相關(guān)計算問題是近幾年考查的重點； （3）運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果，突出考查直觀想象和邏輯推理．
復(fù)習(xí)目標(biāo)： （1）認(rèn)識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)． （2）知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題． （3）能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖．
知識點1：多面體的結(jié)構(gòu)特征
1、棱柱：兩個面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．
（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；
（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；
（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；
（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；
（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；
（6）長方體：底面是矩形的直平行六面體；
（7）正方體：棱長都相等的長方體．
2、棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．
（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點在底面的射影是底面的中心；
（2）正四面體：所有棱長都相等的三棱錐．
3、棱臺：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺，由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺．
【診斷自測】如圖所示，觀察四個幾何體，其中判斷正確的是（ ）
A．①是棱臺，②不是圓臺 B．②是圓臺，③是棱錐
C．③是棱錐，④是棱臺 D．③是棱錐，④是棱柱
【答案】D
【解析】對于A：①不是棱臺，因為側(cè)面不都是平行四邊形，故A錯誤；
對于B：②不是圓臺，因為上下底面不平行，故B錯誤；
對于C：④是棱柱，故C錯誤；
對于D：③是棱錐，④是棱柱，故D正確.
故選：D
知識點2：簡單旋轉(zhuǎn)體
1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．
2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．
3、圓臺：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺．
4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的劣弧長度）．
【診斷自測】下列選項中的三角形繞直線l旋轉(zhuǎn)一周，能得到如圖所示幾何體的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，該幾何體是組合體，上、下各一個圓錐，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)體的定義，可得B項，符合題意.
故選：B.
知識點3：組合體
由柱體、錐體、臺體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．
【診斷自測】如圖所示的幾何體是數(shù)學(xué)奧林匹克能賽的獎杯，該幾何體由（ ）
A．一個球、一個四棱柱、一個圓臺構(gòu)成
B．一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成
C．一個球、一個四棱臺、一個圓臺構(gòu)成
D．一個球、一個五棱柱、一個棱臺構(gòu)成
【答案】B
【解析】由圖可知，該幾何體是由一個球、一個長方體、一個棱臺構(gòu)成.
故選：B.
知識點4：表面積與體積計算公式
表面積公式
表面積 柱體 為直截面周長
錐體
臺體
球
體積公式
體積 柱體
錐體
臺體
球
【診斷自測】正六棱臺的上、下底面邊長分別是2和6，側(cè)棱長是5，則它的表面積與體積分別為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如圖在正六棱臺中，
因為，
所以側(cè)面的梯形的高即正六棱臺斜高為：，
所以梯形的面積為：，
所以該正六棱臺的上底面積為：，
同理下底面積為：，
所以正六棱臺的表面積為：，
正六棱臺的高為，
所以正六棱臺的體積為：，
故選：C
知識點5：空間幾何體的直觀圖
1、斜二測畫法
斜二測畫法的主要步驟如下：
（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．
（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．
（3）畫出對應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话悖珊喕癁椤皺M不變，縱減半”．
（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．
注：直觀圖和平面圖形的面積比為．
2、平行投影與中心投影
平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點．
【診斷自測】如圖,直角梯形滿足,它是水平放置的平面圖形的直觀圖,則該平面圖形的周長是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由題意,,由可得,
由,
可得,所以,
而，
所以，
結(jié)合斜二測畫法的規(guī)則,將直觀圖即直角梯形還原成平面圖形，
如圖所示：
由勾股定理可得，
所以滿足題意的平面圖形的周長是.
故選:C.
題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【典例1-1】有下列命題：
①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；
②有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱；
③有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱；
④用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺．
⑤有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．
其中正確的命題的個數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，
①②錯誤，③正確，其中①②的反例如圖所示；
棱錐：一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，⑤錯誤；
棱臺：棱錐的底面和平行于底面的一個截面間的部分，④錯誤；
正確命題有1個.
故選：B.
