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第27章 圓
27.2 與圓有關的位置關系
1.點與圓的位置關系
一、教學目標
1.理解點與圓的三種位置關系，并能判斷點與圓的位置關系；
2.探索不在同一條直線上的三個點確定一個圓的結論；
3.會過不在同一條直線上的三個點作圓；
4.了解三角形外接圓的概念及外心的性質.
二、教學重難點
重點：1.理解并掌握點和圓的三種位置關系；
2.理解不在同一直線上的三個點確定一個圓及其運用.
難點：1.理解點與圓的位置關系所對應的圓的半徑與點到圓心的距離之間的數量關系；
2.利用三角形外接圓解決有關問題.
三、教學過程
【新課導入】
[情境導入]你玩過飛鏢嗎？它的靶子是由一些圓組成的，你知道擊中靶子上不同位置的成績是如何計算的嗎？
【新知探究】
（一）點和圓的位置關系
[提出問題]
問題1 觀察圖中點和圓的位置關系有哪幾種？
[歸納總結]點與圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外.
問題2 設點P到圓心的距離為d,圓的半徑為r,量一量在點和圓三種不同位置關系時，d與r有怎樣的數量關系？
反過來，由d與r的數量關系，怎樣判定點與圓的位置關系呢？
點P在⊙O內d＜r
點P在⊙O上d=r
點P在⊙O外d＞r
【例1】⊙O的半徑為10cm，A、B、C三點到圓心的距離分別為8cm、10cm、12cm，則點A、B、C與⊙O的位置關系是點A在 圓內 ，點B在 圓上 ，點C在 圓外 .
【例2】圓心為O的兩個同心圓，半徑分別為1和2，若OP=，則點P在（ ）
A.大圓內 B.小圓內
C.小圓外 D.大圓內，小圓外
[歸納總結]
點和圓的位置關系：
點P在⊙O內d＜r
點P在⊙O上d=r
點P在⊙O外d＞r
點P在圓環內r≤d≤R
數形結合：位置關系數量關系
【例3】如圖，已知矩形ABCD的邊AB＝3cm，AD＝4cm.
(1)以點A為圓心，4cm為半徑作⊙A，則點B、C、D與⊙A的位置關系如何？
(2)若以點A為圓心作⊙A，使B、C、D三點中至少有一點在圓內且至少有一點在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是什么？
解：(1)∵AB＝3cm＜4cm，∴點B在⊙A內；
∵AD＝4cm，∴點D在⊙A上；
∵AC＝＝5cm＞4cm，∴點C在⊙A外．
（2）觀察圖片，則點B一定在圓內，點C一定在圓外．∴3cm＜r＜5cm.
（二）過不在同一直線上的三點作圓
[提出問題]
問題1 經過已知點A作圓，這樣的圓你能作出多少個？
以不與A點重合的任意一點為圓心，以這個點到A點的距離為半徑畫圓即可；
可作無數個圓.
問題2 經過已知點A，B作圓，這樣的圓你能作出多少個？圓心分布有什么特點？
經過平面內兩個點可以作無數個圓，圓心都在線段AB的垂直平分線上．
問題3 經過不在同一條直線上的三個點確定一個圓，如何確定這個圓的圓心？
[分組討論]小組之間交流討論.得出結論:點A，B，C不在同一條直線上，因為所求作的圓要經過A，B，C三點，所以圓心到這三點的距離相等，因此這個點既要在線段AB的垂直平分線上，又要在線段BC的垂直平分線上．
經過A,B兩點的圓的圓心在線段AB的垂直平分線上.
經過B,C兩點的圓的圓心在線段BC的垂直平分線上.
經過A,B,C三點的圓的圓心應該在這兩條垂直平分線的交點O的位置.
