資源簡介

第五章 一元函數的導數及其應用
5.3.1函數的單調性
第1課時 導數與函數的單調性
1.通過具體函數的圖象，發現并抽象出函數的單調性與導數的正負之間的關系，體會數形結合思想，培養數學抽象與直觀想象等核心素養；
2.能根據導函數的正負判斷函數的單調性，體會算法思想，發展數學運算的核心素養；
3.通過學習，體會導數在研究函數性質中的工具性和優越性，掌握極值是函數的局部性質，增強數形結合的意識.
重點：函數的單調性與導函數的正負之間的關系
難點：運用導數判斷函數的單調性
（一）創設情境
問題導入：在必修第一冊中，通過圖象直觀，利用不等式、方程等知識，研究了函數的單調性、周期性、奇偶性以及最大(小)值等性質.在本章前兩節中，學習了導數的概念和運算，知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，它定量地刻畫了函數的局部變化.能否利用導數更加精確地研究函數的性質呢？
思考1：回顧函數單調性的有關知識，你能從數、形、定義等不同角度描述函數在區間上的單調性嗎？
師生活動：教師提出問題，請學生回答并一起歸納.
答：以單調增函數為例：
(1)如果在區間上，自變量增大函數值也增大，那么在區間上是單調遞增的；
(2)如果函數的圖象在區間上從左到右是上升的，那么在區間上單調遞增的；
(3)如果，且，都有，那么在區間上是單調遞增的.
思考2：導數的幾何意義是什么？
答：函數在處的導數就是曲線在該點處的切線的斜率，即.
設計意圖：復習函數單調性的定義及導數的幾何意義，為后面利用導數來研究函數的單調性做鋪墊.
（二）探究新知
任務一：函數的單調性與導函數正負之間的關系
探究：圖1中是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度隨時間變化的函數的圖象，圖2中是跳水運動員的速度隨時間變化的函數的圖象．這里，，是函數的零點．
思考1：運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態有什么區別？如何從數學上刻畫這種區別？
師生活動：教師引導學生觀察圖象并思考，然后得出結論.
答：從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態，離水面的高度隨時間的增加而增加，即單調遞增，相應地，.
從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態，離水面的高度隨時間的增加而減小，即單調遞減，相應地，.
從而得出，函數的單調性與導數的正負存在內在聯系.
思考2：能否由的正負來判斷函數的單調性呢？
答：當時，，函數的圖象是“上升”的，函數在內單調遞增；
當時，，函數的圖象是“下降”的，函數在內單調遞減．
如下圖所示：
設計意圖：通過觀察高臺跳水問題中高度函數及其導函數的圖象，使學生發現當函數在區間上可導時，函數在區間上的單調性與函數在上的導數的正負有關系.在這一過程中，提升學生的直觀想象素養.
思考3：上述情況是否具有一般性呢？觀察下面一些函數的圖像，探討函數的單調性與導數的正負的關系.
師生活動：教師帶領學生逐個觀察函數圖像，分析函數的單調性與導函數的正負.
答：函數的單調性與導數正負的關系如下表所示：
思考4：你能用導數的幾何意義對函數的單調性與導數的正負之間的關系進行說明嗎？
答：導數表示函數的圖象在點處切線的斜率，如下圖所示：
可以發現：
在處，，切線是“左下右上”的上升式，函數的圖象也是上升的，函數在附近單調遞增；
在處，，切線是“左上右下”的下降式，函數的圖象也是下降的，函數在附近單調遞減.
總結：一般地，函數的單調性與導函數的正負之間具有如下的關系：
在某個區間內，如果，那么函數在區間內單調遞增；
在某個區間內，如果，那么函數在區間內單調遞減．
思考5：如果在某個區間上恒有，那么函數有什么特性？
師生活動：教師啟發學生思考的幾何意義并利用幾何意義得出結論.
答：如果在某個區間上恒有，那么在這個區間上恒有（為常數）．
設計意圖：通過對常見函數的單調性與函數導數正負之間關系的探究，得出用導數的正負性判斷函數單調性的一般性結論，并由此讓學生體會從特殊到一般的思想、數形結合的思想，發展學生的直觀想象素養.
思考6：在某個區間內，恒成立能推出函數在這個區間內單調遞增嗎？恒成立能推出函數在這個區間內單調遞減嗎？
師生活動：學生思考、討論得出結論，教師點評.
