資源簡介

拔高點突破03 立體幾何中的常考壓軸小題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：球與截面面積問題 2
題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題 7
題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題 13
題型四：立體幾何中的交線問題 21
題型五：空間線段以及線段之和最值問題 25
題型六：空間角問題 29
題型七：立體幾何裝液體問題 34
03 過關測試 38
立體幾何中的常考壓軸小題往往聚焦于空間幾何體的性質、體積計算、空間角的求解及與球相關的綜合問題。解題時，需熟練掌握多面體（如棱柱、棱錐）和旋轉體（如圓柱、圓錐）的結構特征，靈活運用空間向量、三垂線定理等工具解決空間角問題。此外，與球相關的題型常要求通過幾何關系求出球的半徑，進而解決表面積、體積等問題。解題時還需注意幾何體的翻折、展開等變化過程中的不變性與不變量，以及平行、垂直等位置關系的論證。總之，立體幾何壓軸小題考驗的是空間想象能力和綜合運用知識解決問題的能力。
題型一：球與截面面積問題
【典例1-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知三棱錐為中點，為直二面角，且為二面角的平面角，三棱錐的外接球表面積為，則平面被球截得的截面面積及直線與平面所成角的正切值分別為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依題知平面，又面，所以，又為中點，
所以，
取中點為，連接交于，則是外心，又，
所以，連接，在上取為外心，
過作平面的垂線，過作平面的垂線，
兩垂線的交點即為三棱錐外接球球心，
則四邊形是矩形，，
連接，設外接圓半徑，
設球半徑為，因為球的表面積為，所以，得到，
所以在中，，
所以平面截球的截面面積，
在中，，
所以，
又為直線與平面所成角，所以，
故選：D.
【典例1-2】（多選題）（2024·江蘇泰州·模擬預測）在正三棱柱中，的重心為，以為球心的球與平面相切．若點在該球面上，則下列說法正確的有（ ）
A．存在點和實數，使得
B．三棱錐體積的最大值為
C．若直線與平面所成的角為，則的最大值為
D．若，則所有滿足條件的點形成的軌跡的長度為
【答案】BC
【解析】方法一：
對于A，
取中點，中點，連接，，
正三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面，平面，，而為的重心，
，到平面的距離為，而到平面的距離為，
球與平面相離，則不存在這樣的和實數，使，A錯．
對于B，到平面的距離為，球半徑，則到平面的最大距離為，
，B正確．
對于C，設為球的的上頂點，平面于點，與球相切且與平面共面，
，，
設，則有，得，
，C正確．
對于，過且與垂直的平面為平面，
到平面的距離等于倍的到平面的距離，即，
而球半徑，則平面截球的截面圓半徑，
所以截面圓周長即的軌跡長度為，D錯.
故選：BC．
方法二：
對于A，如圖：
左圖中為中點，為在平面上的投影．
右圖為俯視圖下看的球，由于為重心，在俯視圖看來就是正三角形的中心，
所以球實際上與三個側面均相切，則易得半徑．
而，因此球與底面不相交，因此是錯的；
對于B，有，正確；
對于C，作出平面的截面如下圖：
當最大時的位置如上圖所示，不難計算出，
所以，
那么此時，所以C正確；
對于D，軌跡即過B且垂直于的平面與球的交線圓，而，
此式右邊是球面上的大圓的周長，所以是不可能的，所以D錯．
故選：BC．
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）已知某圓柱的高與底面圓的直徑均為4，則該圓柱的外接球的體積為 ；是圓柱下底面圓的直徑，是圓柱上底面圓周上一點．記該圓柱的內切球為球，則平面截球所得截面面積的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由題可知，圓柱的外接球的直徑為，
則圓柱的外接球的體積為．
如圖，四邊形是圓柱的一個軸截面，
圓柱上、下底面的圓心分別為，則為線段的中點．
連接，則平面．過作于，
則．設到平面的距離為，
平面截球的截面圓的半徑為，
球的半徑為，則
平面截球的截面面積最小值為
易知當直徑與重合時，平面截球的截面面積最大，且最大值為
平面截球所得截面面積的取值范圍為．
故答案為：；
【變式1-2】（2024·高三·山東·期末）已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，，，，則：（1）球的表面積為 ；（2）若是的中點，過點作球的截面，則截面面積的最小值是 ．
【答案】
【解析】（1）根據垂直關系,可將三棱錐可放入以為長方體的長,寬,高的長方體中,則體對角線為外接球直徑,進而求解即可；
（2）易得為底面的外接圓圓心,當截面時,截面面積最小,即截面為平面,求解即可.（1）由題,根據勾股定理可得,則可將三棱錐可放入以為長方體的長,寬,高的長方體中,則體對角線為外接球直徑,即,則,所以球的表面積為；
（2）由題,因為,所以為底面的外接圓圓心,當截面時,截面面積最小,即截面為平面,則外接圓半徑為,故截面面積為
故答案為：（1）；（2）
題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題
【典例2-1】已知正方體的棱長為，是空間中任意一點.給出下列四個結論：
①若點在線段上運動，則總有；
②若點在線段上運動，則三棱錐體積為定值；
③若點在線段上運動，則直線與平面所成角為定值；
④若點滿足，則過點，，三點的正方體截面面積的取值范圍為.
其中所有正確結論的序號為 .
【答案】①②④
【解析】對①，如圖，
連接，，在正方體中，，，，平面，所以平面，又平面，所以，又正方體中，，所以，故①正確；
對②，如圖，
因為，平面，平面，所以平面，
所以到平面的距離為定值，因為，而為定值，所以為定值，故三棱錐體積為定值，故②正確；
對③，如圖，
在正方體中，，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離為定值，設直線與平面所成角為，而，不是定值，所以不為定值，故③錯誤；
對④，因為，且，所以點在線段上運動，
在上取一點，使得，連接，
易知，且，即四點共面，即過，，三點的截面為截面.
以點為坐標原點，建立如下圖所示的坐標系：
則，
因為，，
所以截面的面積為
，
當時，，當或時，，所以過，，三點的正方體截面面積最小值為，最大值為，過點，，三點的正方體截面面積的取值范圍為，故④正確.
故答案為：①②④
【典例2-2】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，給出下列三個結論：
①
②的面積與的面積相等
③三棱錐的體積為定值
其中，所有正確結論是 ．
【答案】①③
【解析】對于①,根據題意,結合圖形知,面,
而BE包含于平面,
,命題①正確;
對于②, 點B到直線EF的距離（為的長度）與點A到直線EF的距離（到線段的中點連線的長度）不相等,
與的面積不相等,命題②錯誤;
對于③,三棱錐的體積為,
三棱錐A-BEF的體積為定值,命題③正確;
故答案為：①③.
【變式2-1】（多選題）（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）如圖，在長方體中，，點為線段上動點（包括端點），則下列結論正確的是（ ）

A．當點為中點時，平面
B．當點為中點時，直線與直線所角的余弦值為
C．當點在線段上運動時，三棱錐的體積是定值
D．點到直線距離的最小值為
【答案】ACD
【解析】在長方體中，以點為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，設，
對于A，，，，，
，即，
而平面，因此平面，A正確；
對于B，，，B錯誤；
對于C，由選項A知，點到平面的距離為，而的面積，
因此三棱錐的體積是定值，C正確；
對于D，，則點到直線的距離
，當且僅當時取等號，D正確.
