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第26章 二次函數
26.1 二次函數
一、教學目標
1.探索并歸納二次函數的定義
2.會列二次函數表達式解決實際問題
二、教學重難點
重點：理解并掌握二次函數的概念和一般形式
難點：會列二次函數表達式解決實際問題
三、教學過程
【新課導入】
[情境導入]課件展示圖片
[提出問題] 雨后天空的彩虹，公園里的噴泉，跳繩等都會形成一條曲線.這些曲線能否用函數關系式表示？
學生回顧舊知：我們前面學習過一次函數：y=kx＋b (k，b是常數，k≠0)，反比例函數y=k/x，一次函數的圖象為直線，反比例函數的圖象為雙曲線，那像圖片中這樣的一條曲線是什么函數呢？
教師活動：學了這節內容,問題便會迎刃而解.板書課題：第26章 二次函數 26.1二次函數
【新知探究】
（一）二次函數的定義
[提出問題]問題1：用總長為20m的圍欄材料，一面靠墻，圍成一個矩形花圃.怎樣圍才能使花圃的面積最大？
將計算結果寫在下表的空格中：
從所填的表格中,你能發現什么 能作出怎樣的猜想
[交流討論]小組之間交流討論.動手作答：
解：如圖，設圍成的矩形花圃為 ABCD，靠墻的一邊為 AD，垂直于墻面的兩邊分別為AB 和 CD.設 AB 長為 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，進而可以求出 BC 邊的長，從而可得矩形的面積 y m2.填表格如下：
我們發現，當 AB 的長 x 確定后，矩形的面積 y也就隨之確定，即 y 是 x 的函數，寫出這個函數的關系式為y=x(20-2x)(0＜x＜10)，即y=-2x2+2x(0＜x＜10).
[提出問題]問題2：某商店將每件進價為8元的某種商品按每件10元出售,一天可售出100件.該店想通過降低售價,增加銷售量的辦法來提高利潤.經過市場調查,發現這種商品單價每降低0.1元,其銷售量可增加約10元.將這種商品的售價降低多少時,其每天的銷售利潤最大
[教師引導]分析：銷售利潤=（售價-進價）×銷售量.
[交流討論]小組之間交流討論，列出函數關系式：
根據題意，求出這個函數關系式為y=(10-x-8)(100+100x)(0≤x≤2)，
即y=100x2+100x+200(0≤x≤2).
[課件展示]觀察兩個函數表達式的共同點:
（1）y=-2x2+2x；
（2）y=100x2+100x+200.
引導： (1) 函數表達式中的各項都是整式；
(2) 函數自變量的最高次為2次；
(3) 可以化成y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的形式.
[歸納總結]二次函數的定義：形如y=ax +bx+c(a,b,c是常數,a≠0)的函數叫做二次函數.
注意：
（1）a為二次項系數，ax2叫做二次項；b為一次項系數，bx叫做一次項；c為常數項.
（2）等號左邊是變量y，右邊是關于自變量x的整式.
（3）a,b,c為常數，且a≠ 0;
（4）等式的右邊最高次數為 2，可以沒有一次項和常數項，但不能沒有二次項.
[過渡]二次函數的一般形式：y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常數,a≠0)；
二次函數的特殊形式：若b=0可以寫成y=ax +c，若c=0，可以寫成y=ax +bx，
若b=0且c=0，可以寫成y=ax .
[課件展示]典型例題：例 y=（m+3）xm -7
（1）m取什么值時，此函數是正比例函數？
（2）m取什么值時，此函數是二次函數？
[交流討論]學生思考問題，小組之間交流討論，回答問題：（1）由題可知解得.（2）由題可知得.
[課件展示]隨堂練習：
1.下列函數中,哪些是二次函數
2.把下列函數化成一元二次函數的一般式.
(1)y=(x-2)(x-3)；
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2；
(3)y=-2(x+3)2.
[師生互動]教師提問，學生積極回答問題.
PPT展示答案：1.(1)是(2)不是(3)是(4)不是
2.(1)y=(x-2)(x-3)=x2-5x+6；
(2)y=(x+2)(x-2)-2(x-1)2=-x2+4x-6；
(3)y=-2(x+3)2=-2x2-12x-18.
（二）列簡單的二次函數關系式
[提出問題]問題3：兩數的和是20，設其中一個數是x，你能寫出這兩數之積y的關系式嗎
[學生回答]解：y=x(20-x)=-x2+20x.
[提出問題]問題4：已知矩形的周長為40 cm, 你能表示這個矩形的面積與其一邊長的關系嗎
[學生回答]解：設矩形的一邊長為xcm，面積為ycm2 ，則另一邊長為(20-x)cm，
根據題意得 y=x(20-x)=-x2+20x.
[提出問題]問題1、問題2中兩個函數的自變量的取值范圍不同，問題3、問題4中的兩個函數的表達式相同，由此我們可以得出什么結論？
[學生交流]小組之間交流討論.
[歸納總結]1.同一個函數可以表達不同的實際意義；
2.在一般情況下，二次函數自變量的取值范圍是全體；
3.在實際問題中，自變量的取值要使實際問題有意義.
【課堂小結】
一、二次函數的定義
二次函數的一般形式：y=ax +bx+c.
二次函數的特殊形式：y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c.
(a≠0，a,b,c是常數）
等號左邊是變量y，右邊是整式；自變量的指數是2；二次項系數a≠0.
二、列簡單的二次函數關系式
同一個函數可以表達不同的實際意義.
三、二次函數的自變量取值范圍
1.在一般情況下，二次函數自變量的取值范圍是全體；
2.在實際問題中，自變量的取值要使實際問題有意義.
【課堂訓練】學生完成本課時PPT練習題，教師講評.
【布置作業】
【板書設計】
第26章 二次函數
26.1二次函數
1.二次函數的定義
（1）二次函數的一般形式：y=ax +bx+c.
（2）二次函數的特殊形式：y=ax2；y=ax2+bx；y=ax2+c.
(a≠0，a,b,c是常數）
2.列簡單的二次函數關系式
3.二次函數的自變量取值范圍
【教學反思】
二次函數是一種常見的函數，應用非常廣泛，它是客觀地反映現實世界中變量之間的數量關系和變化規律的一種非常重要的數學模型．許多實際問題往往可以歸結為二次函數加以研究．本節課是學習二次函數的第一節課，通過實例引入二次函數的概念，并學習求一些簡單的實際問題中二次函數的表達式．在教學中要重視二次函數概念的形成和建構，在概念的學習過程中，讓學生體驗從問題出發到列二次函數表達式的過程，體驗用函數思想去描述、研究變量之間變化規律的意義.

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