資源簡介

拔高點突破04 新情景、新定義下的立體幾何問題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：曲率問題 2
題型二：斜坐標系與定義新運算 6
題型三：定義新概念 8
題型四：空間平面方程與直線方程 11
題型五：三面角問題 14
題型六：數學文化 19
03 過關測試 24
面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結合。明確解題目標后，靈活運用基本定理和性質，如平行、垂直的判定與性質，以及空間角、距離的計算公式。在解題過程中，合理構造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關系，簡化問題。對于復雜問題，可嘗試建立空間直角坐標系，利用向量法進行計算和證明。同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉化求解對象。最后，解題后要進行驗證和反思，確保結論的正確性，并總結所使用的方法和技巧，以便在未來遇到類似問題時能夠迅速應對。
題型一：曲率問題
【典例1-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性．規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為．已知多面體的頂點數V，棱數E，面數F滿足，則八面體的總曲率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】設每個面記為邊形，
則所有的面角和為，
根據定義可得該類多面體的總曲率．
故選：C．
【典例1-2】閱讀數學材料：“設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為 ，其中 為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面 ，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面. ”已知在直四棱柱中，底面為菱形.. （角的運算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在頂點處的離散曲率；
(2)若四棱柱在頂點處的離散曲率為，求與平面的夾角的正弦值；
(3)截取四面體，若該四面體在點處的離散曲率為與平面交于點，證明：.
【解析】（1）若，則菱形為正方形，即，
因為平面平面，所以，
所以直四棱柱，在頂點處的離散曲率為.
（2）因為平面平面，所以，
直四棱柱在頂點處的離散曲率為，
則，即是等邊三角形，
為菱形，又直四棱柱，
平面平面，，
又平面，平面，
設，則即為與平面所成的角，
在中，，
，所以與平面的夾角的正弦值為.
（3）在四面體中，
所以，，
所以四面體在點處的離散曲率為，
所以，所以為等邊三角形，所以，
又在中，所以，
所以直四棱柱為正方體，
因為平面 平面，所以，
又平面，
所以平面，又平面，所以，
平面平面，，
又平面，平面，
又平面，所以，
又平面，所以平面，
是三棱錐的高，設正方體的棱長為，
，
，
，
.
【變式1-1】設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．
(1)求直四棱柱在各個頂點的離散曲率之和；
(2)若直四棱柱在點A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數的解析式及單調區間．
【解析】（1）在直四棱柱中,，底面ABCD為菱形，
由離散曲率的定義知：的離散曲率相等，的離散曲率相等，
所以處的曲率為，而處的曲率為，又，
所以、兩處的曲率和為，
故直四棱柱在各個頂點的離散曲率之和.
（2）由題設，處的曲率，故，
所以直四棱柱底面面積為，
故直四棱柱高為1，故體積為，
令，，可得，，即，上遞增；
令，，可得，，即，上遞減；
所以增區間為，減區間為，.
題型二：斜坐標系與定義新運算
【典例2-1】（多選題）設是空間中兩兩夾角均為的三條數軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數對叫作向量在坐標系中的坐標，則下列結論正確的是（ ）
A．若向量，向量，則
B．若向量，向量，則
C．若向量，向量，則當且僅當時，
D．若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為
【答案】BD
【解析】對于A，若向量，
向量，
則，故A錯誤；
對于B，若向量，向量，
此時在空間直角坐標系中，故B正確；
對于C，若向量，向量，
當時，，則，
此時，顯然不成立，故C錯誤；
對于D，若向量，向量，向量，
則三棱錐是棱長為1的正四面體，如圖所示，取中點，連接，
在等邊中，易知，,
則即為二面角的平面角，
在中，由余弦定理得，，
所以二面角的余弦值為，故D正確.
故選：BD
【典例2-2】（2024·高三·上海徐匯·期末）已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，
（1）試計算的絕對值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義.
【解析】（1）由題意＝48．
，，
∴，即．是平面內兩相交直線，
∴平面．
（2）由題意，，
，
，
∴．
∴，
猜想：的絕對值表示以為鄰邊的平行六面體的體積．
【變式2-1】已知，，，定義一種運算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計算，并求該平行六面體的體積，說明的值與平行六面體體積的關系.
【解析】（1）證明：由題意，，
∴，，即，，
∵，是平面內兩相交直線，∴平面，
∴平行六面體是直四棱柱；
（2），
由題意，，，
，所以，
，，
∴.
∴，
故的值表示以，，為鄰邊的平行六面體的體積.
題型三：定義新概念
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”．已知長方體，下列四組量中，一定能成為該長方體的“基本量”的是（ ）
A．，，的長度
B．，，的長度
C．，，的長度
D．，BD，的長度
【答案】A
【解析】設，
對于選項A：可得，據此可以解出，故A正確；
對于選項B：可得，據此無法解出，故B錯誤；
對于選項C：可得，據此無法解出，故C錯誤；
對于選項D：可得，據此無法解出，故D錯誤；
故選：A.
【典例3-2】（2024·河南·二模）等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對棱分別相等.已知一個長方體的體積為12，則用長方體其中的四個頂點構成的等腰四面體的體積為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】如圖所示，等腰四面體的體積等于長方體體積減去四個三棱錐的體積.
設長方體長，寬，高分別為，
則等腰四面體的體積.
故選：B.
【變式3-1】（2024·青海·模擬預測）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖，連接，，，由正方體的性質及、分別為棱、的中點，
易得，所以線段與相交，與相交，故A、B錯誤；
連接，，有，，故，
所以線段與相交，C錯誤；
連接，直線與，直線與均為異面直線，D正確.
故選：D.
【變式3-2】（2024·安徽合肥·三模）幾何中常用表示的測度，當為曲線、平面圖形和空間幾何體時，分別對應其長度、面積和體積．在中，，，，為內部一動點（含邊界），在空間中，到點的距離為的點的軌跡為，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】空間中，到點的距離為的點的軌跡所構成的空間幾何體在垂直于平面的角度看，如下圖所示：
其中：，和區域內的幾何體為底面半徑為的半圓柱；，，區域內的幾何體為被兩平面所截得的部分球體，球心分別為；區域內的幾何體是高為的直三棱柱.
