資源簡介

《直線的參數方程》教學設計
【課標要求】
1．掌握直線的參數方程．
2．能夠利用直線的參數方程解決有關問題．
【學習目標】
1．會寫出直線的參數方程的考查．
2．會利用直線的參數方程中參數t的幾何意義求值．
【重難點】
會利用直線的參數方程中參數t的幾何意義求值．
【評價任務】
通過例1完成目標1
通過例2完成目標2
教學過程：
一、回憶舊知，做好鋪墊
教師提出問題：
1.曲線參數方程的概念及圓與橢圓的參數方程．
2.直線的方向向量的概念．
3.在平面直角坐標系中，確定一條直線的幾何條件是什么？
4.已知一條直線的傾斜角和所過的一個定點，請寫出直線的方程．
5.如何建立直線的參數方程？
這些問題先由學生思考，回答，教師補充完善，問題5不急于讓學生回答，先引起學生的思考．
【設計意圖】通過回憶所學知識，為學生推導直線的參數方程做好準備．
二、直線參數方程探究
1．回顧數軸，引出向量
數軸是怎樣建立的？數軸上點的坐標的幾何意義是什么？
教師提問后，讓學生思考并回答問題．
教師引導學生明確：如果數軸原點為O，數1所對應的點為A，數軸上點M的坐標為，那么：
①為數軸的單位方向向量，方向與數軸的正方向一致，且；②當與方向一致時（即的方向與數軸正方向一致時），；
當與方向相反時（即的方向與數軸正方向相反時），；
當M與O重合時，；
③．教師用幾何畫板軟件演示上述過程．
【設計意圖】回顧數軸概念，通過向量共線定理理解數軸上的數的幾何意義，為選擇參數做準備．
2.類比分析，異曲同工
問題：（1）類比數軸概念，平面直角坐標系中的任意一條直線能否定義成數軸？
（2）把直線當成數軸后，直線上任意一點就有兩種坐標．怎樣選取單位長度和方向才有利于建立這兩種坐標之間的關系？
教師提出問題后，引導學生思考并得出以下結論：選取直線上的定點為原點，與直線平行且方向向上(的傾斜角不為0時)或向右（的傾斜角為0時）的單位向量確定直線的正方向，同時在直線上確定進行度量的單位長度，這時直線就變成了數軸．于是，直線上的點就有了兩種坐標（一維坐標和二維坐標）．在規定數軸的單位長度和方向時，與平面直角坐標系的單位長度和方向保持一致，有利于建立兩種坐標之間的聯系．
【設計意圖】使學生明確平面直角坐標系中的任意直線都可以在規定了原點、單位長度、正方向后成為數軸，為建立直線參數方程作準備．
3. 選好參數，柳暗花明
問題（1）：當點M在直線上運動時，點M滿足怎樣的幾何條件？
讓學生充分思考后，教師引導學生得出結論：將直線當成數軸后，直線上點M運動就等價于向量變化，但無論向量怎樣變化，都有．因此點M在數軸上的坐標決定了點M的位置，從而可以選擇作為參數來獲取直線的參數方程．
【設計意圖】明確參數．
問題（2）：如何確定直線的單位方向向量？
教師啟發學生：如果所有單位向量起點相同，那么終點的集合就是一個圓．為了研究問題方便，可以把起點放在原點，這樣所有單位向量的終點的集合就是一個單位圓．因此在單位圓中來確定直線的單位方向向量．
教師引導學生確定單位方向向量，在此基礎上啟發學生得出，從而明確直線的方向向量可以由傾斜角來確定．
當時，，所以直線的單位方向向量的方向總是向上．
【設計意圖】綜合運用所學知識，獲取直線的方向向量，培養學生探索精神，體會數形結合思想．
4. 等價轉化，深入探究
問題：如果點,M的坐標分別為，怎樣用參數表示？
教師啟發學生回顧向量的坐標表示，待學生通過獨立思考并寫出參數方程后再全班交流．過程如下：
因為，（），，
，所以存在實數，使得，即
．
于是，，
即，．
因此，經過定點，傾斜角為的直線的參數方程為
（為參數）．
教師提出如下問題讓學生加強認識：
①直線的參數方程中哪些是變量？哪些是常量？
②參數的取值范圍是什么？
③參數的幾何意義是什么？
總結如下：①，是常量，是變量；
②；
