資源簡介

26.2 二次函數(shù)的圖象與性質
3.求二次函數(shù)的表達式
一、教學目標
1．能夠利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式.
2．通過利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式，體會方程思想的應用.
二、教學重難點
重點：利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式.
難點：確定二次函數(shù)的表達式的不同方法.
三、教學過程
【新課導入】
[情境導入]
炎炎夏日，我們外出時總是戴著墨鏡，你觀察過自己的墨鏡嗎？如圖所示是一副墨鏡，它下半部分的輪廓是不是對應兩條拋物線？你知道如何求這兩條拋物線的表達式嗎？讓我們一起來探究如何求二次函數(shù)的表達式吧！
【新知探究】
1.特殊條件的二次函數(shù)的表達式
[提出問題]問題1：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過點(－2，8)和(－1，5)，求這個二次函數(shù)的表達式．
[學生活動]學生思考問題，動手寫出解答過程：
解:∵該圖象經(jīng)過點（-2,8）和（-1,5），∴解得∴這個二次函數(shù)的表達式為 y=-x2-6x.
[提出問題]問題2：已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經(jīng)過點(2,3)和(－1,－3)，求這個二次函數(shù)的表達式．
[學生活動]學生思考問題，動手寫出解答過程：
解:∵該圖象經(jīng)過點（2,3）和(－1,－3)，∴解得
∴這個二次函數(shù)的表達式為 y=2x2－5.
[歸納總結]觀察上述兩個表達式，總結：當沒有c（c=0）時，圖象經(jīng)過原點；沒有b（b=0）時，圖象關于y軸對稱.
2.頂點法求二次函數(shù)的表達式
[提出問題]問題3： 已知拋物線的頂點坐標為(4，-1)，與y軸交于點(0，3)，求這條拋物線的表達式.
[師生活動]教師提示:若給出拋物線的頂點坐標或對稱軸或最值，通常可設頂點式y(tǒng)＝a(x-h)2＋k (a≠0).這種知道拋物線的頂點坐標，求表達式的方法叫做頂點法.
學生思考問題，動手寫出解答過程：
解：依題意設y＝a(x-h)2＋k ，將頂點(4，-1)及交點(0，3)代入y＝a(x-h)2＋k ，得3=a(0-4)2-1.解得a=. ∴這條拋物線的表達式為y=(x-4)2-1.
[歸納總結]頂點法求二次函數(shù)的方法：
①設函數(shù)表達式是y=a(x-h)2+k；
②先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；
③將另一點的坐標代入原方程求出a值；
④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式.
3.交點法求二次函數(shù)的表達式
[提出問題]問題4：已知某一拋物線經(jīng)過點（-3，0），（-1，0），（0，-3），求這條拋物線的表達式.
[師生活動]教師提示:根據(jù)拋物線與x軸的交點（x1，0）（x2，0），可設為二次函數(shù)的交點式，即y=a(x-x1)(x-x2).這種知道拋物線與x軸的交點，求表達式的方法叫做交點法.
學生思考問題，動手寫出解答過程：
解： ∵（-3，0）（-1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點.所以可設這個二次函數(shù)的表達式是y=a(x-x1)(x-x2)(其中x1、x2為交點的橫坐標）.
因此，得y=a(x+3)(x+1).
再把點（0，-3）代入上式，得
a(0+3)(0+1)=-3.解得a=-1.
∴這條拋物線的表達式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
[歸納總結]交點法求二次函數(shù)表達式的方法：
①設函數(shù)表達式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把兩交點的橫坐標x1,x2代入到表達式中，得到關于a的一元一次方程；
③將另一點的坐標代入原方程求出a值；
④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式.
[過渡]在什么情況下，一個二次函數(shù)只知道其中兩點就可以確定它的表達式？
[交流討論]小組之間交流討論，得出結論：
1.用頂點式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k時，知道頂點（h,k）和圖象上的另一點坐標,就可以確定這個二次函數(shù)的表達式.
2.用交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)時，拋物線與x軸交點的橫坐標x1,x2,就可以確定這個二次函數(shù)的表達式.
3.用一般式y(tǒng)=ax +bx+c時，如果系數(shù)a,b,c中有兩個是未知的，知道圖象上兩個點的坐標，也可以確定這個二次函數(shù)的表達式.
4.一般式法求二次函數(shù)的表達式
[課件展示]思考： 二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有 3 個待定系數(shù)？需要 3 個拋物線上的點的坐標才能求出來？
[提出問題]問題5：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(-1,10)，(1,4)，(2,7)三點，求這個二次函數(shù)的表達式，并寫出它的對稱軸和頂點坐標.
[師生活動]教師提示:已知拋物線上三個點的坐標，可設為二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).這種已知三點求二次函數(shù)表達式的方法叫做一般式法.
學生思考問題，動手寫出解答過程：
解：設二次函數(shù)的表達式為y=ax2+bx+c.
