資源簡介

重難點突破10 圓錐曲線中的向量與共線問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：向量的單共線 2
題型二：向量的雙共線 4
題型三：三點共線問題 6
題型四：向量中的數量積問題 8
題型五：將幾何關系中的線段長度乘積轉換為向量 10
03 過關測試 11
首先，明確向量的定義和性質，理解共線向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐標表示法，通過比較兩向量的對應坐標分量是否成比例，來判斷它們是否共線。若成比例，則兩向量共線。另外，也可以利用向量的幾何意義，結合圓錐曲線的特性，通過觀察或計算向量的方向來判斷其共線性。綜上所述，結合向量的代數和幾何性質，可以有效解決圓錐曲線中的向量與共線問題。
題型一：向量的單共線
【典例1-1】已知橢圓的右焦點為F，點A，B在C上，且.當時，.
(1)求C的方程；
(2)已知異于F的動點P，使得.
（i）若A，B，P三點共線，證明：點P在定直線上：
（ii）若A，B，P三點不共線，且，求面積的最大值.
【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；
(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數的取值范圍.
【變式1-1】（2024·高三·浙江寧波·期末）已知點和直線:，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)已知，過點作直線交于，兩點，若，求的斜率的值.
【變式1-2】設直線l：與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．
(1)證明：；
(2)若F是橢圓的一個焦點，且，求橢圓的方程．
【變式1-3】已知點，橢圓上的兩點．滿足，則當為何值時，點橫坐標的絕對值最大？
【變式1-4】在直角坐標系中，已知．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)設直線l不過坐標原點且不垂直于坐標軸，l與C交于A、B兩點，點為弦AB的中點．過點M作l的垂線交C于D、E，N為弦DE的中點．
①證明：l與ON相交；
②已知l與直線ON交于T，若，求的最大值．
題型二：向量的雙共線
【典例2-1】如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段CH的垂直平分線交線段TC于點R，記動點R的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
(3)過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.
【典例2-2】已知橢圓的方程為，分別是的左、右焦點，A是的上頂點.
(1)設直線與橢圓的另一個交點為，求的周長；
(2)給定點，直線分別與橢圓交于另一點，求的面積；
(3)設是橢圓上的一點，是軸上一點，若點滿足，，且點在橢圓上，求的最大值，并求出此時點的坐標.
【變式2-1】已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上三個不同的動點（點不在軸上），滿足，且與的周長的比值為．
(1)求橢圓的離心率；
(2)判斷是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
【變式2-2】（2024·高三·上海楊浦·期中）已知橢圓經過，兩點.為坐標原點，且的面積為，過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.且直線，分別與軸交于點，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若以為直徑的圓經過坐標原點，求直線的方程；
(3)設，，求的取值范圍.
【變式2-3】（2024·遼寧·三模）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓的短軸長為，離心率為. 點為橢圓上的一個動點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，設，.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：為定值；
題型三：三點共線問題
【典例3-1】（2024·高三·山東威海·期末）已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點的坐標為，過點作直線交于，兩點（異于，），當垂直于軸時，.
(1)求的標準方程；
(2)直線交直線于點，證明：，，三點共線.
【典例3-2】（2024·高三·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系中，點在橢圓上，過點的直線的方程為．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點三點共線．
【變式3-1】（2024·山西太原·三模）已知雙曲線 的左、右頂點分別為 與 ，點 在 上，且直線 與 的斜率之和為 .
(1)求雙曲線 的方程;
(2)過點的直線與 交于 兩點(均異于點 )，直線 與直線 交于點，求證: 三點共線.
【變式3-2】已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）記的左、右頂點分別為，過的直線交的右支于兩點，連結交直線于點，求證：三點共線．
【變式3-3】（2024·陜西西安·一模）已知橢圓C：的離心率為，右焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓C的左焦點為，過點的直線l與橢圓C交于兩點，A關于x軸對稱的點為M，證明：三點共線.
【變式3-4】（2024·上海松江·一模）已知橢圓：的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點A，
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的方程為：，橢圓上點關于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；
(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點，和點三點共線，求的值；
題型四：向量中的數量積問題
【典例4-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，左頂點為，離心率為．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于兩點，線段的中點分別為，．設過點且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點，直線與直線交于點，求．
【典例4-2】（2024·高三·浙江·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為為坐標原點，為線段的中點，為橢圓上動點，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)延長交橢圓于，若，求直線的方程.
【變式4-1】（2024·上海長寧·二模）已知橢圓為坐標原點；
(1)求的離心率；
(2)設點，點在上，求的最大值和最小值；
(3)點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于兩點；試探究：是否存在常數，使得恒成立；若存在，求出該常數的值；若不存在，說明理由；
【變式4-2】（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個動點.設直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.
(1)求的軌跡方程；
(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
【變式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
【變式4-4】已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于點．
(1)若，求的值；
(2)若圓是以為圓心，1為半徑的圓，連接，線段交圓于點，射線上存在一點，使得為定值，證明：點在定直線上．
【變式4-5】（2024·高三·山東·開學考試）已知橢圓，且其右焦點為，過點且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點．
(1)設為坐標原點，線段上是否存在點，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；
(2)過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點，點關于軸的對稱點為，試證明：直線過定點．
題型五：將幾何關系中的線段長度乘積轉換為向量
【典例5-1】如圖，已知橢圓，過橢圓上第一象限的點作橢圓的切線與軸相交于點，是坐標原點，作于，證明：為定值.