四邊形和為矩形，，
，
同理可得：，，
，
，，區域內的幾何體合成一個完整的，半徑為的球，
則，，區域內的幾何體的體積之和；
又，和區域內的幾何體的體積之和；區域內的直三棱柱體積，
.
故選：D.
題型四：空間平面方程與直線方程
【典例4-1】（1）在空間直角坐標系中，已知平面的法向量，且平面經過點，設點是平面內任意一點.求證：.
（2）我們稱（1）中結論為平面的點法式方程，若平面過點，求平面的點法式方程.
【解析】（1）平面經過點，點是平面內任意一點.
,
為平面的法向量
（2）設平面的法向量為，
，
則，令則，平面的法向量為
由（1）可知，平面的點法式方程為：即
【典例4-2】空間直角坐標系中，經過點，且法向量為的平面方程為，經過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現給出平面的方程為，經過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題設給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線與平面所成角的正弦值.因為平面的方程為，故其法向量為，
因為直線的方程為，故其方向向量為，
故直線與平面所成角的正弦值為，
故選：B.
【變式4-1】三個“臭皮匠”在閱讀一本材料時發現原來空間直線與平面也有方程．即過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線l的方程為．三個“臭皮匠”利用這一結論編了一道題：“已知平面的方程為，直線l是兩個平面與的交線，則直線l與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰知“諸葛亮”很快就算出了答案．請問答案是 ．
【答案】
【解析】因為平面的方程為，故其法向量可取為，
平面的法向量可取為，
平面的法向量可取為，
直線l是兩個平面與的交線，設其方向向量為，
則，令，則，
故設直線l與平面所成的角為 ，
則，
故答案為：
【變式4-2】在空間直角坐標系中，定義：平面的一般方程為，點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側面的距離等于 ．
【答案】
【解析】如圖，以底面中心為原點建立空間直角坐標系，
則，，1，，，1，，，0，，
設平面的方程為，
將坐標代入計算得
解得，，，
，
即，
．
故答案為：
題型五：三面角問題
【典例5-1】類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當、時，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點，使平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
【解析】（1）證明：如圖，過射線上一點作交于點，
作交于點，連接，
則是二面角的平面角．
在中和中分別用余弦定理，得
，
，
兩式相減得，
∴，
兩邊同除以，得．
（2）①由平面平面，知，
∴由（1）得，
∵，，
∴．
②在直線上存在點，使平面．
連結，延長至，使，連結，
在棱柱中，，，
∴，∴四邊形為平行四邊形，
∴．
在四邊形中，，
∴四邊形為平行四邊形，
∴，
∴，
又平面，平面，
∴平面．
∴當點在的延長線上，且使時，平面．
【典例5-2】類比思想在數學中極為重要，例如類比于二維平面內的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線，，構成的三面角，記，，，二面角的大小為，則．如圖2，四棱柱中，為菱形，，，，且點在底面內的射影為的中點．
(1)求的值；
(2)直線與平面內任意一條直線夾角為，證明：；
(3)過點作平面，使平面平面，且與直線相交于點，若，求值．
【解析】（1）連接，由已知得平面，，
又平面，所以平面平面，
所以二面角的大小為，因為為菱形，，
所以，又，所以，
在中，，
由三面角余弦定理可得
.
（2）依題意可得，設平面內任一條直線為，
若過點時，記與的夾角為（），
則，因為，
所以，
又，所以；
若不過點時，過點作使得，記與的夾角為（），
則，因為，
所以，
又，所以；
綜上可得.
（3）連接，，
因為，平面，平面，所以平面，
同理可證平面，
又，平面，
所以平面平面，
因為平面平面，
所以平面平面，
又平面平面，又平面平面，
所以，又即，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，顯然在的延長線上，
因為，所以，
所以，即.
【變式5-1】（2024·高三·河北·期末）由空間一點出發不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如圖，，，
在上取一點，過在平面內作，交于，
過在平面內作，交于，連接，
則是二面角的平面角，即.
設，在直角三角形中，
，
在直角三角形中，，
，
在中，，
在中，，
即為
，
所以.
故選：A.
題型六：數學文化
【典例6-1】我國南北朝時期的著名數學家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現將橢圓繞軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】構造一個底面半徑為，高為的圓柱，通過計算可得高相等時截面面積相等，根據祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.構造一個底面半徑為，高為的圓柱，
在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，
則當截面與頂點距離為時，小圓錐底面半徑為，
則，
，
故截面面積為：，
把代入，
即，
解得：，
橄欖球形幾何體的截面面積為，
由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：
圓柱圓錐.
故選：D.
【典例6-2】胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國作家約翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一書中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時利用黃金比例，泰勒還引用了古希臘歷史學家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個側面的面積都等于金字塔高的平方．如圖，若，則由勾股定理，，即，因此可求得為黃金數，已知四棱錐底面是邊長約為856英尺的正方形，頂點的投影在底面中心，為中點，根據以上信息，的長度（單位：英尺）約為（ ）．
A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4
【答案】C
【解析】由和可得，
故選：C
【變式6-1】球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角 邊 面積等問題，其在航海 航空 衛星定位等方面都有廣泛的應用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點，，，過任意兩點的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的和；若球面上，，的對徑點分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面 圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.
（1）請寫出，，的值，并猜測函數的表達式；
（2）求(用，，，表示).
【解析】（1），，.
猜測.
（2）
因為，
所以，
即.
【變式6-2】球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科．如圖，球O的半徑為R．A、B、C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設表示以O為圓心，且過B、C的圓，同理，圓的劣弧AC、AB的弧長分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形．若設二面角分別為α，β，γ，則球面三角形的面積為．

(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；
(2)若平面三角形ABC為直角三角形，，設．則：
①求證：；
②延長AO與球O交于點D，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，S為AC中點，T為BC中點，設平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值，及此時平面AEC截球O的面積．
【解析】（1）若平面OAB，OAC，OBC兩兩垂直，有，
所以球面三角形ABC面積為.