【典例1-2】下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直四棱柱是長方體，長方體是四棱柱 B．一個棱柱至少有6個面
C．相等的角在直觀圖中仍然相等 D．有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐
【答案】D
【解析】對A，直四棱柱底面不一定是矩形，所以直四棱柱不一定是長方體，故A錯誤；
對B，三棱柱只有五個面，故B錯誤；
對C，相等的角在直觀圖中不一定相等，因為直觀圖是按照一定的規(guī)則繪制的，可能會產(chǎn)生變形，
例如等腰直角三角形的直觀圖不一定是等腰直角三角形（原圖形中兩底角相等，直觀圖中不一定相等），故C錯誤；
對D，棱柱上下底面互相平行且全等，且各側(cè)棱互相平行，所以棱柱的側(cè)面均為平行四邊形，故D正確.
故選：D
【方法技巧】
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧
（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
（2）說明一個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可．
【變式1-1】下列說法中，正確的是（ ）
A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
B．一個多面體至少有4個面
C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱
D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺
【答案】B
【解析】正棱錐底面是正多邊形，還需要滿足頂點到底面射影落在底面正多邊形的中心，A錯誤；
多面體中面數(shù)最少為三棱錐，四個面，B正確，；
有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體不一定是棱柱，還需要滿足各個側(cè)面的交線互相平行，C錯誤；
用一個平面去截棱錐，必須是平行于底面的平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分才是棱臺，D錯誤.
故選：B.
【變式1-2】下列說法中，正確的是（ ）
A．以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是圓錐
B．以正方體的頂點為頂點可以構(gòu)成正四棱錐
C．用一個平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺
D．用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面
【答案】D
【解析】選項A：以直角三角形的一個直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的
幾何體是圓錐.判斷錯誤；
選項B：由正四棱錐定義可得以正方體的頂點為頂點不可以構(gòu)成正四棱錐. 判斷錯誤；
選項C：用一個平行于底面的平面截圓錐，得到一個圓錐和圓臺.判斷錯誤；
選項D：用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面.判斷正確.
故選：D
題型二：直觀圖
【典例2-1】如圖，四邊形的斜二測畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．四邊形的周長為
D．四邊形的面積為
【答案】D
【解析】如圖可知，
四邊形的周長為，四邊形的面積為.
故選:D.
【典例2-2】如圖所示，梯形是平面圖形用斜二測畫法得到的直觀圖，，，則平面圖形中對角線的長度為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由梯形的直觀圖，結(jié)合斜二測畫法，得到原幾何圖形是直角梯形，
如圖所示，其中，，
所以.
故選：C．
【方法技巧】
斜二測法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．
【變式2-1】由斜二測畫法得到的一個水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點B到x軸的距離是 .

【答案】
【解析】過點作軸，交軸于點，如圖，
在′中，,
，，
由正弦定理得，
于是得,
由斜二測畫法規(guī)則知，
在原平面圖形中，頂點B到x軸的距離是.
故答案為：.
【變式2-2】如圖，矩形是水平放置的平面圖形的直觀圖，其中，則原圖形的面積為 ．
【答案】
【解析】由題意可得，又，所以.
故答案為：.
【變式2-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，是水平放置的用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與軸和軸平行），，，則的面積為（ ）

A． B． C．24 D．48
【答案】D
【解析】由直觀圖可得如下平面圖形：
其中，，，軸，且，
所以.
故選：D
題型三：展開圖
【典例3-1】如圖，在四棱錐的平面展開圖中，底面為等腰梯形，，，，，，，則 ．
【答案】/
【解析】因為在平面展開圖中，，
所以在四棱錐中，
，，且平面,，則平面．
還原四棱錐，在等腰梯形中，作,垂足為，如圖：
因為，，,
所以,即．
因為，所以,
，
所以在中，由余弦定理，
得．
故答案為：.