答：不能，因為當在某個區間上恒成立時，是常數函數(圖象呈水平狀態)，不具有單調性．
思考7：函數的圖象如圖所示，你能根據函數的圖象畫出導函數的大致圖象嗎？
師生活動：教師啟發學生：根據函數的單調性判斷導函數的正負，如果是常數函數，則然后讓學生在原圖中畫出導函數的大致圖象.
答：大致圖象如下：
思考8：函數的圖象如圖所示，試畫出函數的圖象的大致形狀.
師生活動：學生動手嘗試畫圖，畫好后在小組內交流.
答：大致圖象為：
設計意圖：通過讓學生動手根據原函數圖象畫出導函數圖象，再根據導函數圖象畫出原函數圖象，使其認識函數的圖象與的圖象的聯系，讓學生體會數形結合思想，發展學生的直觀想象核心素養.
任務二：利用導數判斷函數的單調性
探究：利用導數判斷下列函數的單調性：
（1）；（2）；（3）．
師生活動：教師示范第(1)小題的解答，然后讓學生嘗試完成第(2)(3)小題的解答，教師請兩名同學板演，根據學生的完成情況進行點評與指導.
解：（1）因為，所以．
所以，函數在上單調遞增，如圖所示．
（2）因為，所以．
所以，函數在上單調遞減，如圖所示．
（3）因為，所以．
所以，函數在區間和上單調遞增，如圖所示．
總結：利用導數判斷函數單調性的一般步驟：
(1)求導數；
(2)確定導數在定義域內的正負；
(3)根據導數的正負判斷函數的單調性.
在某區間上，若，則函數在該區間內單調遞增；
在某區間上，若，則函數在該區間內單調遞減.
設計意圖：通過具體函數，體會研究導數判斷函數單調性的基本原理，發展學生直觀想象、數學抽象、數學運算和數學建模的核心素養．
任務三：利用導數求函數的單調區間
探究： 利用導數求函數的單調區間.
師生活動：教師提示學生先通過二次函數的圖象和性質對函數的單調性作出分析，再從上述利用導數判斷函數單調性的步驟嘗試解答，驗證所得結果并比較本探究問題有什么不同之處.
思考1：在定義域R內，的正負是確定的嗎？這說明的什么？
答：函數的定義域為R，，
當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.
如下圖所示：
所以的正負不確定，這說明函數在R上不是單調函數.
思考2：怎樣利用導數求該函數的單調區間？
師生活動：教師請同學回答，然后在此基礎上引導學生歸納總結利用導數求函數單調區間的一般步驟.
答：方法一：用解不等式的方法求函數的單調區間.
由，得，所以的單調增區間為；
由，得，所以的單調減區間為.
總結：用解不等式法求單調區間的步驟：
(1)確定函數的定義域；
(2)求導函數；
(3)解不等式或，并寫出解集；
(4)根據(3)的結果確定函數的單調區間．
方法二：用列表法求函數的單調區間
令，得.
把函數定義域劃分成兩個區間，在各區間上的正負及的單調性如下表所示：
單調遞減 單調遞增
由上表可知，在上單調遞減；在上單調遞增.
總結：用列表法求函數的單調區間的一般步驟：
(1)確定函數的定義域；
(2)求出導數的零點；
(3)用的零點將的定義域劃分為若干個區間，列表給出在各區間上的正負，由此得出函數在定義域內的單調性．
設計意圖：通過問題探究，向學生示范如何用導數求函數的單調區間并判斷函數的單調性，再次讓學生熟悉用導數判斷函數單調性的步驟，體會算法思想，發展數學運算素養．
（三）應用舉例
例1：利用導數討論二次函數的單調區間．
師生活動：教師出示例題，學生獨立完成求解過程，教師對學生的完成情況進行點評.