（2）①證明：由余弦定理有：，且，
消掉，可得；
②由AD是球的直徑，則，
且，，平面BCD，
所以平面BCD，且平面BCD，則，
且，平面ABC，可得平面ABC，
由直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，所以，
不妨先令，則，
由，，，
以C為坐標原點，以CB，CA所在直線為x，y軸，過點C作BD的平行線為z軸，建立如圖空間直角坐標系，
設，則，
可得，，
則，
設平面OBC法向量，則，
取，則，可得，
設平面EST法向量，則，
取，則，可得，
要使sinθ取最小值時，則取最大值，
因為
，
令，則，
可得，
當且僅當取等．
則取最大值，為最小值，
此時點，可得，，
設平面AEC中的法向量，則，
取，則，可得，
可得球心O到平面AEC距離為，
設平面AEC截球O圓半徑為r，則，
所以截面圓面積為.
1．設、、…、為平面內的個點，在平面內的所有點中，若點到、、…、點的距離之和最小，則稱點為、、…、點的一個“中位點”，有下列命題：①、、三個點共線，在線段上，則是、、的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；③若四個點、、、共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點；其中的真命題是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
【答案】C
【解析】①若三個點共線,在線段上,根據兩點之間線段最短,
則是的中位點,正確；
②舉一個反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為,而直角頂點到三個頂點的距離之和為7,
∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；
③若四個點共線,則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點,故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；
④如圖,在梯形中,對角線的交點是任意一點,則根據三角形兩邊之和大于第三邊得,
∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．
故①④正確.
故選：C
2．（多選題）（2024·江西·三模）球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點，劣弧BC的弧長記為，設表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設，則下列結論正確的是（ ）
A．若平面是面積為的等邊三角形，則
B．若，則
C．若，則球面的體積
D．若平面為直角三角形，且，則
【答案】BC
【解析】對于A，因等邊三角形的面積為，則，
又，故則，故A錯誤；
對于B，由可得，故，即B正確；
對于C，由可得，故.
由正弦定理，的外接圓半徑為，點到平面ABC的距離，
則三棱錐的體積,
而球面的體積，故C正確；
對于D，由余弦定理可知由可得，，
即，化簡得，．
取，則，則，故D錯誤．
故選：BC
3．（多選題）設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中，為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.已知在直四棱柱中，四邊形為菱形，，則下列說法正確的是（ ）
A．四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等
B．若，則四棱柱在頂點處的離散曲率為
C．若四面體在點處的離散曲率為，則平面
D．若四棱柱在頂點處的離散曲率為，則直線與平面所成的角的正弦值為
【答案】CD
【解析】對于A.當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故A錯誤；
對于B.若，則菱形為正方形，
因為平面，，平面，
所以，，
所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為
，故錯誤；
對于C.在四面體中，，，所以，
所以四面體在點處的離散曲率為，解得，
易知，所以，所以，
所以直四棱柱為正方體，
因為平面平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，同理，
又，，平面，
所以平面，故正確；
對于D.直四棱柱在頂點處的離散曲率為，
則，即是等邊三角形，
設，則即為與平面所成的角，，故正確；
故選:CD.
4．（多選題）所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側面是三角形、梯形或平行四邊形，其體積是將上下底面面積、中截面(與上下底面距離相等的截面)面積的4倍都相加再乘以高(上下底面的距離)的，在擬柱體中，平面//平面，分別是的中點，為四邊形內一點，設四邊形的面積的面積為，面截得擬柱體的截面積為，平面與平面的距離為，下列說法中正確的有（ ）
A．直線與是異面直線
B．四邊形的面積是的面積的4倍
C．挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為
D．擬柱體的體積為
【答案】ABC
【解析】A：面面，面面，面面，
，即共面，不在面上，故不共面，
所以直線與是異面直線，正確；
B：設到的距離為，到距離為，
同A分析易知，所以四邊形是梯形，
因為分別是的中點，所以.
所以，正確；
D：由題意知：擬柱體體積為，錯誤；
C：挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為，正確；
故選：ABC
5．（多選題）如果一個凸n面體共有m個面是直角三角形，那么我們稱這個凸n面體的直度為，則（ ）
A．三棱錐的直度的最大值為1
B．直度為的三棱錐只有一種
C．四棱錐的直度的最大值為1
D．四棱錐的直度的最大值為
【答案】AD
【解析】如圖，借助于正方體模型，圖1中三棱錐的四個面都是直角三角形，
其直度為1，A正確；
圖1中三棱錐，三個面都是直角三角形，
面為正三角形，其直度為；
圖2中三棱錐，三個面都是直角三角形，
面為正三角形，其直度為，故直度為的三棱錐不止一種，B錯誤；
四棱錐的共有5個面，底面為四邊形，故其直度不可能為1，C錯誤；
圖3中的四棱錐的四個側面都是直角三角形，底面為正方形，
故四棱錐的直度的最大值為，D正確，
故選：AD
6．（多選題）（2024·安徽滁州·模擬預測）閱讀數學材料：“設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說法正確的是（ ）
A．四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等
B．若，則四棱柱在頂點處的離散曲率為
C．若四面體在點處的離散曲率為，則平面
D．若四棱柱在頂點處的離散曲率為，則與平面的夾角為
【答案】BC
【解析】A：當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，
當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故A錯誤；
B：若，則菱形為正方形，
因為平面，平面，所以，，
所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，故B正確；
C：在四面體中，，，所以，
所以四面體在點處的離散曲率為，解得，
易知，所以，所以，
所以直四棱柱為正方體，
因為平面，平面，
所以，又平面，
所以平面，又平面，所以，同理，
又平面，所以平面，故C正確，
D：直四棱柱在頂點處的離散曲率為,
則,即是等邊三角形,
設,則即為與平面的所成角,,故D錯誤;
故選：BC.