【典例3-2】如圖，將三棱錐展開為平面圖形，已知，，，，則 ．
【答案】/
【解析】由題意，，，，
則≌，由勾股定理得，
又，，，
所以在，由余弦定理得
，故．
在中，由余弦定理得．
故答案為：．
【方法技巧】
多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀．
【變式3-1】（2024·安徽馬鞍山·模擬預(yù)測）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點共線，B，C，E三點共線，，，則PB＝ ．
【答案】
【解析】由題意可知，△CEF為等邊三角形，所以，則，
由可知，
在△PCF中，由正弦定理得：．
在△PCE中，由余弦定理得：，
解得或（舍去），
所以，
則，，
在△PBE中，由余弦定理得，
所以．
故答案為：
【變式3-2】（2024·重慶·三模）如圖，已知圓柱的斜截面是一個橢圓，該橢圓的長軸為圓柱的軸截面對角線，短軸長等于圓柱的底面直徑.將圓柱側(cè)面沿母線展開，則橢圓曲線在展開圖中恰好為一個周期的正弦曲線.若該段正弦曲線是函數(shù)圖象的一部分，且其對應(yīng)的橢圓曲線的離心率為，則的值為（ ）

A． B．1 C． D．2
【答案】B
【解析】由題意，橢圓曲線在展開圖中恰好為函數(shù)圖象的一部分，
可得；設(shè)圓柱底面半徑為，則，所以，
設(shè)橢圓長軸長為，短軸長為，
因為離心率為，得，則，
即，所以，得，
又由勾股定理得，解得，
故.
故選：B.
【變式3-3】將四棱錐沿棱展開為平面圖形，如圖所示．若，，，，，，則在展開圖中，兩點之間的距離 ．
【答案】
【解析】如圖1所示，在平面展開圖中，連接．
因為，，且，，
所以，．
因為，，所以，又，，
在中，由余弦定理得，
所以，所以，所以．
在中，由余弦定得：，
所以，所以．
如圖2，在還原的四棱錐中，因為，，，
所以底面，又底面，所以，
又，即，且是平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，因為平面，所以．
所以在平面展開圖中，，且，所以，
因為，所以．
又，，所以為正三角形，，
由勾股定理可得．
故答案為：．
題型四：最短路徑問題
【典例4-1】在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，點為側(cè)面的中心，則的周長的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖①，設(shè)側(cè)面的中心為，根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征可得，
則周長的最小值即的最小值.
將側(cè)面繞著旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面上，
將平面繞著旋轉(zhuǎn)至與平面在同一平面上，
過點作⊥于點，則，其中，
如圖②，則，
故的周長的最小值為.
故答案為：
【典例4-2】（2024·江西九江·一模）如圖，在正三棱柱中，，為的中點，為線段上的點.則的最小值為

【答案】
【解析】
將側(cè)面沿展開，使得側(cè)面與側(cè)面在同一平面內(nèi)，
如圖，連接交于，則的最小值為此時的，
，
的最小值為.
故答案為：.
【方法技巧】
此類最大路徑問題：大膽展開，把問題變?yōu)槠矫鎯牲c間線段最短問題．
【變式4-1】如圖，在三棱錐中，，，過點作截面，則周長的最小值為 .

【答案】
【解析】如圖，
沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在同一個平面內(nèi)，原來的點被分到兩處，
則線段的長度即為周長的最小值.
在中，，，
故，所以.
故答案為：.
【變式4-2】正三棱柱的底邊長側(cè)棱長都是2，為的中點，為的中點，則在棱柱表面上，從到的最短路程是 ．
【答案】
【解析】如圖，三棱柱表面由點到的展開圖有如下情況，
如圖，若過時，此時，
若過時，與過一樣，此時；
第二種情況，當(dāng)過時，，，，
若過與過一樣，此時，
由
所以從到的最短路程是.
故答案為：
【變式4-3】已知在直三棱柱中，底面為直角三角形，，，，P是上一動點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】由題意知，在幾何體內(nèi)部，但在面內(nèi)，
把面沿展開與在一個平面上如圖，連接，
則的長度即為的最小值，
因為在直三棱柱中，平面，
而平面，則，
因為，則，即，
又平面，則平面，
而平面，所以，即，
因為，易知，所以
所以，
而，，
所以在中，，
所以，即的最小值為.
故答案為：.