【典例5-2】如圖，已知拋物線，過點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，拋物線上的點，設直線，的斜率分別為，.

(1)求的取值范圍；
(2)過點作直線的垂線，垂足為.求的最大值.
【變式5-1】（2024·高三·北京·開學考試）已知橢圓的長軸長為4，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設為橢圓的左頂點，過點不與軸重合的直線交橢圓于兩點，直線分別交直線于點和點．求證：以為直徑的圓經過軸上的兩個定點．
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，點在上，長軸長與短軸長之比為．
(1)求橢圓的方程．
(2)設為的下頂點，過點且斜率為的直線與相交于兩點，且點在線段上．若點在線段上，，證明：．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)證明：線段的中點在直線上；
(3)過點作軸的平行線，與直線的交點為，證明：點在以線段為直徑的圓上．
2．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，四邊形的內切圓的半徑為，過橢圓上一點T引圓的兩條切線（切線斜率存在且不為0），分別交橢圓于點P，Q．
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究直線與的斜率之積是否為定值，并說明理由；
(3)記點O為坐標原點，求證：P，O，Q三點共線．
3．已知橢圓的上、下頂點分別為，已知點在直線：上，且橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求的值．
4．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數，橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)當過點的動直線與橢圓相交于兩個不同點時，設，求的取值范圍.
5．已知橢圓，設過點的直線與橢圓交于，，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．

6．（2024·吉林長春·一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數，使得，求的取值范圍．
7．（2024·廣東廣州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點到點的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點，直線交右支于，兩點，．
(1)求的標準方程；
(2)證明：；
(3)若直線過點，直線過點，記，的中點分別為，，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
8．（2024·河南駐馬店·二模）已知雙曲線的左頂點為，直線與的一條漸近線平行，且與交于點，直線的斜率為．
(1)求的方程；
(2)已知直線與交于兩點，問：是否存在滿足的點？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
9．如圖:雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線交軸于點.
(1)當直線平行于的斜率大于的漸近線時，求直線與的距離；
(2)當直線的斜率為時，在的右支上是否存在點，滿足 若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由;
10．（2024·湖北襄陽·模擬預測）設雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當直線過點時，求的取值范圍.
11．已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.
(1)若離心率時，求的值．
(2)若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．
(3)連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．
12．（2024·河北衡水·模擬預測）已知圓，過的直線與圓交于兩點，過作的平行線交直線于點.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過作兩條互相垂直的直線交曲線于交曲線于，連接弦的中點和的中點交曲線于，若，求的斜率.
13．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線l：分別與x軸，直線交于點A，B，點P是線段AB的垂直平分線上的一點（P不在x軸負半軸上）且.
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)設l與C交于E，F兩點，點M在C上且滿足，延長MA交C于點N，求的最小值.
14．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，雙曲線，，分別為曲線的左焦點和右焦點，在雙曲線的右支上運動，的最小值為1，且雙曲線的離心率為2．
(1)求雙曲線的方程；
(2)當過的動直線與雙曲線相交于不同的點，時，在線段上取一點，滿足．證明：點總在某定直線上．
15．（2024·高三·山東臨沂·期末）已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程：
(2)已知點，直線不過點并與曲線交于兩點，且，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由，
16．在直角坐標平面中，的兩個頂點A，B的坐標分別為，，兩動點M，N滿足，，向量與共線．
(1)求的頂點C的軌跡方程；
(2)若過點的直線與（1）軌跡相交于E，F兩點，求的取值范圍．
17．（2024·貴州貴陽·三模）已知為雙曲線的右頂點，過點的直線交于D、E兩點.
(1)若，試求直線的斜率;
(2)記雙曲線的兩條漸近線分別為，過曲線的右支上一點作直線與，分別交于M、N兩點，且M、N位于軸右側，若滿足，求的取值范圍（為坐標原點）.
18．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知雙曲線的右頂點為，雙曲線的左 右焦點分別為，且，雙曲線的一條漸近線方程為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知過點的直線與雙曲線右支交于兩點，點在線段上，若存在實數且，使得，證明：直線的斜率為定值.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)重難點突破10 圓錐曲線中的向量與共線問題
目錄
01 方法技巧與總結 2
02 題型歸納與總結 2
題型一：向量的單共線 2
題型二：向量的雙共線 12
題型三：三點共線問題 22
題型四：向量中的數量積問題 30
題型五：將幾何關系中的線段長度乘積轉換為向量 39
03 過關測試 44
首先，明確向量的定義和性質，理解共線向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐標表示法，通過比較兩向量的對應坐標分量是否成比例，來判斷它們是否共線。若成比例，則兩向量共線。另外，也可以利用向量的幾何意義，結合圓錐曲線的特性，通過觀察或計算向量的方向來判斷其共線性。綜上所述，結合向量的代數和幾何性質，可以有效解決圓錐曲線中的向量與共線問題。
題型一：向量的單共線
【典例1-1】已知橢圓的右焦點為F，點A，B在C上，且.當時，.
(1)求C的方程；
(2)已知異于F的動點P，使得.
（i）若A，B，P三點共線，證明：點P在定直線上：
（ii）若A，B，P三點不共線，且，求面積的最大值.