7．（多選題）（2024·全國·模擬預測）設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結論正確的是（ ）
A．直四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等
B．若，則直四棱柱在頂點處的離散曲率為
C．若，則直四棱柱在頂點處的離散曲率為
D．若四面體在點處的離散曲率為，則平面
【答案】BD
【解析】A項，當直四棱柱的底面為正方形時，其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故選項A錯誤；
B項，若，則菱形為正方形，因為平面，所以，，所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，選項B正確；
C項，若，則，又，，所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，選項C錯誤；
D項，在四面體中，，，，所以，所以四面體在點處的離散曲率為，解得，易知，所以，所以，所以直四棱柱為正方體，結合正方體的結構特征可知平面，選項D正確．
故選：BD
8．將個棱長為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點與下層正方體上底面棱的中點重合.設最下方正方體的下底面的中心為，過的直線與平面垂直，以為頂點，為對稱軸的拋物線可以被完全放入立體圖形中.若，則的最小值為 ；若有解，則的最大值為 .
【答案】 4 2
【解析】拋物線的一部分可以被完全放入立體圖形中，
當且僅當對任意的，在時恒有成立.
即對任意的，有，，此即，.
這等價于，且對任意的，有.
由于當時必有，故條件等價于，且當時，必有.
這等價于，且當時，必有，即，令
即，且當時，有.
當時，由于關于遞增，
故條件等價于，且.
回到原題.
當時，條件等價于，所以的最小值為；
若有解，則等價于或，即，解得.
結合是正整數，知的最大值為.
故答案為：4；2.
9．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為：，其中（i=1，2，…，k，）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．
（1）任取正四面體的一個頂點，在該點處的離散曲率為 ；
（2）已知長方體，，，點P為底面內的一個動點，則四棱錐P－ABCD在點P處的離散曲率的最小值為 ．
【答案】
【解析】分析：（1）根據正四面體的結構特征和曲率的計算公式，即可求解；
（2）根據曲率的計算公式，得出即點P為正方形的中心時，曲率取得最大值，即可求解.
解析：（1）由題意，可知正四面體的所有面都是正三角形，∴取正四面體的一個頂點，該點處的離散曲率為
；
（2）解法一：如圖1，設點P在底面ABCD內的射影為O，棱AB、CD的中點為E、F．
在△APB中，∵AB=1，∴．
又
，
∴．
同理，．
∴
．
又
，
∴．
又
，
∴，又∠APB，，∴，
即．
同理可證：，∴，∴四棱錐P－ABCD在點P處的離散曲率（當點P為上底中心時取等號）．
解法二：如圖2，過點P作的平行線交，于M，N，設點為線段MN的中點．
由米勒定理知：，，過作與平面平行的截面，再作底面ABCD于H，設，則，
記，則．
又，∴，記，同理可得，
∴，
設，則，．
設，則，
∴，故．
又，∴，故，
于是可得．以下略．
10．（2024·高三·云南保山·期末）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.根據曲率的定義，正方體在每個頂點的曲率為 ，四棱錐的總曲率為 .
【答案】 /
【解析】根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為；
由定義可得多面體的總曲率頂點數各面內角和，
因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，
所以任意四棱錐的總曲率為.
故答案為：；.
11．18世紀英國數學家辛卜森運用定積分，推導出了現在中學數學教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統一體積公式)(其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運用該公式求解下列問題:如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為 .

【答案】
【解析】如圖所示，設上下截面小圓的圓心分別為，上底面截面小圓上一點，連接，
因為球的表面積為，解得，所以，
又因為且，
所以截面小圓半徑,
根據“萬能求積公式”可得，所求幾何體的體積為：
.
故答案為：.
12．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，.
①直四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等；
②若，則直四棱柱在頂點A處的離散曲率為；
③若，則直四棱柱在頂點A處的離散曲率為；
④若四面體在點處的離散曲率為，則平面.
上述說法正確的有 （填寫序號）
【答案】②④
【解析】對于①，當直四棱柱的底面為正方形時，
其在各頂點處的離散曲率都相等，當直四棱柱的底面不為正方形時，其在同一底面且相鄰的兩個頂點處的離散曲率不相等，故①錯誤；
對于②，若，則菱形為正方形，
因為平面，平面，
所以，，
所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，故②正確；
對于③，若，則，
又，，
所以直四棱柱在頂點處的離散曲率為，故③錯誤；
對于④，在四面體中，，，，
所以，
所以四面體在點處的離散曲率為，
解得，易知，
所以，所以，
所以直四棱柱為正方體，
因為平面，平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
同理，
又平面，
所以平面，故④正確，
所以正確的有②④.
故答案為：②④.
13．（2024·江西南昌·三模）球面幾何學是幾何學的一個重要分支，在航海、航空、衛星定位等面都有廣泛的應用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經過這三個點中任意兩點的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點N，P，Q是地球表面上的兩點若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為 ；若，則球面的面積為 ．
【答案】
【解析】現證明一個結論：如果確定球面三角形的三個大圓所成的二面角分別為，則球面三角形的面積為，其中為球的半徑.
證明：如圖，設為關于球心的對稱點，則均為球面上的點，
且均為直徑，我們用表示球面三角形的面積.
設，，，
則，
同理，.
所以，
而，
故，
又，
故.
若P，Q在赤道上，因為為極點且，故，
故確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為，故球面面積為.
若，則，
同理.
過作的垂線，垂足為，連接，則，
因為，故，
故，而，故，
故且
故，而為三角形內角，
故，故的大小為，
故根據對稱性可知確定球面三角形的三個大圓所成的二面角均為，
故球面三角形的面積為.
故答案為：，.
14．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容．用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為 ．
【答案】
【解析】由圖可知四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個三角形，1個四邊形，所以四棱錐的表面內角和由4個為三角形，1個為四邊形組成，所以面角和為，故總曲率為．
故答案為：．
15．（2024·山東日照·一模）若點在平面外，過點作面的垂線，則稱垂足為點在平面內的正投影，記為.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與，不重合），.給出下列三個結論：
①線段長度的取值范圍是；
②存在點使得平面；
③存在點使得；
其中正確結論的序號是 .