故選：ACD
【變式2-2】（多選題）（2024·高三·廣東深圳·開學考試）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點，將沿直線AM翻折成，連接，N為的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）

A．不存在某個位置，使得
B．翻折過程中，CN的長是定值
C．若，則
D．若，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積是
【答案】ABD
【解析】對于A，取AD的中點為E，連接CE交MD于F，則四邊形為平行四邊形，如圖，
F為MD的中點，由于N為的中點，則，
如果，則，
由于，則，
由于共面且共點，故不可能有，同時成立，
即不存在某個位置，使得，A正確
對于B，結合A的分析可知，且，
在中，，
由于均為定值，故為定值，
即翻折過程中，CN的長是定值，B正確；
對于C，如圖，取AM中點為O，由于，即，則，
若，由于平面，故平面，
平面，故，則，
由于，故，，則,
故，與矛盾，故C錯誤；
對于D，由題意知，只有當平面平面時，三棱錐的體積最大；
設AD中點為E，連接，由于，則，
且，而平面平面，平面，
故平面，平面，故，
則，
從而，則,
即AD的中點E即為三棱錐的外接球球心，球的半徑為1，
故外接球的表面積是，D正確，
故選：ABD
題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題
【典例3-1】（多選題）已知邊長為2的等邊三角形，點均在平面的上方，，且與平面所成角分別為，則下列說法中正確的是（ ）
A．四面體的體積為定值
B．面積的最小值為
C．四面體體積的最大值為1
D．當四面體的體積最大時，其外接球的表面積為
【答案】BCD
【解析】由題意知，與是共軸的圓錐母線，如圖所示，
對于A項，由題意知，
因為且與平面所成角為，
所以點到平面的距離為定值，
所以四面體ABCM的體積為定值，故A項錯誤；
對于B項，與是共軸的圓錐母線，所以，即，
當時，的面積最小，最小值為，故B項正確；
對于C項，當時，的面積最大，最大值為，
當所在平面旋轉至與垂直時，四面體ABMN的高最長，最長值為2，
所以體積的最大值為，故C項正確；
對于D項，當四面體體積最大時，線段，，兩兩垂直，
所以其外接球直徑，
所以外接球的表面積為，故D項正確．
故選：BCD．
【典例3-2】（多選題）（2024·廣東惠州·三模）在四面體中，，，，，分別是棱，，上的動點，且滿足均與面平行，則（ ）
A．直線與平面所成的角的余弦值為
B．四面體被平面所截得的截面周長為定值1
C．三角形的面積的最大值為
D．四面體的內切球的表面積為
【答案】CD
【解析】對于A，取中點，中點，連接,
由于，故，
而，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
則即為直線與平面所成的角，
又,而，
故，則,所以，故錯誤；
對于B，設平面棱的交點為，
因為∥平面且平面,平面平面,
所以∥，
由題意可知，否則，重合，不合題意，
故四邊形為梯形，同理可得四邊形為梯形，
所以，，又，
所以，所以，
又∥，同理可證∥，則∥，同理可證∥，
則四邊形為平行四邊形，故四邊形的周長為2，
即四面體被平面所截得的截面周長為定值2，故錯誤；
對于C，因為平面，平面，所以，
而∥，所以，
同理可證∥，所以，結合,
所以，
當且僅當時，等號成立，
即三角形的面積的最大值為，故正確；
對于D，由以上分析可知,
所以，
而平面，，故，
而,
設四面體的內切球的半徑為，則
即，解得，
故四面體的內切球的表面積為，故正確.
故選：CD.
【變式3-1】（多選題）（2024·山西呂梁·三模）已知正方體的棱長為是空間中的一動點，下列結論正確的是（ ）
A．若點在正方形內部，異面直線與所成角為，則的范圍為
B．平面平面
C．若，則的最小值為
D．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為
【答案】BCD
【解析】對于，如圖：
以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
則，
則
則，
因為
所以，
故，則的取值范圍為，故A不正確；
對于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確；
對于C：正方體的棱長為2，為空間中的一動點，在上取點，使，在上取點，使,如圖：
由得，即，故為線段上一點.
將平面沿展開至與平面共面，如下圖：
易知：，
則.
在平面圖中，當三點共線時，取得最小值，為，故C正確；
對于D：因為，所以，又，可知是線段上一點，如圖：
連接并與交于點.
當與重合時，平面與平面重合，此時截面面積為4.
當在線段（不含點）上時，平面截正方體所得截面為三角形，且當與重合時，截面為，此時截面面積最大，由三邊長均為，故此時截面面積最大值為.
當在線段（不含點）上時，如圖：
延長與交于點，作平行于并與交于點，則截面為等腰梯形，設，則，梯形的高，面積為.
由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為，
所以.
當與重合時，截面為矩形，面積為.
故平面截正方體所得截面面積的最大值為，故D正確.
故選：BCD
【變式3-2】（多選題）（2024·河北秦皇島·三模）在長方形中，，，點在線段上（不包含端點），沿將折起，使二面角的大小為，，則（ ）
A．存在某個位置，使得
B．存在某個位置，使得直線平面
C．四棱錐體積的最大值為
D．當時，線段長度的最小值為
【答案】ACD
【解析】設點A在平面上的投影為，即，
而當時，平面，
所以平面，平面，所以，
這種情況顯然存在，故A正確；
若平面，平面，平面平面，
所以，顯然矛盾，故B錯誤；
設，，則點A到的距離為，，，
要使得四棱錐的體積最大，則，
此時四棱錐的體積，
，在上單調遞減，
且當時，.
令，，則，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
故，
即四棱錐體積的最大值為，C正確.
過A，作的垂線，垂足分別為，，從而得到，，
又，
所以
.
因為二面角的大小為，所以與的夾角為120°.
設，，則，
，，，，
所以，
所以
.
故當時，有最小值28，故線段長度的最小值為，D正確.
故選：ACD
【變式3-3】（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結論正確的是（ ）
A．圓錐的側面積為
B．三棱錐的體積的最大值為
C．的取值范圍是
D．若，為線段上的動點，則的最小值為
【答案】D
【解析】在中，，則圓錐的母線長，半徑，
對于A，圓錐的側面積為：，故A錯誤；
對于B，當時，的面積最大，此時，
則三棱錐體積的最大值為，故B錯誤；
對于C，因為為等腰三角形，，又，所以，
當點與點重合時，為最小角，當點與點重合時，達到最大值，
又因為與不重合，則，又，可得，故C錯誤；
對于D，由，得，又，
則為等邊三角形，則， 將以為軸旋轉到與共面，得到，
則為等邊三角形，，如圖可知，
因為，
，
則，故D正確；
故選：D.
題型四：立體幾何中的交線問題
【典例4-1】（2024·福建福州·三模）如圖，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，，點D是BC的中點，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，因為，D分別是，BC的中點，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，
因為為直徑，所以，因為，即，
又因為平面，
平面，所以，平面，
所以平面，過點作交于點，
因為平面，所以，，
，平面，所以平面，
所以為交線l與平面所成角，
因為，，
.