【解析】（1）當時，由對稱性可知軸，
，
的標準方程為．
（2）（i）（方法一）點異于點，
設，直線的方程為，
聯立方程，得，
，
由可知
三點共線，且且，
點在線段的延長線或反向延長線上，
則，設，則，
由，則，代入上式得，
，
把，代入上式得，命題得證．
（方法二）點異于點，
設，由可知
三點共線，且且，
點在線段AB的延長線或反向延長線上，，設，則，
，
，
將①式減去②式，得，
即，
則，
點在定直線上，命題得證．
（ii）當時，由（i）可知
故解得
不妨設A在第一象限，則將代入C的方程，
得，
，
則直線的方程為，即，
設，由可知，
化簡得，
點在以為圓心，3為半徑的圓上，且不在直線上，
在直線上，
面積的最大值為．
【典例1-2】（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；
(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標的取值范圍；
(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數的取值范圍.
【解析】（1）不妨設，
因為的重心，所以，
所以，
又短軸長為6，所以，代入解得，
所以橢圓方程為:；
（2）由上可知，設中點，
則，
又，消去并整理得，
同理，
又，
由題意得，
即，
因B，D在上，易得，化簡得，
所以線段中垂線的斜率，
線段中垂線方程:，
令得，
又線段中點在橢圓內所以，
所以；
（3）設，由得，
聯立消整理得，
得，
所以，
當時，，
當時，，
解不等式得.
【變式1-1】（2024·高三·浙江寧波·期末）已知點和直線:，動點與定點的距離和到定直線的距離的比是常數.
(1)求動點的軌跡的方程；
(2)已知，過點作直線交于，兩點，若，求的斜率的值.
【解析】（1）設，由題意得，
化簡得:.
（2）設：，
與聯立得，，因為，則定點在橢圓內，則該直線與橢圓必有兩交點，
所以
因為，所以，即，
所以③，
由①③得，
將④⑤代入②，得，
化簡得，，解得.
【變式1-2】設直線l：與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．
(1)證明：；
(2)若F是橢圓的一個焦點，且，求橢圓的方程．
【解析】（1）將直線和橢圓聯立，得到，
化簡即為，即，即.
因為直線與橢圓有兩個交點，故該方程有兩個不同的解，從而判別式，
直接計算知：
，
所以，故，從而.
（2）
由于直線和軸的交點為，故，半焦距.
由于點在直線上，故可設，而，故，從而.
將和的坐標代入橢圓方程，知：
故關于的方程有兩個不同的解，.
該方程可化為，即，
即，即.
顯然，
所以，.
由于，故，從而，這意味著，故.
而我們有
，
這就得到，所以，
所以.
而，故，所以.
從而，故.
于是，.
所以橢圓的方程是.
【變式1-3】已知點，橢圓上的兩點．滿足，則當為何值時，點橫坐標的絕對值最大？
【解析】設，，
由可知：，
因為，則，整理得，
因為A,B在橢圓上,所以，
則，即，
與相減得：，
所以，，
即當時，的最大值為4，即的最大值為2．
所以當時，點橫坐標的絕對值最大．
【變式1-4】在直角坐標系中，已知．
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)設直線l不過坐標原點且不垂直于坐標軸，l與C交于A、B兩點，點為弦AB的中點．過點M作l的垂線交C于D、E，N為弦DE的中點．
①證明：l與ON相交；
②已知l與直線ON交于T，若，求的最大值．
【解析】（1）因為，
所以，
所以，化簡得，
所以P的軌跡C的標準方程為．
（2）①因為直線l不過坐標原點且不垂直于坐標軸，
所以．
設點，
所以,
由題意得，，
相減得，
所以，
所以，
所以，
所以，
同理得，，又，
相乘得，，
因為，所以，
因為，所以，所以，
所以l與ON相交．
②l的方程為，直線DE的方程為,
直線ON的方程為，
聯立得，，
故，
又
，
當且僅當即時取等號，
又，即當且僅當時取等號，
所以，故的最大值為．
題型二：向量的雙共線
【典例2-1】如圖，已知圓，圓心是點T，點G是圓T上的動點，點H的坐標為，線段CH的垂直平分線交線段TC于點R，記動點R的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)過點H作一條直線與曲線E相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，若，，試探究是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；
(3)過點作兩條直線MP，MQ，分別交曲線E于P，Q兩點，使得.且，點D為垂足，證明：存在定點F，使得為定值.
【解析】（1）因為，
所以，
所以，半徑，
因為線段的中垂線交線段于點，
所以，
所以，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，
所以，，，
故曲線E的方程為.
（2）當直線的斜率不存在時，其方程為，
與y軸不相交，不合題意，舍去，
當直線的斜率存在時，設所在直線方程為，
設，，
由
消去y整理得，
恒成立，
所以，
又因為直線與y軸的交點為C，所以，
所以，，
，，
又因為，所以，同理，
所以，且，
所以，
整理后得，
所以為定值，原題得證.
（3）設，顯然的斜率存在，，，
設的方程是，
由消去y得，
則，即，
由韋達定理得，
根據已知，可得，
即，
又，，
代入上式整理得，
則或，
當時，直線的方程為，
所以直線經過定點，
當時，直線的方程為，
所以直線經過定點與M重合，舍去，
故直線經過定點，
又因為，
所以D在以線段MK為直徑的圓上.
所以F為線段MK的中點，即，
所以為定值.
【典例2-2】已知橢圓的方程為，分別是的左、右焦點，A是的上頂點.
(1)設直線與橢圓的另一個交點為，求的周長；
(2)給定點，直線分別與橢圓交于另一點，求的面積；
(3)設是橢圓上的一點，是軸上一點，若點滿足，，且點在橢圓上，求的最大值，并求出此時點的坐標.
【解析】（1）由題意可知：，
所以的周長為.