【答案】①②
【解析】取的中點，過點在平面內作于，再過點在平面內作于,
在正方體中，平面，平面，，
又，，平面，即，，
同理可證，，
則，，
以點為坐標原點，、、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖：
設，
則，，，，，
對于命題①，，，則，
所以，所以，命題①正確；
對于命題②，，則平面的一個法向量為，
，令，解得，
所以存在點使得平面，命題②正確；
對于命題③，，
令，整理得，該方程無解，
所以不存在點使得，命題③錯誤.
故答案為：①②.
16．（2024·高三·浙江·開學考試）已知是棱長為的正四面體，設的四個頂點到平面的距離所構成的集合為，若中元素的個數為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.
(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應的的個數；
(2)已知為的4階等距平面，且點與點分別位于的兩側.若的4階等距集為，其中點到的距離為，求平面與夾角的余弦值.
【解析】（1）①情形一：分別取的中點，
由中位線性質可知，
此時平面為的一個1階等距平面，
為正四面體高的一半，等于.
由于正四面體有4個面，這樣的1階等距平面平行于其中一個面，有4種情況；
②情形二：分別取的中點
將此正四面體放置到棱長為1的正方體中，
則為正方體棱長的一半，等于.
由于正四面體的六條棱中有3組對棱互為異面直線，
這樣的1階等距平面平行于其中一組異面直線，有3種情況.
綜上，當的值為時，有4個；當的值為時，有3個.
（2）在線段上分別取一點，
使得，則平面即為平面.
如圖，取中點，連接，以為坐標原點，所在直線分別為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，
，設，
，
設平面法向量為
所以，即，
所以，
又平面的法向量為，
設平面與夾角為
所以，
所以平面與夾角余弦值為.
17．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經過頂點S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點為F，直線l與平面α交點為A，直線AF與圓錐S交點為O，圓錐S的母線OS與球T的切點為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
【解析】（1）∵平面AOS截球T的截面圓與直線AO相切于F，
∴，
記P是平面內不在直線OA上的點，平面TFP截球T的截面圓與直線FP相切于點F，
∴，
∵平面內直線AO，FP相交于點F，
∴TF⊥平面，
∵直線TF平面AOS，
∴平面AOS⊥平面，
∴．連TO，TM，
∴，，
∴球T的半徑且，
∴.
（2）在平面AOS內圓錐的另一條母線與球T的切點記為N點
∵，
∴
以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，過O與TF平行的直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖.
∵OM，OF與球T相切，
∴，
∴，，
設交線C上任意點，記圓錐S的母線SP與球T相切于E．
∵PF與球T相切于點F，
∴，，
∴，
即（1），
兩邊平方整理得：（2），
兩邊平方整理得：（3），
易知：（3）（2）（1），
∴交線C在坐標平面xOy中方程為，
∴交線C是以F為焦點，O為頂點的拋物線.
18．（2024·全國·模擬預測）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側面積一定，當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．
【解析】（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，根據定義其度量值等于減去三個菱形的內角和，再減去6個直角梯形中的兩個非直角內角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為.
（2）設底面正六邊形的邊長為1，
如圖所示，連接AC，SH，則，
設點在上底面ABCDEF的射影為O，則,
令，則，
菱形SAHC的面積，
的面積為，
令正六棱柱的側面積為定值時，
蜂房的表面積為，
，令得到，
經研究函數的單調性，
得到函數在處取得極小值，
此時，
在中，令，
由余弦定理得,
頂點的曲率為，
其余弦值為.
19．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．
（1）如圖1，已知長方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點P為底面A1B1C1D1內的一個動點，則求四棱錐P﹣ABCD在點P處的離散曲率的最小值；
（2）圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點，然后用短小的直線段連接相鄰三個采樣點形成三角形網格．區域α和區域β中點的離散曲率的平均值更大的是哪個區域？（確定“區域α”還是“區域β”）
【解析】（1）計∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+…+∠QnPQ1＝θ，則離散曲率為1﹣，θ越大離散曲率越小．
P在底面ABCD的投影記為H，通過直觀想象，當H點在平面ABCD中逐漸遠離正方形ABCD的中心，以至于到無窮遠時，θ逐漸減小以至于趨近于0．所以當H點正好位于正方形ABCD的中心時，θ最大，離散曲率最小．此時HA＝HB＝＝PH，所以PA＝PB＝1＝AB，所以∠APB＝60°，θ＝，
離散曲率為1﹣×＝，所以四棱錐P﹣ABCD在點P處的離散曲率的最小值為；
（2）區域β比區域α更加平坦，所以θ更大，離散曲率更小．
所以區域α和區域β中點的離散曲率的平均值更大的是區域β．
20．（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．
【解析】（1）取的三等分點，，的中點，的中點，
過三點，，作平面，過三點，，作平面，
因為，，所以平面平面，
再過點，分別作平面，與平面平行，那么四個平面，，，依次相互平行，
由線段被平行平面，，，截得的線段相等知，每相鄰兩個平面間的距離相等，故，，，為所求平面．
（2）如圖，將此正四面體補形為正方體（如圖），
分別取、、、的中點、、、，
平面與是分別過點、的兩平行平面，若其距離為1，
則正四面體滿足條件，右圖為正方體的下底面，設正方體的棱長為，
若，因為，，
在直角三角形中，，所以，所以，
又正四面體的棱長為，
所以此正四面體的體積為．
21．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．
(1)求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；
(2)如圖，已知在三棱錐中，平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為．

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；
②若點Q在棱PB上運動，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值．
【解析】（1）由離散曲率的定義得：，
，
，
，
四個式子相加得：.
（2）①如圖，分別取的中點，連接，顯然有，
所以為異面直線與的夾角或其補角，設，因為，所以，，
因為平面，平面，所以，，，，
因為，，所以平面，又因為平面，所以，
由點處的離散曲率為可得，
所以，，，而，，
所以，故異面直線與的夾角的余弦值為.