將三點(-1,10)，(1,4)，(2,7)的坐標分別代入表達式，
得解這個方程組，得
∴這個二次函數(shù)的表達式為y=2x2-3x+5.
∵y=2x2-3x+5=2（x-）2+ ， ∴對稱軸為直線x= ，頂點坐標為（，）.
[歸納總結]一般式法求二次函數(shù)表達式的方法：
①設函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c；
②代入后得到一個三元一次方程組；
③解方程組得到a,b,c的值；
④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達式.
[課件展示]議一議：一個函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能確定這個二次函數(shù)的表達式嗎？你有幾種方法？與同伴進行交流.
[師生活動]學生思考問題，教師引導，師生配合得出答案:
方法一：解：由對稱性可知頂點坐標為B(1,2)，
∴設二次函數(shù)的表達式為y=a（x-1）2+2.
將A(0,1)的坐標代入表達式，得1=a（0-1）2+2.
解得a=-1.
∴所求二次函數(shù)的表達式為y=-1（x-1）2+2.
方法二：解：設二次函數(shù)的表達式為y=ax2+bx+c.
將點A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)的坐標分別代入表達式，
得解這個方程組，得
∴這個二次函數(shù)的表達式為y=-x2+4x+1.
【課堂小結】
一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達式
①已知三點坐標，用一般式法：y=ax2+bx+c.
②已知頂點坐標或對稱軸或最值，用頂點法：y=a(x－h(huán))2+k.
③已知拋物線與x軸的兩個交點，用交點法：y=a(x－x1)(x－x2) (x1, x2為交點的橫坐標）.
【課堂訓練】
1. （2023秋 萬寧期中）如圖的拋物線的表達式為（　C　）
A．y=x2-1 B．y=x2+1 C．y=（x-1）2 D．y=（x+1）2
2.（2023秋 朝陽區(qū)校級月考）二次函數(shù)y=x2-2mx+5m的圖象經(jīng)過點（1，-2）．其表達式為 y=x2+2x-5 ．
3.（2023秋 包河區(qū)月考）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，-4），且頂點坐標為（-1，0），則二次函數(shù)的表達式為 y=-x2-2x-1 ．
4. （2023秋 唐山月考）形狀與拋物線y=-x2-2相同，對稱軸是直線x=-2，且過點（0，3）的拋物線是（　D　）
A．y=x2+4x+3 B．y=-x2-4x+3
C．y=-x2+4x+3 D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
5.（2023秋 余杭區(qū)月考）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則它的表達式可能是（　C　）
A．y=-4(x-m)2-m2-2 B．y=-(x+a)(x-a+1)
C．y=-x2-(a+3)x+(-a) D．y=ax2-bx+b-a
6. （2023 寧波）如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象經(jīng)過點A（1，-2）和B（0，-5）．
（1）求該二次函數(shù)的表達式及圖象的頂點坐標．
（2）當y≤-2時，請根據(jù)圖象直接寫出x的取值范圍．
解：（1）把A（1，-2）和B（0，-5）代入y=x2+bx+c，得
解得
∴二次函數(shù)的表達式為y=x2+2x-5.
∵y=x2+2x-5=（x+1）2-6，
∴頂點坐標為（-1，-6）.
（2）如圖：
∵點A（1，-2）關于對稱軸直線x=-1的對稱點C（-3，-2），
∴當y≤-2時，x的范圍是-3≤x≤1．
【布置作業(yè)】
【板書設計】
第二章 二次函數(shù)
3 確定二次函數(shù)的表達式
1.用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式的一般步驟:
(1)設：（表達式）
(2)列：（坐標代入，列方程或方程組）
(3)解：（解方程或方程組）
(4)還原：（寫表達式）
2.頂點法求二次函數(shù)的方法：
①設函數(shù)表達式是y=a(x-h)2+k；
②先代入頂點坐標，得到關于a的一元一次方程；
③將另一點的坐標代入原方程求出a值；
④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式.
3.交點法求二次函數(shù)表達式的方法：
①設函數(shù)表達式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把兩交點的橫坐標x1,x2代入到表達式中，得到關于a的一元一次方程；
③將另一點的坐標代入原方程求出a值；
④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式.
4.一般式法求二次函數(shù)表達式的方法：
①設函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c；
②代入后得到一個三元一次方程組；
③解方程組得到a,b,c的值；
④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達式.
【教學反思】
本課時主要學習用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式 ，讓絕大部分學生掌握，在教學中采用啟發(fā)式、討論式結合的教學方法，教師引導，學生思考、歸納、總結確定二次函數(shù)的表達式的方法.對于如何選擇更簡便的方法來確定二次函數(shù)的表達式，讓中等偏上的學生掌握，學習能力較差的學生慢慢體會，等教學活動結束之后，再跟蹤練習，加上教學活動的歸納，就可以讓不同水平的學生先后得到提高．
教學過程中，強調學生自主探索與合作交流，經(jīng)歷收集、加工、整理等思維過程，培養(yǎng)學生的探索精神和分析問題、處理問題的能力.

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