【變式4-4】如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，，分別為線段和棱上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設(shè)是的中點，，
所以，則.
對任一點，的最小值是到直線的距離，
過作，交于，
過作，交于，連接，
由于，所以平面，平面，
所以，
由于，平面，所以平面，
又平面，所以，
則，易得.
，，
，
所以，
當(dāng)三點共線，且是的中點，是與的交點，
此時取得最小值為，所以的最小值為.
故答案為：
【變式4-5】（2024·上海虹口·二模）如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，且.若，點為棱的中點，點在上，則線段的長度和的最小值為 .
【答案】
【解析】取的中點，連接、、、，
因為點為棱的中點，所以，又且，
所以為平行四邊形，所以，
所以，即、、、四點共面，連接，，
則，，
因為底面為菱形，且，所以，
所以，
所以，
所以，即，所以，
將繞翻折，使得平面與平面共面，連接交于點，
則，
又，
在中，
即，
所以，
即線段、的長度和的最小值為.
故答案為：
題型五：空間幾何體的表面積
【典例5-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知正三棱臺的上底面積為，下底面積為，高為2，則該三棱臺的表面積為（ ）
A． B． C． D．18
【答案】A
【解析】由面積公式可得正三棱臺上下底面邊長分別為和，
設(shè)在底面內(nèi)的射影為，作于，
平面，平面，則有，
又，，平面，所以平面，
平面，所以，
由，，，則，
又，所以，則，
故三棱臺的側(cè)面積為，表面積為.
故選：A.
【典例5-2】（2024·福建南平·模擬預(yù)測）已知圓臺的母線長為4，下底面圓的半徑是上底面圓的半徑的3倍，軸截面周長為16，則該圓臺的表面積為 ．
【答案】
【解析】設(shè)上底面圓的半徑為，則下底面圓的半徑是，
故軸截面周長為，解得，
所以上、下底面圓的面積分別為，圓臺側(cè)面積，
所以圓臺的表面積為
故答案為：
【方法技巧】
（1）多面體的表面積是各個面的面積之和．
（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．
（3）組合體的表面積求解時注意對銜接部分的處理．
【變式5-1】（2024·遼寧大連·一模）陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時代遺址．如圖所示的是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖．已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個陀螺的表面積(單位：)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意可知：圓錐的母線長為，
所以這個陀螺的表面積是.
故選：C.
【變式5-2】（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）正四棱臺中，上底面邊長為2，下底面邊長為4，若側(cè)面與底面所成的二面角為60°，則該正四棱臺的側(cè)面積為（ ）
A．8 B．12 C．24 D．48
【答案】C
【解析】如圖：
取棱的中點，作截面，則、為正四棱臺的斜高.
在等腰梯形中，易知，，，所以.
所以四棱臺的側(cè)面積為：.
故選：C
【變式5-3】（2024·廣東江門·一模）某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個相同的四面體得到的(如圖)，則該幾何體共有 個面；若被截正方體的棱長是60cm，那么該幾何體的表面積是 cm2.
【答案】 14
【解析】由題意知，截去的八個四面體是全等的正三棱錐，8個底面三角形，
再加上6個小正方形，所以該幾何體共有14個面；
如果被截正方體的棱長是，那么石凳的表面積是
.
故答案為：14，.
題型六：空間幾何體的體積
【典例6-1】（2024·福建龍巖·三模）已知球的體積為，且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積相等，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)球的半徑為，則球體積，解得，
所以球的表面面積，
設(shè)圓錐的母線長為，底面圓半徑為，
則，即，解得，
因此該圓錐的高，
可得圓錐的體積．
故選：B．
【典例6-2】（2024·山東·模擬預(yù)測）陶瓷茶壺是中國人很喜愛的一種茶具，不少陶瓷茶壺兼具實用性與藝術(shù)性，如圖所示的陶瓷茶壺的主體可近似看作一個圓臺型容器，忽略茶壺的壁厚，該圓臺型容器的軸截面下底為10cm，上底為6cm，面積為，則該茶壺的容積約為 L（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：；）．

【答案】/
【解析】圓臺型容器的軸截面為等腰梯形，設(shè)高為，則，解得，
所以圓臺型容器的容積.
