資源簡介

第27章 圓
27.2 與圓有關的位置關系
3.切線
第2課時 切線長定理及三角形的內切圓
一、教學目標
1.理解并掌握切線長定理；
2.了解三角形的內心、內切圓及外切三角形的概念.
二、教學重難點
重點：掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算與證明
難點：了解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念
【新課導入】
[提出問題]看課件上的圖片，當同學們在抖空竹時，當同學們把籃球夾在胳膊中，當同學們在玩悠悠球時，如圖所示的時刻的情景，你能從中抽象出什么樣的數學圖形？（教師展示圖片，學生描述后展示圖片中的數學圖形）
[課件展示]
[過渡]從圖中的模型可以看出為一個圓和兩條切線，本節課我們就來學習這個模型及和圓的切線有關的知識.
【新知探究】
切線長定理
[提出問題]從圓外一點引圓的切線，最多能作出幾條切線？（展示圖片，教師明確2條）
這一點和切點之間的線段的長叫做切線長.
[課件展示]
[解答]這一點和切點之間的線段的長叫做切線長.
[提出問題]切線和切線長是一個意思嗎？
[解答]切線和切線長是兩個不同的概念：切線是一條與圓相切的直線，不能度量，而切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.二者的聯系是都垂直于過切點的半徑.
[提出問題]大家動手做一做，在紙上畫出如圖所示的圖形，沿著直線PO將紙對折，由于直線PO經過圓心，所以PO是圓的一條對稱軸，兩半圓重合.完成以下的填空，這個圖形是 什么對稱圖形？（學生齊答：軸對稱）該圖形關于哪條直線對稱？（學生齊答：直線OP）PA等于什么？（可找學生回答：PB）哪個角等于∠BPO？（可找學生回答：∠APO）
[課件展示]
[解答]通過剛才的學習，我們可以得出本節課的重點即切線長定理：過圓外一點所畫的圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.用幾何語言描述：PA、PB分別切☉O于A、B，所以PA=PB，∠OPA=∠OPB.
[提出問題]剛才我們已經通過動態變化和動手操作得出了切線長定理，接下來我們可以用演繹推理證明這一結論.已知如圖，PA、PB 是☉O 的兩條切線，切點分別為A、B.求證PA = PB，∠APO =∠BPO.（學生自己解答，教師明確）
[課件展示]
[歸納總結]對于切線長定理的認識，我們經歷了兩個階段：首先是根據實例，由特殊到一般，運用動態變換方法，通過合情推理發現圖形性質；然后通過演繹推理證明這一性質.兩種推理相輔相成，都是研究圖形性質的有效工具.在做切線長問題時我們常見的輔助線添加方法有分別連接圓心和切點；連接兩切點；連接圓心和圓外一點.在之后的練習中我們會具體講解，在試題中去學習這些輔助線做法.（簡單講解或展示）
三角形的內切圓
[提出問題]如圖是一張三角形鐵皮，如何在它上面截取一個面積最大的圓形鐵皮呢？如果最大的圓存在，它與三角形三邊應該有怎樣的位置關系？我們來看下圖的演變過程.（學生猜想后，教師結合圖明確，得出結論最大的圓與三角形三邊都相切）
[課件展示]
[提出問題]若已知△ABC，我們怎么作出和△ABC的各邊都相切的圓O？
[解答]（結合圖示講解）作法：首先作∠ABC和∠ACB的平分線BM和CN，交點為O；接著過點O作OD⊥BC，垂足為D；然后以O為圓心，OD為半徑作圓O，則☉O就是所求的圓.
[課件展示]
[解答]通過作圖我們得到如下定義，與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓.三角形的內切圓的圓心叫做這個三角形的內心.這個三角形叫做這個圓的外切三角形.通過圖片我們可以說△ABC的內切圓是☉I，△ABC 的內心是點 I，☉I的外切三角形是△ABC.
[課件展示]
[提出問題]通過學習三角形的內切圓，我們還可以得出哪些結論？如圖，☉I是△ABC的內切圓，那么AI、BI、CI有什么特點？（學生回答，教師明確AI、BI、CI分別平分∠CAB、∠ABC、∠BCA）如圖，分別過點作 AB、AC、BC 的垂線，垂足分別為 E、F，G，那么線段 IE、IF、IG之間有什么關系？（學生回答，教師明確IE=IF=IG）
[課件展示]
[解答]通過學習，我們可以得到三角形內心的性質:第一三角形的內心在三角形的角平分線上;第二三角形的內心到三角形的三邊距離相等.通過圖示可表述為AI、BI、CI分別平分
∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE=IF=IG.
[提出問題]外心和內心比較容易混淆，我們通過表格和作圖來對比一下，幫助大家更好地梳理這部分知識.首先三角形的外心是什么？（三角形外接圓的圓心），三角形的內心又是什么？（三角形內切圓的圓心）外心如何確定？（三角形三邊中垂線的交點）內心如何確定？（三角形三條角平分線的交點）由外心我們可以得到哪些性質？（1.OA = OB = OC；
2. 外心不一定在三角形的內部．）由內心我們可以得到哪些性質？（1.到三邊的距離相等；
2. OA、OB、OC 分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；3. 內心在三角形內部．）
[歸納總結]今天我們學習了圓中重要的切線長定理，然后學習了三角形的內切圓，并對容易混淆的知識進行對比復習.
【課堂小結】
【課堂訓練】學生完成本課時PPT練習題，教師講評.
【布置作業】
【板書設計】
圓
27.2 與圓有關的位置關系
3. 切線
第2課時 切線長定理及三角形的內切圓
1.切線長定理
2.三角形的內切圓
【教學反思】
一、案例的“亮點”
1.通過同學們在抖空竹時，當同學們把籃球夾在胳膊中，當同學們在玩悠悠球時，抽象出本節課學習的重點模型直線與圓相切的位置關系到切線長定理模型，引出切線長定理.對于切線長定理的認識，經歷了兩個階段：首先是根據實例，由特殊到一般，運用動態變換方法，通過合情推理發現圖形性質；然后通過演繹推理證明這一性質.兩種推理相輔相成，都是研究圖形性質的有效工具，并總結了常見的輔助線的作圖方法.這樣可以使學生增加學習的興趣，并且層層遞進總結，方便學生循序漸進，鞏固新知.
2. 教學過程中，強調用切線長定理可解決有關求角度、周長的問題．明確三角形內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，到三邊的距離相等.
3．對內切圓，外切圓，內心和外心等較難且易混的知識點講解詳細且讓學生對比識記，強化學生對易混知識的理解.
二、教學中易出現的問題
學生小組討論或解題的過程中，注意學生是否參與到問題的探究中，總結知識點的過程中注意對學生的引導，讓學生自己能夠總結出相應的答案、結論與定義.教學過程中，強調學生從實際生活中感受,體會切線長定理，并會用幾何語言來描述歸納，經歷將實際問題轉化為數學問題的過程，即數形結合思想的感受與理解.因為各部分知識點聯系緊密，所以教師要時刻關注學生學習掌握的情況，及時解決探究過程中學生遇到的各種問題，使學生扎實全面的掌握知識.

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