②如圖，過點做交與，連接，因為平面，所以平面，
則為直線與平面所成的角，設，
在中，
因為，所以，所以，
故，
當分母最小時，最大，即最大，此時，即（與重合），，所以的最大值為.
22．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.
(1)求四棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；
(2)如圖，現已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，頂點在底面的射影為的中點.
①若，求該四棱錐在處的離散曲率；
②若該四棱錐在處的離散曲率，求直線與平面所成角的正弦值.
【解析】（1）由題意可知四棱錐在各個頂點處的角的和，
即等于四個側面上的三角形和底面四邊形的內角和，即，
故四棱錐在各個頂點處的離散曲率的和為：；
（2）①連接，由于底面是邊長為2的菱形，故交于點O，
，則為正三角形，則,
底面，底面，故，，
則，，
則
，
由于為三角形內角，故；
同理求得，
故該四棱錐在處的離散曲率；
②由題意可知四棱錐的是個側面三角形全等，
即得，
四棱錐在處的離散曲率，則，
設，則，而，
故，解得，
作于E，則E為AB中點，結合題意知為正三角形，故，
作于F，則，且，
則;
連接，由于底面，底面，故，
平面，故平面，
平面，故平面平面，平面平面，
作于G，則平面，
則即為直線與平面所成角，
則.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)拔高點突破04 新情景、新定義下的立體幾何問題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：曲率問題 2
題型二：斜坐標系與定義新運算 3
題型三：定義新概念 4
題型四：空間平面方程與直線方程 5
題型五：三面角問題 6
題型六：數學文化 8
03 過關測試 10
面對新情景、新定義，首先要深入理解并分析這些新元素，將其與已知的立體幾何知識相結合。明確解題目標后，靈活運用基本定理和性質，如平行、垂直的判定與性質，以及空間角、距離的計算公式。在解題過程中，合理構造輔助線和面，以揭示隱藏的空間關系，簡化問題。對于復雜問題，可嘗試建立空間直角坐標系，利用向量法進行計算和證明。同時，要善于將空間問題平面化，通過截面、投影等方式轉化求解對象。最后，解題后要進行驗證和反思，確保結論的正確性，并總結所使用的方法和技巧，以便在未來遇到類似問題時能夠迅速應對。
題型一：曲率問題
【典例1-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性．規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各項點的曲率之和．例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為．已知多面體的頂點數V，棱數E，面數F滿足，則八面體的總曲率為（ ）

A． B． C． D．
【典例1-2】閱讀數學材料：“設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為 ，其中 為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面 ，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面. ”已知在直四棱柱中，底面為菱形.. （角的運算均采用弧度制）
(1)若，求四棱柱在頂點處的離散曲率；
(2)若四棱柱在頂點處的離散曲率為，求與平面的夾角的正弦值；
(3)截取四面體，若該四面體在點處的離散曲率為與平面交于點，證明：.
【變式1-1】設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中（，2，…，k，）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，且．
(1)求直四棱柱在各個頂點的離散曲率之和；
(2)若直四棱柱在點A處的離散曲率為x，直四棱柱體積為，求函數的解析式及單調區間．
題型二：斜坐標系與定義新運算
【典例2-1】（多選題）設是空間中兩兩夾角均為的三條數軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，若，則把有序數對叫作向量在坐標系中的坐標，則下列結論正確的是（ ）
A．若向量，向量，則
B．若向量，向量，則
C．若向量，向量，則當且僅當時，
D．若向量，向量，向量，則二面角的余弦值為
【典例2-2】（2024·高三·上海徐匯·期末）已知，，，定義一種運算：，已知四棱錐中，底面是一個平行四邊形，，，
（1）試計算的絕對值的值，并求證面；
（2）求四棱錐的體積，說明的絕對值的值與四棱錐體積的關系，并由此猜想向量這一運算的絕對值的幾何意義.
【變式2-1】已知，，，定義一種運算：，在平行六面體中，，，.
(1)證明：平行六面體是直四棱柱；
(2)計算，并求該平行六面體的體積，說明的值與平行六面體體積的關系.
題型三：定義新概念
【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）若干個能確定一個立體圖形的體積的量稱為該立體圖形的“基本量”．已知長方體，下列四組量中，一定能成為該長方體的“基本量”的是（ ）
A．，，的長度
B．，，的長度
C．，，的長度
D．，BD，的長度
【典例3-2】（2024·河南·二模）等腰四面體是一種特殊的三棱錐，它的三組對棱分別相等.已知一個長方體的體積為12，則用長方體其中的四個頂點構成的等腰四面體的體積為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【變式3-1】（2024·青海·模擬預測）如圖，在正方體中，，，，，，分別為棱，，，，，的中點，為的中點，連接，．對于空間任意兩點，，若線段上不存在也在線段，上的點，則稱，兩點“可視”，則與點“可視”的點為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·安徽合肥·三模）幾何中常用表示的測度，當為曲線、平面圖形和空間幾何體時，分別對應其長度、面積和體積．在中，，，，為內部一動點（含邊界），在空間中，到點的距離為的點的軌跡為，則等于（ ）
A． B． C． D．
題型四：空間平面方程與直線方程
【典例4-1】（1）在空間直角坐標系中，已知平面的法向量，且平面經過點，設點是平面內任意一點.求證：.
（2）我們稱（1）中結論為平面的點法式方程，若平面過點，求平面的點法式方程.