故答案為：
【方法技巧】
求空間幾何體的體積的常用方法
公式法 規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式
割補法 把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體
等體積法 通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積
【變式6-1】如圖“四角反棱臺”，它是由兩個相互平行的正方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn) 連接而成，且上底面正方形的四個頂點在下底面的射影點為下底面正方形各邊的中點.若下底面正方形邊長為4，“四角反棱臺”高為3，則該幾何體體積為 .
【答案】40
【解析】依題意，將該“四角反棱臺”還原成長方體，知該幾何體為長方體截取
四個相同大小的四棱錐，如圖.則該幾何體體積為
.
故答案為：40.
【變式6-2】（2024·新疆·二模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“羨除”的幾何體，該幾何體的一種結(jié)構(gòu)是三個面均為梯形，其他兩面為三角形的五面體．如圖所示，四邊形，，均為等腰梯形，，，，，到平面的距離為5，與間的距離為10，則這個羨除的體積 ．
【答案】200
【解析】
連接
.
故答案為：200.
【變式6-3】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知正四棱臺的上、下底面棱長分別為1和2，側(cè)棱長為1，則該正四棱臺的體積為 .
【答案】/
【解析】由題意作出正四棱臺圖象，如下圖所示：
為正四棱臺，，
連接，得，，
過作，過作，
所以，，
在直角三角形中，，
所以正四棱臺的高，正四棱臺上、下底面積為和，
所以體積
故答案為：.
【變式6-4】（2024·山東菏澤·二模）已知在棱長為2的正方體中，挖去一個以上下底面各邊中點為頂點的四棱柱，再挖去一個以左右兩側(cè)面各邊中點為頂點的四棱柱，則原正方體剩下部分的體積為 ．
【答案】
【解析】如圖：
，
可知四棱錐為正四棱錐，
四邊形為邊長為2的正方形，棱錐的高為1，
可知兩個挖去的四棱柱重合部分為兩個正四棱錐的組合體，
四棱柱的底面是邊長為的正方形，
則，
同理可得，
，
則挖去部分的體積為，
可得原正方體剩下部分的體積為．
故答案為：.
【變式6-5】（2024·山東臨沂·一模）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高，球缺是旋轉(zhuǎn)體，可以看做是球冠和其底所在的圓面所圍成的幾何體.如圖1，一個球面的半徑為，球冠的高是，球冠的表面積公式是，與之對應(yīng)的球缺的體積公式是.如圖2，已知是以為直徑的圓上的兩點，，則扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的表面積為 ，體積為 .

【答案】
【解析】因為，所以，設(shè)圓的半徑為，
又，解得（負(fù)值舍去），
過點作交于點，過點作交于點，
則，，
所以，同理可得，，
將扇形繞直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體為一個半徑的球中上下截去兩個球缺所剩余部分再挖去兩個圓錐，
其中球缺的高，圓錐的高，底面半徑，
則其中一個球冠的表面積，球的表面積，
圓錐的側(cè)面積，
所以幾何體的表面積，
又其中一個球缺的體積，
圓錐的體積，球的體積，
所以幾何體的體積.
故答案為：；
【變式6-6】已知正三棱柱的棱長均為分別是棱的中點，則幾何體的體積為 .
【答案】/
【解析】,
,為三棱臺，,
.
故答案為：.
1．（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）一個五面體．已知，且兩兩之間距離為1．并已知．則該五面體的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】用一個完全相同的五面體（頂點與五面體一一對應(yīng)）與該五面體相嵌，使得；;重合，
因為，且兩兩之間距離為1．，
則形成的新組合體為一個三棱柱，
該三棱柱的直截面（與側(cè)棱垂直的截面）為邊長為1的等邊三角形，側(cè)棱長為，
.
故選：C.
2．（2024年新課標(biāo)全國Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，所以即，
故，故圓錐的體積為.
