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第26章 二次函數(shù)
26.3 實(shí)踐與探索
第1課時(shí) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
一、教學(xué)目標(biāo)
1.分析實(shí)際問(wèn)題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.
2.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形中最大面積問(wèn)題.
3.會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)解決拋物線型問(wèn)題.
二、教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn)：能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列出函數(shù)關(guān)系式，并根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況確定自變量取何值時(shí)，函數(shù)取得最值.
難點(diǎn)：通過(guò)建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想．
三、教學(xué)過(guò)程
【新課導(dǎo)入】
[提出問(wèn)題]生活中有哪些場(chǎng)景可以讓你聯(lián)想到拋物線？（學(xué)生回答）
[解答]生活中有很多模型或者場(chǎng)景都能抽象出拋物線的模型，如空中綻放的煙花的瞬間，各種拱橋，彩虹，噴泉，投籃時(shí)籃球的運(yùn)動(dòng)軌跡等等，那我們?cè)谏钪幸裁獠涣苏莆沼嘘P(guān)拋物線的實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算，這節(jié)課我們就具體來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.在開始本節(jié)課學(xué)習(xí)之前，我們先復(fù)習(xí)下上節(jié)課的最值問(wèn)題，最值問(wèn)題、頂點(diǎn)問(wèn)題也是二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的問(wèn)題類型.
[課件展示]
[提出問(wèn)題]我們回顧下上節(jié)課學(xué)過(guò)的知識(shí)，根據(jù)自變量的取值范圍求出二次函數(shù) y = ax2 + bx + c 的最小（大）值.當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，如何確定？（學(xué)生回答，教師補(bǔ)充）當(dāng)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時(shí)，又如何確定？（學(xué)生回答，教師補(bǔ)充）
[過(guò)渡]這節(jié)課我們就來(lái)具體地詳細(xì)地學(xué)習(xí)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.
【新知探究】
1.用二次函數(shù)求幾何圖形的最大面積
[提出問(wèn)題]復(fù)習(xí)完后我們開始今天的學(xué)習(xí)，首先是常見(jiàn)的面積問(wèn)題.如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD,其中AB和CD分別在兩直角邊上.
[課件展示]
(1)如果設(shè)矩形的一邊AB=xm，那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？
(2)設(shè)矩形的面積為ym ，當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？
[師生活動(dòng)]教師提示:思考△CBF與△EAF有什么關(guān)系？有何啟發(fā)？
學(xué)生思考問(wèn)題，動(dòng)手寫出解答過(guò)程：
解：（1）∵AB=x,則BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
∴=,即=.
∴BC=AD=(40-x).
（2）由面積公式易得：y=AD AB=(40-x) x,
即y=-x2+30x=-(x 20)2+300(0＜x＜40).
∴當(dāng)x=20時(shí)，y的值最大，最大值是300.
即當(dāng)AB=20m時(shí)，矩形的面積最大，
最大值是300m .
[提出問(wèn)題]議一議：在上面的問(wèn)題中，如果把矩形改為如圖所示的位置,其他條件不變，那么矩形的最大面積是多少？你是怎樣知道的？
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[師生活動(dòng)]教師提示:類比原題的方法，思考能否利用相似表示AD？
學(xué)生思考問(wèn)題，動(dòng)手寫出解答過(guò)程：
解：過(guò)點(diǎn)O作OM⊥EF于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N，由勾股定理易得EF=50m，由等面積法可得OM=24m.
設(shè)AB=x，則MN=AB=x，ON=OM-MN=24-x.
由△AOD∽△FOE，得=,
即24 =.∴AD=50-x.
易得y=AD AB=(50-x) x=-(x-12)2+300.
∴當(dāng)AB=12m時(shí)，矩形的面積最大，最大值是300m .
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[提出問(wèn)題]完成例題的學(xué)習(xí)接下來(lái)請(qǐng)同學(xué)們嘗試完成如下練習(xí)題.某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)(圖中所有黑線的長(zhǎng)度和)為15m.當(dāng)x等于多少時(shí)，窗戶通過(guò)的光線最多？(結(jié)果精確到0.01m)此時(shí)，窗戶的面積是多少？(結(jié)果精確到0.01m2)
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[師生活動(dòng)]教師提示:利用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，必須求出自變量取值范圍.
學(xué)生思考問(wèn)題，動(dòng)手寫出解答過(guò)程：
解：∵7x+4y+πx=15,∴y=.
∵0＜x＜15,且0＜＜15, ∴0＜x＜1.48.