所以，結合圖知.
故選：B.
【典例4-2】已知在正方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側面，底面的交線分別為，，則（ ）
A．的長度為 B．的長度為
C．的長度為 D．的長度為
【答案】A
【解析】如圖所示，
連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點，
交的延長線于點，連接，交于點，連接，
則即為，即為，
由，得，所以，，
由，得，則，
所以，故C，D項錯誤；
由，得，
又易知，得，所以，
所以，故A項正確，B項錯，
故選：A.
【變式4-1】（2024·安徽·一模）安徽徽州古城與四川閬中古城 山西平遙古城 云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體.已知該正方體中，點分別是棱的中點，過三點的平面與平面的交線為，則直線與直線所成角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，在平面中，連接與交于，則，
在平面中，連接與交于，則，
則為平面與平面的交線，且，
而在等邊中與所成的角為，
故與直線所成角.
故選：
【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在正方體中，為中點，過的截面與平面 的交線為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取的中點，如下圖，連接，
因為，所以四點共面，
所以過的截面即為平面，
截面與平面 的交線為即為，
取的中點，連接，因為，
所以（或其補角）為異面直線與所成角，
設正方體的棱長為，所以，
所以.
則異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A.
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
【典例5-1】在正方體中，為棱的中點，分別為上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】將正方體的側面與展開到同一平面
在同一平面內可知的最小值就是點到的距離，
正方體中，為棱的中點，所以，，
是正方形，所以
故答案為：
【典例5-2】在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，點為側面的中心，則的周長的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖①，設側面的中心為，根據正方體的結構特征可得，
則周長的最小值即的最小值.
將側面繞著旋轉至與平面在同一平面上，
將平面繞著旋轉至與平面在同一平面上，
過點作⊥于點，則，其中，
如圖②，則，
故的周長的最小值為.
故答案為：
【變式5-1】正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是6，，分別為，的中點，若是側面上一點，且平面，則線段的最小值為 ．
【答案】
【解析】取的中點為，連接，
因為，，平面，平面，
所以平面，平面，
又，平面，
由面面平行的判定可知，平面平面，
因為是側面上一點，且平面，
所以點在線段上，
當時，線段最短，，
即，，
，，
故答案為：.
【變式5-2】如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，，分別為線段和棱上的動點，則的最小值為 ．
【答案】
【解析】設是的中點，，
所以，則.
對任一點，的最小值是到直線的距離，
過作，交于，
過作，交于，連接，
由于，所以平面，平面，
所以，
由于，平面，所以平面，
又平面，所以，
則，易得.
，，
，
所以，
當三點共線，且是的中點，是與的交點，
此時取得最小值為，所以的最小值為.
故答案為：
【變式5-3】如圖，已知正方體的棱長為4，點在棱上，且，在側面內作邊長為1的正方形，是側面內的動點，且點到平面的距離等于線段的長．當點運動時，的最小值是 ．

【答案】
【解析】依題意知，正方體中，點到平面的距離等于線段的長
即點到點的距離與到直線的距離相等，
∴點的軌跡是以為焦點、為準線的拋物線．
如圖，作于點，則，而平面，
故平面，平面，故，
又，則,
則當最小時，最小．
以的中點為原點O，以所在直線為x軸，以的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，
則，設，
由于點的軌跡是以為焦點、為準線的拋物線，故拋物線方程為，
則，
當時，取到最小值，符合題意，
即，∴的最小值為22，即，
故答案為：
題型六：空間角問題
【典例6-1】如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側棱上的點，且，設直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如圖：延長EF，AB交于M，延長EG，AC交于N，延長FG，BC交于D，易得MN為平面ABC和平面EFG的交線，
又D在平面ABC和平面EFG上，則D在直線MN上，即M，N，D三點共線，由外角定理可得.
過A作面EFG，垂足為P，過A作，垂足為Q，連接，易得即為直線與平面所成的角，
則，又面EFG，面EFG，則，又，面，，
所以面，面，則，則即為平面與底面所成的銳二面角，則，
又，則，同理可得，則，
又由，
，
則，
故，A，C錯誤；
故，由可知，所以，
即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正確，D錯誤.
故選：B.
【典例6-2】設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】本題以三棱錐為載體，綜合考查異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角的概念，以及各種角的計算.解答的基本方法是通過明確各種角，應用三角函數知識求解，而后比較大小.而充分利用圖形特征，則可事倍功半.方法1：如圖為中點，在底面的投影為，則在底面投影在線段上，過作垂直，易得，過作交于，過作，交于，則，則，即，，即，綜上所述，答案為B.
方法2：由最小角定理，記的平面角為（顯然）
由最大角定理，故選B.
方法3：（特殊位置）取為正四面體，為中點，易得
，故選B.
【變式6-1】如圖，已知正三棱柱，E，F分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如圖所示，過點作于，過作于，連接，
則，，，
，，，
所以，
故選：A．
【變式6-2】（2024·浙江·二模）已知三棱柱的所有棱長均相等，側棱平面，過作平面與平行，設平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如圖，，設為的中點，為的中點，
由圖可知過且與平行的平面為平面，所以直線即為直線，
由題易知，的補角，分別為，
設三棱柱的棱長為2，
在中，，
；
在中，，
；
在中，，
，
.
故選：B
題型七：立體幾何裝液體問題
【典例7-1】（多選題）（2024·山東菏澤·一模）透明塑料制成的正方體密閉容器的體積為注入體積為的液體.如圖，將容器下底面的頂點置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，則下列說法正確的是（ ）
A．液面始終與地面平行
B．時，液面始終是平行四邊形
C．當時，有液體的部分可呈正三棱錐
D．當液面與正方體的對角線垂直時，液面面積最大值為
【答案】ACD
【解析】液面始終是水平面，與場面平行，A正確；
時，體積是正方體的一半，如液面正好過棱的中點，此時液面是正六邊形，不是平行四邊形，B錯；
液面過的中點時，此時，有液體的部分是正三棱錐，C正確；
當液面與正方體的對角線垂直時，液面面積的液面面積最大時就是B中所列舉的正六邊形（此時液體體積是正方體體積的一半），面積為， D正確．
故選：ACD．
【典例7-2】（多選題）向體積為1的正方體密閉容器內注入體積為x（）的液體，旋轉容器，下列說法正確的是（ ）
A．當時，容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同
B．不管注入多少液體，液面都可以成正三角形形狀
C．液面可以是正六邊形，其面積為
D．當液面恰好經過正方體的某條體對角線時，液面邊界周長的最小值為
【答案】AC
【解析】對于A，當時，題目等價于過正方體中心的平面截正方體為兩部分，
根據對稱性知兩部分完全相同，所以A正確；
對于B，取，此時液面過正方體中心，截面不可能為三角形，所以B錯誤；
對于C，當液面與正方體的體對角線垂直時，液面為如圖所示正六邊形時面積最大，
其中正六邊形的頂點均為對應棱的中點，
所以液面面積的最大值為，C正確；
對于D，當液面過時，截面為，將繞旋轉，如圖所示；
則，
當D、N、三點共線時等號成立，所以液面周長最小值為，D錯誤.