（2）
由題意可知：，且在橢圓上，
因為，可知，
則直線的方程為，
聯立方程，解得或，
即，
所以的面積為.
（3）設，
則，
因為，則，
解得，即，
且，則，
又因為，則，
解得，即，
因為點在橢圓上，則，
整理得，
其中，
可知，解得，
即的最大值為，
代入可得，
即，
聯立，解得，即，
綜上所述：的最大值為，此時.
【變式2-1】已知橢圓的左右焦點分別為，點是橢圓上三個不同的動點（點不在軸上），滿足，且與的周長的比值為．
(1)求橢圓的離心率；
(2)判斷是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）依題意點、、三點共線，點、、三點共線，
則的周長為，
則的周長為，
所以，即，
橢圓的離心率為．
（2）解法一：設且，則有，即，
由題由，
可得，則，
由題設直線，聯立，
化簡整理可得
顯然成立，故，，
同理可得，
（定值）.
解法二：設且，則由，即有①，
由題，由，可得，
則，，
點在橢圓上，則，則將上式代入整理得②，
②-①整理化簡得，同理可得，
（定值）.
【變式2-2】（2024·高三·上海楊浦·期中）已知橢圓經過，兩點.為坐標原點，且的面積為，過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點，.且直線，分別與軸交于點，.
(1)求橢圓的方程；
(2)若以為直徑的圓經過坐標原點，求直線的方程；
(3)設，，求的取值范圍.
【解析】（1）因為橢圓經過點，
所以解得（負值舍去）．
由的面積為可知，解得，
所以橢圓的方程為．
（2）設直線的方程為，，．
聯立，消整理可得．
因為直線與橢圓有兩個不同的交點，
所以，解得，
因為，所以的取值范圍是，
所以，，
則
，
因為以為直徑的圓經過坐標原點，所以，
則，即，解得（負值舍去），
所以直線的方程為.
（3）因為，，，，
所以直線的方程是：，
令，解得，所以點的坐標為．
同理可得點的坐標為．
所以，，．
由，，
可得，，
所以，
同理，
由（2）得，
所以
，
因為，所以，所以，
則，所以，
所以的范圍是．
【變式2-3】（2024·遼寧·三模）已知橢圓的左右焦點分別為，橢圓的短軸長為，離心率為. 點為橢圓上的一個動點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，設，.
(1)求橢圓的方程；
(2)證明：為定值；
【解析】（1）由題知，得到，又，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）知，，設，，
則，，，，
由，得到，所以，
又在橢圓上，所以，即.
又，故，即.
將其展開，得到，即.
從而，即，
易知，所以，得到，
同理，由，得到，所以，
又在橢圓上，所以，即.
又，故，即.
將其展開，得到，即.
從而，即，
易知，所以，得到，所以，
即為定值.
題型三：三點共線問題
【典例3-1】（2024·高三·山東威海·期末）已知橢圓的左、右頂點分別為，，右焦點的坐標為，過點作直線交于，兩點（異于，），當垂直于軸時，.
(1)求的標準方程；
(2)直線交直線于點，證明：，，三點共線.
【解析】（1）如圖所示，
由，可得，
所以，
即，因為，
所以，解得，，
所以的標準方程為.
（2）由題意知，直線斜率不為，如圖所示，
設，，而，
由，整理得，
顯然，則,
因為，
所以，即.
則
，
所以，又因為有公共點，
所以，，三點共線.
【典例3-2】（2024·高三·江蘇連云港·期中）在平面直角坐標系中，點在橢圓上，過點的直線的方程為．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設橢圓的左、右焦點分別為，，點與點關于直線對稱，求證：點三點共線．
【解析】（1）依題意，，
所以離心率.
（2）直線的斜率為，
由（1）得，
設關于的對稱點為，
線段的中點為，
所以，
整理得，
解得，
則
在橢圓上，所以，
，
則
，
所以，所以三點共線.
【變式3-1】（2024·山西太原·三模）已知雙曲線 的左、右頂點分別為 與 ，點 在 上，且直線 與 的斜率之和為 .
(1)求雙曲線 的方程;
(2)過點的直線與 交于 兩點(均異于點 )，直線 與直線 交于點，求證: 三點共線.
【解析】（1）由題意得，且
（2）由 (1) 得，
設直線 的方程為，則，
由 得，
直線 的方程為，令 ，則，
，
所以三點共線.
【變式3-2】已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為．
（1）求雙曲線的方程；
（2）記的左、右頂點分別為，過的直線交的右支于兩點，連結交直線于點，求證：三點共線．
【解析】解:（1）依題意可得，，
解得，故的方程為.
（2）易得，
顯然，直線的斜率不為0，設其方程為，，
聯立方程，消去整理得，
所以，．
直線，令得，故
，，
，（*）
又
，即的值為0．
所以故A、Q、N三點共線．﹒
【變式3-3】（2024·陜西西安·一模）已知橢圓C：的離心率為，右焦點與拋物線的焦點重合.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設橢圓C的左焦點為，過點的直線l與橢圓C交于兩點，A關于x軸對稱的點為M，證明：三點共線.
【解析】（1）∵橢圓C的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的焦點為,
∴,
又，∴,∴,
∴橢圓C的方程為.
（2）證明：由（1）知橢圓C的左焦點為，
當直線l的斜率不存在時，其方程為：，此時直線l與橢圓C沒有交點，不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為，，，
則.
