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第27章 圓
27.1 圓的認識
3.圓周角
第1課時 圓周角定理
一、教學目標
1.理解圓周角的概念，能夠辨別圓周角.
2.經歷探索圓周角的性質以及圓心角和圓周角之間關系的過程，掌握圓周角定理.
二、教學重難點
重點：理解同弧所對的圓心角與圓周角之間的關系并能運用圓周角定理解決簡單的證明或計算.
難點：能運用圓周角定理進行簡單的證明或計算．
三、教學過程
【新課導入】
[復習引入]
問題1：什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？
頂點在圓心，角的兩邊與圓相交的角叫圓心角，如∠BOC.
問題2：如圖，∠BAC的頂點和邊有哪些特點
∠BAC的頂點在☉O上，角的兩邊分別交☉O于B、C兩點.
[情境導入]
如圖，過球門A，E兩點畫圓，球員射中球門的難易程度與他所處的位置B，C，D有關(張開的角度大小)．僅從數(shù)學的角度考慮，球員應選擇從哪一點的位置射門更有利？
【新知探究】
（一）圓周角的定義
[提出問題]圖中的∠ABE，∠ACE,∠ADE有什么共同特點？
圖中的三個角∠ABE，∠ACE,∠ADE的頂點都在圓上，并且兩邊分別與圓還有另一個交點.
圓周角的定義：頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角.
圓周角必須同時滿足兩個條件：①頂點在圓上；②兩邊與圓相交.
【例1】下列各圖中的∠BAC是否為圓周角？簡述理由.
是 頂點A不在圓上 邊AC沒有和圓相交
頂點A不在圓上 是 是
（二）圓周角和直徑的關系
[提出問題]如圖，線段AB是☉O的直徑，點C是☉O上的任意一點（除點A,B外），那么∠ACB就是直徑AB所對的圓周角.想想看，∠ACB會是怎樣的角？
解：∵OA=OB=OC，∴△AOC、△BOC都是等腰三角形.
∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB.
又∵∠OAC +∠OBC +∠ACB = 180°，
∴ ∠ACB = ∠OCA +∠OCB = 180°÷2 = 90°.
因此，不管點C在☉O上何處 (除點 A、B 外)，∠ACB 總等于 90°.
[歸納總結]
半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°（直角）.
【例2】如圖，AB是☉O的直徑，∠A=80°.求∠ABC的大小.
解：∵AB是☉O的直徑，
∴∠ACB=90°.
∴∠ABC=180°-∠A-∠ACB=180°-90°-80°=10°.
（三）圓周角定理
[提出問題]對于一般的弧所對的圓周角，又有什么規(guī)律呢？
問題1：分別量出弧BC所對的圓周角和圓心角的度數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？
∠BAC=∠BDC=∠BOC.
問題2：變動點D的位置，弧BC所對的圓周角有沒有變化？
變動點D的位置，圓周角的度數(shù)沒有變化，并且圓周角的度數(shù)恰好為同弧所對的圓心角的度數(shù)的一半.
[猜想]
同一個圓中，一條弧所對的任意一個圓周角的大小都等于該弧所對的圓心角的一半.
[證明猜想]
已知：在☉O中，弧AB所對的圓周角是∠ACB，所對的圓心角是∠AOB.
求證：∠ACB=∠AOB.
分三種情況證明：
（1）圓心在∠BAC的邊AB上.
（2）圓心在∠BAC的內部.
作直徑AD，利用（1）的結論，有
（3）圓心在∠BAC的外部.
作直徑AD，利用（1）的結論，有
[歸納總結]
圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等.
【例3】如圖，點A、B、C、D在☉O上，點A與點D在點B、C所在直線的同側，∠BAC=35 .
(1)∠BOC= 70 ，理由是 一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半 ;
(2)∠BDC= 35 ，理由是 同弧所對的圓周角相等 .
【例4】如圖所示,已知四邊形ABCD的四個頂點均在☉O上,AB=BC,BD交AC于點E.
求證:DB平分∠ADC.
證明:∵AB=BC,∴弧AB=弧BC,
∴∠ADB=∠BDC,即DB平分∠ADC.
【課堂小結】
一、圓周角的定義
頂點在圓上，并且角的兩邊與圓相交的角叫做圓周角.
二、圓周角和直徑的關系
半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°（直角）.
三、圓周角定理
在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；相等的圓周角所對的弧相等.
【課堂訓練】
1.（2023 河南）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠C=55°，則∠AOB的度數(shù)為（　D　）
A．95° B．100° C．105° D．110°
2.（2023 營口）如圖所示，AD是⊙O的直徑，弦BC交AD于點E，連接AB，AC，若∠BAD=30°，則∠ACB的度數(shù)是（　D　）
A．50° B．40° C．70° D．60°
3.（2023青海）如圖，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一點，OC⊥AB，垂足為D．若∠A=20°，則∠ABC=（　C　）
A．20° B．30° C．35° D．55°
4.（2023杭州）如圖，在⊙O中，半徑OA，OB互相垂直，點C在劣弧AB上．若∠ABC=19°，則∠BAC=（　D　）
A．23° B．24° C．25° D．26°
5.△ABC為⊙O的內接三角形，若∠AOC＝160°，則∠ABC的度數(shù)是 80°或100° .
6.如圖所示，⊙O的直徑AB為6cm,∠ACB的平分線交⊙O于點D．
（1）判斷△ADB的形狀，并證明；
（2）求BD的長．
解：（1）△ADB是等腰直角三角形.證明如下：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴，
∴AD=BD.
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB是等腰直角三角形.
（2）由（1），得∠ADB=90°，AD=BD，
∵AB=6cm,∴BD=3cm.
【布置作業(yè)】
【板書設計】
3.圓周角
第1課時 圓周角定理
1.圓周角定義
2.圓周角和直徑的關系
3.圓周角定理
【教學反思】
在教學過程中，應從實際生活入手，創(chuàng)設問題情境，激發(fā)學生的求知欲和學習興趣，強調圓周角定理得出的理論依據(jù)，使學生熟練掌握并會學以致用．同時，在利用圓周角定理求角度時，應注意添加輔助線，并且不能忽視分類討論的情況.

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