設(shè)窗戶的面積是S m2, 則S=+2xy=+2x =-+x=-+.
∴當(dāng)1.07時(shí),=4.02.
因此，當(dāng)x約為1.07m時(shí)，窗戶通過(guò)的光線最多.此時(shí)，窗戶的面積約為4.02 m2.
[歸納總結(jié)]二次函數(shù)解決幾何面積最值問(wèn)題的方法:
①求出函數(shù)表達(dá)式和自變量的取值范圍；
②配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值;
③檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值，使之必須在自變量的取值范圍內(nèi).
[過(guò)渡]除了圖形面積問(wèn)題，在幾何應(yīng)用題中，還常見(jiàn)的一種就是含有拋物線型的圖形應(yīng)用題.接下來(lái)我們一起繼續(xù)探究.
利用二次函數(shù)解決拋物線型問(wèn)題
[提出問(wèn)題]如圖，隧道的截面由拋物線和長(zhǎng)方形構(gòu)成.長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8米，寬是2米，拋物線可以用y=x2+4表示.
[課件展示]
(1)一輛貨運(yùn)卡車高4米，寬2米，它能通過(guò)該隧道嗎？
(2)如果該隧道內(nèi)設(shè)雙向車道，那么這輛貨運(yùn)卡車是否可以通過(guò)？
[交流討論]學(xué)生思考問(wèn)題，小組之間交流討論，動(dòng)手寫出解答過(guò)程：
解 ：(1)把y=4-2=2代入y=-x2+4，得2=-x2+4.
解得x=±2√2，則此時(shí)可通過(guò)貨運(yùn)卡車的寬度為4√2米.
∴高4米，寬2米的卡車能通過(guò)該隧道.
(2)由(1)，得當(dāng)y=2時(shí),x=±2√2,
∵2√2＞2，∴這兩貨運(yùn)卡車能通過(guò).
[提出問(wèn)題]如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m.水面下降1m，水面寬度增加多少？
[課件展示]
[師生活動(dòng)]教師提示:將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出這條拋物線表示的二次函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象進(jìn)行解題.
學(xué)生思考問(wèn)題，動(dòng)手寫出解答過(guò)程：
解: 建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=ax2.
[課件展示]
由拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-2），可得-2=a×22.解得a=-.
∴這條拋物線表示的二次函數(shù)為y=-x2.
當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面的縱坐標(biāo)為y=-3，
這時(shí)有-3=-x2，解得x=±√6 .
∴這時(shí)水面寬度為2√6m.
答：當(dāng)水面下降1m時(shí)，水面寬度增加2√6-4m.
[歸納總結(jié)]拋物線型問(wèn)題的一般解題步驟：
①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯窍担⒁阎獥l件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；
②合理地設(shè)出所求的函數(shù)的表達(dá)式，并代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；
③利用關(guān)系式求解實(shí)際問(wèn)題.
【課堂小結(jié)】
實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型之間的相互轉(zhuǎn)化
1.幾何面積最值問(wèn)題
解題關(guān)鍵：依據(jù)常見(jiàn)幾何圖形的面積公式，建立函數(shù)關(guān)系式;
2.拋物線型問(wèn)題
轉(zhuǎn)化關(guān)鍵：建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,能夠?qū)?shí)際距離準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；選擇運(yùn)算簡(jiǎn)便的方法.
【課堂訓(xùn)練】學(xué)生完成本課時(shí)PPT練習(xí)題，教師講評(píng).
【布置作業(yè)】
【板書設(shè)計(jì)】
第26章 二次函數(shù)
26.3 實(shí)踐與探索
第1課時(shí) 二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用
1.幾何面積最值問(wèn)題
2.拋物線型問(wèn)題
【教學(xué)反思】
本課時(shí)的內(nèi)容是二次函數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，開頭以生活中常見(jiàn)的事物舉例，使抽象出的數(shù)學(xué)模型更直觀，也增加課堂的多樣性，增加學(xué)生的興趣.之后又以復(fù)習(xí)導(dǎo)入，溫故知新，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通，靈活運(yùn)用.通過(guò)例題學(xué)習(xí)總結(jié)，練習(xí)鞏固強(qiáng)化的方法繼續(xù)探究，故而本節(jié)課以啟發(fā)探究式、討論式結(jié)合的教學(xué)方法開展教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生探究為主，必要時(shí)加以小組合作討論，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，突出學(xué)生的主體地位，達(dá)到“不但使學(xué)生學(xué)會(huì)，而且使學(xué)生會(huì)學(xué)”的目的.

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