資源簡介

第27章 圓
27.1 圓的認識
2.圓的對稱性
第2課時 垂徑定理
一、教學目標
掌握垂徑定理及其推論，理解垂徑定理的推導過程，并能運用垂徑定理解決相關問題.
二、教學重難點
重點：理解垂徑定理和推論的內容，并會證明，利用垂徑定理解決與圓有關的問題.
難點：利用垂徑定理及其推論解決實際問題.
三、教學過程
【新課導入】
[情境導入]
你知道趙州橋嗎 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m, 拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
【新知探究】
（一）垂徑定理及其推論
[提出問題]
做一做：剪一個圓形紙片，在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦，垂足為點P，再將紙片沿著直徑CD對折，分別比較AP與BP、弧AC與弧BC，你能發(fā)現什么結論？
[交流討論]
小組之間交流討論.得出結論：對折后，CD兩側的兩個半圓重合，點A與點B重合，AP與BP重合，弧AC和弧BC,弧AD與弧BD重合，即它們都是相等的.
試一試：能不能用所學過的知識證明你的結論？
已知：在在☉O中，CD是直徑，AB是弦，AB⊥CD，垂足為P.
求證：AP=BP，.
證明：連結CA、CB、OA、OB，則OA=OB,即△AOB是等腰三角形.
∵CD⊥AB,∴AP=BP.
又∵CP=CP，∴Rt△APC≌Rt△BPC.
∴AC=BC，
∴（在同一個圓中，如果弦相等，那么它們所對的弧相等）.
由此易得.
[歸納總結]
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.
幾何語言描述：
∵CD是直徑，CD⊥AB，(條件)
∴AP=BP，.(結論)
想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么？
是 不是，因為沒有垂直 是 不是，因為CD沒有過圓心
垂徑定理的幾個基本圖形
[提出問題]
猜想：如果把垂徑定理(垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧)結論與題設交換一條，命題是真命題嗎？
①過圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的優(yōu)弧；⑤平分弦所對的劣弧.
上述五個條件中的任何兩個條件都可以推出其他三個結論嗎？
[證明猜想]
①CD是直徑；②CD⊥AB，垂足為E；③AE=BE；④弧AC=弧BC；⑤弧AD=弧BD.
舉例證明其中一種組合方法.
已知:
求證：
如：已知：①CD是直徑；③AE=BE.
求證：②CD⊥AB，垂足為E；④弧AC=弧BC；⑤弧AD=弧BD.
[證明舉例]
如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AM=BM.
（1）CD⊥AB嗎？為什么？
（2）弧AC與弧BC相等嗎？弧AD與弧BD相等嗎？為什么？
解：（1）連結AO,BO,則AO=BO,
又AM=BM，∴△AOM≌△BOM（SSS），
∴∠AMO=∠BMO=90°，
∴CD⊥AB.
（2）由垂徑定理可得弧AC弧=BC，弧AD=弧BD.
[歸納總結]
垂徑定理的推論：
平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；
幾何語言描述：
∵CD是直徑，AE=BE，(條件)
∴AB⊥CD，.(結論)
平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.
幾何語言描述：
∵CD是直徑，（或），(條件)
∴AB⊥CD,AE=BE.(結論)
思考：“不是直徑”這個條件能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.
特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.
垂徑定理的本質：
（二）垂徑定理及其推論的計算
【例1】如圖，⊙O的半徑長為10，OC⊥AB，垂足為E.若OE=6，則弦AB的長為 16 .
【解析】連結OA,在Rt△AOE中，由勾股定理，得AE==8.由垂徑定理，得AB=2AE=16.
【例2】如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長.
解：連接OA.∵CE⊥AB于點D，
∴AD=AB=4cm.
設OC=xcm，則OD=(x-2)cm,根據勾股定理，得x2=42+(x-2)2，
解得x=5，即半徑OC的長為5cm.
[實際應用]
【例3】你知道趙州橋嗎 它的主橋是圓弧形,它的跨度(弧所對的弦的長)為37m,拱高(弧的中點到弦的距離)為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？
解：如圖，用AB表示主橋拱，設AB所在圓的圓心為O，半徑為R.
經過圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點C，則D是AB的中點，C是弧AB的中點，CD就是拱高.
∴AB=37m，CD=7.23m.
∴AD=AB=18.5m，OD=OC-CD=（R-7.23）m.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得R2=18.52+(R-7.23)2.
解得R≈27.3.即主橋拱半徑約為27.3m.
【例4】如圖1、2,一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為 2cm或12cm .
[方法歸納]
涉及垂徑定理時輔助線的添加方法：
在圓中有關弦長a,半徑r,弦心距d（圓心到弦的距離），弓形高h的計算題時，常常通過連半徑或作弦心距構造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.
弓形中重要數量關系：
弦a，弦心距d，弓形高h，半徑r之間有以下關系：d+h=r，r =d +（） .
【課堂小結】
一、垂徑定理及其推論
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧.
垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，并且平分這條弦所對的兩條弧；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦.
二、垂徑定理及其推論的計算
【課堂訓練】
1．下列說法正確的是(　D　)
A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧 B．平分弦的直徑垂直于弦
C．垂直于直徑的直線平分這條直徑 D．弦的垂直平分線經過圓心
2.如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結論不成立的是(　D　)
A．CM＝DM B.弧CB＝弧DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
3.（2022瀘州）如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直于弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E．若AC=4，DE=4，則BC的長是（　C　）
A．1 B． C．2 D．4
4.（2023永州）如圖，⊙O是一個盛有水的容器的橫截面，⊙O的半徑為10cm,水的最深處到水面AB的距離為4cm,則水面AB的寬度為 16 cm.
5.如圖所示，在⊙O中，AB為⊙O的弦，C，D是直線AB上兩點，且AC=BD.
求證：△OCD為等腰三角形.
證明：過點O作OM⊥AB，垂足為M，
∵OM⊥AB，∴AM=BM.
∵AC=BD，∴CM=DM.
又∵OM⊥CD，∴OC=OD.
∴△OCD為等腰三角形.
6.⊙O的半徑為10cm,弦AB∥CD，AB=12cm,CD=16cm,則AB與CD的距離為 14cm或2cm ．
【提示】由于兩弦的位置不確定，因此需要分類討論．
【布置作業(yè)】
【板書設計】
第2課時 垂徑定理
1.垂徑定理
2.垂徑定理的推論
【教學反思】
垂徑定理是圓中一個重要的定理，由于它涉及的條件結論比較多，學生容易搞混淆，本節(jié)課通過對剪圓和折疊圓的操作，調動學生的積極性，活躍課堂氣氛．讓學生在操作、分析、歸納的基礎上，掌握垂徑定理及其推論，同時引導學生歸納垂徑定理時加深對全等三角形或等腰三角形知識的復習和應用.

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