解：，
當時，令，解得；令，解得．
所以當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減．
當時，令，解得；令，解得．
所以當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增．
例2：已知導函數的下列信息，試畫出函數的圖象的大致形狀．
當 時，；
當，或 時，；
當 ，或時，．
師生活動：教師啟發學生根據導函數的正負思考函數在相應區間上的單調性，進而畫出的大致圖象，最后教師進行畫圖示范．
解：當1 < x < 4 時，0可知在此區間內單調遞增；
當 x > 4，或 x < 1時，0可知在此區間內單調遞減；
當 x = 4，或 x = 1時，0．這兩點比較特殊，稱為“臨界點”．
綜上，函數圖象的大致形狀如下圖所示．
設計意圖：通過典型例題的分析和解決，幫助學生熟練掌握運用導數判斷函數單調性的步驟和方法，發展學生數學運算，直觀想象和數學抽象的核心素養．
（四）課堂練習
1.如果函數的圖象如圖，那么導函數的圖象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
解：先由原函數是偶函數，可知導函數是奇函數，故排除，
再由原函數的單調性可以得到導函數的正負情況從左到右依次是正負正負，
故選：．
2.已知函數的圖象如圖所示，下面四個圖象中的圖象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由函數的圖象可知：
當時，，，此時單調遞增，
當時，，，此時單調遞減，
當時，，，此時單調遞減，
當時，，，此時單調遞增，
只有選項的圖象滿足條件．
故選：．
3.已知函數，則函數的單調遞減區間為( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由題意知，定義域為，
得，令，即，或，
結合函數定義域可得，
故函數的單調遞減區間為：．
故選：．
4.已知函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍為( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：因為，所以，
因為在區間上單調遞減，
所以，即，則在上恒成立，
因為在上單調遞減，所以，故．
故選：．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.
（五）歸納總結
回顧本節課的內容，你都學到了什么？
設計意圖：通過小結讓學生進一步熟悉鞏固本節課所學的知識.第五章 一元函數的導數及其應用
5.3.1函數的單調性
第2課時 利用導數求函數的單調性
1.理解可導函數的單調性與其導數的關系；
2.能夠利用導數確定函數的單調性以及函數的單調區間；
3.理解三次函數單調性的性質，會判斷簡單的含參數函數的單調性；
4.理解導數與函數變化快慢之間的關系，能夠利用函數的單調性解決有關問題.
重點：利用導數確定函數的單調性以及函數的單調區間
難點：含參函數的單調性以及逆向求參問題
（一）復習導入
師生活動：教師提出問題，學生思考回答，教師評價.
思考1：函數的單調性與導函數正負的關系如何？
答：定義在區間內的函數：
的正負 的單調性
單調遞增
單調遞減
思考2：判斷函數的單調性的步驟是什么？
答：確定函數的定義域；
求出導數的零點；
用的零點將的定義域劃分為若干個區間，列表給出在各區間上的正負，由此得出函數在定義域內的單調性．
思考3：求函數的單調區間有哪些方法？
答：解不等式法或列表法.
設計意圖：復習前一節課的知識，便于學生更好地學習和理解本節課的知識．發展學生數學抽象、直觀想象、數學建模的核心素養．
（二）探究新知
任務一：三次函數的單調性
二次函數是一類重要的函數，而三次函數的導函數是二次函數，所以三次函數也是一類特殊的重要函數，三次函數的單調性如何呢？這里先不妨以一具體的三次函數為例進行研究.
探究1：求函數的單調區間.
師生活動：教師引導學生根據導數求函數單調區間的步驟獨立完成解答，教師評價并給出完整規范的解答.
分析:先求函數的導函數，然后求出及時的范圍，或用列表法.
解：(方法一：解不等式法)
函數的定義域為對求導數，得．
令，得，解得或；
令，得，解得.
所以，在和上單調遞增，在上單調遞減．
(方法二：列表法)函數的定義域為對求導數，得．
令，解得，或．
和把函數定義域劃分成三個區間，
在各區間上的正負，以及的單調性如下表所示．
單調遞增 單調遞減 單調遞增
所以，在和上單調遞增，在上單調遞減．
函數圖象如下圖所示：
探究2：試利用導數分析三次函數的單調性
師生活動：學生嘗試解答，教師根據學生的作答情況進行評價，引導學生逐步深入研究.
思考1：要想利用導數判斷出在上的單調性，需要弄清楚什么問題？
答：的導函數的正負情況.
思考2：函數的導數是什么？它是什么類型的函數？
答：，是二次函數.
思考3：你能根據所學知識討論出的正負情況嗎？
師生活動：學生嘗試解答，教師提醒學生類比解含參數的二次不等式的方法進行探究，并根據學生的作答情況進行完善.
答：因為，其導函數是二次函數，.
當時，有兩個不相等的實數根，，.
按和，分兩種情形討論：
當時，二次函數（導函數）開口向上，根據判別式進行討論：
當時，恒成立，所以在上單調遞增；
當時，的大致圖象如下圖所示：
當變化時，，的變化情況如下表所示.