聯立，消去y得，
∴，解得,
∴，,
∵，，
又，，
∴
，
∵與共線，而與有公共點,即、、 三點共線.
【變式3-4】（2024·上海松江·一模）已知橢圓：的長軸長為，離心率為，斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點A，
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線的方程為：，橢圓上點關于直線的對稱點（與不重合）在橢圓上，求的值；
(3)設，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為，若點，和點三點共線，求的值；
【解析】（1）橢圓：的長軸長為，離心率為，
則，，則，則
則橢圓的方程為；
（2）設橢圓上點關于直線的對稱點
則，解之得，則
由在橢圓上，可得，
整理得，解之得或
當時與點M重合，舍去.則
（3）設，則
又，則，直線的方程為
由，整理得
則，則
又，則，
則，則
令則，直線的方程為
由，整理得
則，則
又，則，
則，則
則
由點，和點三點共線，可得
則
整理得，則
題型四：向量中的數量積問題
【典例4-1】已知橢圓的左、右焦點分別為，左頂點為，離心率為．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于兩點，線段的中點分別為，．設過點且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點，直線與直線交于點，求．
【解析】（1）
橢圓左頂點為，，
又因為離心率，
，
，
的方程為：.
（2）如圖所示：
設，，
則，
由
得：，
則，
，；
直線方程為：，，
；
同理可得：，又，
，，
，
為定值.
【典例4-2】（2024·高三·浙江·開學考試）已知橢圓的離心率為，左、右頂點分別為為坐標原點，為線段的中點，為橢圓上動點，且面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)延長交橢圓于，若，求直線的方程.
【解析】（1）由條件得，即，則，
則，，
解得，
所以橢圓的方程為.
（2）由題意可知：，則，且直線與橢圓必相交，
若直線的斜率不存在，可知，
聯立方程，解得，
不妨取，則，
可得，不合題意；
若直線的斜率存在，設直線，
則，，
與橢圓聯列方程得，消去y得，
可得，
則
，
可得，解得
所以直線的方程為；
綜上所述：直線的方程為.
【變式4-1】（2024·上海長寧·二模）已知橢圓為坐標原點；
(1)求的離心率；
(2)設點，點在上，求的最大值和最小值；
(3)點，點在直線上，過點且與平行的直線與交于兩點；試探究：是否存在常數，使得恒成立；若存在，求出該常數的值；若不存在，說明理由；
【解析】（1）設的半長軸長為，半短軸長為，半焦距為，
則，則，所以.
（2）依題意，設，則，，故，
則，
所以由二次函數的性質可知，當時，取得最小值為，
當時，取得最大值為.
（3）設，又，
易得，則直線為，即 ，
而，
，
，
聯立，消去，得
則，得，
所以，
故
，
所以，
故存在，使得恒成立.
【變式4-2】（2024·福建廈門·二模）已知，，為平面上的一個動點.設直線的斜率分別為，，且滿足.記的軌跡為曲線.
(1)求的軌跡方程；
(2)直線，分別交動直線于點，過點作的垂線交軸于點.是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，說明理由.
【解析】（1）由題意設點，由于，
故，整理得，
即的軌跡方程為；
（2）由題意知直線的斜率分別為，，且滿足，
設直線的方程為，令，則可得，即，
直線，同理求得，
又直線的方程為，
令，得，即，
故
，
當時，取到最大值12，
即存在最大值，最大值為12.
【變式4-3】（2024·高三·天津河北·期末）設橢圓的左右焦點分別為，短軸的兩個端點為，且四邊形是邊長為2的正方形.分別是橢圓的左右頂點，動點滿足，連接，交橢圓于點.
(1)求橢圓的方程；
(2)求證：為定值.
【解析】（1）由題設，，得，
橢圓的方程為.
（2）
由（1）知，由題意知，直線的斜率存在且不為0，
設直線的方程為，聯立，
消去得，其中是直線與橢圓一個交點，
所以，則，代入直線得，故.
又，將代入，得，則.
所以，為定值.
【變式4-4】已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為，過點且斜率為的直線交橢圓于點．
(1)若，求的值；
(2)若圓是以為圓心，1為半徑的圓，連接，線段交圓于點，射線上存在一點，使得為定值，證明：點在定直線上．
【解析】（1）依題意可得，可設，，
由，消去整理得，
，，
，，
，
所以，解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）知，，
若直線斜率存在，則，直線，
由得，又點在線段上，
所以，即，又，
，
設，則，
；
當時，為定值，此時，則，此時在定直線上；
當時，不為定值，不合題意；
若直線斜率不存在，由橢圓和圓的對稱性，不妨設，從而有，，
此時，則直線，
設，則，，，
則時，，滿足題意；
綜上所述：當為定值，點在定直線上.
【變式4-5】（2024·高三·山東·開學考試）已知橢圓，且其右焦點為，過點且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于、兩點．
(1)設為坐標原點，線段上是否存在點，使得？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；
(2)過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點，點關于軸的對稱點為，試證明：直線過定點．
【解析】（1）由題意，設直線的方程為，，
聯立，得，
恒成立.
設、，線段的中點為，
則， ，
由，得：
，故，
又因為為的中點，則直線為直線的垂直平分線，
所以，直線的方程為，即，
令得點的橫坐標，
因為，則，所以，，
所以，線段上存在點，使得，其中.
（2）當直線的斜率不為零時，設直線的方程為，，
聯立得，
因為過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點，
由，得，
設、，則，則，，
則直線的方程為，
令得
.
