資源簡介

第26章 二次函數
26.3 實踐與探索
第2課時 二次函數與利潤問題
一、教學目標
1.能應用二次函數的性質解決商品銷售過程中的最大利潤問題.
2.弄清商品銷售問題中的數量關系及確定自變量的取值范圍.
二、教學重難點
重點：應用二次函數解決實際問題中的最值問題.
難點：能正確分析和把握實際問題的數量關系，確定自變量的取值范圍，得到函數關系，再求最值.
三、教學過程
【新課導入】
[情景導入]在日常生活中存在著許許多多的與數學知識有關的實際問題.商品買賣過程中，作為商家，利潤最大化是永恒的追求.如果商品售價太高，賣出的數量可能減少；如果商品售價太低，又不能保證有足夠的利潤，只有定價合理才能使利潤最大化.當然，不同的活動、折扣也都會影響利潤的多少，如果你是商場經理，如何定價才能使商場獲得最大利潤呢？
[課件展示]
[過渡]接下來我們通過實例來具體學習二次函數中的利潤問題.
【新知探究】
1.利潤問題中的數量關系
[提出問題]如題，某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，已知商品的進價為每件40元，則每星期銷售額是多少元？銷售利潤是多少元？
[師生活動]學生思考問題，找出題目中的數量關系，積極做出回答：
每星期銷售額是18000元，銷售利潤是6000元.
教師引導，師生共同總結銷售問題中常用的數量關系：
（1）銷售額=售價×銷售量;
（2）總利潤=銷售額-總成本=單件利潤×銷售量;
（3）單件利潤=售價-進價.
[過渡]了解了利潤問題中基本的數量關系后，接下來我們就通過具體的例題來學習.
2.如何定價利潤最大
[提出問題]如題，服裝廠生產某品牌的T恤衫成本是每件10元，根據市場調查，以單價13元批發給經銷商，經銷商愿意經銷5000件，并且表示每件降價0.1元，愿意多經銷500件.請你幫助分析，廠家批發單價是多少時可以獲利最多？
[課件展示]
[師生活動]教師提示:遇到有關銷售利潤的問題，常用相等關系是：
銷售利潤=單件利潤×銷售量.
學生分析問題中利潤和價格之間的函數關系式，動手寫出分析和解答過程：
方法一：
若設批發單價為x元，則：單件利潤為(x 10)元，
降價后的銷售量為(5000+×500)件，
銷售利潤用y元表示，則y=(x 10)(5000+×500).
解：設廠家批發單價是x元時可以獲利最多，最大利潤是y元，則y=(x 10)(5000+×500).
∵y=(x 10)(5000+×500)
=-5000x2+120000x-700000
=-5000(x 12)2+20000, -5000＜0,
∴拋物線有最高點，函數有最大值.
∵10答：廠家批發單價是12元時可以獲利最多.
方法二：
若設每件T恤衫降a元，則：單件利潤為(13 a 10)元，
降價后的銷售量為(5000+×500)件，
銷售利潤用y元表示，則y=(13 a 10)(5000+×500).
解：設每件T恤衫降a元時可以獲利最多,最大利潤是y元.
則 y=(13 a 10)(5000+×500).
∵y=(x 10)(5000+13 ×500)
=-5000a2+10000a+15000
=-5000(a 1)2+20000, -5000＜0,
∴拋物線有最高點，函數有最大值.∵13-a-10>0 , ∴0≤a<3.
∴當a＝1元時，y最大= 20000元.∴ 13-1=12(元).
答：廠家批發單價是12元時可以獲利最多.
[提出問題]通過剛才的學習，我們已經了解了如何解決二次函數的利潤問題，趁熱打鐵，下面這道練習題大家先自己嘗試做一下.
[課件展示]
[交流討論]學生思考問題，小組之間交流討論，動手寫出分析和解答過程：
分析：相等關系是客房日租金的總收入=每間客房日租金×每天客房出租數.
若設每間客房的日租金提高x個10元（即10x元），則：每天客房出租數會減少6x間，
客房日租金的總收入為y元，則：y=(160+10x)(120 6x).
解：設每間客房的日租金提高10x元，則每天客房出租數會減少6x間,設客房日租金總收入為 y元，則 y = (160+10x) (120-6x) = -60 (x-2)2+ 19440.
∵x≥0，且120－6x＞0，∴0≤x＜20.
當x=2時，y有最大值，且y最大=19440.
這時每間客房的日租金為160+10×2=180(元).
答：每間客房的日租金提高到180元時，客房日租金的總收入最高，最大收入為19440.
[提出問題]通過剛才的學習大家應該能夠掌握二次函數的利潤問題，那哪位同學能簡單總結下用二次函數解決利潤最值問題的一般步驟？（老師提問學生，學生嘗試自己總結）
[解答]同學總結得不錯，二次函數解決利潤最值問題的一般步驟為：
(1)建立利潤與價格之間的函數關系式：
運用“總利潤=總售價-總成本”或“總利潤=單件利潤×銷售量”，
(2)結合實際意義，確定自變量的取值范圍，
(3)在自變量的取值范圍內確定最大利潤：運用公式法或通過配方法求出二次函數的最大值或最小值.
[過渡]剛才我們已經總結了解題步驟，大家也應該掌握了這部分知識點，接下來的練習2請同學們獨立完成.
[課件展示]
分析:果園共有(100+x)棵樹，平均每棵樹結(600-5x)個橙子.
解：（1）依題意可得：y=(100+x)(600-5x)= -5x2+100x+60000.
當x＜10時，橙子的總產量隨增種橙子樹的增加而增加；當x=10時，橙子的總產量最大；當x大于10時，橙子的總產量隨增種橙子樹的增加而減少.
（2）∵600-5x>0，∴0≤x<120，且x為整數.
由（1）中表格和圖象觀察可知：當6≤x≤14 時，可以使橙子總產量超過60400個.
師生總結：通過繪制函數圖象可以直觀看出，果園的樹木棵數并不是越多越好，產量的多少取決于科學的計算果樹的棵數．
[歸納總結]本節課相信大家已經掌握了二次函數最值問題中的利潤問題的解法.在解決一些二次函數的實際問題時，繪制出圖形對于問題的解決至關重要.所以，大家在利用二次函數的知識解決實際問題時，要注意“數形結合”思想的運用.
【課堂小結】
【課堂訓練】學生完成本課時PPT練習題，教師講評.
【布置作業】
【板書設計】
第26章 二次函數
26.3 實踐與探索
第2課時 二次函數與利潤問題
1.銷售問題中常用的數量關系：
（1）銷售額=售價×銷售量；
（2）總利潤=銷售額-總成本=單件利潤×銷售量；
（3）單件利潤=售價-進價.
2.用二次函數解決最值問題的一般步驟：
（1）建立利潤與價格之間的函數關系式；
（2）結合實際意義，確定自變量的取值范圍；
（3）在自變量的取值范圍內確定最大利潤：運用公式法或配方法
【教學反思】
本課時的內容是二次函數的應用問題，應用二次函數的最大值解決銷售問題的最大利潤問題．重在通過創設問題情境，有計劃、有步驟地安排好思維序列，使學生的思維活動在“探索——發現”的過程中充分展開，力求使學生經歷運用邏輯思維和非邏輯思維再創造的過程，過程中突出知識的形成與發展，讓學生既獲得了知識又發展了智力，同時還提升了能力.

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