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第26章 二次函數(shù)
26.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)
第4課時 二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象與性質(zhì)
一、教學(xué)目標(biāo)
1.會把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方寫成y＝a(x－h(huán))2+k(a≠0)的形式.
2.掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象性質(zhì)．
3.理解二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a，b，c之間的關(guān)系.
二、教學(xué)重難點
重點：會把y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通過配方寫成y＝a(x－h(huán))2＋k(a≠0)的形式.
難點：掌握二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性質(zhì)，運用函數(shù)圖象的性質(zhì)解決問題．
三、教學(xué)過程
【新課導(dǎo)入】
[復(fù)習(xí)導(dǎo)入]
[課件展示]回顧二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的性質(zhì):
拋物線y=a(x-h)2+k可以看作是由拋物線y=ax2經(jīng)過平移得到的.
【新知探究】
1.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)
[提出問題]問題1：我們已經(jīng)認識了形如y=a(x-h)2+k的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，你能研究二次函數(shù)y=2x2-4x+5的圖象和性質(zhì)嗎？
[師生活動]學(xué)生思考問題，想到可以將二次函數(shù)y=2x2-4x+5轉(zhuǎn)化成y=a(x-h)2+k的形式，但是應(yīng)如何轉(zhuǎn)化呢？
教師提示：可利用“配方法”.
師生配合寫出轉(zhuǎn)化過程:
因此,二次函數(shù)y=2x2-4x+5圖象的對稱軸是直線x=1,頂點坐標(biāo)為(1,3).
[歸納總結(jié)]y=2x2-4x+5 配方 y=2(x-1)2+3
[提出問題]問題2：求二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的對稱軸和頂點坐標(biāo).
[交流討論]小組之間交流討論，將二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c配方得：
y=ax +bx+c
（提取二次項系數(shù)）
（配方：加上再減去一次項系數(shù)絕對值一半的平方）
（化簡：去掉中括號，前三項化為平方形式，后兩項合并同類項）
[歸納總結(jié)]一般地，二次函數(shù) y = ax2+bx+c 可以通過配方化成 y =a(x -h)2+k 的形式，即
因此，拋物線 y = ax2+bx+c 的頂點坐標(biāo)是， 對稱軸是直線x= .
[過渡]二次函數(shù) y = ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)：
當(dāng)x<時，y隨x的增大而減小；
當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大.
當(dāng) x =時，函數(shù)取最小值，最小值為 .
當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；
當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小.
當(dāng) x =時，函數(shù)取最大值，最大值為.
[課件展示]做一做：如圖,橋梁的兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀,而且左、右兩條拋物線關(guān)于y軸對稱.按照圖中的直角坐標(biāo)系,左面的一條拋物線可以用y=x2+x+10表示.
(1)鋼纜的最低點到橋面的距離是多少
(2)兩條鋼纜最低點之間的距離是多少
[師生活動]學(xué)生思考問題，教師引導(dǎo)，師生配合得出答案:
方法一：將函數(shù)y=x2+x+10配方,求得頂點坐標(biāo),從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離.
y=x2+x+10=（x2+40x+400）+1=（x+20)2+1
∴這條拋物線的頂點坐標(biāo)是(-20,1）.
（1）由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.
（2）同理,右邊拋物線的頂點坐標(biāo)是(20,1）,兩條鋼纜最低點之間的距離是│-20-20│=40（m）.
方法二：左邊鋼纜的函數(shù)表達式：y=x2+x+10.
由頂點坐標(biāo)公式，
得=-20,=1.
∴這條拋物線得頂點坐標(biāo)是(-20,1）.
（1）由此可知鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.
（2）同理,右邊拋物線的頂點坐標(biāo)是(20,1）,兩條鋼纜最低點之間的距離是│-20-20│=40（m）.
[方法總結(jié)]將二次函數(shù)y=ax2+bx+c轉(zhuǎn)化為y=a(x-h)2+k的形式:
① 配方法
對稱軸：直線x=h 頂點坐標(biāo)：(h,k)
② 公式法
對稱軸：直線x= 頂點坐標(biāo)：
2.二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系
[課件展示]問題3：一次函數(shù) y = kx+b 的圖象如下圖所示，請根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質(zhì)填空.
問題4：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如下圖所示，請根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)填空：
[歸納總結(jié)]二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與a,b,c之間的關(guān)系:
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的補充性質(zhì)：
1.關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為 y=-(ax2+bx+c)= -ax2-bx-c；
2.關(guān)于y軸對稱的拋物線解析式為y=a(-x)2+b(-x)+c=ax2-bx+c；
3.當(dāng)=0時，頂點在y軸上；
4.當(dāng)Δ=b2-4ac=0時，頂點在x軸上，當(dāng)Δ=b2-4ac>0時 ,拋物線與x軸有兩個交點，當(dāng)Δ=b2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點；
5.當(dāng)x=1時，拋物線解析式為y=a+b+c；當(dāng)x=-1時，拋物線解析式為y=a-b+c.
【課堂小結(jié)】
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)
①二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是x=，頂點是.
②如果a>0,當(dāng)x<時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>時，y隨x的增大而增大.
③如果a<0,當(dāng)x<時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>時，y隨x的增大而減小.
【課堂訓(xùn)練】學(xué)生完成本課時PPT練習(xí)題，教師講評.
【布置作業(yè)】
【板書設(shè)計】
第26章 二次函數(shù)
26.2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
2. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)
二次函數(shù)y=ax2 +bx+c的圖象與性質(zhì)
1.二次函數(shù)y=ax2 +bx+c的圖象與性質(zhì)
對稱軸：x=，頂點：.
當(dāng) a>0時,開口向上，當(dāng)x<時，x↑，y↓；當(dāng)x>時，x↑，y↑.
當(dāng) a<0時,開口向下，當(dāng)x<時，x↑，y↑；當(dāng)x>時，x↑，y↓.
2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y=a(x-h)2+k的圖象的關(guān)系
y = ax2+bx+c 配方 y =a(x -h)2+k
① 配方法
對稱軸：直線x=h 頂點坐標(biāo)：(h,k)
② 公式法
對稱軸：直線x= 頂點坐標(biāo)：
【教學(xué)反思】
本課時主要探究二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì) ，在教學(xué)中采用啟發(fā)式、討論式結(jié)合的教學(xué)方法，充分地相信學(xué)生，鼓勵學(xué)生大膽地用自己的語言進行歸納，總結(jié)二次函數(shù)性質(zhì). 在教學(xué)過程中，注重為學(xué)生提供展示自己的機會，這樣也利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題、解決問題的獨到見解，以及思維的誤區(qū)，以便指導(dǎo)今后的教學(xué).課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運用各種啟發(fā)、激勵的語言，以及組織小組合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度.

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