故選：AC.
【點晴】本題考查了正方體的截面問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.
【變式7-1】（2024·湖北宜昌·一模）已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現將該棱柱繞旋轉至圖2.在旋轉過程中，以下命題中正確的個數是（ ）
①液面剛好同時經過，，三點；
②當平面與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為；
③當液面與水平桌面的距離為時，與液面所成角的正弦值為.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】①若液面剛好同時經過,,三點,則液體的體積為四棱錐,
因為,所以①正確；
②當平面與液面成直二面角時,即為圖2的位置,設液面與直三棱柱的交點為,如圖所示,
因為直三棱柱的體積為,
所以直棱柱的體積為,
所以,即,則在中邊上的高為,
因為在中邊上的高為,所以液面與水平桌面的距離為,所以②正確；
③當液面剛好同時經過,,三點時,如圖所示,
此時,則,
易得,則中邊上的高為,
所以,
設點到平面的距離為,則,即,
即液面與水平桌面的距離為,
由棱柱的對稱性可得點到平面的距離為,設與液面所成角為,
則,所以③正確,
所以①②③正確,
故選:D
【變式7-2】（2024·廣西南寧·模擬預測）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為1，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖，正方體，若要使液面形狀不可能為三角形，則當平面平行于水平面放置時，液面必須高于平面，且低于平面.若滿足上述條件，則任意轉動正方體，液面形狀都不可能為三角形.設液體的體積為，則，而，，所以液體的體積的取值范圍為.
故選：B.
【變式7-3】一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，若要使液面的形狀都不可能為三角形，則液體的體積應大于三棱錐的體積，小于多面體的體積.求解即可.如圖正方體，連接.
若要使液面的形狀都不可能為三角形
則液體的體積應大于三棱錐的體積，小于多面體的體積.
設液體的體積為，則.
因為，.
所以液體的體積的取值范圍為.
故選：D
1．（2024·全國·模擬預測）已知三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，且平面為的中點，為平面內一動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【解析】
平面平面平面平面.
如圖，設點關于平面對稱的點為，連接，，
則四邊形為平行四邊形且.
連接（當且僅當三點共線時取等號）.
取的中點，連接，
則平面平面.
在中，由余弦定理，得，
，的最小值為.
故選：A.
2．在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則點為正方形內一點，當平面時，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖，分別取的中點，連接，
則，所以，
易知四邊形為平行四邊形，故，
因為平面，平面，所以平面，
平面，平面，所以平面，
又，平面，
所以平面平面，因為平面，故平面，
又點為正方形內一點，平面平面，
所以點在線段上，
又,當即點即為的中點，也即點為的交點時，
此時最短，
因為的中點分別是，
所以，，所以.
故選：C.
3．在長方體中，已知，，，點為底面內一點，若和底面所成角與二面角的大小相等，點在底面的投影為點，則三棱錐體積的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【解析】由題意，平面，所以和底面所成角為，
過Q作，垂足為M，連接，
由于平面，平面，故，
平面，故平面，
平面，故，
則為二面角的平面角，即，
故，故，
則Q點在平面內的軌跡為以為焦點，為準線的拋物線，
如圖以為原點所在直線為x軸建立平面直角坐標系，
則拋物線方程為，直線的方程為，
設拋物線的和平行的切線方程為，
聯立，得，
令，解得，
即得和之間的距離為，
即Q點到的最短距離為，
而的長為，則面積的最小值為，
P點到平面的距離為4，故三棱錐體積的最小值為，
故選：D
4．在棱長為2的正方體中，P，Q，R分別為線段，，上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】在正方體中，，在平面內過作于，作于，
設，顯然，則，
四邊形為矩形，于是，
由，得平面，由，得平面，
則，當確定后，最小時，最小，當時，最小，
而，則，
同理，當確定后，最小，最小，則當時，最小，
而，則，
因此，令，
求導得，由，得，
當時，，當時，，即函數在上遞減，在上遞增，
則，所以的最小值為.
故選：A
5．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個數有（ ）
①異面直線與所成的角為45°；
②此八面體的外接球與內切球的體積之比為；
③若點為棱上的動點，則的最小值為；
④若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】B
【解析】對①：連接，取中點，連接、，
由題意可得、為同一直線，、、、四點共面，
又，故四邊形為菱形，
故，故異面直線與所成的角等于直線與所成的角，
即異面直線與所成的角等于，故①錯誤；
對②：由四邊形為正方形，有，
故四邊形亦為正方形，即點到各頂點距離相等，
即此八面體的外接球球心為，半徑為，
設此八面體的內切球半徑為，
則有，化簡得，
則此八面體的外接球與內切球的體積之比為，故②正確；
對③：將延折疊至平面中，如圖所示：
則在新的平面中，、、三點共線時，有最小值，
則，故③錯誤.
對于④，設三角形的內切圓半徑為，則由等面積法，有，
解得，
由②可知，點到平面的距離為，
所以，
這表明當點在平面內時，點在三角形的內切圓上運動，
它的周長是，
根據對稱性可知動點的軌跡長度為，故④正確.
正確的編號有②④.
故選：B.
6．（2024·浙江杭州·模擬預測）以半徑為1的球的球心為原點建立空間直角坐標系，與球相切的平面分別與軸交于三點，，則的最小值為（ ）
A． B． C．18 D．
【答案】C
【解析】根據對稱性，不妨設、、均在正半軸，設球與平面切于點，連接并延長交于點，連接，
則平面，平面，平面，所以，
又，所以，即，
又，，所以，則，
所以，
又平面，平面，所以，
平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以
，
又，即，所以，
所以，
當且僅當時取等號，
即的最小值為.
故選：C
7．如圖，若P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則下列結論正確的是（ ）
A．當P在平面內運動時，四棱錐的體積變化
B．當P在線段上運動時，與所成角的取值范圍是
C．使直線與平面所成的角為45°的點P的軌跡長度為
D．若F是棱的中點，當P在底面內運動，且滿足平面時，長度的最小值是
【答案】D
【解析】對于A，因為底面正方形的面積不變，點P到平面的距離為正方體棱長，
所以四棱錐的體積不變，故A錯誤；
對于B，如圖①，以D為坐標原點，，，所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，
可得，，.設，，
則，.
設直線與所成角為θ，則，
圖①
因為，當時，可得，所以；
當時，，所以，
所以異面直線與所成角的取值范圍是，所以B錯誤；
對于C，已知直線與平面所成的角為45°，若點P在平面和平面內，
因為，最大，點P僅在點；若點P在平面內，
則點P的軌跡長度是；若點P在平面內，則點P的軌跡長度是；
若點P在平面內，作平面，如圖②所示，
因為，所以.
圖②
因為，所以，所以，
所以點P的軌跡是以點A1為圓心，以2為半徑的四分之一圓，
所以點P的軌跡長度為.
綜上，點P的軌跡總長度為，故C錯誤；
對于D，如圖③，由前面建系得，，，，
設，，，
則，，.