易知，當直線斜率為時，直線與軸重合，
此時，點與點重合，則直線過點.
綜上所述，直線過定點.
題型五：將幾何關系中的線段長度乘積轉換為向量
【典例5-1】如圖，已知橢圓，過橢圓上第一象限的點作橢圓的切線與軸相交于點，是坐標原點，作于，證明：為定值.
【解析】證明：不妨設切線方程為，，
聯立切線方程和橢圓方程，
消去得，
所以，得，
解方程可得，所以，
又點坐標為，故為定值．
【典例5-2】如圖，已知拋物線，過點且斜率為的直線交拋物線于，兩點，拋物線上的點，設直線，的斜率分別為，.

(1)求的取值范圍；
(2)過點作直線的垂線，垂足為.求的最大值.
【解析】（1）直線的方程為，代入拋物線得：
，解得或，所以，
因為，
所以，，
則有，
又，則有，故的取值范圍是.
（2）由（1）知，，
所以，，
，
令，，
則，
由于當時，，當時，，
故，即的最大值為.
【變式5-1】（2024·高三·北京·開學考試）已知橢圓的長軸長為4，離心率為．
(1)求橢圓的方程；
(2)設為橢圓的左頂點，過點不與軸重合的直線交橢圓于兩點，直線分別交直線于點和點．求證：以為直徑的圓經過軸上的兩個定點．
【解析】（1）設橢圓的方程為．
由題意得，解得，所以．
所以橢圓的方程為．
（2）當直線垂直于軸，由直線過，
在橢圓方程中，令，解得，
不妨設，橢圓左頂點，
直線分別交直線于點和點，則分別與重合.
即，則以為直徑的圓以為圓心，為半徑，
該圓與軸交點為.
即以為直徑的圓經過兩點；
當直線的斜率存在時，設其方程為．
設，，
由 得．
所以，．
則直線的方程為.
令，得點．同理，點.
設以為直徑的圓與軸交點為，
，
則
.
解得或.
故不論取何值，以為直徑的圓經過軸上的兩個定點；
綜上所述，以為直徑的圓經過軸上的定點.
【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，點在上，長軸長與短軸長之比為．
(1)求橢圓的方程．
(2)設為的下頂點，過點且斜率為的直線與相交于兩點，且點在線段上．若點在線段上，，證明：．
【解析】（1）設橢圓的方程為．
由題意可知，解得，
故橢圓的方程為．
（2）由（1）可知．
設，直線的方程為．
由，得，
則，所以．
由，得，
所以，則，
所以點在線段的垂直平分線上，即．易知．
設，則，
則．①
又點在直線上，所以，
則，
所以，則．
整理，得．②由①②，得．
所以，則，所以，故．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)證明：線段的中點在直線上；
(3)過點作軸的平行線，與直線的交點為，證明：點在以線段為直徑的圓上．
【解析】（1），又，
，
又，
橢圓方程為；
（2）聯立直線與橢圓方程，
又因為有兩個交點，所以，
解得，設，
故，
又，
，
線段的中點的坐標為，，
線段的中點C在直線上；
（3）由已知得：，
，
，
，
點在以線段為直徑的圓上．
2．（2024·全國·模擬預測）已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為，上、下頂點分別為，四邊形的內切圓的半徑為，過橢圓上一點T引圓的兩條切線（切線斜率存在且不為0），分別交橢圓于點P，Q．
(1)求橢圓的方程；
(2)試探究直線與的斜率之積是否為定值，并說明理由；
(3)記點O為坐標原點，求證：P，O，Q三點共線．
【解析】（1）由題意得，則直線的方程為．
由可得，
所以橢圓的方程為．
（2）由題意得，
切線的斜率存在且不為0，并設為，取，則，
此時切線方程為，則．
整理得．
設過點引圓的兩條切線斜率分別為，則①．
由得，
將其代入①式得，
故直線與的斜率之積為．
（3）設直線，則，解得．
將直線與橢圓聯立，則．
因為直線與橢圓有兩個不同的交點，所以.
設，則，
將代入可得．
設直線，則，整理得．
同理，將直線與橢圓聯立，則．
設，則，
將代入可得，
顯然．
設直線，則，解得，
將直線與橢圓聯立，則，
設，則，
將代入得．
設直線，則，解得．
將直線與橢圓聯立，則．
設，則．
將代入得，
故．
所以，，，且，
所以P，O，Q三點共線．
3．已知橢圓的上、下頂點分別為，已知點在直線：上，且橢圓的離心率．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設是橢圓上異于的任意一點，軸，為垂足，為線段的中點，直線交直線于點，為線段的中點，求的值．
【解析】（1）
且點在直線：上，，
又， ，，
橢圓的標準方程為.
（2）
設，，則，且，
為線段的中點，，
，直線的方程為：，
令，得，
，為線段的中點，，
，，
4．（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知橢圓的離心率是雙曲線的離心率的倒數，橢圓的左 右焦點分別為，上頂點為，且.
(1)求橢圓的方程；
(2)當過點的動直線與橢圓相交于兩個不同點時，設，求的取值范圍.
【解析】（1）設點的坐標分別為，
又點的坐標為，且，
所以，解得，
所以橢圓的方程為.
（2）設，則依據得，
整理得，
又，故，
得，
即，
當時，此時，即重合，顯然不成立，所以，
所以，即，
又，得，
又，故，且，
故實數的取值范圍為.