↗ ↘ ↗
所以，在與上單調遞增；在上單調遞減.
此時，三次函數的大致圖象為：
當時，二次函數（導函數）開口向下，根據判別式進行討論：
當時，恒成立，所以在上單調遞減；
當時，的大致圖象如下圖所示：
當變化時，，的變化情況如下表所示.
↘ ↗ ↘
所以，在與上單調遞減；在上單調遞增.
此時，三次函數的大致圖象為：
師生活動：師生共同歸納有關三次函數單調性的性質.
總結：三次函數的導函數是二次函數，.當時，有兩個不相等的實數根，，.根據與的不同取值，單調性情況如下：
的取值范圍
的取值范圍
的大致圖象
的大致圖象
遞增區間 與 無
遞減區間 無 與
設計意圖：將經常作為出題背景的三次函數作為研究對象，讓學生進一步鞏固利用導數判斷函數單調性的方法，深入理解三次函數的特征，培養學生的數學結合、分類討論、數學建模等核心素養.
任務二：利用導數求含參數的函數的單調區間
探究：已知函數，求其單調區間．
思考1：根據上面對三次函數單調性的研究，你能初步判斷這個函數的單調性嗎？
師生活動：教師提出問題，指出這是一個含參數的三次函數，并且三次項系數為正數，引導學生思考、討論.
答：函數的定義域為，
導數，
因為三次項系數為正數，所以，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上先增后減再增.
思考2：怎樣具體求出這個函數的單調區間？
答：求出的根，判斷在各劃分區間上的正負，從而確定函數的單調性.
具體過程如下：
解：函數的導數，
令，解得，或，
①當，即時，在上，為增函數.
②當，即時，在，上，為增函數；在上，為減函數.
③當，即時，在，上，為增函數；在上，為減函數.
綜上所述，時，增區間，
時，增區間和，減區間，
時，增區間，，減區間．
總結：利用導數研究含參函數f (x)的單調區間的一般步驟：
(1)確定函數f (x)的定義域；
(2)求出導數f ′(x)的零點；
(3)分析參數對區間端點、最高次項的系數的影響，以及不等式解集的端點與定義域的關系，恰當確定參數的不同范圍，并進行分類討論；
(4)在不同的參數范圍內，解不等式f ′(x)＞0和f ′(x)＜0，確定函數f (x)的單調區間．
設計意圖：通過對含有參數的三次函數的單調性的研究，加深對三次函數的理解與認識，鞏固研究三次函數所得的結論.
任務三：導數與函數變化快慢的關系
探究： 對數函數與冪函數在區間(0，+∞)上增長快慢的情況．
師生活動：教師指出在必修一的第四章《不同函數的增長差異》一節中已經對指數函數、對數函數及冪函數的增長情況做了初步的探究，師生共同回顧相關內容并引導學生嘗試用導數研究這兩個函數的增長快慢情況.
思考1：對數函數在區間(0，+∞)上增長的快慢與其導數有什么關系？
答：對數函數的導函數，，所以在區間上單調遞增．任作曲線上的兩條切線，如下圖所示：
由圖可知，當越來越大時，函數遞增的越來越慢，圖像上升得越來越“平緩”，切線的斜率逐漸變小，根據導數的幾何意義可知，導數值也越來越小，與在上隨增大而減小一致.
反之，在上當越來越大時，越來越小，切線的斜率也逐漸減小，從而函數的圖像上升得越來越“平緩”，函數遞增的越來越慢.
思考2：冪函數在區間(0，+∞)上增長的快慢與其導數有什么關系？
師生活動：教師提出問題，引導學生類比上述方式自主研究，然后教師點評.
答：冪函數的導函數，所以在區間上單調遞增.任作曲線上的兩條切線，如下圖所示：
由圖可知，當越來越大時，函數遞增的越來越快，圖像上升得越來越“陡峭”，切線的斜率逐漸變大，根據導數的幾何意義可知，導數值也越來越大，與在上隨增大而增大一致.
反之，在上當越來越大時，越來越大，切線的斜率也逐漸增大，從而函數的圖像上升得越來越“陡峭”，函數遞增的越來越快.
總結：一般地，若函數的導數，則函數在某一范圍內導數值較大，那么函數在這個范圍內增長的較快，這時函數的圖像就比較“陡峭”（向上）；反之，函數在這個范圍內增長的較慢，函數的圖像就比較“平緩”．
思考3：若，導數值的大小與函數變化快慢有什么關系？
師生活動：學生類比上述方式自主研究，得出結論后教師點評.