設平面的法向量為，
則，令，則，所以.
圖③
因為平面，所以，可得，
所以，
當時，等號成立，故D正確．
故選：D.
8．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知正四棱錐的8條棱長均相等，為頂點在底面的射影，則（ ）
A．側棱與底面所成角的大小為
B．設，為正方形邊上的兩點，則二面角的值大于
C．側面與底面所成角的大小為
D．設為正方形上的點，則直線與底面所成角的最大值為
【答案】B
【解析】依題意，平面，
平面，則.
，
對于A，依題意可知是側棱與底面所成的角，
，為銳角，且，則A選項錯誤.
對于B，過作，垂足為，由于平面，
則，由于平面，
則平面，由于平面，則，
則二面角的平面角為，
由于平面，則，
當時，平面，則平面..平面，
此時二面角為直角，
當時，，由于是正方形邊上的兩個點，
則，則，
則二面角的值大于.則B選項正確.
對于C，設是的中點，連接，由于，
側面與底面的交線為，
則側面與底面所成角的平面角為，
由于平面，則，，
則，則側面與底面所成的角大于，則C選項錯誤.
對于D，當點與點重合時，直線與底面所成角為，則D選項錯誤.
故選：B
9．（2024·山西呂梁·三模）在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．4.5
【答案】A
【解析】
由題可知，點在平面內以為焦點的橢圓上，點在平面內以為焦點的橢圓上，
所以焦距為，即，
由橢圓定義可知長軸長為，即，
所以到中點距離的最大值為短半軸長，
所以中，，，
所以，又，
所以當垂直平面時四面體體積最大，最大值為，
故選：A.
10．（2024·山東·模擬預測）已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5，母線長為4，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取上下底面圓心、，連接、、，
由圓臺性質可知，且，
又，故，
則當為以為底的高時，面積最大，
且其最大值為.
故選：A.
11．（2024·浙江·模擬預測）正四面體，為棱的中點，過點作平面的平行平面，該平面與平面、平面的交線分別為，則所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設所作的平面為，則由平面，平面，
平面平面，得，同理可得，
所以所成的角等于與所成的角，即（或補角）．
設正四面體的棱長為2，則，，
在中由余弦定理，得，
則.
故選：A
12．（2024·全國·一模）已知三棱錐為正三棱錐，且，，點、是線段、的中點，平面與平面沒有公共點，且平面，若是平面與平面的交線，則直線與直線所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，
取中點，連接，，
、分別為、的中點，則，所以，同理，
所以異面直線和所成角即為或其補角.
取中點，則，，又，所以平面，
又平面，所以，所以.
在中，，，所以.
所以直線和所成角的正切值為，
故選：D.
13．（2024·湖南湘潭·三模）在棱長為1的正方體中，E為的中點，過點A．C．E的截面與平面的交線為m，則異面直線m與所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如圖所示：
平面ACE可以延展為平面ACEF，O，分別為上下底面中心，，，
∴平面平面，
∵，
∴為異面直線m、所成角．
∵E，F分別為，的中點，
∴G為的中點，
∴，
在中，．
故選：D．
14．（多選題）（2024·河南·模擬預測）已知四面體的頂點，，，均在球的球面上，是邊長為2的等邊三角形，，棱，，的中點分別為，，，過，，三點的平面截四面體所得截面四邊形的對角線互相垂直，則（ ）
A．
B．與所成角不可能為90°
C．直線與平面所成的角為30°
D．球的表面積為
【答案】ABD
【解析】對于A，如圖，連接，，則，且，
取的中點，連接，，
則，且，所以且，
所以過，，三點的平面截該四面體所得截面為平行四邊形，
又，則四邊形為菱形，
所以，則，A正確；
對于B，若與所成角為90°，則，由，得，得平面，
所以，則，這與矛盾，
所以與所成角不可能為90°，B正確；
對于C，取的中點，連接，因為是邊長為2的等邊三角形，所以，
則，連結，因為，則，所以，
則，又平面，
所以平面，則為棱與平面所成角，
則，所以直線與平面所成角為60°，C錯誤；
對于D，由以上分析，平面，因為為直角三角形，且為斜邊，
所以四面體外接球的球心為的外接圓的圓心，則球的半徑，
所以四面體外接球的表面積為，D正確.
故選：ABD.
15．（多選題）（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）在棱長為2的正方體中，M為邊的中點，下列結論正確的有（ ）
A．與所成角的余弦值為
B．過三點A、M、的截面面積為
C．四面體的內切球的表面積為
D．E是邊的中點，F是邊的中點，過E、M、F三點的截面是六邊形．
【答案】AD
【解析】對于A，以為坐標原點，以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，
，則,
則，
與所成角的范圍為，故與所成角的余弦值為，A正確；
對于B，設N為的中點，連接MN，則，且，
則梯形即為過三點A、M、的截面，
，則梯形高為，
故梯形面積為為，B錯誤；
對于C，如圖，四面體的體積等于正方體體積減去四個角上的直三棱錐的體積，
即，
該四面體的棱長為，其表面積為，
設四面體內球球半徑為r，則，
故四面體的內切球的表面積為，C錯誤；
對于D，如圖，延長ME和的延長線交于J，則≌，
則，設H為的中點，則，
連接HJ，則≌，則，
故G為的中點，故，
同理延長交于L，連接LH，交于K，
K即為的中點，則K，E在確定的平面內，
則六邊形即過E、M、F三點的截面，是六邊形，D正確，
故選：AD
16．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知平面平面，且均與球相交，得截面圓與截面圓為線段的中點，且，線段與分別為圓與圓的直徑，則（ ）
A．若為等邊三角形，則球的體積為
B．若為圓上的中點，，且，則與所成角的余弦值為
C．若，且，則
D．若，且與所成的角為，則球的表面積為或
【答案】BCD
【解析】由球心為線段的中點，可知圓、圓的半徑相同．設球的半徑為，
圓與圓的半徑為.
對于A，由題意，.因為，所以，解得（負值已舍去）.
所以，解得（負值已舍去），所以，故A錯誤.
對于B，因為，所以三點在同一平面內.
因為點分別為線段的中點，所以為的中位線，所以，
所以為與所成的角.因為，所以.
又，所以，所以，故B正確.
對于C，因為，所以以為原點，分別以，所在直線為軸、軸，
以圓中垂直于的直徑所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，
則，
所以，
所以，所以，故C正確.
對于D，以為原點，以，所在直線分別為軸、軸，
以圓中垂直于的直徑所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如上圖，
則，
所以，
所以，
所以，
解得（負值已舍去）或（負值已舍去）.
當時，球的半徑為，所以球的表面積；
當時，球的半徑為，所以球的表面積，故D正確.
故選：BCD.
17．（多選題）（2024·江蘇泰州·模擬預測）在正方體中，P為線段上的動點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．直線AP與所成角的取值范圍是 D．三棱錐的體積為定值
【答案】ABD
【解析】對于選項A，，
四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面；
，
四邊形是平行四邊形，平面，平面，平面；
又，且平面，平面，
所以平面平面，而為線段上的動點，平面，
平面，A正確；
對于選項B，平面，平面，，
，，平面，平面，
而平面，，
同理可證，，又，平面，
平面，B正確；
對于選項C，，
直線與所成角即直線與所成角，
在中，當點與或重合時，直線與所成角取到最小值，
當點在線段中點時，直線與所成角取到最大值，
所以直線與所成角的取值范圍為，故C錯誤.