5．已知橢圓，設過點的直線與橢圓交于，，點是線段上的點，且，求點的軌跡方程．

【解析】設，，，
由
，記，
即，．
，由定比分點得：，
，由定比分點得，
又，配比，
由（1）-（3）得：
，即.
所以點Q的軌跡方程為（在橢圓內部），
由可得，故,
故點的軌跡方程為.
6．（2024·吉林長春·一模）橢圓的離心率為，過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若直線與橢圓相交于，兩點，與軸相交于點，若存在實數，使得，求的取值范圍．
【解析】（1）因為該橢圓的離心率為，所以有，
在方程中，令，解得，
因為過橢圓焦點并且垂直于長軸的弦長度為1，
所以有，由可得：，
所以橢圓的方程為；
（2）當直線不存在斜率時，由題意可知直線與橢圓有兩個交點，與縱軸也有兩個交點不符合題意；
當直線存在斜率時，設為，所以直線的方程設為，
于是有，
因為該直線與橢圓有兩個交點，所以一定有，
化簡，得，
設，于是有，
因為，
所以，
代入中，得，
于是有，
化簡，得，代入中，得.
7．（2024·廣東廣州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點到點的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點，直線交右支于，兩點，．
(1)求的標準方程；
(2)證明：；
(3)若直線過點，直線過點，記，的中點分別為，，過點作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．
【解析】（1）設點，因為點到點的距離與到直線的距離之比為，
所以 ，整理得，
所以的標準方程為.
（2）由題意可知直線和直線斜率若存在則均不為0且不為，
①直線的斜率不存在時，則可設直線方程為，，
則且由點A和點B在曲線E上，故，
所以，
同理可得，所以；
②直線斜率存在時，則可設方程為，、，
聯立，
則即，
且，且，
所以
，
同理 ，所以，
綜上，.
（3）由題意可知直線和直線斜率若存在則斜率大于1或小于，
且曲線E的漸近線方程為，
故可分別設直線和直線的方程為和，且，
聯立得，設、，
則，
，，
故，
因為P是中點，所以即，
同理可得，
所以P到兩漸近線的距離分別為，
，
Q到兩漸近線的距離分別為，
，
由上知兩漸近線垂直，故四邊形是矩形，連接，
則四邊形面積為
，
因為，所以，
所以，
所以四邊形面積的取值范圍為.
8．（2024·河南駐馬店·二模）已知雙曲線的左頂點為，直線與的一條漸近線平行，且與交于點，直線的斜率為．
(1)求的方程；
(2)已知直線與交于兩點，問：是否存在滿足的點？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．
【解析】（1）由題可知，的一條漸近線方程為，則，
設，又，直線的斜率為，
所以，
解得，則，
代入中，解得，
故的方程為．
（2）因為，
所以，即，所以，
同理可得，
設，
聯立，整理得，
由題意知，且，
解得或，且，
所以，
過點與垂直的直線的方程為，設該直線與的右支交于另一點，
聯立，整理得，
解得或（舍去），所以，
因為
，
所以，同理可證，
又，所以與重合，
所以在上，則，
故存在點滿足，且的值為16．
9．如圖:雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線交軸于點.
(1)當直線平行于的斜率大于的漸近線時，求直線與的距離；
(2)當直線的斜率為時，在的右支上是否存在點，滿足 若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由;
【解析】（1）雙曲線，焦點在軸上，，
則雙曲線左、右焦點分別為，，漸近線方程為，
當直線平行于的斜率大于的漸近線時，則直線的方程為，即，
又漸近線為，
所以直線與的距離.
（2）不存在，理由如下：
當直線l的斜率為1時，直線方程為，因此，
又，所以，
設的右支上的點，則，
由得，
又，聯立消去得，
因為，但是，，所以此方程無正根，
因此，在的右支上不存在點，滿足.
10．（2024·湖北襄陽·模擬預測）設雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.
(1)求雙曲線的方程；
(2)當直線過點時，求的取值范圍.
【解析】（1）由題意可得：，解得：，，.
雙曲線的方程為：.
（2）當直線的斜率不存在時，，，
此時，，所以，
當直線的斜率存在時，設，，因為直線過點，
設直線的方程為：，
聯立可得：，
當時，，
，，
，
令，則，令， 在，上單調遞減，
又，所以，
所以的取值范圍為.
11．已知雙曲線左右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.
(1)若離心率時，求的值．
(2)若為等腰三角形時，且點在第一象限，求點的坐標．
(3)連接并延長，交雙曲線于點，若，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，則，．
（2）當時，雙曲線，其中，，
因為為等腰三角形，則
①當以為底時，顯然點在直線上，這與點在第一象限矛盾，故舍去；
②當以為底時，，
設，則 , 聯立解得或或，
因為點在第一象限，顯然以上均不合題意，舍去；
（或者由雙曲線性質知，矛盾，舍去）；
③當以為底時，，設，其中，
則有，解得，即．
綜上所述：.
（3）由題知，
當直線的斜率為0時，此時，不合題意，則，
則設直線，
設點，根據延長線交雙曲線于點，
根據雙曲線對稱性知，
聯立有，
顯然二次項系數，
其中，
①，②，
，
則，因為在直線上，
則，，
即，即，
將①②代入有，
即
化簡得，
所以 , 代入到 , 得 , 所以 ,
且，解得，又因為，則，
綜上知，，．
12．（2024·河北衡水·模擬預測）已知圓，過的直線與圓交于兩點，過作的平行線交直線于點.
(1)求點的軌跡的方程；
(2)過作兩條互相垂直的直線交曲線于交曲線于，連接弦的中點和的中點交曲線于，若，求的斜率.