故選：B.
3．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）在三棱錐中，是邊長為2的等邊三角形，，則該棱錐的體積為（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】取中點，連接，如圖，
是邊長為2的等邊三角形，，
，又平面，，
平面，
又，，
故，即，
所以，
故選：A
4．（2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知四棱錐的底面是邊長為4的正方形，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】法一：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，則，
又，，所以，則，
又，，所以，則，
在中，，
則由余弦定理可得，
故，則，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
法二：
連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，如圖，
因為底面為正方形，，所以，
在中，，
則由余弦定理可得，故，
所以，則，
不妨記，
因為，所以，
即，
則，整理得①，
又在中，，即，則②，
兩式相加得，故，
故在中，，
所以，
又，所以，
所以的面積為.
故選：C.
5．（2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）已知圓錐PO的底面半徑為，O為底面圓心，PA，PB為圓錐的母線，，若的面積等于，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在中，，而，取中點，連接，有，如圖，
，，由的面積為，得，
解得，于是，
所以圓錐的體積.
故選：B
1．下列命題是否正確？若正確，請說明理由；若錯誤，請舉出反例.
（1）有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱；
（2）有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺.
【解析】（1）錯誤，還必須滿足滿足相鄰平行四邊形的公共邊平行，反例如圖①.
（2）錯誤，還必須滿足側(cè)棱的延長線交于一點，反例如圖②.
2．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)，如果四邊形ABCD是邊長為30cm的正方形，那么這個八面體的表面積是多少？
【解析】由題意，每個面都是邊長為30cm的正三角形，
即這個八面體的表面積是.
3．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱AA1=8，若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為多少？
【解析】設(shè)三棱錐的體積為，按側(cè)面水平放置時液面以上部分的體積為，故水的體積為，設(shè)按底面放置時液面的高為，則，故．
4．如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過PO的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，
（1）求圓柱的表面積；
（2）求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的體積．
【解析】（1）設(shè)圓錐底面半徑為r，圓柱底面半徑為，
因為過PO的中點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，
可得，，且圓柱母線長，圓錐母線長，
所以圓柱的表面積為：
（2）剩下幾何體的體積．
5．如圖是一個獎杯的三視圖，試根據(jù)獎杯的三視圖計算它的表面積和體積（可用計算工具，尺寸如圖，單位：cm，π取3.14，結(jié)果取整數(shù)）
【解析】由該獎杯的三視圖可知，獎杯的上部是直徑為4cm的球；中部是一個四棱柱，其中上、下底面都是邊長分別為8m、4cm的矩形，四個側(cè)面中的兩個側(cè)面是邊長分別為20cm、8cm的矩形，另兩個側(cè)面是邊長分別為20cm、4cm的矩形；下部是一個四棱臺，其中上底面是邊長分別為10cm、8cm的矩形，下底面是邊長分別為20m、16cm的矩形，四棱臺的高為2cm
三視圖復(fù)原的幾何體下部是底座是四棱臺，中部是棱柱，上部是球，
這個獎杯的體積：
，
；
這個獎杯的表面積：（其中獎杯底座的側(cè)面上的斜高等于和．
因此它的表面積和體積分別約為.
易錯點：對斜二測畫法的掌握不牢
易錯分析：在用斜二測畫法畫直觀圖時，角度、距離發(fā)生改變，故解此類問題要先畫出圖形，再根據(jù)圖形求解.
【易錯題1】如圖，矩形是水平放置的一個平面圖形由斜二測畫法得到的直觀圖，其中，，則原圖形周長是 ．
【答案】
【解析】如圖所示，
在直觀圖中，設(shè)與交于點，則，，，
在原圖形中，，，，，
所以原圖形的周長是．
故答案為：．
【易錯題2】若水平放置的四邊形按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，四邊形為等腰梯形，，則原四邊形的面積為 ．
【答案】
【解析】在直觀圖中，四邊形為等腰梯形，，而，
則，由斜二測畫法得原四邊形是直角梯形，，如圖．
所以四邊形的面積為．
故答案為：
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