對于選項D，
三棱錐的體積即為三棱錐的體積，
由選項A可得，平面，平面平面，
則到平面的距離為定值，又底面積為定值，
所以三棱錐的體積為定值，D正確；
故選：ABD.
18．（多選題）（2024·貴州貴陽·模擬預測）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，則（ ）
A．當時，最小值為
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，平面平面
D．若，則P的軌跡長度為
【答案】BCD
【解析】對于A中，當時，，可得點在上，
以為軸，把平面與平面展在一個平面上，如圖所示，
連接交于點，此時最小值為，所以A錯誤；
對于B中，當時，，可得點在上，
取的中點，在等邊中，可得，且，
因為平面，且平面，所以，
又因為且平面，所以平面，
即為三棱錐的高，
所以三棱錐的體積為為定值，所以B正確；
對于C中，當時，，可得點為的中點，
如圖所示，取的中點，分別連接，
可得且，所以為平行四邊形，所以，
因為平面，平面，所以，
又因為，且，平面，所以平面，
因為，所以平面，
又因為平面，所以平面，所以C正確；
對于D中，由點P滿足，其中，
可得點在矩形內（包含邊界），
取的中點，連接和，
因為平面，且平面，所以，
又因為，且平面，所以平面，
因為平面，所以，且，
在直角中，可得，
所以點的軌跡是以為圓心，半徑為的半圓，其軌跡長度為，所以D正確.
故選：BCD
19．（多選題）（2024·湖北黃岡·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，點滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．平面
B．若平面，則動點的軌跡是一條線段
C．若，則四面體的體積為定值
D．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為
【答案】BC
【解析】
對于A，如圖1，假設平面，因平面則①；
因正方形,可得,又平面,平面,則,
又平面，故平面，
因平面，故②，
又平面,故由① ，② 可得平面，
顯然該結論不成立，故錯誤；
對于B，如圖2，取中點，連接，
易得,且，故得,
則有，因平面,平面,故平面③；
又,同理可得,則,故有，同法可得平面④ ,
因平面，則由③ ，④ 可得平面平面，
而平面，則點在平面內，而點又在平面內，
故點的軌跡為線段，B正確；
對于C，如圖2，//，
因為，，
所以，故三點共線，
所以點在上，而//，且平面，平面,所以平面，
所以點到平面的距離為定值，因為的面積為定值，
所以四面體的體積為定值，正確；
對于：如圖3，因為正方形的中心，則,故的外心為的中點，
又,故的外心為中點,又因平面平面,
故點即為三棱錐的外接球的球心，其半徑，
此外接球的體積.故D不正確.
故選：BC.
20．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知正方體的棱長為分別為棱的中點，動點在線段上，則下列結論中正確的是（ ）
A．直線與平面所成角為
B．直線與直線所成角的余弦值為
C．三棱錐的體積為定值
D．點在正方體內部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區域面積為
【答案】BCD
【解析】對于選項A，設，連接，
因為平面，平面，則，
因為，，所以平面，
所以為直線與平面所成的角，
由題易知，所以，
所以直線與平面所成角為，故選項A錯誤；
對于選項B，取棱的中點，連接，易知，
則為直線與直線所成的角或其補角，
在中，易知，，
由余弦定理可得，故選項B正確；
對于選項C，三棱錐的體積，
因為平面，點在線段上，
所以點到平面的距離為定值．
又因為底面的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項C正確；
對于選項D，分別取棱，，，的中點，，，，
連接，，，，，，
則，，，
因此易知動點的軌跡所形成的區域是邊長為的正六邊形及內部，
其面積為，故選項D正確.
故選：BCD．
21．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則三棱錐外接球的表面積為
B．若，則異面直線與所成角的余弦值為
C．若，則面積的最小值為
D．若存在實數使得，則的最小值為
【答案】AD
【解析】A：由題意，與重合，
故三棱錐的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同，
故半徑，表面積為，故對；
B：以為原點建系，，，，，，
由，所以，
，，，故B錯；
C：由得，在線段上運動，設在底面的投影為，連接，
由于，所以，故，
連接相交于，連接，
，當重合時取等號，故C錯；
D：由
得，，，，
由可得，
所以，，，
當時，，故D正確.
故選：AD.
22．（多選題）（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面ABCD內一動點，則（ ）
A．若M在線段AB上，則的最小值為
B．平面被正方體內切球所截，則截面面積為
C．若與AB所成的角為，則點M的軌跡為橢圓
D．對于給定的點M，過M有且僅有3條直線與直線，所成角為
【答案】ABD
【解析】對于A，延長到使得，則，等號在共線時取到；故A正確；
對于B，由于球的半徑為，球心到平面的距離為，故被截得的圓的半徑為，故面積為，故B正確；
對于C，與所成的角即為和所成角，所以，易知平面，
當位于線段上時，則平面，得，所以的軌跡為直線，故C錯誤；
對于D，顯然過的滿足條件的直線數目等于過的滿足條件的直線的數目，
在直線上任取一點，使得，不妨設，
若，則是正四面體，所以有兩種可能，直線也有兩種可能，
若，則只有一種可能，就是與的角平分線垂直的直線，
所以直線有三種可能，故D正確.
故選：ABD
23．（2024·山東青島·三模）已知長方體中，，點為矩形 內一動點，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若 ，則三棱錐體積的最小值為 .
【答案】
【解析】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，
連接，則，，由，則，
又、平面，故，，則，
由拋物線定義可知，的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線一部分，
所以的軌跡為以為焦點，以為準線的拋物線一部分，
當點到線段距離最短時，三角形面積最小，即三棱錐體積最小，
取中點為原點，建立如圖所示平面直角坐標系，
則，，，
則直線的方程為：，即，
拋物線的方程為，則，
由題意，令，得，代入，得，
所以點的坐標為，所以到直線的最短距離為：
，因為，
所以，
所以三棱錐體積的最小值為.
故答案為：.
24．（2024·安徽·三模）已知四棱錐的底面為矩形，其中，點平面，點M，N分別在線段，上（不含端點位置），其中，則四面體的體積最大值為 .
【答案】
【解析】在上取點，使得，
由，設，，其中，
又由，，且平面，
因為平面，所以，
可得，且，，，
因為，且平面，所以平面，
在中，由，可得，則的面積為，
故，
當且僅當時等號成立，所以四面體的體積最大值為.