答：一般地，若函數的導數，則函數在某一范圍內導數值較小，那么函數在這個范圍內減小的較快，這時函數的圖像就比較“陡峭”（向下）；反之，函數在這個范圍內減小得較慢，函數的圖像就比較“平緩”．
總結：一般地，如果一個函數在某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得較快，這時函數的圖像就比較“陡峭”（向上或向下）；反之，函數在這個范圍內變化得較慢，函數的圖像就比較“平緩”．
設計意圖：通過研究，讓學生深刻體會導數與函數的密切聯系，體會函數增長快慢與導數之間的關系，由此感悟只求導不能較為準確地畫一個函數的圖像．發展學生直觀想象、數學抽象、數學運算和數學建模的核心素養．
（三）應用舉例
例1：設，，兩個函數的圖象如圖所示．判斷，的圖象與之間的對應關系．
師生活動：教師出示例題，學生獨立完成求解過程，教師對學生的完成情況進行點評.
解：因為，，
所以，．
當時，；
當時，；
當時，，所以，在上都是增函數．
在區間上，的圖象比的圖象要“陡峭”；
在區間上，的圖象比的圖象要“平緩”．
所以，，的圖象依次是圖中的，．
例2：已知函數．
若函數在區間上單調遞增，求實數的取值范圍；
討論函數的單調性．
分析：將問題轉化為 在 上恒成立，采用分離變量的方式，通過求解 在 的最大值得到 的范圍；
求導后，分別在 、 、 和 的情況下，根據 的正負確定 的單調性．
師生活動：學生嘗試解答，教師根據學生的完成情況進行點評，并給出具體解答過程.
解：(1)因為 在 上單調遞增，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
當 時， ，
所以 ， 所以 ，
即實數 的取值范圍為 ．
(2)由題意得： ，則 ；
令 ，
當 時， ， 所以 在 上單調遞增；
當 時， ，
若 ，即 時， 恒成立， 所以 恒成立，
所以 在 上單調遞增；
若 ，即 且 時，令 ，
解得： ， ，
若 ，則 ，則 在 上恒成立，
所以 恒成立， 所以 在 上單調遞增；
若 ，則 ，
所以，當 時， ；當 時， ，
所以，當 時， ；當 時， ，
所以， 在 上單調遞增，在 上單調遞減．
綜上所述：當 時， 在 上單調遞增；
當 時， 在 上單調遞增，在 上單調遞減．
設計意圖：通過典型例題的分析和解決，幫助學生體會含參函數的求導問題，發展學生數學運算，直觀想象和數學抽象的核心素養．
（四）課堂練習
1.函數在上的單調性是 ．
A. 單調遞增
B. 單調遞減
C. 在上單調遞減，在上單調遞增
D. 在上單調遞增，在上單調遞減
【答案】C
解：，令，得，又，故，
令，得，
函數在上單調遞減，在上單調遞增．
故選：．
2.已知函數，則“”是“在上單調遞增”的( )
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
解：法一：因為，
所以，當時，，
此時在上單調遞增，
當時，，
令得，解得，
令得，解得，
故在上單調遞減，在上單調遞增，
要想在上單調遞增，則，解得，
故，
綜上，，
由于是的真子集，
則“”是“在上單調遞增”的充分不必要條件；
法二：由題可得在上恒成立，
即恒成立，又，
所以，下面同解法一．
故選：．
3.已知函數，為實數，的導函數為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
解：由可得，
對于，當時，在第一象限內遞減，對應圖象在第四象限且遞增，故 A項符合；
對于在第一象限內與的圖象在上都單調遞增，故且，則．
由可得，即與的圖象交點橫坐標應大于，顯然項不符合，，項均符合．
故選：．
4.已知函數．
若函數的圖象在點處的切線過坐標原點，求實數的值；
討論函數的單調性．
【答案】解：由，有，，
可得曲線在點處的切線方程為，
整理為，
代入原點，有，可得，
故實數的值為；
由，，
當時，在上恒成立，
可得函數的增區間為，沒有減區間；
當時，令，可得，
故函數的減區間為，增區間為．
綜上可知，當時，在單調遞增；
當時，在上單調遞減，在上單調遞增．
設計意圖：通過課堂練習，檢驗學生對本節所學內容的掌握情況.

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