【解析】（1）根據題意，因為，，
所以，所以，
所以，
當位置互換時，，當過的直線與軸重合時無法作出，
所以點的軌跡為以為焦點，即，且的雙曲線，
所以 ，的軌跡方程為.
（2）根據題意可知的斜率存在且不為，
設的斜率為，，，，，其中，
則，，
聯立，消去得，
，
所以，，
所以中點坐標為，同理可得中點坐標為，
當，即時，兩中點坐標分別為，，此時直線為，
聯立，解得，，
所以，，不滿足條件，
當時，，
則直線方程，整理得，
令，聯立得，
，
所以，，，
所以由解得，
當時，代入解得或，
當時，代入解得或，
綜上的斜率為或
13．（2024·山東泰安·模擬預測）已知直線l：分別與x軸，直線交于點A，B，點P是線段AB的垂直平分線上的一點（P不在x軸負半軸上）且.
(1)求點P的軌跡C的方程；
(2)設l與C交于E，F兩點，點M在C上且滿足，延長MA交C于點N，求的最小值.
【解析】（1）由題意，
如圖， ∵，
∴，
又∵不在軸負半軸上，
∴與直線垂直，
又∵，
∴點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，
∴點的軌跡方程為.
（2）
由得，
∵與交于兩點，
∴，
設，，則，
又∵，
∴，
∵的斜率為，
∴直線的方程為，
設，，同理得，，
∴
，
當且僅當即時取到“=”，
∴的最小值為16.
14．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系中，雙曲線，，分別為曲線的左焦點和右焦點，在雙曲線的右支上運動，的最小值為1，且雙曲線的離心率為2．
(1)求雙曲線的方程；
(2)當過的動直線與雙曲線相交于不同的點，時，在線段上取一點，滿足．證明：點總在某定直線上．
【解析】（1）設雙曲線的半焦距為，點的坐標為，
因為點在雙曲線的右支上，
所以，，
所以，
所以，
所以當時，取最小值，
由題意可知，，
雙曲線的離心率，
所以，，
所以，
所以雙曲線的方程為．
（2），
若點都在右支上，則方向相反，有共線，
則方向相反，即方向相同，
與點在線段上矛盾，
所以直線與曲線交在兩支上，
如圖，
設，
由，可得，
又共線，所以共線，
所以．
設，，，
，，，，
則，，，，
整理可得，①
，②
，③
，④
將①③，②④分別得到，⑤
，⑥
將⑤⑥可得，
點在定直線上．
15．（2024·高三·山東臨沂·期末）已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程：
(2)已知點，直線不過點并與曲線交于兩點，且，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標：若不過定點，請說明理由，
【解析】（1）如圖，設圓的圓心為，半徑為，
由題可得圓半徑為3，圓半徑為1，則，，
所以，
由雙曲線定義可知，的軌跡是以，為焦點、實軸長為4的雙曲線的右支，
又,，,，
所以動圓的圓心的軌跡方程為，，
即曲線的方程為，．
（2）設直線的方程為，
聯立，消去得，
由題意直線與曲線有兩個交點，則，
設,，,，其中，，
由韋達定理得：，，
又點，所以,，,，
因為，所以，
則
，
即，
解得舍去），
當，直線的方程為，，
故直線恒過點,．
16．在直角坐標平面中，的兩個頂點A，B的坐標分別為，，兩動點M，N滿足，，向量與共線．
(1)求的頂點C的軌跡方程；
(2)若過點的直線與（1）軌跡相交于E，F兩點，求的取值范圍．
【解析】（1）設頂點C的坐標為，因為，．
又且向量與共線，
∴N在邊的中垂線上，．
而，即，
化簡并整理得頂點C的軌跡方程為．
（2）
設，
過點的直線方程為，代入，
得，，
得，
而是方程的兩根，
，．
，
即，
故的取值范圍為.
17．（2024·貴州貴陽·三模）已知為雙曲線的右頂點，過點的直線交于D、E兩點.
(1)若，試求直線的斜率;
(2)記雙曲線的兩條漸近線分別為，過曲線的右支上一點作直線與，分別交于M、N兩點，且M、N位于軸右側，若滿足，求的取值范圍（為坐標原點）.
【解析】（1）由題意知直線的斜率一定存在.
設直線的方程為.
聯立，化簡得:，其中
所以，
因為，所以.
即:，換元后有:.
所以，化簡得:.
解得:或.
當時，直線過點，不符合題意.
當時，代入得，滿足題意.
所以.
（2）設，
則.
由可知:，
因為，所以，且有，
化簡得:.
又，
設，則.
當時，在定義域上單減;
當時，在定義域上單增.
所以.
所以的取值范圍是:.
18．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知雙曲線的右頂點為，雙曲線的左 右焦點分別為，且，雙曲線的一條漸近線方程為.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知過點的直線與雙曲線右支交于兩點，點在線段上，若存在實數且，使得，證明：直線的斜率為定值.
【解析】（1）設雙曲線的半焦距為，由，得，即，
所以，
又雙曲線的一條漸近線方程為，所以，
解得，
故雙曲線的方程為.
（2）設直線與雙曲線交于，點，
因為存在實數且，使得，
所以，
，
整理得：①，②，
得③，
同理④，⑤，
得⑥，
由于雙曲線上的點的坐標滿足，
③-⑥得，
即，又，所以，
表示點在直線上，又也在直線上，
所以直線的斜率為（定值）.
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