故答案為：.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)拔高點突破03 立體幾何中的常考壓軸小題　
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：球與截面面積問題 2
題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題 3
題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題 4
題型四：立體幾何中的交線問題 6
題型五：空間線段以及線段之和最值問題 7
題型六：空間角問題 9
題型七：立體幾何裝液體問題 10
03 過關測試 12
立體幾何中的常考壓軸小題往往聚焦于空間幾何體的性質、體積計算、空間角的求解及與球相關的綜合問題。解題時，需熟練掌握多面體（如棱柱、棱錐）和旋轉體（如圓柱、圓錐）的結構特征，靈活運用空間向量、三垂線定理等工具解決空間角問題。此外，與球相關的題型常要求通過幾何關系求出球的半徑，進而解決表面積、體積等問題。解題時還需注意幾何體的翻折、展開等變化過程中的不變性與不變量，以及平行、垂直等位置關系的論證。總之，立體幾何壓軸小題考驗的是空間想象能力和綜合運用知識解決問題的能力。
題型一：球與截面面積問題
【典例1-1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知三棱錐為中點，為直二面角，且為二面角的平面角，三棱錐的外接球表面積為，則平面被球截得的截面面積及直線與平面所成角的正切值分別為（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（多選題）（2024·江蘇泰州·模擬預測）在正三棱柱中，的重心為，以為球心的球與平面相切．若點在該球面上，則下列說法正確的有（ ）
A．存在點和實數，使得
B．三棱錐體積的最大值為
C．若直線與平面所成的角為，則的最大值為
D．若，則所有滿足條件的點形成的軌跡的長度為
【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）已知某圓柱的高與底面圓的直徑均為4，則該圓柱的外接球的體積為 ；是圓柱下底面圓的直徑，是圓柱上底面圓周上一點．記該圓柱的內切球為球，則平面截球所得截面面積的取值范圍為 ．
【變式1-2】（2024·高三·山東·期末）已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，，，，則：（1）球的表面積為 ；（2）若是的中點，過點作球的截面，則截面面積的最小值是 ．
題型二：體積、面積、周長、角度、距離定值問題
【典例2-1】已知正方體的棱長為，是空間中任意一點.給出下列四個結論：
①若點在線段上運動，則總有；
②若點在線段上運動，則三棱錐體積為定值；
③若點在線段上運動，則直線與平面所成角為定值；
④若點滿足，則過點，，三點的正方體截面面積的取值范圍為.
其中所有正確結論的序號為 .
【典例2-2】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，給出下列三個結論：
①
②的面積與的面積相等
③三棱錐的體積為定值
其中，所有正確結論是 ．
【變式2-1】（多選題）（2024·高三·貴州貴陽·開學考試）如圖，在長方體中，，點為線段上動點（包括端點），則下列結論正確的是（ ）

A．當點為中點時，平面
B．當點為中點時，直線與直線所角的余弦值為
C．當點在線段上運動時，三棱錐的體積是定值
D．點到直線距離的最小值為
【變式2-2】（多選題）（2024·高三·廣東深圳·開學考試）如圖，矩形ABCD中，M為BC的中點，將沿直線AM翻折成，連接，N為的中點，則在翻折過程中，下列說法正確的是（ ）

A．不存在某個位置，使得
B．翻折過程中，CN的長是定值
C．若，則
D．若，當三棱錐的體積最大時，其外接球的表面積是
題型三：體積、面積、周長、距離最值與范圍問題
【典例3-1】（多選題）已知邊長為2的等邊三角形，點均在平面的上方，，且與平面所成角分別為，則下列說法中正確的是（ ）
A．四面體的體積為定值
B．面積的最小值為
C．四面體體積的最大值為1
D．當四面體的體積最大時，其外接球的表面積為
【典例3-2】（多選題）（2024·廣東惠州·三模）在四面體中，，，，，分別是棱，，上的動點，且滿足均與面平行，則（ ）
A．直線與平面所成的角的余弦值為
B．四面體被平面所截得的截面周長為定值1
C．三角形的面積的最大值為
D．四面體的內切球的表面積為
【變式3-1】（多選題）（2024·山西呂梁·三模）已知正方體的棱長為是空間中的一動點，下列結論正確的是（ ）
A．若點在正方形內部，異面直線與所成角為，則的范圍為
B．平面平面
C．若，則的最小值為
D．若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為
【變式3-2】（多選題）（2024·河北秦皇島·三模）在長方形中，，，點在線段上（不包含端點），沿將折起，使二面角的大小為，，則（ ）
A．存在某個位置，使得
B．存在某個位置，使得直線平面
C．四棱錐體積的最大值為
D．當時，線段長度的最小值為
【變式3-3】（2024·陜西商洛·模擬預測）如圖，為圓錐的底面圓的直徑，點是圓上異于，的動點，，則下列結論正確的是（ ）
A．圓錐的側面積為
B．三棱錐的體積的最大值為
C．的取值范圍是
D．若，為線段上的動點，則的最小值為
題型四：立體幾何中的交線問題
【典例4-1】（2024·福建福州·三模）如圖，在圓臺OO1中，，點C是底面圓周上異于A、B的一點，，點D是BC的中點，l為平面與平面的交線，則交線l與平面所成角的大小為（ ）

A． B． C． D．
【典例4-2】已知在正方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側面，底面的交線分別為，，則（ ）
A．的長度為 B．的長度為
C．的長度為 D．的長度為
【變式4-1】（2024·安徽·一模）安徽徽州古城與四川閬中古城 山西平遙古城 云南麗江古城被稱為中國四大古城.徽州古城中有一古建筑，其底層部分可近似看作一個正方體.已知該正方體中，點分別是棱的中點，過三點的平面與平面的交線為，則直線與直線所成角為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在正方體中，為中點，過的截面與平面 的交線為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
題型五：空間線段以及線段之和最值問題
【典例5-1】在正方體中，為棱的中點，分別為上的動點，則的最小值為 ．
【典例5-2】在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，點為側面的中心，則的周長的最小值為 .
【變式5-1】正三棱柱的底面邊長是4，側棱長是6，，分別為，的中點，若是側面上一點，且平面，則線段的最小值為 ．
【變式5-2】如圖，棱長為1的正方體中，為線段的中點，，分別為線段和棱上的動點，則的最小值為 ．
【變式5-3】如圖，已知正方體的棱長為4，點在棱上，且，在側面內作邊長為1的正方形，是側面內的動點，且點到平面的距離等于線段的長．當點運動時，的最小值是 ．

題型六：空間角問題
【典例6-1】如圖，斜三棱柱中，底面是正三角形，分別是側棱上的點，且，設直線與平面所成的角分別為，平面與底面所成的銳二面角為，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例6-2】設三棱錐的底面是正三角形，側棱長均相等，是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角的平面角為，則
A． B．
C． D．
【變式6-1】如圖，已知正三棱柱，E，F分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A． B． C． D．
【變式6-2】（2024·浙江·二模）已知三棱柱的所有棱長均相等，側棱平面，過作平面與平行，設平面與平面的交線為，記直線與直線所成銳角分別為，則這三個角的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
題型七：立體幾何裝液體問題
【典例7-1】（多選題）（2024·山東菏澤·一模）透明塑料制成的正方體密閉容器的體積為注入體積為的液體.如圖，將容器下底面的頂點置于地面上，再將容器傾斜.隨著傾斜度的不同，則下列說法正確的是（ ）
A．液面始終與地面平行
B．時，液面始終是平行四邊形
C．當時，有液體的部分可呈正三棱錐
D．當液面與正方體的對角線垂直時，液面面積最大值為
【典例7-2】（多選題）向體積為1的正方體密閉容器內注入體積為x（）的液體，旋轉容器，下列說法正確的是（ ）
A．當時，容器被液面分割而成的兩個幾何體完全相同
B．不管注入多少液體，液面都可以成正三角形形狀
C．液面可以是正六邊形，其面積為
D．當液面恰好經過正方體的某條體對角線時，液面邊界周長的最小值為
【變式7-1】（2024·湖北宜昌·一模）已知一個放置在水平桌面上的密閉直三棱柱容器，如圖1，為正三角形，，，里面裝有體積為的液體，現將該棱柱繞旋轉至圖2.在旋轉過程中，以下命題中正確的個數是（ ）
①液面剛好同時經過，，三點；
②當平面與液面成直二面角時，液面與水平桌面的距離為；
③當液面與水平桌面的距離為時，與液面所成角的正弦值為.