【典例4-2】空間直角坐標系中，經過點，且法向量為的平面方程為，經過點且一個方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現給出平面的方程為，經過的直線的方程為，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】三個“臭皮匠”在閱讀一本材料時發現原來空間直線與平面也有方程．即過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線l的方程為．三個“臭皮匠”利用這一結論編了一道題：“已知平面的方程為，直線l是兩個平面與的交線，則直線l與平面所成的角的正弦值是多少？”想著這次可以難住“諸葛亮”了．誰知“諸葛亮”很快就算出了答案．請問答案是 ．
【變式4-2】在空間直角坐標系中，定義：平面的一般方程為，點到平面的距離，則在底面邊長與高都為2的正四棱錐中，底面中心O到側面的距離等于 ．
題型五：三面角問題
【典例5-1】類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線，，構成的三面角，，，，二面角的大小為，則．
（1）當、時，證明以上三面角余弦定理；
（2）如圖2，平行六面體中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直線上是否存在點，使平面？若存在，求出點的位置；若不存在，說明理由．
【典例5-2】類比思想在數學中極為重要，例如類比于二維平面內的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理：如圖1，由射線，，構成的三面角，記，，，二面角的大小為，則．如圖2，四棱柱中，為菱形，，，，且點在底面內的射影為的中點．
(1)求的值；
(2)直線與平面內任意一條直線夾角為，證明：；
(3)過點作平面，使平面平面，且與直線相交于點，若，求值．
【變式5-1】（2024·高三·河北·期末）由空間一點出發不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）
A． B．
C． D．
題型六：數學文化
【典例6-1】我國南北朝時期的著名數學家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時，構造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現將橢圓繞軸旋轉一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】胡夫金字塔的形狀為四棱錐，1859年，英國作家約翰·泰勒（JohnTaylor，1781-1846）在其《大金字塔》一書中提出：古埃及人在建造胡夫金字塔時利用黃金比例，泰勒還引用了古希臘歷史學家希羅多德的記載：胡夫金字塔的每一個側面的面積都等于金字塔高的平方．如圖，若，則由勾股定理，，即，因此可求得為黃金數，已知四棱錐底面是邊長約為856英尺的正方形，頂點的投影在底面中心，為中點，根據以上信息，的長度（單位：英尺）約為（ ）．
A．611.6 B．481.4 C．692.5 D．512.4
【變式6-1】球面三角學是球面幾何學的一部分，主要研究球面多邊形(特別是三角形)的角 邊 面積等問題，其在航海 航空 衛星定位等方面都有廣泛的應用.定義：球的直徑的兩個端點稱為球的一對對徑點；過球心的平面與球面的交線稱為該球的大圓；對于球面上不在同一個大圓上的點，，，過任意兩點的大圓上的劣弧，，所組成的圖形稱為球面，記其面積為.易知：球的任意兩個大圓均可交于一對對徑點，如圖1的和；若球面上，，的對徑點分別為，，，則球面與球面全等.如圖2，已知球的半徑為，圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小為，圓弧和所在平面 圓弧和所在平面交成的銳二面角的大小分別為，.記.
（1）請寫出，，的值，并猜測函數的表達式；
（2）求(用，，，表示).
【變式6-2】球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科．如圖，球O的半徑為R．A、B、C為球面上三點，劣弧BC的弧長記為a，設表示以O為圓心，且過B、C的圓，同理，圓的劣弧AC、AB的弧長分別記為b，c，曲面ABC（陰影部分）叫做球面三角形．若設二面角分別為α，β，γ，則球面三角形的面積為．

(1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC兩兩垂直，求球面三角形ABC的面積；
(2)若平面三角形ABC為直角三角形，，設．則：
①求證：；
②延長AO與球O交于點D，若直線DA，DC與平面ABC所成的角分別為，，S為AC中點，T為BC中點，設平面OBC與平面EST的夾角為θ，求sinθ的最小值，及此時平面AEC截球O的面積．
1．設、、…、為平面內的個點，在平面內的所有點中，若點到、、…、點的距離之和最小，則稱點為、、…、點的一個“中位點”，有下列命題：①、、三個點共線，在線段上，則是、、的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；③若四個點、、、共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點；其中的真命題是（ ）
A．②④ B．①② C．①④ D．①③④
2．（多選題）（2024·江西·三模）球面三角學是研究球面三角形的邊、角關系的一門學科．如圖，球的半徑為R，A，B，為球面上三點，劣弧BC的弧長記為，設表示以為圓心，且過B，C的圓，同理，圓的劣弧的弧長分別記為，曲面（陰影部分）叫做曲面三角形，，則稱其為曲面等邊三角形，線段OA，OB，OC與曲面圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面．設，則下列結論正確的是（ ）
A．若平面是面積為的等邊三角形，則
B．若，則
C．若，則球面的體積
D．若平面為直角三角形，且，則
3．（多選題）設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中，為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.已知在直四棱柱中，四邊形為菱形，，則下列說法正確的是（ ）
A．四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等
B．若，則四棱柱在頂點處的離散曲率為
C．若四面體在點處的離散曲率為，則平面
D．若四棱柱在頂點處的離散曲率為，則直線與平面所成的角的正弦值為
4．（多選題）所有頂點都在兩個平行平面內的多面體叫作擬柱體，擬柱體的側面是三角形、梯形或平行四邊形，其體積是將上下底面面積、中截面(與上下底面距離相等的截面)面積的4倍都相加再乘以高(上下底面的距離)的，在擬柱體中，平面//平面，分別是的中點，為四邊形內一點，設四邊形的面積的面積為，面截得擬柱體的截面積為，平面與平面的距離為，下列說法中正確的有（ ）
A．直線與是異面直線
B．四邊形的面積是的面積的4倍
C．挖去四棱錐與三棱錐后，擬柱體剩余部分的體積為
D．擬柱體的體積為
5．（多選題）如果一個凸n面體共有m個面是直角三角形，那么我們稱這個凸n面體的直度為，則（ ）
A．三棱錐的直度的最大值為1
B．直度為的三棱錐只有一種
C．四棱錐的直度的最大值為1
D．四棱錐的直度的最大值為
6．（多選題）（2024·安徽滁州·模擬預測）閱讀數學材料：“設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面”解答問題：已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列說法正確的是（ ）
A．四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等
B．若，則四棱柱在頂點處的離散曲率為
C．若四面體在點處的離散曲率為，則平面
D．若四棱柱在頂點處的離散曲率為，則與平面的夾角為
7．（多選題）（2024·全國·模擬預測）設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面．已知在直四棱柱中，底面為菱形，，則下列結論正確的是（ ）
A．直四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等
B．若，則直四棱柱在頂點處的離散曲率為
C．若，則直四棱柱在頂點處的離散曲率為
D．若四面體在點處的離散曲率為，則平面
8．將個棱長為1的正方體如圖放置，其中上層正方體下底面的頂點與下層正方體上底面棱的中點重合.設最下方正方體的下底面的中心為，過的直線與平面垂直，以為頂點，為對稱軸的拋物線可以被完全放入立體圖形中.若，則的最小值為 ；若有解，則的最大值為 .