③由于，且，得到，因此表示直線上的動點M到定點的距離．當的方向與數軸（直線）正方向相同時，；當的方向與數軸（直線）正方向相反時，；當時，點M與點重合．
【設計意圖】把向量轉化為坐標，獲得了直線的參數方程，在此基礎上分析直線參數方程的特點，體會參數的幾何意義．
三、運用知識，培養能力
例1.已知直線與拋物線交于A,B兩點，求線段AB的長度和點到A,B兩點的距離之積．
先由學生思考并動手解決，教師適時點撥、引導，鼓勵一題多解，學生可能有以下解法：
解法一：由，得．
設，,由韋達定理得：．
．
由（*）解得，
．
所以．
則
．
解法二、因為直線過定點M，且的傾斜角為，所以它的參數方程是
（為參數）， 即 （為參數）．
把它代入拋物線的方程，得，
解得，．
由參數的幾何意義得：，
．
在學生解決完后，教師投影展示學生的解答過程，予以糾正、完善．然后進行比較：在解決直線上線段長度問題時多了一種解決方法．
【設計意圖】通過本題訓練，使學生進一步體會直線的參數方程，并能利用參數解決有關線段長度問題，培養學生從不同角度分析問題和解決問題能力以及動手能力．
探究：直線 （為參數）與曲線交于兩點，對應的參數分別為．
（1）曲線的弦的長是多少？
（2）線段的中點M對應的參數的值是多少？
先由學生思考，討論，最后師生共同得到：
，
【設計意圖】通過特殊到一般，及時讓學生總結有關結論，為進一步應用打下基礎，培養歸納、概括能力．
例2、經過點作直線，交橢圓于A,B兩點．如果點M恰好為線段AB的中點，求直線的方程．
分析：引導學生以M作為直線上的定點寫出直線的參數方程，然后與橢圓的方程聯立，設A,B兩點對應的參數分別為，則由求出直線的斜率．教師板書，過程如下：
解：設過點的直線的參數方程為（為參數），
代入橢圓方程，整理得
．
因為點M在橢圓內，這個方程必有兩個實根，設A,B兩點對應的參數分別為，
則．
因為點M為線段AB的中點，所以，即．
于是直線的斜率．
因此，直線的方程是，即．
教師引導學生課下用其他方法解決．
思考：例2的解法對一般圓錐曲線適用嗎？把“中點”改為“三等分點”，直線的方程怎樣求？由學生課下解決．
【設計意圖】體會直線參數方程在解決弦中點問題時的作用．
四、自主解決，深入理解
已知過點，斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點，設線段AB的中點為M，求點M的坐標．
本題由學生獨立完成，教師補充完善．
解：設過點的直線AB的傾斜角為，由已知可得：，．
所以，直線的參數方程為（為參數）．
代入，整理得．
中點M的相應參數是，
所以點M的坐標是．
【設計意圖】注重知識的落實，通過問題的解決，使學生進一步理解所學知識．
五、歸納總結，提升認識
先讓學生從知識、思想方法以及對本節課的感受等方面進行總結．教師在
學生總結的基礎上再進行概括．
1．知識小結
本節課聯系數軸、向量等知識，推導出了直線的參數方程，并進行了簡單應用，體會了直線參數方程在解決有關問題時的作用．
2．思想方法小結
在研究直線參數方程過程中滲透了運動與變化、類比、數形結合、轉化等數學思想．
【設計意圖】對學習內容有一個整體的認識，培養歸納、概括能力．
六、布置作業，鞏固提高
1. 教材P39—1,3 ；
2. 思考題：若直線的參數方程為 （為常數，為參數），請思考參數的意義．
【設計意圖】使學生進一步鞏固所學知識，加深對知識的理解，為學有余力的學生提供思考的空間．
七、板書設計
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直線的參數方程
1.直線的參數方程 3.例題分析
2.弦長公式
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