A．0 B．1 C．2 D．3
【變式7-2】（2024·廣西南寧·模擬預測）一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為1，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體體積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】一個密閉且透明的正方體容器中裝有部分液體，已知該正方體的棱長為2，如果任意轉動該正方體，液面的形狀都不可能是三角形，那么液體的體積的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全國·模擬預測）已知三棱錐，底面是邊長為2的正三角形，且平面為的中點，為平面內一動點，則的最小值為（ ）
A． B． C．3 D．2
2．在棱長為1的正方體中，分別為的中點，則點為正方形內一點，當平面時，的最小值為（ ）
A． B． C． D．
3．在長方體中，已知，，，點為底面內一點，若和底面所成角與二面角的大小相等，點在底面的投影為點，則三棱錐體積的最小值為（ ）
A． B．2 C． D．
4．在棱長為2的正方體中，P，Q，R分別為線段，，上的動點，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．5
5．（2024·四川成都·三模）六氟化硫，化學式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業方面具有廣泛用途.六氟化硫分子結構為正八面體結構（正八面體每個面都是正三角形，可以看作是將兩個棱長均相等的正四棱錐將底面粘接在一起的幾何體）.如圖所示，正八面體的棱長為，下列說法中正確的個數有（ ）
①異面直線與所成的角為45°；
②此八面體的外接球與內切球的體積之比為；
③若點為棱上的動點，則的最小值為；
④若點為四邊形的中心，點為此八面體表面上動點，且，則動點的軌跡長度為.
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
6．（2024·浙江杭州·模擬預測）以半徑為1的球的球心為原點建立空間直角坐標系，與球相切的平面分別與軸交于三點，，則的最小值為（ ）
A． B． C．18 D．
7．如圖，若P是棱長為2的正方體的表面上一個動點，則下列結論正確的是（ ）
A．當P在平面內運動時，四棱錐的體積變化
B．當P在線段上運動時，與所成角的取值范圍是
C．使直線與平面所成的角為45°的點P的軌跡長度為
D．若F是棱的中點，當P在底面內運動，且滿足平面時，長度的最小值是
8．（2024·江蘇蘇州·模擬預測）已知正四棱錐的8條棱長均相等，為頂點在底面的射影，則（ ）
A．側棱與底面所成角的大小為
B．設，為正方形邊上的兩點，則二面角的值大于
C．側面與底面所成角的大小為
D．設為正方形上的點，則直線與底面所成角的最大值為
9．（2024·山西呂梁·三模）在四面體中，與互相垂直，，且，則四面體體積的最大值為（ ）
A．4 B．6 C．8 D．4.5
10．（2024·山東·模擬預測）已知圓臺上、下底面的半徑分別為3和5，母線長為4，為上底面圓的一條直徑，是下底面圓周上的一個動點，則面積的最大值為（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·浙江·模擬預測）正四面體，為棱的中點，過點作平面的平行平面，該平面與平面、平面的交線分別為，則所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·全國·一模）已知三棱錐為正三棱錐，且，，點、是線段、的中點，平面與平面沒有公共點，且平面，若是平面與平面的交線，則直線與直線所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·湖南湘潭·三模）在棱長為1的正方體中，E為的中點，過點A．C．E的截面與平面的交線為m，則異面直線m與所成角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
14．（多選題）（2024·河南·模擬預測）已知四面體的頂點，，，均在球的球面上，是邊長為2的等邊三角形，，棱，，的中點分別為，，，過，，三點的平面截四面體所得截面四邊形的對角線互相垂直，則（ ）
A．
B．與所成角不可能為90°
C．直線與平面所成的角為30°
D．球的表面積為
15．（多選題）（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期中）在棱長為2的正方體中，M為邊的中點，下列結論正確的有（ ）
A．與所成角的余弦值為
B．過三點A、M、的截面面積為
C．四面體的內切球的表面積為
D．E是邊的中點，F是邊的中點，過E、M、F三點的截面是六邊形．
16．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知平面平面，且均與球相交，得截面圓與截面圓為線段的中點，且，線段與分別為圓與圓的直徑，則（ ）
A．若為等邊三角形，則球的體積為
B．若為圓上的中點，，且，則與所成角的余弦值為
C．若，且，則
D．若，且與所成的角為，則球的表面積為或
17．（多選題）（2024·江蘇泰州·模擬預測）在正方體中，P為線段上的動點，則（ ）
A．平面 B．平面
C．直線AP與所成角的取值范圍是 D．三棱錐的體積為定值
18．（多選題）（2024·貴州貴陽·模擬預測）在正三棱柱中，，點P滿足，其中，則（ ）
A．當時，最小值為
B．當時，三棱錐的體積為定值
C．當時，平面平面
D．若，則P的軌跡長度為
19．（多選題）（2024·湖北黃岡·二模）如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，點滿足，則下列說法中正確的是（ ）
A．平面
B．若平面，則動點的軌跡是一條線段
C．若，則四面體的體積為定值
D．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為
20．（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知正方體的棱長為分別為棱的中點，動點在線段上，則下列結論中正確的是（ ）
A．直線與平面所成角為
B．直線與直線所成角的余弦值為
C．三棱錐的體積為定值
D．點在正方體內部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區域面積為
21．（多選題）（2024·江蘇南京·二模）在棱長為1的正方體中，、分別為、的中點，點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則三棱錐外接球的表面積為
B．若，則異面直線與所成角的余弦值為
C．若，則面積的最小值為
D．若存在實數使得，則的最小值為
22．（多選題）（2024·湖北武漢·模擬預測）如圖，在棱長為1的正方體中，M為平面ABCD內一動點，則（ ）
A．若M在線段AB上，則的最小值為
B．平面被正方體內切球所截，則截面面積為
C．若與AB所成的角為，則點M的軌跡為橢圓
D．對于給定的點M，過M有且僅有3條直線與直線，所成角為
23．（2024·山東青島·三模）已知長方體中，，點為矩形 內一動點，記二面角的平面角為，直線與平面所成的角為，若 ，則三棱錐體積的最小值為 .
24．（2024·安徽·三模）已知四棱錐的底面為矩形，其中，點平面，點M，N分別在線段，上（不含端點位置），其中，則四面體的體積最大值為 .
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