[歸納總結]
不在同一條直線上的三個點確定一個圓．
【例4】如圖是一個殘破的圓輪，李師傅想要再澆鑄一個同樣大小的圓輪，你能想辦法幫助李師傅嗎？
解：(1)在圓輪所在的圓弧上任取三點A，B，C，并連結AB，BC；
(2)分別作AB，BC的垂直平分線DE，FG，DE，FG相交于點O；
(3)以O為圓心，OA為半徑作⊙O，⊙O就是圓輪所在的圓.
（三）三角形的外接圓及外心
試一試：已知△ABC，用直尺與圓規作出過A、B、C三點的圓.
1.三角形的外接圓
經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，這個三角形叫做圓的內接三角形.
注意：任意一個三角形都有且只有一個外接圓，而一個圓有無數個內接三角形.
2.三角形的外心
三角形的外接圓的圓心叫做這個三角形的外心.
作圖：三角形三條邊的垂直平分線的交點.
性質：三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.
畫一畫：分別畫一個銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，再畫出它們的外接圓，觀察并敘述各三角形與它的外心的位置關系.
【例5】下列說法是否正確.
(1)任意的一個三角形一定有一個外接圓( √ )
(2)任意一個圓有且只有一個內接三角形( × )
(3)經過三點一定可以確定一個圓( × )
(4)三角形的外心到三角形各頂點的距離相等( √ )
【例6】如圖，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距離是 5 cm，求△ABC的外接圓的半徑．
【解析】由外心的定義可知外接圓的半徑等于 OB，過點 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12 cm.由此可求它的外接圓的半徑．
解：連接 OB，過點 O 作 OD⊥BC.
則OD＝5 cm，
在Rt△OBD 中，
即△ABC 的外接圓的半徑為 13 cm.
【課堂小結】
一、點和圓的位置關系
點P在⊙O上OP=r;
點P在⊙O內OP＜r;
點P在⊙O外OP＞r.
二、過不在同一直線上的三點作圓
不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
三、三角形的外接圓及外心
經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形.三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點.
【課堂訓練】
1.若⊙O的半徑為5，圓心O的坐標為(3，4)，點P的坐標為(5，2)，則點P與⊙O的位置關系是(　B　)
A．點P在⊙O內
B．點P在⊙O上
C．點P在⊙O外
D．點P在⊙O上或在⊙O外
2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了(如圖)，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣的圓形鏡子，小明帶到商店去的碎片應該是( A )
A．① B．② C．③ D．④
3.如圖，在平面直角坐標系中，點A，B，C的坐標為(1，3)，(5，3)，(1，－1)，則△ABC外接圓的圓心坐標是( B )
A．(1，3) B．(3，1) C．(2，3) D．(3，2)
4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，則它的外接圓半徑= 5 .
5.若點O為△ABC的外心，∠BOC=50°，則∠BAC等于 25°或155° ．
6如圖，將△AOB置于平面直角坐標系中，O為原點，∠ABO＝60°，若△AOB的外接圓與y軸交于點D(0，3)．
(1)求∠DAO的度數；
(2)求點A的坐標和△AOB外接圓的面積．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°.
(2)∵點D的坐標是(0，3)，
∴OD＝3.在Rt△AOD中，
OA＝OD·tan∠ADO＝，
AD＝2OD＝6，
∴點A的坐標是(，0)．
∵∠AOD＝90°，
∴AD是圓的直徑，
∴△AOB外接圓的面積是9π.
【布置作業】
【板書設計】
27.2 與圓有關的位置關系
1.點與圓的位置關系
1.點和圓的位置關系
2.過不在同一直線上的三點作圓
3.三角形的外接圓及外心
【教學反思】
教學過程中，從實際問題導入新課，通過觀察得到點和圓的位置關系，從而能夠總結出規律，通過探究得到三個點不在同一條直線上時，只能作一個圓，使學生親身經歷知識的探究過程．
銳角三角形的外心位于三角形內；
直角三角形的外心位于斜邊的中點處；
鈍角三角形的外心位于三角形外.

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