9．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為：，其中（i=1，2，…，k，）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．
（1）任取正四面體的一個頂點，在該點處的離散曲率為 ；
（2）已知長方體，，，點P為底面內的一個動點，則四棱錐P－ABCD在點P處的離散曲率的最小值為 ．
10．（2024·高三·云南保山·期末）刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.根據曲率的定義，正方體在每個頂點的曲率為 ，四棱錐的總曲率為 .
11．18世紀英國數學家辛卜森運用定積分，推導出了現在中學數學教材中柱、錐、球、臺等幾何體的統一體積公式)(其中分別為的高、上底面面積、中截面面積、下底面面積)，我們也稱為“萬能求積公式”.例如，已知球的半徑為，可得該球的體積為；已知正四棱錐的底面邊長為，高為，可得該正四棱錐的體積為.類似地，運用該公式求解下列問題:如圖，已知球的表面積為，若用距離球心都為的兩個平行平面去截球，則夾在這兩個平行平面之間的幾何體的體積為 .

12．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面.已知在直四棱柱中，底面ABCD為菱形，.
①直四棱柱在其各頂點處的離散曲率都相等；
②若，則直四棱柱在頂點A處的離散曲率為；
③若，則直四棱柱在頂點A處的離散曲率為；
④若四面體在點處的離散曲率為，則平面.
上述說法正確的有 （填寫序號）
13．（2024·江西南昌·三模）球面幾何學是幾何學的一個重要分支，在航海、航空、衛星定位等面都有廣泛的應用，如圖，A，B，C是球面上不同的大圓（大圓是過球心的平面與球面的交線）上的三點，經過這三個點中任意兩點的大圓的劣弧分別為，由這三條劣弧圍成的圖形稱為球面．已知地球半徑為R，北極為點N，P，Q是地球表面上的兩點若P，Q在赤道上，且，則球面的面積為 ；若，則球面的面積為 ．
14．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用．刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容．用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和，例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為，則四棱錐的總曲率為 ．
15．（2024·山東日照·一模）若點在平面外，過點作面的垂線，則稱垂足為點在平面內的正投影，記為.如圖，在棱長為1的正方體中，記平面為，平面為，點是棱上一動點（與，不重合），.給出下列三個結論：
①線段長度的取值范圍是；
②存在點使得平面；
③存在點使得；
其中正確結論的序號是 .
16．（2024·高三·浙江·開學考試）已知是棱長為的正四面體，設的四個頂點到平面的距離所構成的集合為，若中元素的個數為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.
(1)若為的1階等距平面且1階等距集為，求的所有可能值以及相應的的個數；
(2)已知為的4階等距平面，且點與點分別位于的兩側.若的4階等距集為，其中點到的距離為，求平面與夾角的余弦值.
17．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知頂點為S的圓錐面（以下簡稱圓錐S）與不經過頂點S的平面α相交，記交線為C，圓錐S的軸線l與平面α所成角θ是圓錐S頂角（圓S軸截面上兩條母線所成角θ的一半，為探究曲線C的形狀，我們構建球T，使球T與圓錐S和平面α都相切，記球T與平面α的切點為F，直線l與平面α交點為A，直線AF與圓錐S交點為O，圓錐S的母線OS與球T的切點為M，，．
(1)求證：平面SOA⊥平面α，并指出a，b，關系式；
(2)求證：曲線C是拋物線．
18．（2024·全國·模擬預測）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結構是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側面積一定，當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．
19．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中Qi（i＝1，2，…，k，k≥3）為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk﹣1PQk和平面QkPQ1遍歷多面體M的所有以P為公共點的面．
（1）如圖1，已知長方體A1B1C1D1﹣ABCD，AB＝BC＝1，，點P為底面A1B1C1D1內的一個動點，則求四棱錐P﹣ABCD在點P處的離散曲率的最小值；
（2）圖2為對某個女孩面部識別過程中的三角剖分結果，所謂三角剖分，就是先在面部取若干采樣點，然后用短小的直線段連接相鄰三個采樣點形成三角形網格．區域α和區域β中點的離散曲率的平均值更大的是哪個區域？（確定“區域α”還是“區域β”）
20．（1）如圖，對于任一給定的四面體，找出依次排列的四個相互平行的平面，，，，使得，且其中每相鄰兩個平面間的距離都相等；
（2）給定依次排列的四個相互平行的平面，，，，其中每相鄰兩個平面間的距離為1，若一個正四面體的四個頂點滿足：，求該正四面體的體積．
21．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為，其中為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體M的所有以P為公共點的面．
(1)求三棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；
(2)如圖，已知在三棱錐中，平面ABC，，，三棱錐在頂點C處的離散曲率為．

①求直線PC與直線AB所成角的余弦值；
②若點Q在棱PB上運動，求直線CQ與平面ABC所成的角的最大值．
22．離散曲率是刻畫空間彎曲性的重要指標．設為多面體的一個頂點，定義多面體在點處的離散曲率為，其中為多面體的所有與點相鄰的頂點，且平面，平面，…，平面和平面為多面體的所有以為公共點的面.
(1)求四棱錐在各個頂點處的離散曲率的和；
(2)如圖，現已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，且，頂點在底面的射影為的中點.
①若，求該四棱錐在處的離散曲率；
②若該四棱錐在處的離散曲率，求直線與平面所成角的正弦值.
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